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1、2022年高考數(shù)學(xué) 二次函數(shù)練習(xí)
1、已知函數(shù)
（I）若在區(qū)間上不單調(diào)，求的取值范圍；
（II）若對于任意的，存在，使得，求的取值范圍．
2、設(shè)反比例函數(shù)f（x）=與二次函數(shù)g（x）=ax2+bx的圖象有且僅有兩個不同的公共點A（x1，y1），B（x2，y2），且x1＜x2，則=（ ）
A． 2或 B． ﹣2或 C． 2或 D． ﹣2或
3、已知二次函數(shù)，若不等式的解集為，且方程有兩個相等的實數(shù)根.
（Ⅰ）求的解析式；
（Ⅱ）若不等式在上恒成立，求實數(shù)的取值范圍；
（Ⅲ）解不等式
4、指數(shù)函數(shù)與二次函數(shù)在同一坐標(biāo)系中的圖象可能的是（ ）
5
2、、設(shè)二次函數(shù)f（x）=ax2+bx+c（a，b∈R）滿足條件：①當(dāng)x∈R時，f（x）的最大值為0，且f（x﹣1）=f（3﹣x）成立；②二次函數(shù)f（x）的圖象與直線y=﹣2交于A、B兩點，且|AB|=4
（Ⅰ）求f（x）的解析式；
（Ⅱ）求最小的實數(shù)n（n＜﹣1），使得存在實數(shù)t，只要當(dāng)x∈[n，﹣1]時，就有f（x+t）≥2x成立．
6、已知函數(shù)．
（1）若，求的值域；
（2）若存在實數(shù)t，當(dāng)，恒成立，求實數(shù)m的取值范圍．
7、若。
（1）求的單調(diào)區(qū)間；
（2）求的最大值與最小值；
（3）若恒成立，求m取值范圍。
8、已知拋物線．
①若拋物線與軸交于,兩點，
3、求關(guān)于的不等式的解集；
②若拋物線過點，解關(guān)于不等式；
9、已知函數(shù)，且．
(1)求證：函數(shù)有兩個不同的零點；
(2)設(shè)是函數(shù)的兩個不同的零點，求的取值范圍；
(3)求證：函數(shù)在區(qū)間（0,2）內(nèi)至少有一個零點
10、已知函數(shù).
（Ⅰ）若，使,求實數(shù)的取值范圍;
（Ⅱ）設(shè),且在上單調(diào)遞增,求實數(shù)的取值范圍.
11、已知數(shù)列中，，二次函數(shù)的對稱軸為x=，
(1)試證明是等差數(shù)列，并求的通項公式；
(2)設(shè)的前n項和為，試求使得成立的n的值，并說明理由。
12、已知二次函數(shù)的最小值為1，且f（0）＝f（2）＝3．
（1）求的解析式；
（2）若在區(qū)間[]上不
4、單調(diào)，求實數(shù)的取值范圍；
（3）在區(qū)間[－1,1]上，的圖象恒在的圖象上方，試確定實數(shù)的取值范圍．
13、已知一個二次函數(shù)，．求這個函數(shù)的解析式。
14、函數(shù)在區(qū)間上遞減，則實數(shù)的取值范圍是（ ）
A．??? ???????????? B．?? ????????????? ?????????????
C．?? ??????????????? D．
15、已知二次函數(shù)（，）．
若，且不等式對恒成立，求函數(shù)的解析式；
若，且函數(shù)在上有兩個零點，求的取值范圍．
16、對于函數(shù)（）．
（Ⅰ）當(dāng)時，求函數(shù)的零點；
（Ⅱ）若對任意實數(shù)，函數(shù)恒有兩個相異的零點，
5、求實數(shù)的取值范圍
17、函數(shù)在上是增函數(shù)，則實數(shù)的范圍是
A．≥?????? B．≥??????? C．≤?????? D．≤
18、已知函數(shù)
（1）當(dāng)時，求不等式的解集；
（2）若對于任意恒成立，求實數(shù)的取值范圍．
19、已知函數(shù)，其中．
（1）設(shè)，求的取值范圍，并把表示為的函數(shù)；
（2）求函數(shù)的最大值（可以用表示）；
（3）若對區(qū)間內(nèi)的任意，總有，求實數(shù)的取值范圍．
20、已知二次函數(shù)f(x)=x2+(2a-1)x+1-2a.
（Ⅰ）判斷命題“對于任意的a∈R(R為實數(shù)集),方程f(x)=1必有實數(shù)根”的真假,并寫出判斷過程.
（Ⅱ）若y=f
6、(x)在區(qū)間(-1,0)及(0,)內(nèi)各有一個零點,求實數(shù)a的范圍.
答 案
1、（I）2
7、
，? ……………13分
且上述兩個不等式的等號均為或時取到，故
? 故，所以……15分
2、根據(jù)已知條件可以畫出f（x），g（x）的圖象，由圖象可得到方程，即方程ax3+bx2﹣1=0有兩個二重根，和一個一重根，所以可設(shè)二重根為c，另一根為d．所以上面方程又可表示成：a（x﹣c）2（x﹣d）=ax3﹣（ad+2ac）x2+（2acd+ac2）x﹣ac2d=0，所以便得到2acd+ac2=0，所以c=﹣2d．所以再根據(jù)圖象可得．
解：根據(jù)題意可畫出f（x），g（x）可能的圖象：
A，B兩點的橫坐標(biāo)便是方程即ax3+bx2﹣1=0的解；
由上面圖象知道A，B兩點中有一個點是f（x
8、），g（x）圖象的切點，反應(yīng)在方程上是方程的二重根；
所以可設(shè)二重根為c，另一根為d，則上面方程可變成：
a（x﹣c）2（x﹣d）=0；
將方程展開：ax3﹣（ad+2ac）x2+（2acd+ac2）x﹣ac2d=0；
∴2acd+ac2=0；
由圖象知a，c≠0；
∴由上面式子得：c=﹣2d；
；
∴；
∴由圖象知x1=c，x2=d，或x1=d，x2=c；
∴．
故選：B．
3、（Ⅰ）由題意，1,4是方程的兩根，且
由韋達定理得，……………………………2分
因為方程有兩個相等的實數(shù)根，所以
消去得或（舍去），……………………………4分
所以??????????
9、??????? ……………………………5分
（Ⅱ）由題意，不等式在上恒成立，
設(shè)其圖像的對稱軸方程為…………6分
當(dāng)即時，有得………8分
當(dāng)即時，有得?????????????
綜上，???????????????????????????????????????????????????? ………10分
（Ⅲ）方程的判別式
當(dāng)即時，不等式的解集為R;??????????????????? ………12分
當(dāng)時：時，不等式的解集為??????????? ………13分
?????????? 時，不等式的解集為??????????????? ………14分
當(dāng)即時，不等式的解集為??
10、???? ………16分
4、C
5、（Ⅰ）根據(jù)題意可假設(shè)f（x）=a（x﹣1）2．（a＜0），令a（x﹣1）2=﹣2，x=1，求解即可得出解析式．
（Ⅱ）利用不等式解得﹣t﹣1≤x，又f（x+t）≥2x在x∈[n，﹣1]時恒成立，轉(zhuǎn)化為令g（t）=﹣t﹣1﹣2，易知g（t）=﹣t﹣1﹣2單調(diào)遞減，
所以，g（t）≥g（4）=﹣9，得出n能取到的最小實數(shù)為﹣9．
解：（Ⅰ）由f（x﹣1）=f（3﹣x）可知函數(shù)f（x）的對稱軸為x=1，
由f（x）的最大值為0，可假設(shè)f（x）=a（x﹣1）2．（a＜0）
令a（x﹣1）2=﹣2，x=1，則易知2=4，a=﹣．
所以，f（x）=﹣（x
11、﹣1）2．
（Ⅱ）由f（x+t）≥2x可得，（x﹣1+t）2≥2x，即x2+2（t+1）x+（t﹣1）2≤0，
解得﹣t﹣1≤x，
又f（x+t）≥2x在x∈[n，﹣1]時恒成立，
可得由（2）得0≤t≤4．
令g（t）=﹣t﹣1﹣2，易知g（t）=﹣t﹣1﹣2單調(diào)遞減，
所以，g（t）≥g（4）=﹣9，
由于只需存在實數(shù)，故n≥﹣9，則n能取到的最小實數(shù)為﹣9．
此時，存在實數(shù)t=4，只要當(dāng)x∈[n，﹣1]時，就有f（x+t）≥2x成立．
6、（1）由題意得
??????? 當(dāng)時，，，
??????? ∴此時的值域為。
??????? 當(dāng)時，，，
??????? ∴
12、此時的值域為。
??????? 當(dāng)時，，，
??????? ∴此時的值域為。
?? （2）由恒成立得恒成立。
??????? 令，，因為拋物線的開口向上，
??????? 所以。
??????? 由恒成立知，化簡得
??????? 令，則原題可轉(zhuǎn)化為：存在，使得。
??????? 即當(dāng)時，。
7、
8、（1）由題意知 解得 ，???? ……… 3分
?? 解集為???????? ……………… 6分
【注意：若解集沒有寫成集合或者區(qū)間形式，扣2分；】
?? （2）由題意知 即????????? ………………? 8分
????? ……………………? 10分
當(dāng)
13、時，??? ? ；?? 當(dāng)時，???
當(dāng)時，?????? …………… ………… ………? 14分
綜上：當(dāng)時，解集為
當(dāng)時，解集為
當(dāng)時，解集為??????? …………………… 16分
9、（1）證明：?
???????????????? ……1分
對于方程
判別式……2分
又
恒成立．
故函數(shù)有兩個不同的零點．??????????????????????? ……3分
（2）由是函數(shù)的兩個不同的零點，
則是方程的兩個根．
????????????????????????? ……5分
??????? 故的取值范圍是???????????????????????
14、……7分
（3）證明：
由（1）知：
??????????????????????????????????????? ……9分
（i）當(dāng)c>0時，有又
函數(shù)在區(qū)間（0, 1）內(nèi)至少有一個零點．????????? ……10分
（ii）當(dāng)時，
函數(shù)在區(qū)間（1,2）內(nèi)至少有一個零點．????????? ……11分
綜上所述，函數(shù)在區(qū)間（0,2）內(nèi)至少有一個零點．? ……12分
10、（1）解：由,，得,使，………3分
所以，或； ………7分
（2）解：由題設(shè)得………10分
或……… 13分
?
或………14分
11、（1）；（2）n=1，2，3
【知識點】等差數(shù)
15、列的通項公式；二次函數(shù)的性質(zhì)；等差數(shù)列的前n項和．
解析：（1） ∵二次函數(shù)的對稱軸為x=，
∴ an≠0，，整理得，………………2分
左右兩邊同時乘以，得，即(常數(shù))，
∴ 是以2為首項，2為公差的等差數(shù)列，
∴ ，
∴ ． ……………………………………5分
(Ⅱ)∵ ， ①
?????????????? ， ②
①-②得： ，
整理得 ．………………………………8分
∵ =>0，
∴ 數(shù)列{Sn}是單調(diào)遞增數(shù)列．……………………10分
∴ 要使成立，即使<3，整理得n+2>，
∴ n=1，2，3．…………………………………12分
12、（1）由f（0）＝f（2
16、）知二次函數(shù)f（x）關(guān)于x＝1對稱，又f（x）的最小值為1，故可設(shè)f（x）＝a（x－1）2＋1，
又f（0）＝3得a＝2，故f（x）＝2x2－4x＋3．
（2）要使函數(shù)在區(qū)間[2a，a＋1]上不單調(diào)，
則2a<12x＋2m＋1在x∈[－1,1]時恒成立，
即x2－3x＋1－m>0在x∈[－1,1]時恒成立．
設(shè)g（x）＝x2－3x＋1－m，
則只要g（x）min>0即可，
∵x∈[－1,1]，∴g（x）min＝g（1）＝－1－m，
∴－1－m>0，即m<－1．
故實數(shù)m的取值范圍是{m|m<－1}．
13、
17、14、B
15、(Ⅰ)因為，所以，---------------3分
因為當(dāng)，
都有，所以有，??? ---------------6分
即，所以；?? -----------------7分
(Ⅱ)解法1：因為在上有兩個零點，且，
所以有??? ---------11分
（圖正確，答案錯誤，扣2分）
通過線性規(guī)劃可得.???????? ----------------------------15分
（若答案為，則扣1分）
解法2：設(shè)的兩個零點分別，所以，------9分
不妨設(shè)，，-----------11分
因為，且，，---------13分
所以，所以.---
18、------------15分
（若答案為，則扣1分）
16、（1）x=3 ,? x=-1;（2）0
19、注:分類討論解法酌情給分）
19、（1）因為，又因為，所以 從而，所以．又因為，所以，因為，所以，．-------4分
（2）求函數(shù)的最大值即求，的最大值．
,對稱軸為．? -------5分
當(dāng)，即時， ；
當(dāng)，即時，；
當(dāng)，即時，；?? ------9分
綜上， 當(dāng)時，的最大值是；當(dāng)時，的最大值是；當(dāng)時，的最大值是．??? ----?? 10分
（3）要使得對區(qū)間內(nèi)的任意恒成立，只需．也就是要求對成立
因為當(dāng)，即時，；
且當(dāng)時，???? ??------11分
結(jié)合問題（2）需分四種情況討論：
①時，成立，所以；
②時，即，注意到函數(shù)在上單調(diào)遞減，故，于是成立，所
20、以
③時，即，注意到函數(shù)在上單調(diào)遞增，
故，于是成立，所以；
④時，，即，所以；????????????????? --------15分
綜上，實數(shù)的取值范圍是 ．??????????…………16分
20、(1)“對于任意的a∈R(R為實數(shù)集),方程f(x)=1必有實數(shù)根”是真命題.
依題意:f(x)=1有實根,即x2+(2a-1)x-2a=0有實根,
∵Δ=(2a-1)2+8a=(2a+1)2≥0對于任意的a∈R(R為實數(shù)集)恒成立,即x2+(2a-1)x-2a=0必有實數(shù)根,從而f(x)=1必有實數(shù)根.
(2)依題意:要使y=f(x)在區(qū)間(-1,0)及(0,)內(nèi)各有一個零點,只需
即解得
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