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1、2022人教A版數(shù)學(xué)必修二 解析幾何 直線方程的一般形式教案
一、教學(xué)目標(biāo)
(一)知識(shí)教學(xué)點(diǎn)
掌握直線方程的一般形式，能用定比分點(diǎn)公式設(shè)點(diǎn)后求定比．
(二)能力訓(xùn)練點(diǎn)
通過研究直線的一般方程與直線之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系，進(jìn)一步強(qiáng)化學(xué)生的對(duì)應(yīng)概念；通過對(duì)幾個(gè)典型例題的研究，培養(yǎng)學(xué)生靈活運(yùn)用知識(shí)、簡(jiǎn)化運(yùn)算的能力．
(三)學(xué)科滲透點(diǎn)
通過對(duì)直線方程的幾種形式的特點(diǎn)的分析，培養(yǎng)學(xué)生看問題一分為二的辯證唯物主義觀點(diǎn)．
二、教材分析
1．重點(diǎn)：直線的點(diǎn)斜式、斜截式、兩點(diǎn)式和截距式表示直線有一定的局限性，只有直線的一般式能表示所有的直線，教學(xué)中要講清直線與二元一次方程的對(duì)應(yīng)關(guān)系．
2、
2．難點(diǎn)：與重點(diǎn)相同．
3．疑點(diǎn)：直線與二元一次方程是一對(duì)多的關(guān)系．同條直線對(duì)應(yīng)的多個(gè)二元一次方程是同解方程．
三、活動(dòng)設(shè)計(jì)
分析、啟發(fā)、講練結(jié)合．
四、教學(xué)過程
(一)引入新課
點(diǎn)斜式、斜截式不能表示與x軸垂直的直線；兩點(diǎn)式不能表示與坐標(biāo)軸平行的直線；截距式既不能表示與坐標(biāo)軸平行的直線，又不能表示過原點(diǎn)的直線．與x軸垂直的直線可表示成x=x0，與x軸平行的直線可表示成y=y0。它們都是二元一次方程．
我們問：直線的方程都可以寫成二元一次方程嗎？反過來，二元一次方程都表示直線嗎？
(二)直線方程的一般形式
我們知道，在直角坐標(biāo)系中，每一條直線都有傾
3、斜角α．當(dāng)α≠90°時(shí)，直線有斜率，方程可寫成下面的形式：
y=kx+b
當(dāng)α=90°時(shí)，它的方程可以寫成x=x0的形式．
由于是在坐標(biāo)平面上討論問題，上面兩種情形得到的方程均可以看成是二元一次方程．這樣，對(duì)于每一條直線都可以求得它的一個(gè)二元一次方程，就是說，直線的方程都可以寫成關(guān)于x、y的一次方程．
反過來，對(duì)于x、y的一次方程的一般形式
Ax+By+C=0． (1)
其中A、B不同時(shí)為零．
(1)當(dāng)B≠0時(shí)，方程(1)可化為
這里，我們借用了前一課y=kx+b表示直線的結(jié)論，不弄清這一點(diǎn)，
4、會(huì)感到上面的論證不知所云．
(2)當(dāng)B=0時(shí)，由于A、B不同時(shí)為零，必有A≠0，方程(1)可化為
它表示一條與y軸平行的直線．
這樣，我們又有：關(guān)于x和y的一次方程都表示一條直線．我們把方程寫為
Ax+By+C=0
這個(gè)方程(其中A、B不全為零)叫做直線方程的一般式．
引導(dǎo)學(xué)生思考：直線與二元一次方程的對(duì)應(yīng)是什么樣的對(duì)應(yīng)？
直線與二元一次方程是一對(duì)多的，同一條直線對(duì)應(yīng)的多個(gè)二元一次方程是同解方程．
(三)例題
解：直線的點(diǎn)斜式是
化成一般式得
4x+3y-12=0．
把常數(shù)次移到等號(hào)右邊，再把方程兩邊都除以12，就得到截距式
講解這個(gè)例題時(shí)，要順便
5、解決好下面幾個(gè)問題：(1)直線的點(diǎn)斜式、兩點(diǎn)式方程由于給出的點(diǎn)可以是直線上的任意點(diǎn)，因此是不唯一的，一般不作為最后結(jié)果保留，須進(jìn)一步化簡(jiǎn)；(2)直線方程的一般式也是不唯一的，因?yàn)榉匠痰膬蛇呁艘砸粋€(gè)非零常數(shù)后得到的方程與原方程同解，一般方程可作為最終結(jié)果保留，但須化為各系數(shù)既無公約數(shù)也不是分?jǐn)?shù)；(3)直線方程的斜截式與截距式如果存在的話是唯一的，如無特別要求，可作為最終結(jié)果保留．
例2 把直線l的方程x-2y+6=0化成斜截式，求出直線l的斜率和在x軸與y軸上的截距，并畫圖．
解：將原方程移項(xiàng)，得2y=x+6，兩邊除以2得斜截式：
x=-6
根據(jù)直線過點(diǎn)A(-6，0)、B
6、(0，3)，在平面內(nèi)作出這兩點(diǎn)連直線就是所要作的圖形(圖1-28)．
本例題由學(xué)生完成，老師講清下面的問題：二元一次方程的圖形是直線，一條直線可由其方向和它上面的一點(diǎn)確定，也可由直線上的兩點(diǎn)確定，利用前一點(diǎn)作圖比較麻煩，通常我們是找出直線在兩軸上的截距，然后在兩軸上找出相應(yīng)的點(diǎn)連線．
例3 證明：三點(diǎn)A(1，3)、B(5，7)、C(10，12)在同一條直線上．
證法一 直線AB的方程是：
化簡(jiǎn)得 y=x+2．
將點(diǎn)C的坐標(biāo)代入上面的方程，等式成立．
∴A、B、C三點(diǎn)共線．
∴A、B、C三點(diǎn)共線．
∵|AB|+|BC|=|AC|，
∴A、C、C三點(diǎn)共線．
7、
講解本例題可開拓學(xué)生思路，培養(yǎng)學(xué)生靈活運(yùn)用知識(shí)解決問題的能力．
例4 直線x+2y-10=0與過A(1，3)、 B(5，2)的直線相交于C，
此題按常規(guī)解題思路可先用兩點(diǎn)式求出AB的方程，然后解方程組得到點(diǎn)C的坐標(biāo)，再求點(diǎn)C分AB所成的定比，計(jì)算量大了一些．如果先用定比分點(diǎn)公式設(shè)出點(diǎn)C的坐標(biāo)(即滿足點(diǎn)C在直線AB上)，然后代入已知的直線方程求λ，則計(jì)算量要小得多．
代入x+2y-10=0有：
解之得 λ=-3．
(四)課后小結(jié)
(1)歸納直線方程的五種形式及其特點(diǎn)．
(2)例4一般化：求過兩點(diǎn)的直線與已知直線(或由線)的交點(diǎn)分以這兩點(diǎn)為端點(diǎn)的有向線段所
8、成定比時(shí)，可用定比分點(diǎn)公式設(shè)出交點(diǎn)的坐標(biāo)，代入已知直線(或曲線)求得．
五、布置作業(yè)
1．(1．6練習(xí)第1題)由下列條件，寫出直線的方程，并化成一般式：
(2)經(jīng)過點(diǎn)B(4，2)，平行于x軸；
(5)經(jīng)過兩點(diǎn)P1(3，-2)、P2(5，-4)；
(6)x軸上的截距是-7，傾斜角是45°．
解：(1)x+2y-4=0； (2)y-2=0； (3)2x+1=0；
(4)2x-y-3=0； (5)x+y-1=0； (6)x-y+7=0．
3．(習(xí)題二第8題)一條直線和y軸相交于點(diǎn)P(0，2)，它的傾斜角
4．(習(xí)題二第十三題)求過點(diǎn)P(2，3)，并且在兩軸上的截距相等的直線方程．
5．(習(xí)題二第16題)設(shè)點(diǎn)P(x0，y0)在直線As+By+C=0上，求證：這條直線的方程可以寫成A(x-x0)+B(y-y0)=0．
證明：將點(diǎn)P(x0，y0)的坐標(biāo)代入有C=-Ax0-By0，將C代入Ax+By+C=0即有A(x-x0)+B(y-y0)=0．
6．過A(x1，y1)、B(x2，y2)的直線交直線l：Ax+By+C=0于C，
六、板書設(shè)計(jì)
2022人教A版數(shù)學(xué)必修二 解析幾何 直線方程的一般形式教案
