2020屆高三數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí) 必考問(wèn)題專項(xiàng)突破7 三角恒等變換與解三角形 理

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1、必考問(wèn)題7　三角恒等變換與解三角形 1．(2020·全國(guó))已知α為第二象限角，sin α＋cos α＝，則cos 2α＝(　　)．　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 A．－ B．－ C. D. 答案：A　[將sin α＋cos α＝兩邊平方，可得1＋sin 2α＝，sin 2α＝－，所以(－sin α＋cos α)2＝1－sin 2α＝，因?yàn)棣潦堑诙笙藿?，所以sin α＞0，cos α＜0，所以－sin α＋cos α＝－，所以cos 2α＝(－sin α＋cos α)(cos α＋sin α)＝－，選A.] 2．(2020·江西)若tan θ＋＝4，

2、則sin 2θ＝(　　)． A. B. C. D. 答案：D　[∵tan θ＋＝＝4，∴4tan θ＝1＋tan2θ， ∴sin 2θ＝2sin θcos θ＝＝＝＝.] 3．(2020·天津)在△ABC中，內(nèi)角A，B，C所對(duì)的邊分別是a，b，c.已知8b＝5c，C＝2B，則cos C＝(　　)． A. B．－ C．± D. 答案：A　[因?yàn)?b＝5c，則由C＝2B，得sin C＝sin 2B＝2sin Bcos B，由正弦定理得cos B＝＝＝，所以cos C＝cos 2B＝2cos2B－1＝2×2－1＝，故選A.] 4．(2

3、020·北京)在△ABC中，若a＝2，b＋c＝7，cos B＝－，則b＝________. 解析　由余弦定理，得b2＝4＋(7－b)2－2×2×(7－b)×，解得b＝4. 答案　4 1．對(duì)于三角恒等變換，高考命題以公式的基本運(yùn)用、計(jì)算為主，其中多以與角所在范圍、三角函數(shù)的性質(zhì)、三角形等知識(shí)結(jié)合為命題的熱點(diǎn)． 2．對(duì)于解三角形，重點(diǎn)考查正弦定理、余弦定理兩公式在解三角形中的應(yīng)用，通過(guò)三角形中的邊、角關(guān)系和相關(guān)公式的靈活運(yùn)用來(lái)考查學(xué)生分析問(wèn)題、解決問(wèn)題的能力以及數(shù)學(xué)運(yùn)算能力. 1．在三角恒等變換過(guò)程中，準(zhǔn)確地記憶公式，適當(dāng)?shù)刈儞Q式子，有效地選取公式是解決問(wèn)題的關(guān)鍵． 2．在解

4、三角形的試題時(shí)，要弄清楚三角形三邊、三角中已知什么，求什么，這些都是解決問(wèn)題的思維基礎(chǔ)，分析題設(shè)條件，利用正、余弦定理進(jìn)行邊與角之間的相互轉(zhuǎn)化是解決問(wèn)題的關(guān)鍵. 必備知識(shí) 兩角和與差的正弦、余弦、正切公式 (1)sin(α±β)＝sin αcosβ±cos αsin β. (2)cos(α±β)＝cos αcosβ?sin αsin β. (3)tan(α±β)＝. 二倍角的正弦、余弦、正切公式 (1)sin 2α＝2sin αcos α. (2)cos 2α＝cos2α－sin2α＝2cos2α－1＝1－2sin2α. (3)tan 2α＝. (4)降冪公式：si

5、n2 α＝，cos2α＝. 正弦定理及其變形 ＝＝＝2R(2R為△ABC外接圓的直徑)． 變形：a＝2Rsin A，b＝2Rsin B，c＝2Rsin C. sin A＝，sin B＝，sin C＝. a∶b∶c＝sin A∶sin B∶sin C. 余弦定理及其推論 a2＝b2＋c2－2bccos A，b2＝a2＋c2－2accos B， c2＝a2＋b2－2abcos C. 推論：cos A＝，cos B＝， cos C＝. 變形：b2＋c2－a2＝2bccos A，a2＋c2－b2＝2accos B，a2＋b2－c2＝2abcos C. 面積公式 S△AB

6、C＝bcsin A＝acsin B＝absin C. 必備方法 1．“變角”是三角變換的靈魂，因此要注意分析條件與所求之間角的聯(lián)系，常考察是否具有和、差、倍、半關(guān)系或互余、互補(bǔ)關(guān)系．如2β與β是倍角關(guān)系．此外，根據(jù)條件與所求中的角的特點(diǎn)，常要對(duì)角進(jìn)行恰當(dāng)?shù)呐錅?，如：β?α＋β)－α，＝－，2α＝(α＋β)＋(α－β)等． 2．要充分把握三角函數(shù)的變換規(guī)律．三角變換時(shí)，需會(huì)用“切化弦”“弦化切”“輔助角”“1的代換”等技巧，追求“名、角、式”(三角函數(shù)名、角度、運(yùn)算結(jié)構(gòu))的統(tǒng)一，其中角的變換是三角變換的核心． 3．在三角形內(nèi)求值、證明或判斷三角形形狀時(shí)，要用正、余弦定理完成邊與角的互化

7、，一般是都化為邊或都化為角，然后用三角公式或代數(shù)方法求解，從而達(dá)到求值、證明或判斷的目的．解題時(shí)要注意隱含條件． 4．解三角形的應(yīng)用問(wèn)題時(shí)，要將條件和求解目標(biāo)轉(zhuǎn)化到一個(gè)三角形中，然后用正、余弦定理或三角公式完成求解，同時(shí)注意所求結(jié)果要滿足實(shí)際問(wèn)題的要求，還要注意對(duì)不同概念的角的正確理解與應(yīng)用，如俯角、仰角、方位角、視角等. 　　　　　　的化簡(jiǎn)、求值 三角恒等變換是三角運(yùn)算的核心和靈魂，?？疾椋孩偃呛愕茸儞Q在化簡(jiǎn)、求值等方面的簡(jiǎn)單應(yīng)用；②三角恒等變換與三角形中相關(guān)知識(shí)的綜合、與向量的交匯性問(wèn)題，多以解答題形式出現(xiàn)，難度中檔．　　　　　　　　　　　　　　　　　　 【例1】? (2

8、020·廣東)已知函數(shù)f(x)＝2cos(其中ω＞0，x∈R)的最小正周期為10 π. (1)求ω的值； (2)設(shè)α，β∈，f＝－，f＝，求cos(α＋β)的值． [審題視點(diǎn)] 　 　 [聽(tīng)課記錄](méi) [審題視點(diǎn)] (1)由T＝10π可得ω的值；(2)化簡(jiǎn)所給的已知條件，求得cos α、sin β的值，將cos(α＋β)展開(kāi)，代入數(shù)據(jù)即可． 解　(1)∵f(x)＝2cos，ω＞0的最小正周期T＝10π＝，∴ω＝. (2)由(1)知f(x)＝2cos， 而α，β∈，f＝－，f(5β－)＝， ∴2cos＝－， 2cos＝， 即cos＝－，cos β＝， 于是sin α＝，c

9、os α＝，sin β＝， ∴cos(α＋β)＝cos αcos β－sin αsin β ＝×－×＝－. (1)給值求角的本質(zhì)還是給值求值，即欲求某角，也要先求該角的某一三角函數(shù)值． (2)由于三角函數(shù)的多值性，故要對(duì)角的范圍進(jìn)行討論，確定并求出限定范圍內(nèi)的角． (3)要仔細(xì)觀察分析所求角與已知條件的關(guān)系，靈活使用角的變換，如α＝(α＋β)－β，α＝＋等． 【突破訓(xùn)練1】 已知cos＝，x∈. (1)求sin x的值； (2)求sin的值． 解　(1)因?yàn)閤∈， 所以x－∈， 于是sin＝ ＝. sin x＝sin ＝sincos＋cossin ＝×＋×＝.

10、 (2)因?yàn)閤∈， 所以cos x＝－＝－ ＝－. sin 2x＝2sin xcos x＝－，cos 2x＝2cos2x－1＝－. 所以sin＝sin 2xcos ＋cos 2xsin ＝－. 以三角形為載體，以三角變換為核心，結(jié)合正(余)弦定理考查解斜三角形是高考的一個(gè)熱點(diǎn)問(wèn)題．根據(jù)所給式子、三角形的特點(diǎn)合理選擇正弦或余弦定理是解題的關(guān)鍵，綜合考查學(xué)生邏輯分析和計(jì)算推理能力．　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 【例2】? (2020·山東)在△ABC中，內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c.已 知＝. (1)求的值； (2)若cos B＝，b＝2，求△ABC的面積S.

11、 [審題視點(diǎn)] 　 　 [聽(tīng)課記錄](méi) [審題視點(diǎn)] (1)根據(jù)所給式子和第(1)問(wèn)式子的特征，采用邊化角較為簡(jiǎn)單；(2)借用第(1)問(wèn)的結(jié)果可知a、c間的關(guān)系，再結(jié)合cos Β＝，b＝2，利用余弦定理可求解． 解　(1)由正弦定理，設(shè)＝＝＝k， 則＝＝， 所以＝. 即(cos A－2cos C)sin B＝(2sin C－sin A)cos B， 化簡(jiǎn)可得sin(A＋B)＝2sin(B＋C)． 又A＋B＋C＝π，所以原等式可化為sin C＝2sin A， 因此＝2. (2)由＝2，得c＝2a. 由余弦定理b2＝a2＋c2－2accos B及cos B＝， 得4＝a2

12、＋4a2－4a2×，解得a＝1，從而c＝2. 又因?yàn)閏os B＝，且0＜B＜π，所以sin B＝. 因此S＝acsin B＝×1×2×＝. 在含有三角形內(nèi)角的三角函數(shù)和邊的混合關(guān)系式中要注意變換方向的 選擇．正弦定理、余弦定理、三角形面積公式本身就是一個(gè)方程，在解三角形的試題中方程思想是主要的數(shù)學(xué)思想方法，要注意從方程的角度出發(fā)分析問(wèn)題． 【突破訓(xùn)練2】 (2020·江西)在△ABC中，角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c.已知A＝，bsin－csin＝a. (1)求證：B－C＝； (2)若a＝，求△ABC的面積． (1)證明　由bsin－csin＝a，應(yīng)用正弦定理，得sin

13、Bsin－sin Csin＝sin A， sin B－sin C＝， 整理得sin Bcos C－cos Bsin C＝1， 即sin(B－C)＝1， 由于0＜B，C＜π，從而B－C＝. (2)解　B＋C＝π－A＝，因此B＝，C＝. 由a＝，A＝， 得b＝＝2sin，c＝＝2sin， 所以△ABC的面積S＝bcsin A＝sinsin＝cos·sin＝. 易錯(cuò)點(diǎn)撥 第(2)問(wèn)考生往往在遇到非特殊角的情況下思維受阻，導(dǎo)致丟分，遇到這種情況時(shí)要學(xué)會(huì)分析推測(cè)或用轉(zhuǎn)化法使解題進(jìn)行下去． 解三角形問(wèn)題常以向量為載體，解題時(shí)通常先利用向量知識(shí)將有關(guān)向量關(guān)系式轉(zhuǎn)化為三角形中

14、的邊角關(guān)系，然后再借助解三角形的知識(shí)求解，難度中檔偏低．　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 【例3】? 在△ABC中，A、B、C所對(duì)的邊分別為a、b、c，A＝，(1＋)c＝2b. (1)求角C； (2)若·＝1＋，求a，b，c. [審題視點(diǎn)] 　 　 [聽(tīng)課記錄](méi) [審題視點(diǎn)] (1)由(1＋)c＝2b及A＝可利用正弦定理將邊的關(guān)系轉(zhuǎn)化為角的關(guān)系；(2)將向量關(guān)系式·＝1＋轉(zhuǎn)化為三角形中的邊角關(guān)系，再利用解三角形的知識(shí)求解． 解　(1)由(1＋)c＝2b，得＝＋＝， 則有＝ ＝＋＝＋， 得tan C＝1，即C＝. (2)由·＝1＋，推出abcos C＝1＋. 而C

15、＝，即得ab＝1＋， 則有解得 解答這一類問(wèn)題，首先要保證向量運(yùn)算必須正確，否則，反被其累，要很好的掌握正、余弦定理的應(yīng)用條件及靈活變形，方能使問(wèn)題簡(jiǎn)捷解答． 【突破訓(xùn)練3】 在△ABC中，已知2·＝||·||＝32，求角A，B，C的大?。? 解　設(shè)BC＝a，AC＝b，AB＝c， 由2·＝||·||， 得2bccos A＝bc，所以cos A＝， 又A∈(0，π)，因此A＝，由||·||＝32， 得bc＝a2，于是sin C·sin B＝sin2A＝. 所以sin C·sin＝， sin C·＝， 因此2sin C·cos C＋2sin2C＝， sin 2C－cos 2

16、C＝0，即sin＝0. 由A＝知0＜C＜，所以－＜2C－＜， 從而2C－＝0，或2C－＝π，即C＝或C＝， 故A＝，B＝，C＝或A＝，B＝，C＝. 由于正、余弦定理是解斜三角形的工具，而解斜三角形應(yīng)用問(wèn)題中的測(cè)量問(wèn)題、航海問(wèn)題等常常是高考的熱點(diǎn)，其主要要求是：會(huì)利用正弦定理和余弦定理等知識(shí)和方法解決一些測(cè)量和幾何計(jì)算有關(guān)的實(shí)際問(wèn)題．　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 【例4】? (2020·沈陽(yáng)模擬)如圖， 漁船甲位于島嶼A的南偏西60°方向的B處，且與島嶼A相距12海里，漁船乙以10海里/時(shí)的速度從島嶼A出發(fā)沿正北方向航行，若漁船甲同時(shí)從B處出發(fā)沿北偏東α的方向追趕漁

17、船乙，剛好用2小時(shí)追上． (1)求漁船甲的速度； (2)求sin α的值． [審題視點(diǎn)] 　 　 [聽(tīng)課記錄](méi) [審題視點(diǎn)] 第(1)問(wèn)實(shí)質(zhì)求BC；第(2)問(wèn)運(yùn)用正弦定理可求解． 解　(1)依題意，∠BAC＝120°，AB＝12， AC＝10×2＝20，∠BCA＝α. 在△ABC中，由余弦定理，得 BC2＝AB2＋AC2－2AB·AC·cos∠BAC ＝122＋202－2×12×20×cos 120°＝784， 解得BC＝28. 所以漁船甲的速度為14海里/時(shí)． (2)在△ABC中，因?yàn)锳B＝12，∠BAC＝120°，BC＝28，∠BCA＝α， 由正弦定理，得＝，

18、 即sin α＝＝＝， 所以sin α的值為. (1)三角形應(yīng)用題的解題要點(diǎn)：解斜三角形的問(wèn)題，通常都要根據(jù)題意，從實(shí)際問(wèn)題中尋找出一個(gè)或幾個(gè)三角形，然后通過(guò)解這些三角形得出所要求的量，從而得到實(shí)際問(wèn)題的解． (2)有些時(shí)候也必須注意到三角形的特殊性，如直角三角形、等腰三角形、銳角三角形等．正確理解和掌握方位角、俯角、仰角對(duì)于解決三角形應(yīng)用題也是必不可少的． 【突破訓(xùn)練4】 (2020·惠州調(diào)研)如圖， 某河段的兩岸可視為平行，為了測(cè)量該河段的寬度，在河段的一岸邊選取兩點(diǎn)A，B，觀察對(duì)岸的點(diǎn)C，測(cè)得∠CAB＝75°，∠CBA＝45°且AB＝100米． (1)求sin 75°

19、； (2)求該河段的寬度． 解　(1)sin 75°＝sin(30°＋45°) ＝sin 30°cos45°＋cos 30°sin 45° ＝×＋×＝. (2)因?yàn)椤螩AB＝75°，∠CBA＝45°， 所以∠ACB＝180°－∠CAB－∠CBA＝60°. 由正弦定理得＝， 所以BC＝. 如圖，過(guò)點(diǎn)B作BD垂直于對(duì)岸，垂足為D, 則BD的長(zhǎng)就是該河段的寬度． 在Rt△BDC中， 因?yàn)椤螧CD＝∠CBA＝45°， sin∠BCD＝， 所以BD＝BCsin 45° ＝·sin 45° ＝× ＝＝(米)． 答：該河段的寬度為米． 轉(zhuǎn)化與化歸在解三角形中的應(yīng)用

20、 解三角形問(wèn)題是歷年高考的熱點(diǎn)，常與三角恒等變換相結(jié)合考查正弦、余弦定理的應(yīng)用，解題的實(shí)質(zhì)是將三角形中的問(wèn)題轉(zhuǎn)化為代數(shù)問(wèn)題或方程問(wèn)題，在此過(guò)程中也常利用三角恒等變換知識(shí)進(jìn)行有關(guān)的轉(zhuǎn)化．可以說(shuō)，三角形問(wèn)題的核心就是轉(zhuǎn)化與化歸． 【示例】? (2020·新課標(biāo)全國(guó))已知a，b，c分別為△ABC三個(gè)內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊，acos C＋asin C－b－c＝0. (1)求A； (2)若a＝2，△ABC的面積為，求b，c. [滿分解答]　(1)由acos C＋asin C－b－c＝0及正弦定理得sin Acos C＋sin Asin C－sin B－sin C＝0. 因?yàn)锽＝π－A－C，

21、所以sin Asin C－cos Asin C－sin C＝0. 由于sin C≠0，所以sin＝. 又0＜A＜π，故A＝.(6分) (2)△ABC的面積S＝bcsin A＝，故bc＝4. 而a2＝b2＋c2－2bccos A，故b2＋c2＝8. 解得b＝c＝2.(12分) 老師叮嚀：本題較容易，得分率較高.考查了考生利用正、余弦定理及三角公式進(jìn)行轉(zhuǎn)化的能力.其中，第(1)問(wèn)利用正弦定理將邊化成角，結(jié)合三角恒等變換知識(shí)整理出角A.第(2)問(wèn)根據(jù)三角形的面積公式得到關(guān)于b，c的等式，再由余弦定理用a和角A表示出b，c的關(guān)系，從而求解. 【試一試】 在△ABC中，BC＝，AC＝3，sin C＝2sin A. (1)求AB的值； (2)求sin的值． 解　(1)在△ABC中，根據(jù)正弦定理，＝. 于是AB＝·BC＝2BC＝2. (2)在△ABC中，根據(jù)余弦定理，得 cos A＝＝. 于是sin A＝＝. 從而sin 2A＝2sin Acos A＝， cos 2A＝cos2A－sin2A＝. 所以sin＝sin 2Acos－cos 2Asin＝.