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1、2022屆高考數(shù)學總復習 第九單元 解析幾何 第63講 直線與圓的綜合應用檢測
1．(2016·福建四地六校聯(lián)考)已知矩形ABCD的對角線交于點P(2,0)，邊AB所在的直線的方程為x＋y－2＝0，點(－1,1)在邊AD上所在的直線上．
(1)求矩形ABCD的外接圓的方程；
(2)已知直線l：(1－2k)x＋(1＋k)y－5＋4k＝0(k∈R)，求證：直線l與矩形ABCD的外接圓相交，并求最短弦長．
(1)依題意得AB⊥AD，所以kAD＝1.
所以AD的方程為y－1＝x＋1，即x－y＋2＝0.
由得即A(0,2)．
由已知得矩形ABCD的外接圓是以P(2,0)為圓心，|AP|＝
2、2為半徑，
其方程為(x－2)2＋y2＝8.
(2)l：(x＋y－5)＋k(y－2x＋4)＝0，
所以
即直線l過定點M(3,2)．
因為(3－2)2＋22＝5<8，所以點M(3,2)在圓內(nèi)，
所以直線l與圓相交．
而圓心P與定點M的距離d＝＝，
所以最短弦長＝2＝2.
2．在平面直角坐標系xOy中，已知圓P在x軸上截得的線段長為2，在y軸上截得的線段長為2.
(1)求圓心P的軌跡方程；
(2)若P點到直線y＝x的距離為，求圓P的方程．
(1)設P(x，y)，圓P的半徑長為r，
由題設知y2＋2＝r2，x2＋3＝r2，
從而y2＋2＝x2＋3，
故P點的軌跡方程
3、為y2－x2＝1.
(2)設P(x0，y0)，由已知得＝，
又點P在雙曲線y2－x2＝1上，
從而得
由得此時，圓P的半徑r＝.
由得此時，圓P的半徑r＝.
故圓P的方程為x2＋(y＋1)2＝3或x2＋(y－1)2＝3.
3．(2017·新課標卷Ⅱ)設O為坐標原點，動點M在橢圓C：＋y2＝1上，過M作x軸的垂線，垂足為N，點P滿足＝ .
(1)求點P的軌跡方程；
(2)設點Q在直線x＝－3上，且·＝1，證明：過點P且垂直于OQ的直線l過C的左焦點F.
(1)設P(x，y)，M(x0，y0)，則N(x0,0)，＝(x－x0，y)，＝(0，y0)．
由＝ 得x0＝x，y0
4、＝y(tǒng).
因為M(x0，y0)在C上，所以＋＝1.
因此點P的軌跡方程為x2＋y2＝2.
(2)證明：由題意知F(－1,0)．
設Q(－3，t)，P(m，n)，
則＝(－3，t)，＝(－1－m，－n)，·＝3＋3m－tn，＝(m，n)，＝(－3－m，t－n)．
由·＝1得－3m－m2＋tn－n2＝1.
又由(1)知m2＋n2＝2，故3＋3m－tn＝0.
所以·＝0，即⊥.
又過點P存在唯一直線垂直于OQ，
所以過點P且垂直于OQ的直線l過C的左焦點F.
4．(2016·江蘇卷)如圖，在平面直角坐標系xOy中，已知以M為圓心的圓M：x2＋y2－12x－14y＋60＝0及其上一
5、點A(2,4)．
(1)設圓N與x軸相切，與圓M外切，且圓心N在直線x＝6上，求圓N的標準方程；
(2)設平行于OA的直線l與圓M相交于B，C兩點，且BC＝OA，求直線l的方程；
(3)設點T(t,0)滿足：存在圓M上的兩點P和Q，使得＋＝，求實數(shù)t的取值范圍．
圓M的標準方程為(x－6)2＋(y－7)2＝25，
所以圓心M(6,7)，半徑為5.
(1)由圓心N在直線x＝6上，可設N(6，y0)．
因為圓N與x軸相切，與圓M外切，
所以0＜y0＜7，圓N的半徑為y0，
從而7－y0＝5＋y0，解得y0＝1.
因此，圓N的標準方程為(x－6)2＋(y－1)2＝1.
6、
(2)因為直線l∥OA，
所以直線l的斜率為＝2.
設直線l的方程為y＝2x＋m，
即2x－y＋m＝0，
則圓心M到直線l的距離
d＝＝.
因為BC＝OA＝＝2，
而MC2＝d2＋2，
所以25＝＋5，解得m＝5或m＝－15.
故直線l的方程為2x－y＋5＝0或2x－y－15＝0.
(3)設P(x1，y1)，Q(x2，y2)．
因為A(2,4)，T(t,0)，＋＝，
所以①
因為點Q在圓M上，所以(x2－6)2＋(y2－7)2＝25.②
將①代入②，得(x1－t－4)2＋(y1－3)2＝25.
于是點P(x1，y1)既在圓M上，又在圓[x－(t＋4)]2＋(y－3)2＝25上，
從而圓(x－6)2＋(y－7)2＝25與圓[x－(t＋4)]2＋(y－3)2＝25有公共點，
所以5－5≤≤5＋5，
解得2－2≤t≤2＋2.
因此，實數(shù)t的取值范圍是[2－2，2＋2]．
2022屆高考數(shù)學總復習 第九單元 解析幾何 第63講 直線與圓的綜合應用檢測
