（全國(guó)通用版）2019高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí) 專題七 系列4選講 第2講 不等式選講學(xué)案 理

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1、 第2講　不等式選講 [考情考向分析]　本部分主要考查絕對(duì)值不等式的解法．求含絕對(duì)值的函數(shù)的值域及求含參數(shù)的絕對(duì)值不等式中參數(shù)的取值范圍、不等式的證明等，結(jié)合集合的運(yùn)算、函數(shù)的圖象和性質(zhì)、恒成立問題及基本不等式、絕對(duì)值不等式的應(yīng)用成為命題的熱點(diǎn)，主要考查基本運(yùn)算能力與推理論證能力及數(shù)形結(jié)合思想、分類討論思想． 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 熱點(diǎn)一　含絕對(duì)值不等式的解法 含有絕對(duì)值的不等式的解法 (1)|f(x)|>a(a>0)?f(x)>a或f(x)<－a. (2)|f(x)|0)?－a

2、x－b|≥c的不等式，可利用絕對(duì)值不等式的幾何意義求解． 例1　(2018·湖南省長(zhǎng)郡中學(xué)模擬)已知函數(shù)f(x)＝|x－a|，其中a>1. (1)當(dāng)a＝2時(shí)，求不等式f(x)≥4－|x－4|的解集； (2)已知關(guān)于x的不等式|f(2x＋a)－2f(x)|≤2的解集為{x|1≤x≤2}，求a的值． 解　(1)當(dāng)a＝2時(shí)，f(x)＋|x－4|＝|x－2|＋|x－4|＝ 當(dāng)x≤2時(shí)，由f(x)≥4－|x－4|， 得－2x＋6≥4，解得x≤1； 當(dāng)2

3、為{x|x≤1或x≥5}． (2)令h(x)＝f(2x＋a)－2f(x)， 則h(x)＝ 由|h(x)|≤2， 當(dāng)x≤0或x≥a時(shí)，顯然不成立． 當(dāng)0

4、·河北省衡水金卷模擬)已知函數(shù)f(x)＝|2x＋1|＋|x－1|. (1)解不等式f(x)≤3； (2)若函數(shù)g(x)＝＋，若對(duì)于任意的x1∈R，都存在x2∈R，使得f(x1)＝g(x2)成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍． 解　(1)依題意，得f(x)＝ 由f(x)≤3，得或或 解得－1≤x≤1. 即不等式f(x)≤3的解集為. (2)由(1)知，f(x)min＝f?＝， g(x)＝＋ ≥＝|a－1|， 則|a－1|≤， 解得－≤a≤， 即實(shí)數(shù)a的取值范圍為. 熱點(diǎn)二　絕對(duì)值不等式恒成立(存在)問題 定理1：如果a，b是實(shí)數(shù)，則|a＋b|≤|a|＋|b|，當(dāng)且僅當(dāng)ab≥0時(shí)

5、，等號(hào)成立． 定理2：如果a，b，c是實(shí)數(shù)，那么|a－c|≤|a－b|＋|b－c|，當(dāng)且僅當(dāng)(a－b)(b－c)≥0時(shí)，等號(hào)成立． 例2　設(shè)函數(shù)f(x)＝|2x＋1|＋|x－a|(a>0)． (1)當(dāng)a＝2時(shí)，求不等式f(x)>8的解集； (2)若?x∈R，使得f(x)≤成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍． 解　(1)當(dāng)a＝2時(shí)，由f(x)>8， 得|2x＋1|＋|x－2|>8， 即或或 得x>3或x∈?或x<－， 所以x>3或x<－， 所以原不等式的解集為∪(3，＋∞)． (2)因?yàn)?x∈R，使得f(x)≤成立， 所以f(x)min≤. 因?yàn)閒(x)＝ 所以f(x)在上單調(diào)

6、遞減， 在上單調(diào)遞增， 所以f(x)min＝f?＝＋a， 所以＋a≤，所以a≤1. 又a>0，所以實(shí)數(shù)a的取值范圍是. 思維升華　絕對(duì)值不等式的成立問題的求解策略 (1)分離參數(shù)：根據(jù)不等式將參數(shù)分離化為a≥f(x)或a≤f(x)的形式． (2)轉(zhuǎn)化最值：f(x)>a恒成立?f(x)min>a；f(x)a有解?f(x)max>a；f(x)a無解?f(x)max≤a；f(x)

7、·東北三省三校模擬)已知函數(shù)f(x)＝＋. (1)若b＝1，解不等式f(x)>4； (2)若不等式f(a)>對(duì)任意的實(shí)數(shù)a恒成立，求b的取值范圍． 解　(1)當(dāng)b＝1時(shí)，f(x)＝|2x＋1|＋|2x－1|>4， 即?x>1或 ?x<－1或?x∈?， 所以不等式的解集為(－∞，－1)∪(1，＋∞)． (2)f(a)＝|2a＋b|＋|2a－b|＝|2a＋b|＋|b－2a|≥|(2a＋b)＋(b－2a)|＝|2b|， 當(dāng)且僅當(dāng)(2a＋b)(b－2a)≥0時(shí)，f(a)min＝|2b|， 所以|2b|>|b＋1|，所以(2b)2>(b＋1)2， 即(3b＋1)(b－1)>0， 所

8、以b的取值范圍為∪(1，＋∞)． 熱點(diǎn)三　不等式的證明 1．含有絕對(duì)值的不等式的性質(zhì) ||a|－|b||≤|a±b|≤|a|＋|b|. 2．算術(shù)—幾何平均不等式 定理1：設(shè)a，b∈R，則a2＋b2≥2ab，當(dāng)且僅當(dāng)a＝b時(shí)，等號(hào)成立． 定理2：如果a，b為正數(shù)，那么≥，當(dāng)且僅當(dāng)a＝b時(shí)，等號(hào)成立． 定理3：如果a，b，c為正數(shù)，那么≥，當(dāng)且僅當(dāng)a＝b＝c時(shí)，等號(hào)成立． 定理4：(一般形式的算術(shù)—幾何平均不等式)如果a1，a2，…，an為n個(gè)正數(shù)，則≥，當(dāng)且僅當(dāng)a1＝a2＝…＝an時(shí)，等號(hào)成立． 例3　(2018·合肥模擬)已知函數(shù)f(x)＝|x－1|＋. (1)解不等式f(

9、x)≤x＋1； (2)設(shè)函數(shù)f(x)的最小值為c，實(shí)數(shù)a，b滿足a>0，b>0，a＋b＝c，求證：＋≥1. (1)解　f(x)≤x＋1，即|x－1|＋≤x＋1. ①當(dāng)x<1時(shí)，不等式可化為4－2x≤x＋1，解得x≥1. 又∵x<1，∴x∈?； ②當(dāng)1≤x≤3時(shí)，不等式可化為2≤x＋1，解得x≥1. 又∵1≤x≤3，∴1≤x≤3； ③當(dāng)x>3時(shí)，不等式可化為2x－4≤x＋1，解得x≤5. 又∵x>3，∴3

10、3)≤0，即1≤x≤3時(shí)，等號(hào)成立， ∴c＝2，即a＋b＝2. 令a＋1＝m，b＋1＝n，則m>1，n>1，a＝m－1，b＝n－1，m＋n＝4， ＋＝＋＝m＋n＋＋－4＝≥＝1， 當(dāng)且僅當(dāng)m＝n＝2時(shí)，等號(hào)成立，∴原不等式得證． 思維升華　(1)作差法是證明不等式的常用方法．作差法證明不等式的一般步驟：①作差；②分解因式；③與0比較；④結(jié)論．關(guān)鍵是代數(shù)式的變形能力． (2)在不等式的證明中，適當(dāng)“放”“縮”是常用的推證技巧． 跟蹤演練3　(2018·石家莊模擬)已知函數(shù)f(x)＝|3x＋1|＋|3x－1|，M為不等式f(x)<6的解集． (1)求集合M； (2)若a，b∈M，

11、求證：|ab＋1|>|a＋b|. (1)解　f(x)＝|3x＋1|＋|3x－1|<6. 當(dāng)x<－時(shí)，f(x)＝－3x－1－3x＋1＝－6x， 由－6x<6，解得x>－1，∴－1時(shí)，f(x)＝3x＋1＋3x－1＝6x， 由6x<6，解得x<1，∴

12、1， ∴a2－1<0，b2－1<0， ∴(a2－1)(b2－1)>0， ∴>|a＋b|. 真題體驗(yàn) 1．(2017·全國(guó)Ⅰ)已知函數(shù)f(x)＝－x2＋ax＋4，g(x)＝|x＋1|＋|x－1|. (1)當(dāng)a＝1時(shí)，求不等式f(x)≥g(x)的解集； (2)若不等式f(x)≥g(x)的解集包含[－1,1]，求實(shí)數(shù)a的取值范圍． 解　(1)當(dāng)a＝1時(shí)，不等式f(x)≥g(x)等價(jià)于 x2－x＋|x＋1|＋|x－1|－4≤0.① 當(dāng)x<－1時(shí)，①式化為x2－3x－4≤0，無解； 當(dāng)－1≤x≤1時(shí)，①式化為x2－x－2≤0， 從而－1≤x≤1； 當(dāng)x>1時(shí)，①式化為x2＋

13、x－4≤0， 從而10，b>0，a3＋b3＝2，證明： (1)(a＋b)(a5＋b5)≥4； (2)a＋b≤2. 證明　(1)(a＋b)(a5＋b5)＝a6＋ab5＋a5b＋b6 ＝(a3＋b3)2－2a3b3＋

14、ab(a4＋b4) ＝4＋ab(a4＋b4－2a2b2) ＝4＋ab(a2－b2)2≥4. (2)因?yàn)?a＋b)3＝a3＋3a2b＋3ab2＋b3 ＝2＋3ab(a＋b) ≤2＋(a＋b) ＝2＋， 所以(a＋b)3≤8，(當(dāng)且僅當(dāng)a＝b時(shí)，等號(hào)成立) 因此a＋b≤2. 押題預(yù)測(cè) 1．已知函數(shù)f(x)＝|x－2|＋|2x＋a|，a∈R. (1)當(dāng)a＝1時(shí)，解不等式f(x)≥4； (2)若?x0，使f(x0)＋|x0－2|<3成立，求a的取值范圍． 押題依據(jù)　不等式選講問題中，聯(lián)系絕對(duì)值，關(guān)聯(lián)參數(shù)、體現(xiàn)不等式恒成立是考題的“亮點(diǎn)”所在，存在問題、恒成立問題是高考的熱點(diǎn)，

15、備受命題者青睞． 解　(1)當(dāng)a＝1時(shí)，f(x)＝|x－2|＋|2x＋1|. 由f(x)≥4，得|x－2|＋|2x＋1|≥4. 當(dāng)x≥2時(shí)，不等式等價(jià)于x－2＋2x＋1≥4， 解得x≥，所以x≥2； 當(dāng)－

16、(2x＋a)≤0時(shí)等號(hào)成立) 因?yàn)?x0，使f(x0)＋|x0－2|<3成立， 所以(f(x)＋|x－2|)min<3， 所以|a＋4|<3，解得－7

17、R＋，x＋y＝4， 所以＋＝1. 由基本不等式，得 ＋＝ ＝＋ ≥＋ ＝1， 當(dāng)且僅當(dāng)x＝y(tǒng)＝2時(shí)取等號(hào)． 要使不等式＋≥|a＋2|－|a－1|恒成立， 只需不等式|a＋2|－|a－1|≤1成立即可． 構(gòu)造函數(shù)f(a)＝|a＋2|－|a－1|， 則等價(jià)于解不等式f(a)≤1. 因?yàn)閒(a)＝ 所以解不等式f(a)≤1，得a≤0. 所以實(shí)數(shù)a的取值范圍為(－∞，0]． (2)因?yàn)閤，y∈R＋，x＋y＝4， 所以y＝4－x(0

18、 1．(2018·全國(guó)Ⅲ)設(shè)函數(shù)f(x)＝|2x＋1|＋|x－1|. (1)畫出y＝f(x)的圖象； (2)當(dāng)x∈[0，＋∞)時(shí)，f(x)≤ax＋b恒成立，求a＋b的最小值． 解　(1)f(x)＝ y＝f(x)的圖象如圖所示． (2)由(1)知，y＝f(x)的圖象與y軸交點(diǎn)的縱坐標(biāo)為2，且各部分所在直線斜率的最大值為3，故當(dāng)且僅當(dāng)a≥3且b≥2時(shí)，f(x)≤ax＋b在[0，＋∞)上恒成立，因此a＋b的最小值為5. 2．(2018·全國(guó)Ⅱ)設(shè)函數(shù)f(x)＝5－|x＋a|－|x－2|. (1)當(dāng)a＝1時(shí)，求不等式f(x)≥0的解集； (2)若f(x)≤1，求a的取值范圍．

19、 解　(1)當(dāng)a＝1時(shí)，f(x)＝ 可得f(x)≥0的解集為{x|－2≤x≤3}． (2)f(x)≤1等價(jià)于|x＋a|＋|x－2|≥4. 而|x＋a|＋|x－2|≥|a＋2|，當(dāng)且僅當(dāng)x＋a與2－x同號(hào)時(shí)等號(hào)成立． 故f(x)≤1等價(jià)于|a＋2|≥4. 由|a＋2|≥4可得a≤－6或a≥2. 所以a的取值范圍是(－∞，－6]∪[2，＋∞)． 3．(2018·江西省景德鎮(zhèn)市第一中學(xué)模擬)已知函數(shù)f(x)＝|2x－4|＋|x＋1|，x∈R. (1)解不等式f(x)≤9； (2)若方程f(x)＝－x2＋a在區(qū)間[0,2]上有解，求實(shí)數(shù)a的取值范圍． 解　(1)f(x)≤9，即|2

20、x－4|＋|x＋1|≤9， 即或或 解得2

21、|2－x|恒成立，求a的取值范圍． 解　(1)當(dāng)a＝－2時(shí)，由f(x)≤4， 得2|x－1|－|x－2|≤4， 當(dāng)x≤1時(shí)，由2(1－x)－(2－x)≤4，得－4≤x≤1； 當(dāng)1

22、(2x＋a)－(2x－4)|＝|a＋4|， 當(dāng)且僅當(dāng)(2x＋a)(2x－4)≤0時(shí)等號(hào)成立， 所以|a＋4|≥3a2， 解得a＋4≥3a2或a＋4≤－3a2， 解得－1≤a≤或a∈?. 所以a的取值范圍是. 5．(2018·上饒模擬)已知函數(shù)f(x)＝|2x＋1|. (1)求不等式f(x)≤8－|x－3|的解集； (2)若正數(shù)m，n滿足m＋3n＝mn，求證：f(m)＋f(－3n)≥24. (1)解　此不等式等價(jià)于 或或 即不等式的解集為. (2)證明　∵m>0，n>0，m＋3n＝mn， ∴m＋3n＝(m·3n)≤×， 即m＋3n≥12， 當(dāng)且僅當(dāng) 即時(shí)取等號(hào)，

23、 ∴f(m)＋f(－3n)＝|2m＋1|＋|－6n＋1| ≥|2m＋6n|， 當(dāng)且僅當(dāng)(2m＋1)(－6n＋1)≤0，即n≥時(shí)取等號(hào)， 又|2m＋6n|≥24，當(dāng)且僅當(dāng)m＝6，n＝2時(shí)，取等號(hào)， ∴f(m)＋f(－3n)≥24. B組　能力提高 6．(2018·榆林模擬)已知函數(shù)f(x)＝|3x－1|－|2x＋1|＋a. (1)求不等式f(x)>a的解集； (2)若恰好存在4個(gè)不同的整數(shù)n，使得f(n)<0，求a的取值范圍． 解　(1)由f(x)>a，得|3x－1|>|2x＋1|， 不等式兩邊同時(shí)平方，得9x2－6x＋1>4x2＋4x＋1， 即5x2>10x，解得x<0或

24、x>2. 所以不等式f(x)>a的解集為(－∞，0)∪(2，＋∞)． (2)設(shè)g(x)＝|3x－1|－|2x＋1| ＝ 作出函數(shù)g(x)的圖象，如圖所示， 因?yàn)間(0)＝g(2)＝0，g(3)2|x|； (2)若f(x)≥a2＋2b2＋3c2(a>0，b>0，c>0)對(duì)任意x∈R恒成立，求證：·c<. (1)解　由f(x)>2|x|，得x2＋|x－2|>2|

25、x|， 即或 或 解得x>2或02或x<1. 所以不等式f(x)>2|x|的解集為(－∞，1)∪(2，＋∞)． (2)證明　當(dāng)x≥2時(shí)，f(x)＝x2＋x－2≥22＋2－2＝4； 當(dāng)x<2時(shí)，f(x)＝x2－x＋2＝2＋≥， 所以f(x)的最小值為. 因?yàn)閒(x)≥a2＋2b2＋3c2對(duì)任意x∈R恒成立， 所以a2＋2b2＋3c2≤. 又a2＋2b2＋3c2＝a2＋c2＋2(b2＋c2) ≥2ac＋4bc≥4，且等號(hào)不能同時(shí)成立， 所以4<，即·c<. 8．設(shè)函數(shù)f(x)＝|x＋|－|x－|. (1)當(dāng)a＝1時(shí)，解不等式f(x)≥； (2)

26、若對(duì)任意a∈[0,1]，不等式f(x)≥b的解集不為空集，求實(shí)數(shù)b的取值范圍． 解　(1)當(dāng)a＝1時(shí)，不等式f(x)≥等價(jià)于 |x＋1|－|x|≥. ①當(dāng)x≤－1時(shí)，不等式化為－x－1＋x≥，無解； ②當(dāng)－1