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1、2020年高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí)同步練習(xí)：專題9 數(shù)學(xué)思想方法第2講 數(shù)形結(jié)合思想
一、選擇題
1．若實(shí)數(shù)x，y滿足等式(x－2)2＋y2＝3，那么的最大值為( )
A. B.
C. D.
[答案] D
[解析] 設(shè)k＝，
即y＝kx，如圖所示，
kOB＝tan∠O′OB＝＝，
kOA＝－tan∠O′OA＝－＝－，
且kOA≤k≤kOB，∴kmax＝.
2．函數(shù)y＝|sinx|的一個(gè)單調(diào)增區(qū)間是( )
A．(－，) B．(，)
C．(π，) D．(，2π)
[答案] C
[解析] y＝|sinx|的圖
2、象如圖所示，
觀察可得(π，)符合題意．
3．已知不等式1} B．{x|x>－1}
C．{x|0
3、－2|a||3b|cos120°
＝12＋32－2×1×3×(－)＝13.
則|a＋3b|＝.
5．(2020·天津理，8)對(duì)實(shí)數(shù)a和b，定義運(yùn)算“?”：a?b＝設(shè)函數(shù)f(x)＝(x2－2)?(x－x2)，x∈R，若函數(shù)y＝f(x)－c的圖象與x軸恰有兩個(gè)公共點(diǎn)，則實(shí)數(shù)c的取值范圍是( )
A．(－∞，2]∪(－1，) B．(－∞，－2]∪(－1，－)
C．(－1，)∪(，＋∞) D．(－1，－)∪[，＋∞)
[答案] B
[解析] 由已知得f(x)＝
如圖，要使y＝f(x)－c與x軸恰有兩個(gè)公共點(diǎn)，
則－1
4、及函數(shù)圖象與x軸的交點(diǎn)及平移等基礎(chǔ)知識(shí)，考查理解和處理新信息的創(chuàng)新能力及數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用，難度較大．
6．設(shè)函數(shù)f(x)＝若f(x0)>1，則x0的取值范圍為( )
A．(－1,1) B．(－1，＋∞)
C．(－∞，－2)∪(0，＋∞) D．(－∞，－1)∪(1，＋∞)
[答案] D
[解析] 作出函數(shù)y＝f(x)的圖象和直線y＝1，它們相交于(－1,1)和(1,1)，
由f(x0)>1得x0<－1或x0>1.
7．點(diǎn)M是橢圓＋＝1上一點(diǎn)，它到其中一個(gè)焦點(diǎn)F1的距離為2，N為MF1的中點(diǎn)，O表示原點(diǎn)，則|ON|＝( )
A. B．2
C．4 D．8
5、
[答案] C
[解析] 設(shè)橢圓另一焦點(diǎn)為F2，如圖．
則|MF1|＋|MF2|＝2a，
而a＝5，|MF1|＝2，∴|MF2|＝8.
又注意到N、O各為MF1、F1F2的中點(diǎn)，
∴ON是△MF1F2的中位線，
∴|ON|＝|MF2|＝×8＝4.
8．(2020·北京豐臺(tái)模擬)已知函數(shù)f(x)＝x3－x2－x，則f(－a2)與f(4)的大小關(guān)系為( )
A．f(－a2)≤f(4) B．f(－a2)
6、x，
∴f′(x)＝x2－2x－.
由f′(x)＝(3x－7)(x＋1)＝0得x＝－1或x＝.
當(dāng)x<－1時(shí)，f(x)為增函數(shù)；
當(dāng)－1時(shí)，f(x)為增函數(shù)，
計(jì)算可得f(－1)＝f(4)＝2，
又－a2≤0，由圖象可知f(－a2)≤f(4)．
二、填空題
9．已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，S15＝S37，a1>0，三點(diǎn)P(2n－3，an)，Q(2n，an＋1)，R(2n＋3，an＋2)在一條直線上，則當(dāng)n＝________時(shí)，Sn取得最大值．
[答案] 26
[解析] 由點(diǎn)P(2n－3，an)，Q(2n，an
7、＋1)，R(2n＋3，an＋2)在一條直線上，得＝，
即2an＋1＝an＋an＋2，
所以數(shù)列{an}是等差數(shù)列，Sn是關(guān)于n的二次函數(shù)，
又S15＝S37，a1>0，
由二次函數(shù)圖象性質(zhì)可知，S26最大．
10．已知|a|＝2，|b|＝3，|a－b|＝，則向量a與b的夾角為_(kāi)_______．
[答案] 60°
[解析] 由向量減法運(yùn)算的幾何意義知，若＝a，＝b，則＝a－b(如圖)，在三角形OAB中，設(shè)向量a與b的夾角為θ，由余弦定理得cosθ＝＝，所以θ＝60°，即向量a與b的夾角為60°.
11．過(guò)點(diǎn)A(1，)的直線l將圓(x－2)2＋y2＝4分成兩段弧，當(dāng)劣弧所對(duì)的圓
8、心角最小時(shí)，直線l的斜率k＝________.
[答案]
[解析] 由圖形可知點(diǎn)A(1，)在圓(x－2)2＋y2＝4的內(nèi)部，圓心為M(2,0)，要使得劣弧所對(duì)的圓心角最小，只能是直線l⊥MA，所以kl＝－＝－＝.
12．已知實(shí)數(shù)x，y滿足條件，復(fù)數(shù)z＝x＋yi(i為虛數(shù)單位)，則|z－1＋2i|的最大值和最小值分別是________．
[答案] 2，
[解析] 由于|z－1＋2i|＝|(x＋yi)－1＋2i|＝，所以它表示點(diǎn)P(x，y)與M(1，－2)之間的距離．畫出可行域(如圖)，求得A(3,8)，可知|MA|＝2是最大值，M到直線x＋y＝0的距離為最小值．
三、解答題
9、
13．若在區(qū)間(0,1)內(nèi)任取兩個(gè)數(shù)，求事件A：兩數(shù)之和小于的概率．
[解析] 設(shè)x，y表示在(0,1)內(nèi)隨機(jī)地取得的兩個(gè)數(shù)．
則0≤x，y≤1，把(x，y)看作平面xOy內(nèi)的點(diǎn)的坐標(biāo)，則所有基本事件可用圖中的正方形區(qū)域表示，其面積為1，而事件A：“兩數(shù)之和小于”，則用圖中的陰影部分來(lái)表示，其面積為.故所求事件的概率為P＝＝.
14．(文)已知有向線段PQ的起點(diǎn)P與終點(diǎn)Q的坐標(biāo)分別為P(－1,1)，Q(2,2)．若直線l：x＋my＋m＝0與有向線段PQ延長(zhǎng)線相交，求實(shí)數(shù)m的取值范圍．
[解析] 直線l的方程x＋my＋m＝0可化為點(diǎn)斜式：y＋1＝－(x－0)，易知直線l過(guò)定點(diǎn)
10、M(0，－1)，且斜率為－.
∵l與PQ的延長(zhǎng)線相交，由數(shù)形結(jié)合，可得當(dāng)過(guò)M且與PQ平行時(shí)，直線l的斜率趨近于最?。划?dāng)過(guò)點(diǎn)M、Q時(shí)，直線l的斜率趨近于最大．
又kPQ＝＝，kMQ＝＝，
設(shè)l的斜率為k1，由kPQ
11、坐標(biāo)系，
則C(0,0,0)，A(a,0,0)，
B(0，a,0)，D(，，0)，
V(0,0，atanθ)
于是V＝(，，－atanθ)，
C＝(，，0)，A＝(－a，a,0)．
從而A·C＝(－a，a,0)·(，，0)
?。剑璦2＋a2＋0＝0，
即AB⊥CD.
同理A·V＝(－a，a,0)·(，，－atanθ)
?。剑璦2＋a2＋0＝0，
即AB⊥VD.又CD∩VD＝D，∴AB⊥平面VCD.
又AB?平面VAB.
∴平面VAB⊥平面VCD.
(2)設(shè)直線BC與平面VAB所成的角為φ，平面VAB的一個(gè)法向量為n＝(x，y，z)，
則由，得.
12、
可取n＝(1,1，cotθ)．
又B＝(0，－a,0)，
于是sinφ＝||＝＝sinθ.
∵0<θ<，∴0
13、x)＝3x2＋2bx＋c，
從而F(x)＝f(x)－f′(x)＝x3＋bx2＋cx＋d－(3x2＋2bx＋c)＝x3＋(b－3)x2＋(c－2b)x＋(d－c)是一個(gè)奇函數(shù)，
所以F(－x)＝－x3＋(b－3)x2－(c－2b)x＋(d－c)
＝－x3－(b－3)x2－(c－2b)x－(d－c)
＝－F(x)．
由F(0)＝0得d－c＝0，
故d＝c，由b－3＝0，得b＝3.
由F(1)＝t可得
1＋(b－3)＋(c－2b)＋(d－c)＝t，
即d＝5＋t，所以d＝c＝5＋t.
(2)由(1)知F(x)＝x3＋(t－1)x，
從而F′(x)＝3x2＋(t－1)．
令3x
14、2＋(t－1)＝0，得x＝±，
由F′(x)＝3x2＋(t－1)>0，
得x>或x<－.
由F′(x)＝3x2＋(t－1)<0，
得－
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