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1、2022-2023學(xué)年高中數(shù)學(xué) 考點(diǎn)02 棱錐與棱臺(tái)庖丁解題 新人教A版必修2
1．棱錐的主要結(jié)構(gòu)特征：
(1)有一個(gè)面是多邊形；
(2)其余各面都是有一個(gè)公共頂點(diǎn)的三角形；棱錐中有公共頂點(diǎn)的各三角形叫做棱錐的側(cè)面；各側(cè)面的公共頂點(diǎn)叫做棱錐的頂點(diǎn)；相鄰兩側(cè)面的公共邊叫做棱錐的側(cè)棱；多邊形叫做棱錐的底面；頂點(diǎn)到底面的距離叫做棱錐的高．
2．棱錐按底面多邊形的邊數(shù)分為三棱錐、四棱錐等．如果棱錐的底面是正多邊形，且它的頂點(diǎn)在過(guò)底面中心且與底面垂直的直線(xiàn)上，則這個(gè)棱錐叫做正棱錐．正棱錐各側(cè)面都是全等的等腰三角形；等腰三角形底邊上的高叫做棱錐的斜高．
3．棱錐被平行于底面的平面所截，截面和
2、底面間的部分叫做棱臺(tái)．原棱錐的底面與截面分別叫做棱臺(tái)的下底面、上底面；其他各面叫做棱臺(tái)的側(cè)面；相鄰兩側(cè)面的公共邊叫做棱臺(tái)的側(cè)棱；兩底面間的距離叫做棱臺(tái)的高．
4．由正棱錐截得的棱臺(tái)叫做正棱臺(tái)．正棱臺(tái)各側(cè)面都是全等的等腰梯形，這些等腰梯形的高叫做棱臺(tái)的斜高．
【例】給出兩塊正三角形紙片(如圖所示)，要求將其中一塊剪拼成一個(gè)底面為正三角形的三棱錐模型，另一塊剪拼成一個(gè)底面是正三角形的三棱柱模型，請(qǐng)?jiān)O(shè)計(jì)一種剪拼方案，分別用虛線(xiàn)標(biāo)示在圖中，并作簡(jiǎn)要說(shuō)明．
【解析】如圖①所示，沿正三角形三邊中點(diǎn)連線(xiàn)折起，可拼得一個(gè)底面為正三角形的三棱錐．
如圖②所示，正三角形三個(gè)角上剪出三個(gè)相同的四邊
3、形，其較長(zhǎng)的一組鄰邊邊長(zhǎng)為三角形邊長(zhǎng)的4(1)，有一組對(duì)角為直角，余下部分按虛線(xiàn)折成，可成為一個(gè)缺上底的底面為正三角形的三棱柱，而剪出的三個(gè)相同的四邊形恰好拼成這個(gè)底面為正三角形的棱柱的上底．
1．能保證棱錐是正棱錐的一個(gè)條件是( )
A．底面為正多邊形 B．各側(cè)棱都相等
C．各側(cè)面與底面都是全等的正三角形 D．各側(cè)面都是等腰三角形
【答案】C
【易錯(cuò)易混】對(duì)于棱錐要注意有一個(gè)面是多邊形，其余各面都是三角形的幾何體不一定是棱錐，必須強(qiáng)調(diào)其余各面是共頂點(diǎn)的三角形．
2．下列說(shuō)法正確的是( )
A．各個(gè)面都是三角形的多面體一定是棱錐
B．四面體一定是三棱錐
C
4、．棱錐的側(cè)面是全等的等腰三角形，該棱錐一定是正棱錐
D．底面多邊形既有外接圓又有內(nèi)切圓，且側(cè)棱相等的棱錐一定是正棱錐
【答案】B
3．下列幾種說(shuō)法中正確的有（ ）
①用一個(gè)平面去截棱錐，棱錐底面和截面之間的部分是棱臺(tái)．
②棱臺(tái)的側(cè)面一定不會(huì)是平行四邊形．
③有兩個(gè)面互相平行，其余四個(gè)面都是等腰梯形的六面體是棱臺(tái)．
A．0個(gè) B．1個(gè)
C．2個(gè) D．3個(gè)
【答案】A
【解析】必須用一個(gè)平行于底面的平面去截棱錐，棱錐底面和截面之間的部分才是棱臺(tái)，故①不正確;棱臺(tái)的側(cè)面一定是梯形，故②正確;有兩個(gè)面互相平行，其余四個(gè)面都是等腰梯形的六面體不一定是棱臺(tái)，因?yàn)楦鳁l側(cè)棱
5、不一定相交于一點(diǎn)，故③不正確．
【方法技巧】關(guān)于棱錐、棱臺(tái)結(jié)構(gòu)特征題目的判斷方法
（1）舉反例法
結(jié)合棱錐、棱臺(tái)的定義舉反例直接判斷關(guān)于棱錐、棱臺(tái)結(jié)構(gòu)特征的某些說(shuō)法不正確．
（2）直接法
棱錐
棱臺(tái)
定底面
只有一個(gè)面是多邊形，此面即為底面
兩個(gè)互相平行的面，即為底面
看側(cè)棱
相交于一點(diǎn)
延長(zhǎng)后相交于一點(diǎn)
4．如果一個(gè)棱錐的各個(gè)側(cè)面都是等邊三角形，那么這個(gè)棱錐不可能是( )
A．正三棱錐 B．正四棱錐
C．正五棱錐 D．正六棱錐
【答案】D
【解析】如圖所示，在正六邊形ABCDEF中，OA＝OB＝AB，而在正六棱錐S－ABCDEF中，SA＞OA＝A
6、B，即側(cè)棱長(zhǎng)大于底面邊長(zhǎng)，側(cè)面不可能是等邊三角形．
5．棱臺(tái)不具有的性質(zhì)是（ ）
A．兩底面相似 B．側(cè)面都是梯形
C．側(cè)棱長(zhǎng)都相等 D．側(cè)棱延長(zhǎng)后交于一點(diǎn)
【答案】C
【解析】棱臺(tái)是由平行于棱錐的底面的平面截棱錐得到的，棱錐的側(cè)棱長(zhǎng)不一定相等，所以棱臺(tái)的側(cè)棱長(zhǎng)也不一定相等．A，B，D選項(xiàng)都正確．
【方法技巧】延長(zhǎng)各側(cè)棱看能否還原成棱錐．如圖所示的兩個(gè)幾何體就不是棱臺(tái)．
6．若正三棱錐的底面邊長(zhǎng)為3，側(cè)棱長(zhǎng)為，則該棱錐的高等于( )
A．3(3) B．
C．1 D．2(3)
【答案】B
1．如圖所示，不是正四面體(各棱長(zhǎng)都相等的三棱錐
7、)的展開(kāi)圖的是( )
A．①③ B．②④
C．③④ D．①②
【答案】C
2．有一個(gè)正三棱錐和一個(gè)正四棱錐，它們所有的棱長(zhǎng)都相等，把這個(gè)正三棱錐的一個(gè)側(cè)面重合在正四棱錐的一個(gè)側(cè)面上，則所得到的這個(gè)組合體是( )
A．底面為平行四邊形的四棱柱 B．五棱錐
C．無(wú)平行平面的六面體 D．斜三棱柱
【答案】D
【解析】如圖，正三棱錐A—BEF和正四棱錐B—CDEF的一個(gè)側(cè)面重合后，
而面BCD和面AEF平行，其余各面都是四邊形，故該組合體是斜三棱柱．
3．正五棱臺(tái)的上、下底面面積分別為1 cm2、49 cm2，平行于底面的截面面積為25 cm2，那么截面到上、下底面的距離的比值為_(kāi)_______．
【答案】2
【解析】“還臺(tái)于錐”，利用相似比求．
4．如圖，在三棱錐V－ABC中，VA＝VB＝VC＝4，∠AVB＝∠AVC＝∠BVC＝30°，過(guò)點(diǎn)A作截面△AEF，求△AEF周長(zhǎng)的最小值．
【答案】4．
東方之冠中國(guó)館
中國(guó)館的幾何結(jié)構(gòu)是倒立的棱臺(tái)
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