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1、解答題規(guī)范練(一)
1．已知向量m＝(sin x,1)，n＝，函數(shù)f(x)＝(m＋n)·m.
(1)求函數(shù)f(x)的最小正周期T及單調(diào)遞增區(qū)間；
(2)已知a，b，c分別為△ABC內(nèi)角A，B，C的對邊，A為銳角，a＝2，c＝4，且f(A)是函數(shù)f(x)在上的最大值，求△ABC的面積S.
2．甲，乙兩人射擊，每次射擊擊中目標(biāo)的概率分別是，.現(xiàn)兩人玩射擊游戲，規(guī)則如下：若某人某次射擊擊中目標(biāo)，則由他繼續(xù)射擊，否則由對方接替射擊．甲、乙兩人共射擊3次，且第一次由甲開始射擊．假設(shè)每人每次射擊擊中目標(biāo)與否均互不影響．
(1)求3次射擊的人依次是甲、甲、乙的概率；
(2)若射擊擊中目標(biāo)一次得1
2、分，否則得0分(含未射擊)．用X表示乙的總得分，求X的分布列和數(shù)學(xué)期望．
3.在數(shù)列{an}中，a1＝1,2an＋1＝2·an(n∈N*)．
(1)證明：數(shù)列是等比數(shù)列，并求數(shù)列{an}的通項公式；
(2)令bn＝an＋1－an，求數(shù)列{bn}的前n項和Sn.
4．如圖，已知在四棱錐P-ABCD中，
底面ABCD是矩形，且AD＝2，
AB＝1，PA⊥平面ABCD，E，F(xiàn)
分別是線段AB，BC的中點(diǎn)．
(1)證明：PF⊥FD；
(2)判斷并說明PA上是否存在點(diǎn)G，使得EG∥平面PFD；
(3)若PB與平面ABCD所成的角為45°，求二面角A-PD-F的余弦值．
5．已
3、知橢圓C：＋＝1(a>b>0)的左、右頂點(diǎn)的坐標(biāo)分別為A(－2,0)、B(2,0)，離心率e＝.
(1)求橢圓C的方程；
(2)設(shè)橢圓的兩焦點(diǎn)分別為F1，F(xiàn)2，點(diǎn)P是其上的動點(diǎn)．
①當(dāng)△PF1F2內(nèi)切圓的面積最大時，求內(nèi)切圓圓心的坐標(biāo)；
②若直線l：y＝k(x－1)(k≠0)與橢圓交于M、N兩點(diǎn)，證明直線AM與直線BN的交點(diǎn)在直線x＝4上．
6．已知函數(shù)f(x)＝ax3＋bx2－3x在x＝±1處取得極值．
(1)求函數(shù)f(x)的解析式；
(2)求證：對于區(qū)間[－1,1]上任意兩個自變量的值x1，x2，都有|f(x1)－f(x2)|≤4；
(3)若過點(diǎn)A(1，m)(m≠－2)可作
4、曲線y＝f(x)的三條切線，求實數(shù)m的取值范圍．
參考答案
【解答題規(guī)范練(一)】
1．解 (1)f(x)＝(m＋n)·m＝sin2x＋1＋sin xcos x＋＝＋1＋sin 2x＋＝sin 2x－cos 2x＋2＝sin＋2.
因為ω＝2，所以T＝＝π.
由2kπ－≤2x－≤2kπ＋(k∈Z)得
kπ－≤x≤kπ＋(k∈Z)，
故所求單調(diào)遞增區(qū)間為(k∈Z)．
(2)由(1)知，f(A)＝sin＋2，
又A∈，∴－<2A－<.
由正弦函數(shù)圖象可知，當(dāng)2A－＝，即A＝時，
f(x)取得最大值3，
由余弦這理，a2＝b2＋c2－2bccos A.
可得12＝b2＋16
5、－2×4b×，∴b＝2.
從而S＝bc sin A＝×2×4×sin ＝2.
2．解 (1)記“3次射擊的人依次是甲、甲、乙”為事件A.由題意，得事件A的概率P(A)＝×＝；
(2)由題意，X的可能取值為0,1,2，
P(X＝0)＝×＋××＋×＝，
P(X＝1)＝××＋××＝，
P(X＝2)＝××＝.
所以X的分布列為：
X
0
1
2
P
E(X)＝1×＋2×＝.
3．(1)證明 由條件得＝·，
又n＝1時，＝1，
故數(shù)列構(gòu)成首項為1，公比為的等比數(shù)列．
從而＝，即an＝.
(2)解 由bn＝－＝得
Sn＝＋＋…＋
?Sn＝＋＋…＋＋，
6、兩式相減得Sn＝＋2－，
所以Sn＝5－.
4．(1)證明 ∵PA⊥平面ABCD，∠BAD＝90°，AB＝1，AD＝2，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系A(chǔ)-xyz，則A(0,0,0)，B(1,0,0)，F(xiàn)(1,1,0)，D(0,2,0)．
不妨令P(0,0，t)，
∵＝(1,1，－t)，＝(1，－1,0)，
∴·＝1×1＋1×(－1)＋(－t)×0＝0，
即PF⊥FD.
(2)解 設(shè)平面PFD的法向量為n＝(x，y，z)，
由得
令z＝1，解得：x＝y(tǒng)＝.
∴n＝.
設(shè)G點(diǎn)坐標(biāo)為(0,0，m)，E，則
＝，
要使EG∥平面PFD，只需·n＝0，即×＋0×＋1×m＝m－＝0
7、，得m＝t，從而滿足AG＝AP的點(diǎn)G即為所求．
(3)解 ∵AB⊥平面PAD，∴是平面PAD的法向量，易得＝(1,0,0)，又∵PA⊥平面ABCD，∴∠PBA是PB與平面ABCD所成的角，得∠PBA＝45°，PA＝1，平面PFD的法向量為n＝.
∴cos〈，n〉＝＝＝.
故所求二面角A-P-D-F的余弦值為.
5．(1)解 由題意知a＝2，e＝＝，所以c＝1，b＝.
故橢圓E的方程為＋＝1.
(2)①解 |F1F2|＝2，設(shè)F1F2邊上的高為h，則S△PF1F2＝×2×h＝h.
設(shè)△PF1F2的內(nèi)切圓的半徑為R，因為△PF1F2的周長為定值6，
所以R×6＝3R＝S△PF1F2
8、，
當(dāng)P在橢圓短軸頂點(diǎn)時，h最大為，
故S△PF1F2的最大值為，
于是R的最大值為，此時內(nèi)切圓圓心的坐標(biāo)為.
②證明 將直線l：y＝k(x－1)代入橢圓E的方程＋＝1，
并整理得(3＋4k2)x2－8k2x＋4(k2－3)＝0.
設(shè)直線l與橢圓E的交點(diǎn)為M(x1，y1)，N(x2，y2)，
由根與系數(shù)的關(guān)系，得x1＋x2＝，x1x2＝.直線AM的方程為：y＝(x＋2)，它與直線x＝4的交點(diǎn)坐標(biāo)為P，同理可求得直線BN與直線x＝4的交點(diǎn)坐標(biāo)為Q.
下面說明P、Q兩點(diǎn)重合，即證明P、Q兩點(diǎn)的縱坐標(biāo)相等．
因為y1＝k(x1－1)，y2＝k(x2－1)，
所以－＝
＝
＝＝
9、0.
因此結(jié)論成立．
綜上可知，直線AM與直線BN的交點(diǎn)在直線x＝4上．
6．(1)解 f′(x)＝3ax2＋2bx－3，依題意，
f′(1)＝f′(－1)＝0，
即
解得a＝1，b＝0.
∴f(x)＝x3－3x.
(2)證明 ∵f(x)＝x3－3x，
∴f′(x)＝3x2－3＝3(x＋1)(x－1)，
當(dāng)－1
10、－2)＝4.
(3)解 f′(x)＝3x2－3＝3(x＋1)(x－1)，
∵曲線方程為y＝x3－3x，
∴點(diǎn)A(1，m)(m≠－2)不在曲線上．
設(shè)切點(diǎn)為M(x0，y0)，則點(diǎn)M的坐標(biāo)滿足y0＝x－3x0.
因f′(x0)＝3(x－1)，故切線的斜率為3(x－1)＝，
整理得2x－3x＋m＋3＝0.
∵過點(diǎn)A(1，m)可作曲線的三條切線，
∴關(guān)于x0的方程2x－3x＋m＋3＝0有三個實根．
設(shè)g(x0)＝2x－3x＋m＋3，則g′(x0)＝6x－6x0，
由g′(x0)＝0，得x0＝0或x0＝1.
∴g(x0)在(－∞，0)和(1，＋∞)上單調(diào)遞增，在(0,1)上單調(diào)遞減．
∴函數(shù)g(x0)＝2x－3x＋m＋3的極值點(diǎn)為x0＝0，x0＝1.
∴關(guān)于x0的方程2x－3x＋m＋3＝0有三個實根的充要條件是解得－3
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