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1、第三講 思想方法與規(guī)范解答(四)
思想方法
1．數形結合思想
數形結合思想在統(tǒng)計中的應用主要有：
(1)通過頻率分布直方圖(莖葉圖)研究數據分布的總體趨勢；
(2)根據樣本數據散點圖確定兩個變量是否存在相關關系；
(3)幾何概型中概率的求法．
[例1] (2020年高考北京卷)設不等式組表示的平面區(qū)域為D，在區(qū)域D內隨機取一個點，則此點到坐標原點的距離大于2的概率是( )
A. B. C. D.
[解析] 根據題意作出滿足條件的幾何圖形求解．
如圖所示，正方形OABC及其內部為不等式組表示的區(qū)域D，且區(qū)域D的面積為4，而陰影部分表
2、示的是區(qū)域D內到坐標原點的距離大于2的區(qū)域．易知該陰影部分的面積為4－π.因此滿足條件的概率是.
[答案] D
跟蹤訓練
隨機地向區(qū)域內投點，已知點落在區(qū)域內的每個位置是等可能的，則坐標原點與該點連線的傾斜角不大于的概率是________．
解析：區(qū)域的面積為2×4－∫x2dx＝，當坐標原點與該點連線的傾斜角不大于時，對應的區(qū)域是原區(qū)域中位于直線y＝x下方的部分，其面積為∫(x－x2)dx＝，所以所求的概率P＝＝.
答案：
2．分類討論思想
分類討論思想在概率中的應用主要有：
(1)用直接法求解“至多”、“至少”類問題；
(2)復雜的古典概型問題；
(3)復雜的
3、獨立事件的概率．
[例2] (2020年朝陽區(qū)模擬)如圖，一個圓形游戲轉盤被分成6個均勻的扇形區(qū)域．用力旋轉轉盤，轉盤停止轉動時，箭頭A所指區(qū)域的數字就是每次游戲所得的分數(箭頭指向兩個區(qū)域的邊界時重新轉動)，且箭頭A指向每個區(qū)域的可能性都是相等的．在一次家庭抽獎的活動中，要求每個家庭派一位兒童和一位成人先后分別轉動一次游戲轉盤，得分情況記為(a，b)(假設兒童和成人的得分互不影響，且每個家庭只能參加一次活動)．
(1)求某個家庭得分為(5，3)的概率；
(2)若游戲規(guī)定：一個家庭的得分為參與游戲的兩人得分之和，且得分大于等于8的家庭可以獲得一份獎品．請問某個家庭獲獎的概率為多少？
4、
(3)若共有5個家庭參加家庭抽獎活動．在(2)的條件下，記獲獎的家庭數為X，求X的分布列及數學期望．
[解析] (1)記事件A：某個家庭得分為(5，3)．
由游戲轉盤上的數字分布可知，轉動一次轉盤，得2分、3分、5分的概率都為＝.
所以P(A)＝×＝.
所以某個家庭得分為(5，3)的概率為.
(2)記事件B：某個家庭在游戲中獲獎．則符合獲獎條件的得分包括(5，3)，(5，5)，(3，5)，共3類情況．
所以P(B)＝×＋×＋×＝.
所以某個家庭獲獎的概率為.
(3)由(2)可知，每個家庭獲獎的概率都是，
所以X～B(5，)．
P(X＝0)＝C()0·()5＝，
P(X＝
5、1)＝C()1·()4＝，
P(X＝2)＝C()2·()3＝，
P(X＝3)＝C()3·()2＝，
P(X＝4)＝C()4·()1＝，
P(X＝5)＝C()5·()0＝.
所以X的分布列為：
所以EX＝5×＝.
所以X的數學期望為.
跟蹤訓練
(2020年高考廣東卷)從個位數與十位數之和為奇數的兩位數中任取一個，其個位數為0的概率是( )
A. B. C. D.
解析：用分類討論法求解
個位數與十位數之和為奇數，則個位數與十位數中必一個奇數一個偶數，所以可以分兩類．
(1)當個位為奇數時，有5×4＝20(個)符合條件的兩位數．
6、
(2)當個位為偶數時，有5×5＝25(個)符合條件的兩位數．
因此共有20＋25＝45(個)符合條件的兩位數，其中個位數為0的兩位數有5個，所以所求概率為P＝＝.
答案：D
考情展望
高考對本專題的考查主要有兩個方面．一是在基礎題中考查統(tǒng)計與概率的求法．二是在解答題中考查與概率、統(tǒng)計相關的實際應用問題．難度中檔偏下．命題多集中在古典概型、頻率分布直方圖的應用、概率統(tǒng)計等熱點知識．
名師押題
【押題】 某校高三數學競賽初賽后，對考生成績進行統(tǒng)計(考生成績均不低于90分，滿分150分)，將成績按如下方式分成六組，第一組[90，100)、第二組[100，110)…第六組[14
7、0，150]．如圖為其頻率分布直方圖的一部分，第四、第五、第六組的人數依次成等差數列，且第六組有4人．
(1)請補充完整頻率分布直方圖，并估計這組數據的平均數M；(計算時可以用組中值代替各組數據的平均值)
(2)現根據初賽成績從第四組和第六組中任意選2人，記他們的成績分別為x、y，若|x－y|≥10，則稱此2
人為“黃金幫扶組”，試求選出的2人為“黃金幫扶組”的概率．
【解析】 (1)設第四、第五組的頻率分別為m、n，
則2n＝m＋0.005×10，①
m＋n＝1－(0.005＋0.015＋0.020＋0.035)×10，②
由①②解得m＝0.15，n＝0.1，
從而得出直方圖(如圖所示)
M＝95×0.2＋105×0.15＋115×0.35＋125×0.15＋135×0.1＋145×0.05＝114.5.
(2)依題意知，第四組人數為4×＝12，而第六組有4人，所以第四組和第六組一共有16人，從中任選2人，一共有C＝120種選法，若滿足|x－y|≥10，則一定是分別從兩個小組中各選1人，因此有CC＝48種選法，
所以選出的2人為“黃金幫扶組”的概率P＝＝.
2020年高三數學二輪復習 專題五第三講 思想方法與規(guī)范解答教案 理
