2020屆高三數學二輪復習 必考問題專項突破18 排列、組合、二項式定理與概率 理

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1、問題18　排列、組合、二項式定理與概率 1．(2020·浙江)若從1,2,3，…，9這9個整數中同時取4個不同的數，其和為偶數，則不同的取法共有(　　)．　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 A．60種 B．63種 C．65種 D．66種 答案： D　[對于4個數之和為偶數，可分三類，即4個數均為偶數，2個數為偶數2個數為奇數，4個數均為奇數，因此共有C＋CC＋C＝66種．] 2．(2020·山東)現有16張不同的卡片，其中紅色、黃色、藍色、綠色卡片各4張．從中任取3張，要求這3張卡片不能全是同一種顏色，且紅色卡片至多1張，不同取法的種數為(　　)． A．232 B．2

2、52 C．472 D．484 答案：C　[若沒有紅色卡片，則需從黃、藍、綠三色卡片中選3張，若都不同色則有C×C×C＝64種，若2張同色，則有C×C×C×C＝144種；若紅色卡片有1張，剩余2張不同色，則有C×C×C×C＝192種，剩余2張同色，則有C×C×C＝72種，所以共有64＋144＋192＋72＝472種不同的取法．故選C.] 3．(2020·遼寧)在長為12 cm的線段AB上任取一點C.現作一矩形，鄰邊長分別等于線段AC，CB的長，則該矩形面積小于32 cm2的概率為(　　)． A. B. C. D. 答案：C　[設出AC的長度，先利用矩形面積小于32 cm2求出A

3、C長度的范圍，再利用幾何概型的概率公式求解．設AC＝x cm，CB＝(12－x)cm，0＜x＜12，所以矩形面積小于32 cm2即為x(12－x)＜32?0＜x＜4或8＜x＜12，故所求概率為＝.] 4．(2020·廣東)6的展開式中x3的系數為________(用數字作答)． 解析　由6的展開式的通項為Tr＋1＝C(x2)6－r·r＝Cx12－3r，令12－3r＝3，得r＝3，所以展開式中x3的系數為C＝＝20. 答案　20 排列、組合與二項式定理每年交替考查，主要以選擇、填空的形式出現，難度中等或稍易．考查古典概型時，常以排列組合為工具，考查概率的計算． 由于這部分內容概

4、念性強，抽象性強，思維方法新穎，因此備考時：①要讀懂題意，明確解題的突破口，選擇合理簡潔的標準處理事件；②要牢記排列數、組合數、二項展開式公式；③排列組合是進行概率計算的工具，在復習概率時要抓住概率計算的核心和這個工具. 必備知識 排列、組合 (1)排列數公式A＝n(n－1)(n－2)…(n－m＋1)，A＝，A＝n！，0?。?(n∈N*，m∈N*，m≤n)． (2)組合數公式及性質 C＝＝， C＝，C＝1，C＝C，C＝C＋C. 二項式定理 (1)定理：(a＋b)n＝Can＋Can－1b＋…＋Can－rbr＋…＋Cabn－1＋Cbn(n∈N*)． 通項(展開式的第r＋1

5、項)：Tr＋1＝Can－rbr，其中C(r＝0,1，…，n)叫做二項式系數． (2)二項式系數的性質 ①在二項式展開式中，與首末兩端“等距離”的兩項的二項式系數相等，即 C＝C，C＝C，C＝C，…，C＝C. ②二項式系數的和等于2n，即 C＋C＋C＋…＋C＝2n. ③二項式展開式中，偶數項的二項式系數和等于奇數項的二項式系數和，即C＋C＋C＋…＝C＋C＋C＋…＝2n－1. (3)賦值法解二項式定理有關問題，如 3n＝(1＋2)n＝C＋C·21＋C·22＋…＋C·2n等． 古典概型 (1)P(A)＝＝ (2)求古典概型概率的方法和步驟 ①反復閱讀題目，收集題目中的各種信

6、息，理解題意． ②判斷試驗是否為等可能性事件，并用字母表示所求事件． ③利用列舉法或排列組合知識計算基本事件的個數n及事件A中包含的基本事件的個數m. ④計算事件中A的概率P(A)＝. 必備方法 1．解排列、組合問題應遵循的原則：先特殊后一般，先選后排，先分類后分步． 2．解排列、組合問題的常用策略： a．相鄰問題捆綁法；b.不相鄰問題插空法；c.多排問題單排法；d.定序問題倍縮法；e.多元問題分類法；f.有序分配問題分步法；g.交叉問題集合法；h.至少或至多問題間接法；i.選排問題先取后排法；j.局部與整體問題排除法；k.復雜問題轉化法． 3．二項式中項的系數和差可以通過對二

7、項式展開式兩端字母的賦值進行解決，如(1＋x)n展開式中各項系數的絕對值的和就是展開式中各項系數的和，只要令x＝1即得，而(1－x)n的展開式中各項系數的絕對值的和，直接令x＝－1，這樣就不難類比得到(1＋ax)n展開式中各項系數絕對值的和為(1＋|a|)n. 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 以實際生產、生活為背景的排列、組合問題是近幾年的?？純热荩忸}時要先將問題轉化為排列組合問題后再求解．題目多為中低檔題，為后面學習概率做基礎． 【例1】? 某城市舉行奧運火炬接力傳遞活動，傳遞路線共分6段，傳遞活動分別由6名火炬手完成．如果第一棒只能從甲、乙、丙三人中產生，最后一棒只

8、能從甲、乙兩 人中產生，則不同的傳遞方案共有________種．(用數字作答) [審題視點] 　 　 [聽課記錄] [審題視點] 按照第一棒是否為甲、乙分兩類求解． 解析　按照第一棒是否為甲，乙，可分為兩類： ①第一棒是丙，則第六棒的安排有C種，中間4棒剩余4人全排列，故不同的安排方法有C·C·A＝48種； ②第一棒是甲，乙中一人，則第一棒的安排有C種，最后一棒則只能安排甲，乙中不跑第一棒的一人，中間4棒剩余4人全排列，礦不同的安排方法有C·C·A＝48種． 根據分類計數原理，可得不同的方案共有48＋48＝96種． 答案　96 對于排列、組合的綜合題目，一般是將符合要求的

9、元素取出或進行分組，再對取出的元素或分好的組進行排列，即一般策略為先組合后排列．分組時，要注意“平均分組”與“不平均分組”的差異及分類的標準． 【突破訓練1】 由1,2,3,4,5,6組成沒有重復數字，且1,3都不與5相鄰的六位偶數的個數是(　　)． A．72 B．96 C．108 D．144 答案： C　[從2,4,6三個偶數中選一個數放在個位，有C種方法，將其余兩個偶數全排列，有A種排法，當1,3不相鄰且不與5相鄰時有A種方法，當1,3相鄰且不與5相鄰時有A·A種方法，故滿足題意的偶數個數有C·A(A＋A·A)＝108.] 求二項式定理展開式的通項、特定項、二項式或項的系

10、數，常以選擇、填空題形式考查，二項式定理的應用有時也在數列壓軸題中出現，主要是利用二項式定理及不等式放縮法證明不等式．　　　　　　　　　　　　　　　　 【例2】? (2020·安徽)設(x－1)21＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a21x21，則a10＋a11＝________. [審題視點] 　 　 [聽課記錄] [審題視點] 由Tr＋1＝Cx21－r(－1)r求解． 解析　Tr＋1＝Cx21－r(－1)r，∴a10＝C(－1)11，a11＝C(－1)10， ∴a10＋a11＝－C＋C＝－C＋C＝0. 答案　0 1.利用二項展開式的通項分析求解時，注意二項式系數與項的系數的

11、區(qū)別． 2．二項式定理的應用不僅要注重它的“正用”，而且重視它的“逆用”；還要注意特殊值法的使用． 【突破訓練2】 若n展開式中只有第六項的二項式系數最大，則展開式中的常數項是(　　)． A．360 B．180 C．90 D．45 答案： B　[依題意知：n＝10， ∴Tr＋1＝C()10－rr＝C2r·x5－r， 令5－r＝0得：r＝2，∴常數項為：C22＝180.] 對于古典概型的考查常將等可能事件、互斥事件、相互獨立事件等多種事件交匯在一起進行考查，是高考考查的重點．　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 【例3】? (2020·天津六校三模)盒內有大小相同的9

12、個球，其中2個紅色球，3個白色球，4個黑色球，規(guī)定取出1個紅色球得1分，取出1個白色球得0分，取出1個黑色球得－1分．現從盒內任取3個球． (1)求取出的3個球中至少有一個紅球的概率； (2)求取出的3個球得分之和恰為1分的概率． [審題視點] 　 　 [聽課記錄] [審題視點] (1)間接法求概率；(2)用組合知識求概率． 解　(1)P＝1－＝. (2)記“取出1個紅色球，2個白色球”為事件B，“取出2個紅色球，1個黑色球”為事件C，則P(B＋C)＝P(B)＋P(C)＝＋＝. 有關古典概型的概率問題，關鍵是正確求出基本事件總數和所求事件包含的基本事件數，這常用到計數原理與

13、排列、組合的相關知識．對于較復雜的題目，要注意正確分類，分類時應不重不漏． 【突破訓練3】 有編號為A1，A2，…，A10的10個零件，測量其直徑(單位：cm)，得到下面數據： 編號 A1 A2 A3 A4 A5 A6 A7 A8 A9 A10 直徑 1.51 1.49 1.49 1.51 1.49 1.51 1.47 1.46 1.53 1.47 其中直徑在區(qū)間[1.48,1.52]內的零件為一等品． (1)從上述10個零件中，隨機抽取一個，求這個零件為一等品的概率； (2)從一等品零件中隨機抽取2個． (ⅰ)用零件的編號列出所有可能的抽

14、取結果； (ⅱ)求這2個零件直徑相等的概率． 解　(1)由所給數據可知，一等品零件共有6個．設“從10個零件中，隨機抽取一個為一等品”為事件A，則P(A)＝＝. (2)(ⅰ)一等品零件的編號為A1，A2，A3，A4，A5，A6.從這6個一等品零件中隨機抽取2個，所有可能的結果有：{A1，A2}，{A1，A3}，{A1，A4}，{A1，A5}，{A1，A6}，{A2，A3}，{A2，A4}，{A2，A5}，{A2，A6}，{A3，A4}，{A3，A5}，{A3，A6}，{A4，A5}，{A4，A6}，{A5，A6}，共有15種． (ⅱ)“從一等品零件中，隨機抽取的2個零件直徑相等”(記為

15、事件B)的所有可能結果有：{A1，A4}，{A1，A6}，{A4，A6}，{A2，A3}，{A2，A5}，{A3，A5}，共有6種． 所以P(B)＝＝. 防范二項式展開式中的兩個易錯點 易錯點1：二項式(a＋b)n展開式的通項中，因a與b的順序顛倒而容易出錯 【示例1】? (2020·江蘇蘇北四市調研)n展開式中第三項的系數比第二項的系數大162，則x的一次項系數為________． 解析　據題意有：C22－＝162，即2n(n－1)＋2n＝162.∴n＝9. 則Tr＋1＝C()9－rr＝C(－2)rx－. 由－＝1，∴r＝3. ∴T4＝(－1)3·23·Cx＝－672x.

16、 答案?。?72 老師叮嚀：若與的順序顛倒，項隨之發(fā)生變化，導致出錯．一般地，二項式(a＋b)n與(b＋a)n的通項公式不同，對應項也不相同，在遇到類似問題時，要注意區(qū)分． 【試一試1】 已知(1＋3x)n的展開式中，末三項的二項式系數的和等于120，則展開式中二項式系數最大的項為________． 解析　由已知得C＋C＋C＝121，則n(n－1)＋n＋1＝121，即n2＋n－240＝0，解得n＝15，所以，展開式中二項式系數最大的項是T8＝C(3x)7和T9＝C(3x)8. 答案　T8＝C(3x)7和T9＝C(3x)8 易錯點2：二項式展開中項的系數與二項式系數的概念掌握不清，容

17、易混淆，導致出錯 【示例2】? (2020·山東青島一模)如果n的展開式中各項系數之和為128，則展開式中的系數是(　　)． A．7 B．－7 C．21 D．－21 解析　當x＝1時，n＝2n＝128，∴n＝7， 即7，根據二項式通項公式得 Tr＋1＝C(3x)7－r(－1)rr＝C37－r(－1)rx7－r. ∴7－r＝－3，r＝6時對應，即 T6＋1＝C37－6(－1)6＝7×3×＝.故項系數為21. 答案　C 老師叮嚀：展開式中\(zhòng)f(1,x3)項的二項式系數是C＝7，項的系數為21，因此在解此類問題時，須注意二項式系數與項的系數的區(qū)別和聯系. 【試一試2】 5的展開式中各項系數的和為2，則該展開式中常數項為(　　)． A．－40 B．－20 C．20 D．40 答案： D　[因為展開式各項系數和為2，所以取x＝1得： (1＋a)(2－1)5＝2，∴a＝1. 二項式即為：5，它的展開式的常數項為： xC(2x)23＋C(2x)32＝4C＝40.]