2020屆高三數(shù)學二輪復習 必考問題專項突破21 數(shù)學思想在解題中的應(yīng)用（1） 理

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1、問題21　數(shù)學思想在解題中的應(yīng)用(一) 1．(2020·重慶)設(shè)平面點集A＝{(x，y)|(y－x)≥0}，B＝{(x，y)|(x－1)2＋(y－1)2≤1}，則A∩B所表示的平面圖形的面積為(　　)．　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 A.π B.π C.π D. 答案： D　[數(shù)形結(jié)合，畫出圖象，可知集合B表示的是一個圓面，集合A表示的圖形在圓(x－1)2＋(y－1)2＝1內(nèi)的部分正好是圓面積的一半，因此A∩B所表示的平面圖形的面積是，選D.] 2．(2020·新課標全國)設(shè)F1，F(xiàn)2是橢圓E：＋＝1(a＞b＞0)的左、右焦點，P為直線x＝上一點，△F2PF1是底角為

2、30°的等腰三角形，則E的離心率為(　　)． A. B. C. D. 答案：C　[由題意可得|PF2|＝|F1F2|，∴2＝2c，∴3a＝4c，∴e＝.] 3．(2020·遼寧)設(shè)變量x，y滿足則2x＋3y的最大值為(　　)． A．20 B．35 C．45 D．55 答案：D　[根據(jù)不等式組確定平面區(qū)域，再平移目標函數(shù)求最大值．作出不等式組對應(yīng)的平面區(qū)域(如圖所示)，平移直線y＝－x，易知直線經(jīng)過可行域上的點A(5,15)時，2x＋3y取得最大值55，故選擇D.] 4．(2020·重慶)過拋物線y2＝2x的焦點F作直線交拋物線于A，B兩點，若|AB|＝，|AF|＜|

3、BF|，則|AF|＝________. 解析　設(shè)過拋物線焦點的直線為y＝k， 聯(lián)立得整理得k2x2－(k2＋2)x＋k2＝0， x1＋x2＝，x1x2＝. |AB|＝x1＋x2＋1＝＋1＝，得k2＝24代入k2x2－(k2＋2)x＋k2＝0得12x2－13x＋3＝0，解之得x1＝，x2＝，又|AF|＜|BF|，故|AF|＝x1＋＝. 答案　 1．函數(shù)的主干知識、函數(shù)的綜合應(yīng)用以及函數(shù)與方程思想的考查一直是高考的重點內(nèi)容之一．高考試題中，既有靈活多變的客觀性小題，又有一定能力要求的主觀性大題，難度有易有難，可以說是貫穿了數(shù)學高考整份試卷，高考中所占比重比較大． 2．數(shù)形結(jié)合思想

4、的考查常以數(shù)學概念、數(shù)學式的幾何意義、函數(shù)圖象、解析幾何等為載體，多數(shù)以選擇題、填空題出現(xiàn)，難度中等． (1)對于函數(shù)與方程思想，在解題中要善于挖掘題目中的隱含條件，構(gòu)造出函數(shù)解析式和妙用函數(shù)與方程的相互轉(zhuǎn)化的關(guān)系是應(yīng)用函數(shù)與方程思想解題的關(guān)鍵． (2)在運用數(shù)形結(jié)合思想分析問題時，要注意三點：①理解一些概念與運算法則的幾何意義以及曲線的代數(shù)特征，對題目中的條件和結(jié)論既分析其幾何意義，又分析其代數(shù)意義；②恰當設(shè)參、合理用參，建立關(guān)系，由形思數(shù)，以數(shù)想形，做好數(shù)形轉(zhuǎn)化；③確定參數(shù)的取值范圍，參數(shù)的范圍決定圖形的范圍. 必備知識 函數(shù)與方程思想 (1)函數(shù)思想就是用運動和變化的

5、觀點，分析和研究具體問題中的數(shù)量關(guān)系，并通過函數(shù)形式建立函數(shù)關(guān)系，然后利用函數(shù)有關(guān)的知識(定義域、值域、最值、單調(diào)性、奇偶性、周期性、對稱性、圖象、導數(shù))使問題得以解決．函數(shù)思想貫穿于高中數(shù)學教學的始終，不僅在函數(shù)各章的學習，而且在研究方程、不等式、數(shù)列、解析幾何等其他內(nèi)容時也起著十分重要的作用． (2)方程的思想，是分析數(shù)學問題中變量間的等量關(guān)系，從而建立方程或方程組，通過解方程或方程組，或者運用方程的性質(zhì)去分析、轉(zhuǎn)化問題，使問題獲得解決．在實際問題的解決過程中，函數(shù)、方程、不等式等常常互相轉(zhuǎn)化．因此，函數(shù)與方程的思想是高考考查的重點知識． 數(shù)形結(jié)合思想 (1)數(shù)形結(jié)合，就是根據(jù)數(shù)與

6、形之間的對應(yīng)關(guān)系，通過數(shù)與形的相互轉(zhuǎn)化來解決數(shù)學問題的一種重要思想方法．數(shù)形結(jié)合思想通過“以形助數(shù)，以數(shù)解形”，使復雜問題簡單化，抽象問題具體化，能夠變抽象思維為形象思維，有助于把握數(shù)學問題的本質(zhì)，它是數(shù)學規(guī)律性與靈活性的有機結(jié)合． (2)數(shù)形結(jié)合的思想方法應(yīng)用廣泛，如解方程、不等式問題，求函數(shù)的值域、最值問題、三角函數(shù)問題，運用數(shù)形結(jié)合思想，不僅直觀易發(fā)現(xiàn)解題途徑，而且能避免復雜的計算與推理，大大簡化了解題過程． 必備方法 1．在高中數(shù)學的各個部分，都有一些公式和定理，這些公式和定理本身就是方程，如等差數(shù)列的通項公式、余弦定理、解析幾何的弦長公式等，當試題與這些問題有關(guān)時，就需要根據(jù)這

7、些公式或者定理列方程或方程組求解需要的量． 2．函數(shù)與不等式也可以相互轉(zhuǎn)化，對于函數(shù)y＝f(x)，當y＞0時，就轉(zhuǎn)化為不等式f(x)＞0，借助于函數(shù)圖象與性質(zhì)解決有關(guān)問題，而研究函數(shù)的性質(zhì)，也離不開解不等式． 3．在數(shù)學中函數(shù)的圖象、方程的曲線、不等式所表示的平面區(qū)域、向量的幾何意義、復數(shù)的幾何意義等都實現(xiàn)以形助數(shù)的途徑，當試題中涉及這些問題的數(shù)量關(guān)系時，我們可以通過形分析這些數(shù)量關(guān)系，達到解題的目的． 　　 　　　　關(guān)問題 函數(shù)思想，不僅是利用函數(shù)的方法來研究解決有關(guān)函數(shù)問題，更重要的是運用函數(shù)的觀點去分析、解決問題，它的精髓是通過建立函數(shù)關(guān)系或構(gòu)造函數(shù)，再運用函數(shù)的圖象

8、和性質(zhì)去分析問題、轉(zhuǎn)化問題，從而使問題獲得解決．　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 【例1】? (2020·遼寧)設(shè)f(x)＝ln(x＋1)＋ ＋ax＋b(a，b∈R，a，b為常數(shù))，曲線y＝f(x)與直線y＝x在(0,0)點相切． (1)求a，b的值； (2)證明：當0＜x＜2時，f(x)＜. [審題視點] 　 　 [聽課記錄] [審題視點] (1)應(yīng)用導數(shù)研究函數(shù)性質(zhì)；(2)應(yīng)用導數(shù)研究函數(shù)性質(zhì)，并且結(jié)合放縮法的應(yīng)用． (1)解　由y＝f(x)過(0,0)點，得b＝－1. 由y＝f(x)在(0,0)點的切線斜率為，又y′|x＝0＝|x＝0＝＋a，得a＝0. (2)證

9、明　由均值不等式，當x＞0時， 2 ＜x＋1＋1＝x＋2，故＜＋1. 記h(x)＝f(x)－，則 h′(x)＝＋－ ＝－ ＜－ ＝. 令g(x)＝(x＋6)3－216(x＋1)， 則當0＜x＜2時，g′(x)＝3(x＋6)2－216＜0. 因此g(x)在(0,2)內(nèi)是遞減函數(shù)，又由g(0)＝0，得 g(x)＜0，所以h′(x)＜0. 因此h(x)在(0,2)內(nèi)是遞減函數(shù)，又h(0)＝0，得h(x)＜0. 于是當0＜x＜2時，f(x)＜. 根據(jù)所證不等式的結(jié)構(gòu)特征構(gòu)造相應(yīng)的函數(shù)，研究該函數(shù)的單調(diào)性是解決這一類問題的關(guān)鍵，本題并沒有千篇一律的將不等式右邊也納入到所構(gòu)造函

10、數(shù)中，而是具體問題具體分析，使問題得解，體現(xiàn)了導數(shù)的工具性以及函數(shù)、方程的數(shù)學思想． 【突破訓練1】 證明：對任意的正整數(shù)n，不等式ln＞－都成立． 證明　令f(x)＝x3－x2＋ln(x＋1)，則f′(x)＝在(0,1]上恒正． ∴f(x)在(0,1]上單調(diào)遞增，當x∈(0,1]時，有x3－x2＋ln(x＋1)＞0，即ln(x＋1)＞x2－x3，對任意正整數(shù)n，取x＝∈(0,1]，得ln＞－. 　　　　 　　關(guān)問題 解決直線與圓錐曲線的位置關(guān)系問題時，用到最多的是方程思想，即列方程組，通過判別式、根與系數(shù)的關(guān)系來研究方程解的情況進一步研究直線與圓錐曲線的關(guān)系，同時處理范圍與最值

11、問題時也要用到函數(shù)思想．　　　　　　　　　　　　　　　　　　 【例2】? (2020·湖南)在直角坐標系xOy中，已知中心在原點，離心率為的橢圓E的一個焦點為圓C：x2＋y2－4x＋2＝0的圓心． (1)求橢圓E的方程； (2)設(shè)P是橢圓E上一點，過P作兩條斜率之積為的直線l1，l2.當直線l1，l2都與圓C相切時，求P的坐標． [審題視點] 　 　 [聽課記錄] [審題視點] (1)將圓的一般方程化為標準方程，然后根據(jù)條件列出關(guān)于a，b，c，e的方程，解方程(組)即可；(2)設(shè)出點P的坐標及直線方程，根據(jù)直線與圓相切，圓心到直線的距離等于半徑，構(gòu)造一元二次方程，利用根與系數(shù)的關(guān)

12、系及P在橢圓上列出方程組，求解得P點的坐標． 解　(1)由x2＋y2－4x＋2＝0得(x－2)2＋y2＝2，故圓C的圓心為點(2,0)．從而可設(shè)橢圓E的方程為＋＝1(a＞b＞0)，其焦距為2c.由題設(shè)知c＝2，e＝＝.所以a＝2c＝4，b2＝a2－c2＝12.故橢圓E的方程為＋＝1. (2)設(shè)點P的坐標為(x0，y0)，l1，l2的斜率分別為k1，k2，則l1，l2的方程分別為l1：y－y0＝k1(x－x0)，l2：y－y0＝k2(x－x0)，且k1k2＝，由l1與圓C：(x－2)2＋y2＝2相切得＝ ， 即[(2－x0)2－2]k＋2(2－x0)y0k1＋y－2＝0. 同理可得[(2

13、－x0)2－2]k＋2(2－x0)y0k2＋y－2＝0. 從而k1，k2是方程[(2－x0)2－2]k2＋2(2－x0)y0k＋y－2＝0的兩個實根，于是 ① 且k1k2＝＝. 由得5x－8x0－36＝0， 解得x0＝－2，或x0＝. 由x0＝－2得y0＝±3；由x0＝得y0＝±，它們均滿足①式． 故點P的坐標為(－2,3)，或(－2，－3)，或，或. 直線與圓錐曲線的位置關(guān)系中滲透著函數(shù)與方程的思想，在解決解析幾何問題時常常用到函數(shù)與方程的思想． 【突破訓練2】 (2020·安徽)如圖，F(xiàn)1，F(xiàn)2分別是橢圓C：＋＝1(a＞b＞0)的左、右焦點，A是橢圓C的頂點，B是直線A

14、F2與橢圓C的另一個交點，∠F1AF2＝60°. (1)求橢圓C的離心率； (2)已知△AF1B的面積為40 ，求a，b的值． 解　(1)由題意可知，△AF1F2為等邊三角形，a＝2c， 所以e＝. (2)法一　a2＝4c2，b2＝3c2， 直線AB的方程可為y＝－(x－c)． 將其代入橢圓方程3x2＋4y2＝12c2，得B. 所以|AB|＝·＝c. 由S△AF1B＝|AF1|·|AB| sin∠F1AB＝a·c·＝a2＝40，解得a＝10，b＝5. 法二　設(shè)|AB|＝t. 因為|AF2|＝a，所以|BF2|＝t－a. 由橢圓定義|BF1|＋|BF2|＝2a可知，|

15、BF1|＝3a－t. 再由余弦定理(3a－t)2＝a2＋t2－2atcos 60°可得，t＝a. 由S△AF1B＝a·a·＝a2＝40知，a＝10，b＝5. 討論方程的解可構(gòu)造兩個函數(shù)，使求方程的解的問題轉(zhuǎn)化為討論兩曲線交點的問題，但用圖象法討論方程的解，一定要注意圖象的精確性、全面性．　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 【例3】? 方程x－sin x＝0在區(qū)間[0,2π]上的實根個數(shù)為(　　)． A．1 B．2 C．3 D．4 [審題視點] 　 　 [聽課記錄] 答案： B　[方程x－sin x＝0在區(qū)間[0,2π]上解的個數(shù)，可以轉(zhuǎn)化為兩函數(shù)y＝x與y＝

16、sin x交點的個數(shù)．根據(jù)右面圖象可得交點個數(shù)為2，即方程解的個數(shù)為2.故選B.] 用函數(shù)的圖象討論方程(特別是含參數(shù)的指數(shù)、對數(shù)、根式、三角等復雜方程)的解的個數(shù)是一種重要的思想方法，其基本思想是先把方程兩邊的代數(shù)式看作是兩個熟悉函數(shù)的表達式(不熟悉時，需要作適當變形轉(zhuǎn)化為兩熟悉的函數(shù))，然后在同一坐標系中作出兩個函數(shù)的圖象，圖象的交點個數(shù)即為方程解的個數(shù)． 【突破訓練3】 (2020·山東煙臺模擬)設(shè)函數(shù)f(x)＝若f(－4)＝f(0)，f(－2)＝－2，則關(guān)于x的方程f(x)＝x的解的個數(shù)為(　　)．　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 A．1 B．2 C．3 D．4

17、【突破訓練3】 C　[? ? ∴f(x)＝x2＋4x＋2，x≤0，這個函數(shù)的圖象如圖所示：可知直線y＝x與f(x)的圖象有三個交點，選C.] 　　　　 　　或求最值 在解含有參數(shù)的不等式時，由于涉及到參數(shù)，往往需要討論，導致演算過程繁瑣冗長．如果題設(shè)與幾何圖形有聯(lián)系，那么利用數(shù)形結(jié)合的方法，問題將會簡練地得到解決．　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 【例4】? (2020·濰坊模擬)不等式|x＋3|－|x－1|≤a2－3a對任意實數(shù)x恒成立，則實數(shù)a的取值范圍為(　　)． A．(－∞，－1]∪[4，＋∞) B．(－∞，－2]∪[5，＋∞) C．[1,2] D．(－

18、∞，1]∪[2，＋∞) [審題視點] 　 　 [聽課記錄] [審題視點] 去掉絕對值化為分段函數(shù)，畫出函數(shù)圖象找到這個函數(shù)的最大值再求解． 答案：A　[f(x)＝|x＋3|－|x－1|＝畫出函數(shù)f(x)的圖象，如圖，可以看出函數(shù)f(x)的最大值為4，故只要a2－3a≥4即可，解得a≤－1或a≥4.選項為A.] 本題的知識背景涉及函數(shù)、不等式、絕對值等，“題目中的某些部分都可以使用圖形”表示，在解題時我們就是把這些可以用圖形表示的部分用圖形表示出來，借助于圖形的直觀獲得了解決問題的方法，這就是以形助數(shù)，是數(shù)形結(jié)合中的一個主要方面．在解答選擇題的過程中，可以先根據(jù)題意，做出草圖，

19、然后參照圖形的作法、形狀、位置、性質(zhì)，并綜合圖象的特征得出結(jié)論． 【突破訓練4】 (2020·天津)設(shè)函數(shù)g(x)＝x2－2(x∈R)．f(x)＝則f(x)的值域是(　　)．　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 A.∪(1，＋∞) B．[0，＋∞) C. D.∪(2，＋∞) 答案： D　[由題意知f(x)＝ ＝ 所以結(jié)合圖形，可得當 x∈(－∞，－1)∪(2，＋∞)時，f(x)的值域為(2，＋∞)；當x∈[－1,2]時，f(x)的值域為.故選D.] 突破數(shù)形結(jié)合思想缺失的障礙 解答函數(shù)試題，很多時候函數(shù)圖象是隱形的，即在試題中沒有出現(xiàn)函數(shù)圖象，

20、在答題中一般也不要畫出函數(shù)圖象，但在尋找解題思路時必須借助于函數(shù)圖象，這就是數(shù)形結(jié)合思想的深刻體現(xiàn)，而很多學生常常在解題中對這種隱形的數(shù)形結(jié)合意識不到，導致解題錯誤． 【示例】? (2020·德州模擬)已知函數(shù)f(x)＝x3－3ax－1，a≠0. (1)求f(x)的單調(diào)區(qū)間； (2)若f(x)在x＝－1處取得極值，直線y＝m與y＝f(x)的圖象有三個不同的交點，求m的取值范圍． [滿分解答]　(1)f′(x)＝3x2－3a＝3(x2－a)， 當a＜0時，對任意的x∈R，有f′(x)＞0，此時，f(x)的單調(diào)增區(qū)間為(－∞，＋∞)； 當a＞0時，由f′(x)＞0解得x＜－或x＞，由f

21、′(x)＜0解得－＜x＜， 故當a＞0時，f(x)的單調(diào)增區(qū)間為(－∞，－)，(，＋∞)；f(x)的單調(diào)減區(qū)間為(－，)．(4分) (2)因為f(x)在x＝－1處取得極值，所以f′(－1)＝3×(－1)2－3a＝0，∴a＝1.(6分) 所以f(x)＝x3－3x－1，f′(x)＝3x2－3，由f′(x)＝0解得x1＝－1，x2＝1. 由(1)中f(x)的單調(diào)性可知，f(x)在x＝－1處取得極大值f(－1)＝1，在x＝1處取得極小值f(1)＝－3.因為直線y＝m與函數(shù)y＝f(x)的圖象有三個不同的交點，結(jié)合f(x)的單調(diào)性畫出圖象(如圖所示)可知，m的取值范圍是(－3,1)．(12分)

22、 老師叮嚀：解答本題的關(guān)鍵是數(shù)形結(jié)合，但前提必須是利用導數(shù)把函數(shù)的性質(zhì)研究透徹，根據(jù)函數(shù)的性質(zhì)把函數(shù)圖象的大致形態(tài)勾畫出來，根據(jù)數(shù)形結(jié)合思想找到實數(shù)m所滿足的條件，再進行嚴格的推理論證. 【試一試】 (2020·廣東模擬)設(shè)函數(shù)f(x)＝ax3－3ax，g(x)＝bx2－ln x(a，b∈R)，已知它們在x＝1處的切線互相平行． (1)求b的值； (2)若函數(shù)F(x)＝且方程F(x)＝a2有且僅有四個解，求實數(shù)a的取值范圍． 解　函數(shù)g(x)＝bx2－ln x的定義域為(0，＋∞)． (1)f′(x)＝3ax2－3a?f′(1)＝0， g′(x)＝2bx－?g′(1)＝2b－1，

23、 依題意2b－1＝0，所以b＝. (2)x∈(0,1)時，g′(x)＝x－＜0， x∈(1，＋∞)時，g′(x)＝x－＞0， 所以當x＝1時，g(x)取極小值g(1)＝； 當a＝0時，方程F(x)＝a2不可能有四個解； 當a＜0時，x∈(－∞，－1)時，f′(x)＜0， x∈(－1,0)時，f′(x)＞0， 所以x＝－1時，f(x)取得極小值f(－1)＝2a， 又f(0)＝0，所以F(x)的圖象如下： 從圖象可以看出F(x)＝a2不可能有四個解． 當a＞0時，x∈(－∞，－1)時，f′(x)＞0，x∈(－1,0)時，f′(x)＜0， 所以x＝－1時，f(x)取得極大值f(－1)＝2a. 又f(0)＝0，所以F(x)的圖象如下： 從圖象看出方程F(x)＝a2有四個解，則＜a2＜2a，所以實數(shù)a的取值范圍是.