高等數(shù)學(xué)公式定理(全)
《高等數(shù)學(xué)公式定理(全)》由會(huì)員分享,可在線閱讀,更多相關(guān)《高等數(shù)學(xué)公式定理(全)(31頁珍藏版)》請?jiān)谘b配圖網(wǎng)上搜索。
高等數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)公式 第 31 頁 共 31 頁 平方關(guān)系: sin^2(α)+cos^2(α)=1 tan^2(α)+1=sec^2(α) cot^2(α)+1=csc^2(α) 積的關(guān)系: sinα=tanα*cosα cosα=cotα*sinα tanα=sinα*secα cotα=cosα*cscα secα=tanα*cscα cscα=secα*cotα 倒數(shù)關(guān)系: tanαcotα=1 sinαcscα=1 cosαsecα=1 直角三角形ABC中, 角A的正弦值就等于角A的對邊比斜邊, 余弦等于角A的鄰邊比斜邊 正切等于對邊比鄰邊, 三角函數(shù)恒等變形公式 兩角和與差的三角函數(shù): cos(α+β)=cosαcosβ-sinαsinβ cos(α-β)=cosαcosβ+sinαsinβ sin(αβ)=sinαcosβcosαsinβ tan(α+β)=(tanα+tanβ)/(1-tanαtanβ) tan(α-β)=(tanα-tanβ)/(1+tanαtanβ) 三角和的三角函數(shù): sin(α+β+γ)=sinαcosβcosγ+cosαsinβcosγ+cosαcosβsinγ-sinαsinβsinγ cos(α+β+γ)=cosαcosβcosγ-cosαsinβsinγ-sinαcosβsinγ-sinαsinβcosγ tan(α+β+γ)=(tanα+tanβ+tanγ-tanαtanβtanγ)/(1-tanαtanβ-tanβtanγ-tanγtanα) 輔助角公式: Asinα+Bcosα=(A^2+B^2)^(1/2)sin(α+t),其中 sint=B/(A^2+B^2)^(1/2) cost=A/(A^2+B^2)^(1/2) tant=B/A Asinα+Bcosα=(A^2+B^2)^(1/2)cos(α-t),tant=A/B 倍角公式: sin(2α)=2sinαcosα=2/(tanα+cotα) cos(2α)=cos^2(α)-sin^2(α)=2cos^2(α)-1=1-2sin^2(α) tan(2α)=2tanα/[1-tan^2(α)] 三倍角公式: sin(3α)=3sinα-4sin^3(α) cos(3α)=4cos^3(α)-3cosα 半角公式: sin(α/2)=√((1-cosα)/2) cos(α/2)=√((1+cosα)/2) tan(α/2)=√((1-cosα)/(1+cosα))=sinα/(1+cosα)=(1-cosα)/sinα 降冪公式 sin^2(α)=(1-cos(2α))/2=versin(2α)/2 cos^2(α)=(1+cos(2α))/2=covers(2α)/2 tan^2(α)=(1-cos(2α))/(1+cos(2α)) 萬能公式: sinα=2tan(α/2)/[1+tan^2(α/2)] cosα=[1-tan^2(α/2)]/[1+tan^2(α/2)] tanα=2tan(α/2)/[1-tan^2(α/2)] 積化和差公式: sinαcosβ=(1/2)[sin(α+β)+sin(α-β)] cosαsinβ=(1/2)[sin(α+β)-sin(α-β)] cosαcosβ=(1/2)[cos(α+β)+cos(α-β)] sinαsinβ=-(1/2)[cos(α+β)-cos(α-β)] 和差化積公式: sinα+sinβ=2sin[(α+β)/2]cos[(α-β)/2] sinα-sinβ=2cos[(α+β)/2]sin[(α-β)/2] cosα+cosβ=2cos[(α+β)/2]cos[(α-β)/2] cosα-cosβ=-2sin[(α+β)/2]sin[(α-β)/2] 推導(dǎo)公式 tanα+cotα=2/sin2α tanα-cotα=-2cot2α 1+cos2α=2cos^2α 1-cos2α=2sin^2α 1+sinα=(sinα/2+cosα/2)^2 其他: sinα+sin(α+2π/n)+sin(α+2π*2/n)+sin(α+2π*3/n)+……+sin[α+2π*(n-1)/n]=0 cosα+cos(α+2π/n)+cos(α+2π*2/n)+cos(α+2π*3/n)+……+cos[α+2π*(n-1)/n]=0 以及 sin^2(α)+sin^2(α-2π/3)+sin^2(α+2π/3)=3/2 tanAtanBtan(A+B)+tanA+tanB-tan(A+B)=0 三角函數(shù)的角度換算 [編輯本段] 公式一: 設(shè)α為任意角,終邊相同的角的同一三角函數(shù)的值相等: sin(2kπ+α)=sinα cos(2kπ+α)=cosα tan(2kπ+α)=tanα cot(2kπ+α)=cotα 公式二: 設(shè)α為任意角,π+α的三角函數(shù)值與α的三角函數(shù)值之間的關(guān)系: sin(π+α)=-sinα cos(π+α)=-cosα tan(π+α)=tanα cot(π+α)=cotα 公式三: 任意角α與 -α的三角函數(shù)值之間的關(guān)系: sin(-α)=-sinα cos(-α)=cosα tan(-α)=-tanα cot(-α)=-cotα 公式四: 利用公式二和公式三可以得到π-α與α的三角函數(shù)值之間的關(guān)系: sin(π-α)=sinα cos(π-α)=-cosα tan(π-α)=-tanα cot(π-α)=-cotα 公式五: 利用公式一和公式三可以得到2π-α與α的三角函數(shù)值之間的關(guān)系: sin(2π-α)=-sinα cos(2π-α)=cosα tan(2π-α)=-tanα cot(2π-α)=-cotα 公式六: π/2α及3π/2α與α的三角函數(shù)值之間的關(guān)系: sin(π/2+α)=cosα cos(π/2+α)=-sinα tan(π/2+α)=-cotα cot(π/2+α)=-tanα sin(π/2-α)=cosα cos(π/2-α)=sinα tan(π/2-α)=cotα cot(π/2-α)=tanα sin(3π/2+α)=-cosα cos(3π/2+α)=sinα tan(3π/2+α)=-cotα cot(3π/2+α)=-tanα sin(3π/2-α)=-cosα cos(3π/2-α)=-sinα tan(3π/2-α)=cotα cot(3π/2-α)=tanα (以上k∈Z) 部分高等內(nèi)容 [編輯本段] 高等代數(shù)中三角函數(shù)的指數(shù)表示(由泰勒級數(shù)易得): sinx=[e^(ix)-e^(-ix)]/(2i) cosx=[e^(ix)+e^(-ix)]/2 tanx=[e^(ix)-e^(-ix)]/[ie^(ix)+ie^(-ix)] 泰勒展開有無窮級數(shù),e^z=exp(z)=1+z/1?。珃^2/2?。珃^3/3?。珃^4/4!+…+z^n/n?。? 此時(shí)三角函數(shù)定義域已推廣至整個(gè)復(fù)數(shù)集。 三角函數(shù)作為微分方程的解: 對于微分方程組 y=-y;y=y,有通解Q,可證明 Q=Asinx+Bcosx,因此也可以從此出發(fā)定義三角函數(shù)。 補(bǔ)充:由相應(yīng)的指數(shù)表示我們可以定義一種類似的函數(shù)——雙曲函數(shù),其擁有很多與三角函數(shù)的類似的性質(zhì),二者相映成趣。 特殊三角函數(shù)值 a 0` 30` 45` 60` 90` sina 0 1/2 √2/2 √3/2 1 cosa 1 √3/2 √2/2 1/2 0 tana 0 √3/3 1 √3 None cota None √3 1 √3/3 0 考研數(shù)學(xué)高數(shù)定理定義總結(jié) 第一章函數(shù)與極限 1、函數(shù)的有界性在定義域內(nèi)有f(x)≥K1則函數(shù)f(x)在定義域上有下界,K1 為下界;如果有f(x)≤K2,則有上界,K2稱為上界。函數(shù)f(x)在定義域內(nèi)有界的充分必要條件是在定義域內(nèi)既有上界又有下界。 2、數(shù) 列的極限定理(極限的唯一性)數(shù)列{xn}不能同時(shí)收斂于兩個(gè)不同的極限。 定理(收斂數(shù)列的有界性)如果數(shù)列{xn}收斂,那么數(shù)列 {xn}一定有界。 如果數(shù)列{xn}無界,那么數(shù)列{xn}一定發(fā)散;但如果數(shù)列{xn}有界,卻不能斷定數(shù)列{xn}一定收斂,例如數(shù)列 1,-1,1,-1,(-1)n+1…該數(shù)列有界但是發(fā)散,所以數(shù)列有界是數(shù)列收斂的必要條件而不是充分條件。 定理(收斂數(shù)列與其子數(shù)列的 關(guān)系)如果數(shù)列{xn}收斂于a,那么它的任一子數(shù)列也收斂于a.如果數(shù)列{xn}有兩個(gè)子數(shù)列收斂于不同的極限,那么數(shù)列{xn}是發(fā)散的,如數(shù)列 1,-1,1,-1,(-1)n+1…中子數(shù)列{x2k-1}收斂于1,{xnk}收斂于-1,{xn}卻是發(fā)散的;同時(shí)一個(gè)發(fā)散的數(shù)列的子數(shù)列也有可能 是收斂的。 3、函數(shù)的極限函數(shù)極限的定義中0<|x-x0|表示x≠x0,所以x→x0時(shí)f(x)有沒有極限與f(x)在點(diǎn)x0有沒 有定義無關(guān)。 定理(極限的局部保號性)如果lim(x→x0)時(shí)f(x)=A,而且A>0(或A<0),就存在著點(diǎn)那么x0的 某一去心鄰域,當(dāng)x在該鄰域內(nèi)時(shí)就有f(x)>0(或f(x)>0),反之也成立。 函數(shù)f(x)當(dāng)x→x0時(shí)極限存在的充分必 要條件是左極限右極限各自存在并且相等,即f(x0-0)=f(x0+0),若不相等則limf(x)不存在。 一般的說,如果 lim(x→∞)f(x)=c,則直線y=c是函數(shù)y=f(x)的圖形水平漸近線。如果lim(x→x0)f(x)=∞,則直線x=x0是函數(shù) y=f(x)圖形的鉛直漸近線。 4、極限運(yùn)算法則定理有限個(gè)無窮小之和也是無窮?。挥薪绾瘮?shù)與無窮小的乘積是無窮?。怀?shù)與無窮小的乘積是 無窮??;有限個(gè)無窮小的乘積也是無窮小;定理如果F1(x)≥F2(x),而limF1(x)=a,limF2(x)=b,那么a≥b. 5、極限存在準(zhǔn)則兩個(gè)重要極限lim(x→0)(sinx/x)=1;lim(x→∞)(1+1/x)x=1.夾逼準(zhǔn)則如果數(shù)列 {xn}、{yn}、{zn}滿足下列條件:yn≤xn≤zn且limyn=a,limzn=a,那么limxn=a,對于函數(shù)該準(zhǔn)則也成立。 單調(diào)有界數(shù)列必有極限。 6、函數(shù)的連續(xù)性設(shè)函數(shù)y=f(x)在點(diǎn)x0的某一鄰域內(nèi)有定義,如果函數(shù)f(x)當(dāng)x→x0時(shí)的極限存在,且等 于它在點(diǎn)x0處的函數(shù)值f(x0),即lim(x→x0)f(x)=f(x0),那么就稱函數(shù)f(x)在點(diǎn)x0處連續(xù)。 不連續(xù)情形:1、在 點(diǎn)x=x0沒有定義;2、雖在x=x0有定義但lim(x→x0)f(x)不存在;3、雖在x=x0有定義且lim(x→x0)f(x)存在,但 lim(x→x0)f(x)≠f(x0)時(shí)則稱函數(shù)在x0處不連續(xù)或間斷。 如果x0是函數(shù)f(x)的間斷點(diǎn),但左極限及右極限都存在,則稱 x0為函數(shù)f(x)的第一類間斷點(diǎn)(左右極限相等者稱可去間斷點(diǎn),不相等者稱為跳躍間斷點(diǎn))。非第一類間斷點(diǎn)的任何間斷點(diǎn)都稱為第二類間斷點(diǎn)(無窮間斷點(diǎn) 和震蕩間斷點(diǎn))。 定理有限個(gè)在某點(diǎn)連續(xù)的函數(shù)的和、積、商(分母不為0)是個(gè)在該點(diǎn)連續(xù)的函數(shù)。 定理如果函數(shù)f(x)在區(qū)間 Ix上單調(diào)增加或減少且連續(xù),那么它的反函數(shù)x=f(y)在對應(yīng)的區(qū)間Iy={y|y=f(x),x∈Ix}上單調(diào)增加或減少且連續(xù)。反三角函數(shù)在他們的 定義域內(nèi)都是連續(xù)的。 定理(最大值最小值定理)在閉區(qū)間上連續(xù)的函數(shù)在該區(qū)間上一定有最大值和最小值。如果函數(shù)在開區(qū)間內(nèi)連續(xù)或函數(shù)在閉區(qū) 間上有間斷點(diǎn),那么函數(shù)在該區(qū)間上就不一定有最大值和最小值。 定理(有界性定理)在閉區(qū)間上連續(xù)的函數(shù)一定在該區(qū)間上有界,即 m≤f(x)≤M.定理(零點(diǎn)定理)設(shè)函數(shù)f(x)在閉區(qū)間[a,b]上連續(xù),且f(a)與f(b)異號(即f(a)f(b)<0),那么在開區(qū) 間(a,b)內(nèi)至少有函數(shù)f(x)的一個(gè)零點(diǎn),即至少有一點(diǎn)ξ(a<ξ函數(shù)在該點(diǎn)處連續(xù);函數(shù)f(x)在點(diǎn)x0處連續(xù)≠>在該點(diǎn)可導(dǎo)。即函數(shù)在某點(diǎn)連續(xù)是函數(shù)在該點(diǎn)可導(dǎo)的必要條件而不是充分條件。 3、原函數(shù)可導(dǎo)則反函數(shù)也可導(dǎo),且反函數(shù)的導(dǎo)數(shù)是原函數(shù)導(dǎo)數(shù)的倒數(shù)。 4、函數(shù)f(x)在點(diǎn)x0處可微=>函數(shù)在該點(diǎn)處可導(dǎo);函數(shù) f(x)在點(diǎn)x0處可微的充分必要條件是函數(shù)在該點(diǎn)處可導(dǎo)。 第三章中值定理與導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用 1、定理(羅爾定理)如果函數(shù)f(x)在閉區(qū)間[a,b]上連續(xù),在開區(qū)間(a,b)內(nèi)可導(dǎo),且在區(qū)間端點(diǎn)的函數(shù)值相等,即f(a)=f(b),那么在 開區(qū)間(a,b)內(nèi)至少有一點(diǎn)ξ(a<ξ0,那么函數(shù)f(x)在[a,b]上單調(diào)增加;(2)如 果在(a,b)內(nèi)f’(x)<0,那么函數(shù)f(x)在[a,b]上單調(diào)減少。 如果函數(shù)在定義區(qū)間上連續(xù),除去有限個(gè)導(dǎo)數(shù)不存在的點(diǎn)外 導(dǎo)數(shù)存在且連續(xù),那么只要用方程f’(x)=0的根及f’(x)不存在的點(diǎn)來劃分函數(shù)f(x)的定義區(qū)間,就能保證f’(x)在各個(gè)部分區(qū)間內(nèi)保持固定符 號,因而函數(shù)f(x)在每個(gè)部分區(qū)間上單調(diào)。 6、函數(shù)的極值如果函數(shù)f(x)在區(qū)間(a,b)內(nèi)有定義,x0是(a,b)內(nèi)的一個(gè)點(diǎn),如果 存在著點(diǎn)x0的一個(gè)去心鄰域,對于這去心鄰域內(nèi)的任何點(diǎn)x,f(x)f(x0)均成立,就稱f(x0)是函數(shù)f(x)的一個(gè)極小值。 在函數(shù) 取得極值處,曲線上的切線是水平的,但曲線上有水平曲線的地方,函數(shù)不一定取得極值,即可導(dǎo)函數(shù)的極值點(diǎn)必定是它的駐點(diǎn)(導(dǎo)數(shù)為0的點(diǎn)),但函數(shù)的駐點(diǎn)卻 不一定是極值點(diǎn)。 定理(函數(shù)取得極值的必要條件)設(shè)函數(shù)f(x)在x0處可導(dǎo),且在x0處取得極值,那么函數(shù)在x0的導(dǎo)數(shù)為零,即f’ (x0)=0.定理(函數(shù)取得極值的第一種充分條件)設(shè)函數(shù)f(x)在x0一個(gè)鄰域內(nèi)可導(dǎo),且f’(x0)=0,那么:(1)如果當(dāng)x取x0左側(cè)臨近的值 時(shí),f’(x)恒為正;當(dāng)x去x0右側(cè)臨近的值時(shí),f’(x)恒為負(fù),那么函數(shù)f(x)在x0處取得極大值;(2)如果當(dāng)x取x0左側(cè)臨近的值時(shí),f’ (x)恒為負(fù);當(dāng)x去x0右側(cè)臨近的值時(shí),f’(x)恒為正,那么函數(shù)f(x)在x0處取得極小值;(3)如果當(dāng)x取x0左右兩側(cè)臨近的值時(shí),f’(x) 恒為正或恒為負(fù),那么函數(shù)f(x)在x0處沒有極值。 定理(函數(shù)取得極值的第二種充分條件)設(shè)函數(shù)f(x)在x0處具有二階導(dǎo)數(shù)且f’ (x0)=0,f’’(x0)≠0那么:(1)當(dāng)f’’(x0)<0時(shí),函數(shù)f(x)在x0處取得極大值;(2)當(dāng)f’’(x0)>0時(shí),函 數(shù)f(x)在x0處取得極小值;駐點(diǎn)有可能是極值點(diǎn),不是駐點(diǎn)也有可能是極值點(diǎn)。 7、函數(shù)的凹凸性及其判定設(shè)f(x)在區(qū)間Ix上連續(xù),如 果對任意兩點(diǎn)x1,x2恒有f[(x1+x2)/2]<[f(x1)+f(x1)]/2,那么稱f(x)在區(qū)間Ix上圖形是凹的;如果恒有 f[(x1+x2)/2]>[f(x1)+f(x1)]/2,那么稱f(x)在區(qū)間Ix上圖形是凸的。 定理設(shè)函數(shù)f(x)在閉區(qū)間 [a,b]上連續(xù),在開區(qū)間(a,b)內(nèi)具有一階和二階導(dǎo)數(shù),那么(1)若在(a,b)內(nèi)f’’(x)>0,則f(x)在閉區(qū)間[a,b]上的圖形 是凹的;(2)若在(a,b)內(nèi)f’’(x)<0,則f(x)在閉區(qū)間[a,b]上的圖形是凸的。 判斷曲線拐點(diǎn)(凹凸分界點(diǎn))的步驟 (1)求出f’’(x);(2)令f’’(x)=0,解出這方程在區(qū)間(a,b)內(nèi)的實(shí)根;(3)對于(2)中解出的每一個(gè)實(shí)根x0,檢查f’’(x)在 x0左右兩側(cè)鄰近的符號,如果f’’(x)在x0左右兩側(cè)鄰近分別保持一定的符號,那么當(dāng)兩側(cè)的符號相反時(shí),點(diǎn)(x0,f(x0))是拐點(diǎn),當(dāng)兩側(cè)的符號 相同時(shí),點(diǎn)(x0,f(x0))不是拐點(diǎn)。 在做函數(shù)圖形的時(shí)候,如果函數(shù)有間斷點(diǎn)或?qū)?shù)不存在的點(diǎn),這些點(diǎn)也要作為分點(diǎn)。 第四章不定積分 1、原函數(shù)存在定理定理如果函數(shù)f(x)在區(qū)間I上連續(xù),那么在區(qū)間I上存在可導(dǎo)函數(shù) F(x),使對任一x∈I都有F’(x)=f(x);簡單的說連續(xù)函數(shù)一定有原函數(shù)。 分部積分發(fā)如果被積函數(shù)是冪函數(shù)和正余弦或冪函數(shù)和指 數(shù)函數(shù)的乘積,就可以考慮用分部積分法,并設(shè)冪函數(shù)和指數(shù)函數(shù)為u,這樣用一次分部積分法就可以使冪函數(shù)的冪降低一次。如果被積函數(shù)是冪函數(shù)和對數(shù)函數(shù)或 冪函數(shù)和反三角函數(shù)的乘積,就可設(shè)對數(shù)和反三角函數(shù)為u. 2、對于初等函數(shù)來說,在其定義區(qū)間上,它的原函數(shù)一定存在,但原函數(shù)不一定都是 初等函數(shù)。 第五章定積分 1、定積分解決的典型問題(1)曲邊梯形的面積(2)變速直線 運(yùn)動(dòng)的路程 2、函數(shù)可積的充分條件定理設(shè)f(x)在區(qū)間[a,b]上連續(xù),則f(x)在區(qū)間[a,b]上可積,即連續(xù)=>可積。 定理設(shè)f(x)在區(qū)間[a,b]上有界,且只有有限個(gè)間斷點(diǎn),則f(x)在區(qū)間[a,b]上可積。 3、定積分的若干重要性質(zhì)性質(zhì)如果在區(qū) 間[a,b]上f(x)≥0則∫abf(x)dx≥0.推論如果在區(qū)間[a,b]上f(x)≤g(x)則∫abf(x)dx≤∫abg(x)dx.推 論|∫abf(x)dx|≤∫ab|f(x)|dx.性質(zhì)設(shè)M及m分別是函數(shù)f(x)在區(qū)間[a,b]上的最大值和最小值,則m(b- a)≤∫abf(x)dx≤M(b-a),該性質(zhì)說明由被積函數(shù)在積分區(qū)間上的最大值及最小值可以估計(jì)積分值的大致范圍。 性質(zhì)(定積分中值 定理)如果函數(shù)f(x)在區(qū)間[a,b]上連續(xù),則在積分區(qū)間[a,b]上至少存在一個(gè)點(diǎn)ξ,使下式成立:∫abf(x)dx=f(ξ)(b-a)。 4、關(guān)于廣義積分設(shè)函數(shù)f(x)在區(qū)間[a,b]上除點(diǎn)c(a- 1.請仔細(xì)閱讀文檔,確保文檔完整性,對于不預(yù)覽、不比對內(nèi)容而直接下載帶來的問題本站不予受理。
- 2.下載的文檔,不會(huì)出現(xiàn)我們的網(wǎng)址水印。
- 3、該文檔所得收入(下載+內(nèi)容+預(yù)覽)歸上傳者、原創(chuàng)作者;如果您是本文檔原作者,請點(diǎn)此認(rèn)領(lǐng)!既往收益都?xì)w您。
下載文檔到電腦,查找使用更方便
15 積分
下載 |
- 配套講稿:
如PPT文件的首頁顯示word圖標(biāo),表示該P(yáng)PT已包含配套word講稿。雙擊word圖標(biāo)可打開word文檔。
- 特殊限制:
部分文檔作品中含有的國旗、國徽等圖片,僅作為作品整體效果示例展示,禁止商用。設(shè)計(jì)者僅對作品中獨(dú)創(chuàng)性部分享有著作權(quán)。
- 關(guān) 鍵 詞:
- 高等 數(shù)學(xué)公式 定理
鏈接地址:http://m.jqnhouse.com/p-10897113.html