2020屆高三數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí) 專題三 第2講 數(shù)列求和及數(shù)列的綜合應(yīng)用教案

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1、第2講 數(shù)列求和及數(shù)列的綜合應(yīng)用 自主學(xué)習(xí)導(dǎo)引 真題感悟 1.(2020·大綱全國卷)已知等差數(shù)列{an}的前n項和為Sn,a5=5,S5=15,則數(shù)列的前100項和為 A.     B.     C.     D. 解析 利用裂項相消法求和. 設(shè)等差數(shù)列{an}的首項為a1,公差為d. ∵a5=5,S5=15, ∴, ∴∴an=a1+(n-1)d=n. ∴==-, ∴數(shù)列{}的前100項和為1-+-+…-=1-=. 答案 A 2.(2020·浙江)已知數(shù)列{an}的前n項和為Sn,且Sn=2n2+n,n∈N+,數(shù)列{bn}滿足an=4log2bn+3,n∈N+.

2、(1)求an,bn; (2)求數(shù)列{an·bn}的前n項和Tn. 解析 (1)由Sn=2n2+n,得 當(dāng)n=1時,a1=S1=3; 當(dāng)n≥2時,an=Sn-Sn-1=4n-1. 所以an=4n-1,n∈N+. 由4n-1=an=4log2bn+3,得bn=2n-1,n∈N+. (2)由(1)知anbn=(4n-1)·2n-1,n∈N+, 所以Tn=3+7×2+11×22+…+(4n-1)·2n-1, 2Tn=3×2+7×22+…+(4n-5)·2n-1+(4n-1)·2n, 所以2Tn-Tn=(4n-1)2n-[3+4(2+22+…+2n-1)]=(4n-5)2n+5.

3、故Tn=(4n-5)2n+5,n∈N+. 考題分析 數(shù)列的求和是高考的必考內(nèi)容,可單獨命題,也可與函數(shù)、不等式等綜合命題,求解的過程體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化與化歸的數(shù)學(xué)思想,解答此類題目需重點掌握幾類重要的求和方法,并加以靈活應(yīng)用. 網(wǎng)絡(luò)構(gòu)建 高頻考點突破 考點一:裂項相消法求數(shù)列的前n項和 【例1】(2020·門頭溝一模)數(shù)列{an}的前n項和Sn=n2+1. (1)求數(shù)列{an}的通項公式; (2)設(shè)bn=(n∈N+),求數(shù)列{bn}的前n項和Tn. [審題導(dǎo)引] (1)運用公式an=求an,注意n=1時通項公式an; (2)裂項法求和. [規(guī)范解答] (1)由已知,當(dāng)n=

4、1時,a1=S1=2, 當(dāng)n≥2時,an=Sn-Sn-1=2n-1, ∴數(shù)列{an}的通項公式為an= (2)由(1)知, bn= 當(dāng)n=1時,T1=b1=, 當(dāng)n≥2時,Tn=b1+b2+…+bn =+=-, ∴{bn}的前n項和Tn=-. 【規(guī)律總結(jié)】 常用的裂項技巧和方法 用裂項相消法求和是最難把握的求和問題之一,其原因是有時很難找到裂項的方向.突破這類問題的方法是根據(jù)式子的結(jié)構(gòu)特點,掌握一些常見的裂項技巧,如: (1)=; (2)=(-); (3)C=C-C; (4)n·n?。?n+1)?。璶!等. [易錯提示] 利用裂項相消法解決數(shù)列求和問題,容易

5、出現(xiàn)的錯誤有兩個方面: (1)裂項過程中易忽視常數(shù),如容易誤裂為-,漏掉前面的系數(shù); (2)裂項之后相消的過程中容易出現(xiàn)丟項或添項的問題,導(dǎo)致計算結(jié)果錯誤. 【變式訓(xùn)練】 1.(2020·大連模擬)已知函數(shù)f(x)=,數(shù)列{an}滿足a1=1,an+1=f(an)(n∈N+). (1)求數(shù)列{an}的通項公式an; (2)若數(shù)列{bn}滿足bn=anan+1·3n,Sn=b1+b2+…+bn,求Sn. 解析 (1)由已知,an+1=,∴=+1. ∴+=3,并且+=, ∴數(shù)列為以為首項,3為公比的等比數(shù)列, ∴+=·3n-1,∴an=. (2)bn==-, ∴Sn=b1+

6、b2+…+bn =-+…+-=-. 考點二:錯位相減法求數(shù)列的前n項和 【例2】(2020·濱州模擬)設(shè)等比數(shù)列{an}的前n項和為Sn,已知an+1=2Sn+2(n∈N+). (1)求數(shù)列{an}的通項公式; (2)在an與an+1之間插入n個數(shù),使這n+2個數(shù)組成公差為dn的等差數(shù)列,求數(shù)列的前n項和Tn. [審題導(dǎo)引] (1)利用遞推式消去Sn可求an; (2)利用錯位相減法求數(shù)列的前n項和. [規(guī)范解答] (1)由an+1=2Sn+2(n∈N+), 得an=2Sn-1+2(n∈N+,n≥2), 兩式相減得an+1-an=2an, 即an+1=3an(n∈N+,n≥

7、2), 又a2=2a1+2, ∵{an}是等比數(shù)列,所以a2=3a1, 則2a1+2=3a1, ∴a1=2,∴an=2·3n-1. (2)由(1)知an+1=2·3n,an=2·3n-1. ∵an+1=an+(n+1)dn,∴dn=, 令Tn=+++…+, 則Tn=+++…+① Tn=++…++② ①-②得Tn=+++…+- =+×-=-. 【規(guī)律總結(jié)】 錯位相減法的應(yīng)用技巧 (1)設(shè)數(shù)列{an}為等差數(shù)列,數(shù)列{bn}為等比數(shù)列,求數(shù)列{anbn}的前n項和可用錯位相減法. 應(yīng)用錯位相減法求和時需注意: (2)①給數(shù)列和Sn的等式兩邊所乘的常數(shù)應(yīng)不為零,否則需

8、討論; ②在轉(zhuǎn)化為等比數(shù)列的和后,求其和時需看準(zhǔn)項數(shù),不一定為n. 【變式訓(xùn)練】 2.已知等差數(shù)列{an}滿足:an+1>an(n∈N+),a1=1,該數(shù)列的前三項分別加上1、1、3后順次成為等比數(shù)列{bn}的前三項. (1)求數(shù)列{an},{bn}的通項公式; (2)設(shè)Tn=++…+(n∈N+),若Tn+-<c(c∈Z)恒成立,求c的最小值. 解析 (1)設(shè)d、q分別為數(shù)列{an}的公差、數(shù)列{bn}的公比. 由題意知,a1=1,a2=1+d,a3=1+2d,分別加上1、1、3得2、2+d、4+2d, ∴(2+d)2=2(4+2d),∴d=±2. ∵an+1>an,∴d

9、>0,∴d=2, ∴an=2n-1(n∈N+), 由此可得b1=2,b2=4,∴q=2,∴bn=2n(n∈N+). (2)Tn=++…+=+++…+,① ∴Tn=+++…+.② 由①-②得Tn=++++…+-. ∴Tn=1+-=3--=3-, ∴Tn+-=3-<3. ∴使Tn+-<c(c∈Z)恒成立的c的最小值為3. 考點三:數(shù)列與不等式的綜合問題 【例3】已知數(shù)列{an}的前n項和Sn滿足:Sn=a(Sn-an+1)(a為常數(shù),且a≠0,a≠1). (1)求{an}的通項公式; (2)設(shè)bn=a+Sn·an,若數(shù)列{bn}為等比數(shù)列,求a的值; (3)在滿足條件(2

10、)的情形下,設(shè)cn=-,數(shù)列{cn}的前n項和為Tn,求證:Tn>2n-. [審題導(dǎo)引] 第(1)問先利用an=Sn-Sn-1(n≥2)把Sn與an的關(guān)系式轉(zhuǎn)化為an與an-1之間的關(guān)系,判斷數(shù)列的性質(zhì),求其通項公式; (2)根據(jù)第(1)問,求出數(shù)列{bn}的前三項,利用b=b1×b3列出方程即可求得a的值; (3)先求出數(shù)列{cn}的通項公式,根據(jù)所求證問題將其放縮,然后利用數(shù)列求和公式證明. [規(guī)范解答] (1)當(dāng)n=1時,S1=a(S1-a1+1), 得a1=a. 當(dāng)n≥2時,Sn=a(Sn-an+1), Sn-1=a(Sn-1-an-1+1), 兩式相減得an=a·an

11、-1,得=a. 即{an}是等比數(shù)列. 所以an=a·an-1=an. (2)由(1)知bn=(an)2+an, bn=, 若{bn}為等比數(shù)列,則有b=b1b3, 而b1=2a2,b2=a3(2a+1),b3=a4(2a2+a+1), 故[a3(2a+1)]2=2a2·a4(2a2+a+1),解得a=, 再將a=代入bn,得bn=n,結(jié)論成立, 所以a=. (3)證明 由(2),知an=n, 所以cn=-=+ =2-+. 所以cn>2-+. Tn=c1+c2+…+cn>++…+ =2n-+>2n-.結(jié)論成立. 【規(guī)律總結(jié)】 數(shù)列與不等式綜合問題的解題方法

12、(1)在解決與數(shù)列有關(guān)的不等式問題時,需注意應(yīng)用函數(shù)與方程的思想方法,如函數(shù)的單調(diào)性、最值等. (2)在數(shù)列的恒成立問題中,有時需先求和,為了證明的需要,需合理變形,常用到放縮法,常見的放縮技巧有: ①<=; ②-<<-; ③2(-)<<2(-); ④利用(1+x)n的展開式進(jìn)行放縮. 【變式訓(xùn)練】 3.已知數(shù)列{bn}滿足:bn+1=bn+,且b1=,Tn為{bn}的前n項和. (1)求證:數(shù)列是等比數(shù)列,并求{bn}的通項公式; (2)如果對任意n∈N+,不等式≥2n-7恒成立,求實數(shù)k的取值范圍. 解析 (1)證明 對任意n∈N+,都有bn+1=bn+, 所以bn+

13、1-=, 則是等比數(shù)列,首項為b1-=3,公比為, 所以bn-=3×n-1,即bn=3×n-1+. (2)因為bn=3×n-1+, 所以Tn=3+ =+=6+. 因為不等式≥2n-7, 化簡,得k≥,對任意n∈N+恒成立, 設(shè)cn=, 則cn+1-cn=-=, 當(dāng)n≥5時,cn+1≤cn,數(shù)列{cn}為單調(diào)遞減數(shù)列; 當(dāng)1≤n<5時,cn+1>cn,數(shù)列{cn}為單調(diào)遞增數(shù)列. 而=c4<c5=,所以n=5時,cn取得最大值. 所以要使k≥對任意n∈N+恒成立,k≥. 名師押題高考 【押題1】在數(shù)列{an}中,an=++…+,又bn=,則數(shù)列{bn}的前n項和Sn

14、=________. 解析 an=(1+2+3+…+n)=, bn==8 ∴數(shù)列{bn}的前n項和為 Sn=8 =8=. 答案  [押題依據(jù)] 求數(shù)列的通項公式與數(shù)列的前n項和都是高考的熱點.本題綜合考查了以上兩點及等差數(shù)列的求和公式,考查數(shù)列知識全面,綜合性較強,故押此題. 【押題2】已知數(shù)列{an}是首項a1=1的等比數(shù)列,且an>0,{bn}是首項為1的等差數(shù)列,又a5+b3=21,a3+b5=13. (1)求數(shù)列{an}和{bn}的通項公式; (2)求數(shù)列的前n項和Sn. 解析 (1)設(shè)數(shù)列{an}的公比為q,{bn}的公差為d, 則由已知條件得:, 解之得:. ∴an=2n-1,bn=1+(n-1)×2=2n-1. (2)由(1)知=. ∴Sn=+++…++.① ∴Sn=++…++.② ①-②得:Sn=+++…+- =+-=+- =+1-n-1-.∴Sn=3-. [押題依據(jù)] 數(shù)列求和中的錯位相減法因運算量較大,結(jié)構(gòu)形式復(fù)雜.能夠較好地考查考生的運算能力,有很好的區(qū)分度,而備受命題者青睞.本題綜合考查了等差、等比數(shù)列的通項公式及錯位相減法求和,難度中等,故押此題.

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