2022年高考數學5年真題備考題庫 第二章 第9節(jié) 函數模型及其應用 理（含解析）

《2022年高考數學5年真題備考題庫 第二章 第9節(jié) 函數模型及其應用 理（含解析）》由會員分享，可在線閱讀，更多相關《2022年高考數學5年真題備考題庫 第二章 第9節(jié) 函數模型及其應用 理（含解析）（6頁珍藏版）》請在裝配圖網上搜索。

1、2022年高考數學5年真題備考題庫 第二章 第9節(jié) 函數模型及其應用 理（含解析） 1.（xx湖南，5分）某市生產總值連續(xù)兩年持續(xù)增加，第一年的增長率為p，第二年的增長率為q，則該市這兩年生產總值的年平均增長率為(　　) A. B. C. D.－1 解析：設年平均增長率為x，原生產總值為a，則(1＋p)(1＋q)a＝a(1＋x)2，解得x＝－1，故選D. 答案：D 2.（xx山東，5分）已知函數y＝f(x)(x∈R)．對函數y＝g(x)(x∈I)，定義g(x)關于f(x

2、)的“對稱函數”為函數y＝h(x)(x∈I)，y＝h(x)滿足：對任意x∈I，兩個點(x，h(x))，(x，g(x))關于點(x，f(x))對稱．若h(x)是g(x)＝關于f(x)＝3x＋b的“對稱函數”，且h(x)>g(x)恒成立，則實數b的取值范圍是________． 解析：函數g(x)的定義域是[－2,2]， 根據已知得＝f(x)， 所以h(x)＝2f(x)－g(x)＝6x＋2b－. 又h(x)>g(x)恒成立， 即6x＋2b－> 恒成立， 即3x＋b>恒成立． 令y＝3x＋b，y＝， 則只要直線y＝3x＋b在半圓x2＋y2＝4(y≥0)上方即可，由>2，解得b>2(舍去

3、負值)， 故實數b的取值范圍是(2，＋∞)． 答案：(2，＋∞) 3．（xx陜西，5分）在如圖所示的銳角三角形空地中， 欲建一個面積最大的內接矩形花園(陰影部分), 則其邊長x為________(m)． 解析：本題主要考查構建函數模型，利用基本不等式求解應用問題的能力．如圖，過A作AH⊥BC于H，交DE于F，易知＝＝＝?AF＝x?FH＝40－x.則S＝x(40－x)≤2，當且僅當40－x＝x，即x＝20時取等號．所以滿足題意的邊長x為20(m)． 答案：20 4．（xx重慶，12分）某村莊擬修建一個無蓋的圓柱形蓄水池(不計厚度)．設該蓄水池的底面半徑為r米，高為h米，體積為

4、V立方米．假設建造成本僅與表面積有關，側面的建造成本為100元/平方米，底面的建造成本為160元/平方米，該蓄水池的總建造成本為12 000π元(π為圓周率)． (1)將V表示成r的函數V(r)，并求該函數的定義域； (2)討論函數V(r)的單調性，并確定r和h為何值時該蓄水池的體積最大． 解：本題主要考查導數在實際生活中的應用、導數與函數單調性的關系等基礎知識，考查轉化思想及分類討論思想． (1)因為蓄水池側面的總成本為100×2πrh＝200πrh元，底面的總成本為160πr2元，所以蓄水池的總成本為(200πrh＋160πr2)元． 根據題意得200πrh＋160πr2＝12

5、000π， 所以h＝(300－4r2)， 從而V(r)＝πr2h＝(300r－4r3)． 由h>0，且r>0可得00，故V(r)在(0,5)上為增函數； 當r∈(5,5)時，V′(r)<0，故V(r)在(5,5)上為減函數． 由此可知，V(r)在r＝5處取得最大值，此時h＝8，即當r＝5，h＝8時，該蓄水池的體積最大． 5．（xx江西，

6、5分）某農戶計劃種植黃瓜和韭菜，種植面積不超過50畝，投入資金不超過54萬元，假設種植黃瓜和韭菜的產量、成本和售價如下表(　　) 年產量/畝 年種植成本/畝 每噸售價 黃瓜 4噸 1.2萬元 0.55萬元 韭菜 6噸 0.9萬元 0.3萬元 為使一年的種植總利潤(總利潤＝總銷售收入－總種植成本)最大，那么黃瓜和韭菜的種植面積(單位：畝)分別為(　　) A．50,0　　　　　　　　 B．30,20 C．20,30 D．0,50 解析：設黃瓜和韭菜的種植面積分別為x畝，y畝，總利潤為z萬元，則目標函數為z＝(0.55×4x－1.2x)＋(0.3×6y－0.9y

7、)＝x＋0.9y. 線性約束條件為即 畫出可行域，如圖所示． 作出直線l0：x＋0.9y＝0，向上平移至過點B時，z取得最大值，由求得B(30,20)，故選B. 答案：B 6．（xx湖南，5分）設函數f(x)＝ax＋bx－cx，其中c>a>0，c>b>0. (1)記集合M＝{(a，b，c)|a，b，c不能構成一個三角形的三條邊長，且a＝b}，則(a，b，c)∈M所對應的f(x)的零點的取值集合為________； (2)若a，b，c是△ABC的三條邊長，則下列結論正確的是________．(寫出所有正確結論的序號) ①?x∈(－∞，1)，f(x)>0； ②?x∈R，使ax

8、，bx，cx不能構成一個三角形的三條邊長； ③若△ABC為鈍角三角形，則?x∈(1,2)，使f(x)＝0. 解析：本小題主要考查指數函數的性質、全稱量詞和存在量詞的含義、零點存在性定理及推理論證能力． (1)由題設f(x)＝0，a＝b?2ax＝cx?x＝， 又a＋b≤c，a＝b?≤?x≤x，x>0，所以≤x?0c?＋>1，又0<<1,0<<1，?x∈(－∞，1)?x>，x>?x＋x>1，即f(x)>0，所以①正確；由(1)可知②正確； 由△ABC為鈍角三角形，所以a2＋b2c，所以＋>1，所以f(1)>0，由零點存

9、在性定理可知③正確． 答案：{x|00，區(qū)間I＝{x|f(x)>0}． (1)求I的長度(注：區(qū)間(α，β)的長度定義為β－α)； (2)給定常數k∈(0,1)，當1－k≤a≤1＋k時，求I長度的最小值． 解：本題考查含參數的一元二次不等式的解法、導數的應用等，意在考查考生恒等變形能力和綜合運用數學知識分析問題、解決問題的能力． (1)因為方程ax－(1＋a2)x2＝0(a>0)有兩個實根x1＝0，x2＝， 故f(x)>0的解集為{x|x1

10、2)設d(a)＝，則d′(a)＝.令d′(a)＝0，得a＝1.由于00，d(a)單調遞增； 當1

11、程總和最小，這個最小值為________(米)． 解析：當放在最左側坑時，路程和為2×(0＋10＋20＋…＋190)；當放在左側第2個坑時，路程和為2×(10＋0＋10＋20＋…＋180)(減少了360米)；當放在左側第3個坑時，路程和為2×(20＋10＋0＋10＋20＋…＋170)(減少了680米)；依次進行，顯然當放在中間的第10、11個坑時，路程和最小，為2×(90＋80＋…＋0＋10＋20＋…＋100)＝2000米． 答案：xx 9．（xx湖南，13分）某企業(yè)接到生產3 000臺某產品的A，B，C三種部件的訂單，每臺產品需要這三種部件的數量分別為2,2,1(單位：件)．已知每個工

12、人每天可生產A部件6件，或B部件3件，或C部件2件．該企業(yè)計劃安排200名工人分成三組分別生產這三種部件，生產B部件的人數與生產A部件的人數成正比，比例系數為k(k為正整數)． (1)設生產A部件的人數為x，分別寫出完成A，B，C三種部件生產需要的時間； (2)假設這三種部件的生產同時開工，試確定正整數k的值，使完成訂單任務的時間最短，并給出時間最短時具體的人數分組方案． 解：(1)設完成A，B，C三種部件的生產任務需要的時間(單位：天)分別為T1(x)，T2(x)，T3(x)，由題設有 T1(x)＝＝，T2(x)＝，T3(x)＝， 其中x，kx,200－(1＋k)x均為1到200之

13、間的正整數． (2)完成訂單任務的時間為f(x)＝max{T1(x)，T2(x)，T3(x)}，其定義域為{x|0＜x＜，x∈N*}，易知，T1(x)，T2(x)為減函數，T3(x)為增函數．注意到T2(x)＝T1(x)，于是 ①當k＝2時，T1(x)＝T2(x)，此時 f(x)＝max{T1(x)，T3(x)}＝max{，}． 由函數T1(x)，T3(x)的單調性知，當＝時f(x)取得最小值，解得x＝. 由于44＜＜45，而f(44)＝T1(44)＝， f(45)＝T3(45)＝，f(44)＜f(45)． 故當x＝44時完成訂單任務的時間最短，且最短時間為f(44)＝. ②當

14、k＞2時，T1(x)＞T2(x)，由于k為正整數，故k≥3，此時≥＝. 記T(x)＝，φ(x)＝max{T1(x)，T(x)}，易知T(x)是增函數，則 f(x)＝max{T1(x)，T3(x)}≥max{T1(x)， T(x)}＝φ(x)＝max{，}． 由函數T1(x)，T(x)的單調性知，當＝時φ(x)取最小值，解得x＝. 由于36＜＜37，而φ(36)＝T1(36)＝＞， φ(37)＝T(37)＝＞.此時完成訂單任務的最短時間大于. (3)當k＜2時，T1(x)＜T2(x)，由于k為正整數，故k＝1，此時f(x)＝max{T2(x)，T3(x)}＝max{，}． 由函數T2(x)，T3(x)的單調性知，當＝時f(x)取最小值，解得x＝，類似(1)的討論，此時完成訂單任務的最短時間為，大于. 綜上所述，當k＝2時，完成訂單任務的時間最短，此時，生產A，B，C三種部件的人數分別為44,88,68.