2020年高考數(shù)學二輪復習 專題7 第2講 推理與證明同步練習 新人教A版

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1、2020年高考數(shù)學二輪復習同步練習：專題7不等式、推理與證明、算法與復數(shù)第2講 推理與證明 一、選擇題 1．下面哪個平面圖形與空間的平行六面體作為類比對象較合適(　　) A．三角形　　　　　　　 B．平行四邊形 C．梯形 D．矩形 [答案]　B [解析]　因為平行六面體的側(cè)面和底面都是平行四邊形，故選B. 2．①已知p3＋q3＝2，求證p＋q≤2，用反證法證明時，可假設(shè)p＋q≥2，②已知a，b∈R，|a|＋|b|<1，求證方程x2＋ax＋b＝0的兩根的絕對值都小于1.用反證法證明時可假設(shè)方程有一根x1的絕對值大于或等于1，即假設(shè)|x1|≥1.以下結(jié)論正確的是(　　) A．①

2、與②的假設(shè)都錯誤 B．①與②的假設(shè)都正確 C．①的假設(shè)正確；②的假設(shè)錯誤 D．①的假設(shè)錯誤；②的假設(shè)正確 [答案]　D [解析]　反證法的實質(zhì)是命題的等價性，因為命題p與命題的否定?p真假相對，故直接證明困難時，可用反證法．故選D. 3．(2020·山東濰坊)若P＝＋，Q＝＋(a≥0)則P、Q的大小關(guān)系是(　　) A．P>Q B．P＝Q C．P

3、明f(x)＝2x＋1為增函數(shù)的過程中，有下列四個命題：①增函數(shù)的定義是大前提；②增函數(shù)的定義是小前提；③函數(shù)f(x)＝2x＋1滿足增函數(shù)的定義是小前提；④函數(shù)f(x)＝2x＋1滿足增函數(shù)的定義是大前提．其中正確的命題是(　　) A．①②　 　 B．②④　 　 C．①③　 　 D．②③ [答案]　C [解析]　大前提是增函數(shù)的定義，小前提是函數(shù)f(x)＝2x＋1滿足增函數(shù)的定義． 5．如圖是今年元宵花燈展中的一款五角星燈連續(xù)旋轉(zhuǎn)閃爍所成的三個圖形，照此規(guī)律閃爍，下一個呈現(xiàn)出來的圖形是(　　) [答案]　A [解析]　可以從單獨的一個小三角形閃爍找規(guī)律，如圖所示，其按順時針方

4、向旋轉(zhuǎn)且間隔一個小三角形閃爍，且周期為5，因此第4次閃爍為A圖，故應(yīng)選A. 6．(文)(2020·浙江五校聯(lián)考)觀察下圖： 1 2　3　4 3　4　5　6　7 4　5　6　7　8　9　10 ………… 則第(　　)行的各數(shù)之和等于20202.(　　) A．2020 B．2020 C．1006 D．1005 [答案]　C [解析]　由題設(shè)圖知，第一行各數(shù)和為1；第二行各數(shù)和為9＝32；第三行各數(shù)和為25＝52；第四行各數(shù)和為49＝72；…，∴第n行各數(shù)和為(2n－1)2，令2n－1＝2020，解得n＝1006. (理)(2020·江西理，7)觀察下列各式：55＝

5、3125, 56＝15625, 57＝78125，…，則52020 的末四位數(shù)字為(　　) A．3125 B．5625 C．0625 D．8125 [答案]　D [解析]　因為58＝390625,59＝1953125. 2020＝502×4＋3，故52020的末四位數(shù)字為8125，故選D. 7．(2020·皖南八校聯(lián)考)為提高信息在傳輸中的抗干擾能力，通常在原信息中按一定規(guī)則加入相關(guān)數(shù)據(jù)組成傳輸信息．設(shè)定原信息為a0a1a2，ai∈(0,1)(i＝0,1,2)，傳輸信息為h0a0a1a2h1，其中h0＝a0⊕a1，h1＝h0⊕a2，⊕運算規(guī)則為：0⊕0＝0,0⊕1＝1,1

6、⊕0＝1,1⊕1＝0.例如原信息為111，則傳輸信息為01111，傳輸信息在傳輸過程中受到干擾可能導致接收信息出錯，則下列接收信息一定有誤的是(　　) A．11010 B．01100 C．10111 D．00011 [答案]　C [解析]　對于選項C，傳輸信息是10111，對應(yīng)的原來的信息是011，由題目里的約定計算h0＝0⊕1＝1，而h1＝h0⊕a2＝1⊕1＝0，這時傳輸信息應(yīng)是10110. 8．(2020·北京宣武二模)如圖，一個質(zhì)點在第一象限運動，在第一秒鐘它由原點運動到點(0,1)，而后按圖所示在與x軸、y軸平行的方向運動，且每秒移動一個單位長度，那么經(jīng)過2000秒后

7、，這個質(zhì)點所處的位置的坐標是(　　) A．(24,24) B．(24,44) C．(44,24) D．(44,44) [答案]　C [解析]　第一、二、三、…個正方形邊長分別是1,2,3，…，故走完第一、二、三、…個正方形分別用時3,5,7，…秒． 由3＋5＋7＋…＋(2n＋1)<2000，∴n<44. 走完前43個正方形共用時3＋5＋7＋…＋87＝1935(秒)，此時動點坐標為(0,43)． 再走65秒后，動點坐標為(44,24)． 二、填空題 9．(2020·菏澤市二模)已知數(shù)列{an}滿足a1＝2，an＋1＝(n∈N*)，則a3＝________，a1·a2

8、·a3·…·a2020＝________. [答案]?。? [解析]　法一：分別求出a2＝－3，a3＝－，a4＝，a5＝2， 可以發(fā)現(xiàn)a5＝a1，且a1·a2·a3·a4＝1， 故a1·a2·a3·…·a2020＝(a1a2a3a4)503＝1. 法二：由an＋1＝聯(lián)想到兩角和的正切公式， 設(shè)a1＝2＝tanθ， 則有a2＝tan(＋θ)， a3＝tan(＋θ)， a4＝tan(π＋θ)，a5＝tan(π＋θ)＝a1，… 則a1·a2·a3·a4＝1，故a1·a2·a3·…·a2020＝(a1a2a3a4)503＝1. 10．若三角形內(nèi)切圓的半徑為r，三邊長為a、b、c

9、，則三角形的面積等于S＝r(a＋b＋c)，根據(jù)類比推理的方法，若一個四面體的內(nèi)切球的半徑為R，四個面的面積分別是S1、S2、S3、S4，則四面體的體積V＝________. [答案]　R(S1＋S2＋S3＋S4) [解析]　找出它們的相似可比性和對應(yīng)關(guān)系，即可得答案． 11．(文)(2020·陜西文，13)觀察下列等式 1＝1 2＋3＋4＝9 3＋4＋5＋6＋7＝25 4＋5＋6＋7＋8＋9＋10＝49 …… 照此規(guī)律，第五個等式應(yīng)為______________________． [答案]　5＋6＋7＋8＋9＋10＋11＋12＋13＝81 [解析]　依據(jù)前4個等式的規(guī)律，

10、第n個等式左側(cè)是從n開始的2n－1個自然數(shù)的和，右側(cè)是(2n－1)2，所以第五個等式是5＋6＋7＋8＋9＋10＋11＋12＋13＝81. (理)(2020·陜西理，13)觀察下列等式 1＝1 2＋3＋4＝9 3＋4＋5＋6＋7＝25 4＋5＋6＋7＋8＋9＋10＝49 …… 照此規(guī)律，第n個等式為________． [答案]　n＋(n＋1)＋(n＋2)＋…＋(3n－2)＝(2n－1)2 12．(文)(2020·浙江五校聯(lián)考)某少數(shù)民族的刺繡有著悠久的歷史，圖(1)、(2)、(3)、(4)為她們的刺繡中最簡單的四個圖案，這些圖案都是由小正方形構(gòu)成，小正方形數(shù)越多刺繡越漂亮；現(xiàn)按

11、同樣的規(guī)律刺繡(小正方形的擺放規(guī)律相同)，設(shè)第n個圖形包含f(n)個小正方形，則f(6)＝________. [答案]　61 [解析]　f(1)＝1，f(2)＝1＋3＋1＝5，f(3)＝1＋3＋5＋(1＋3)＝9＋4＝13， f(4)＝1＋3＋5＋7＋(1＋3＋5)＝16＋9＝25， f(5)＝1＋3＋5＋7＋9＋(1＋3＋5＋7)＝25＋16＝41， f(6)＝1＋3＋5＋7＋9＋11＋(1＋3＋5＋7＋9)＝36＋25＝61. (理)(2020·汕頭一檢)在平面幾何中，△ABC的內(nèi)角平分線CE分AB所成線段的比＝，把這個結(jié)論類比到空間：在三棱錐A－BCD中(如圖所示)，平面

12、DEC平分二面角A－CD－B且與AB相交于點E，則得到的類比的結(jié)論是________________． [答案]?。? [解析]　在△ABC中，作ED⊥AC于D，EF⊥BC于F，則ED＝EF， ∴＝＝. 類比：由題意知E到平面ADC與平面BCD的距離相等，則 ＝，而－＝＝. ∴＝. 三、解答題 13．若x，y都是正實數(shù)，且x＋y>2， 求證：<2和<2中至少有一個成立． [證明]　假設(shè)<2和<2都不成立， 則有≥2和≥2同時成立． 因為x>0且y>0，所以1＋x≥2y，且1＋y≥2x， 兩式相加，得2＋x＋y≥2x＋2y， 這與已知條件x＋y>2矛盾， 因此<2

13、和<2中至少有一個成立． 14．(文)觀察下列三角形數(shù)表 假設(shè)第n行的第二個數(shù)為an(n≥2，n∈N*)， (1)依次寫出第六行的所有6個數(shù)字； (2)歸納出an＋1與an的關(guān)系式并求出an的通項公式． [解析]　(1)第六行的所有6個數(shù)字分別是6,16,25,25,16,6. (2)依題意an＋1＝an＋n(n≥2)， a2＝2， an＝a2＋(a3－a2)＋(a4－a3)＋…＋(an－an－1) ＝2＋2＋3＋…＋(n－1) ＝2＋， 所以an＝n2－n＋1(n≥2)． (理)已知a>0，求證：－≥a＋－2. [解析]　證明：要證－≥a＋－2， 只需證＋2≥a＋

14、＋. ∵a>0，故只需證(＋2)2≥(a＋＋)2， 即a2＋＋4＋4≥a2＋2＋＋2(a＋)＋2， 從而只需證2≥(a＋)， 只需證4(a2＋)≥2(a2＋2＋)，即a2＋≥2，而上述不等式顯然成立，故原不等式成立． 15．(文)已知a、b、c是正實數(shù)，且a＋b＋c＝1，求證： ①a2＋b2＋c2≥； ②＋＋≤. [解析]　證明：①∵a＋b＋c＝1，∴(a＋b＋c)2＝1. ∴a2＋b2＋c2＋2ab＋2bc＋2ca＝1.　　(*) 又2ab≤a2＋b2,2bc≤b2＋c2,2ca≤c2＋a2， ∴2ab＋2bc＋2ca≤2(a2＋b2＋c2)． ∴a2＋b2＋c2＋2

15、ab＋2bc＋2ca≤3(a2＋b2＋c2)． 所以由(*)可得a2＋b2＋c2≥. ②∵a、b、c∈R＋， ∴a＋b≥2，b＋c≥2，c＋a≥2. ∴2(a＋b＋c)≥2(＋＋)． ∴a＋b＋c＋2＋2＋2≤3(a＋b＋c)＝3. ∴(＋＋)2≤3，∴＋＋≤. (理)已知數(shù)列{an}的各項都是正數(shù)，且滿足a0＝1，an＋1＝an(4－an)，n∈N. (1)證明an

16、ak－10，∴ak－ak＋1<0. 又ak＋1＝ak(4－ak)＝[4－(ak－2)2]<2， ∴n＝k＋1時命題正確． 由1 °、2°，知對一切n∈N時有an