2020年高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí) 專題6 第2講 圓錐曲線同步練習(xí) 新人教A版

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1、2020年高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí)同步練習(xí)：專題6解析幾何第2講 一、選擇題 1．(2020·安徽理，2)雙曲線2x2－y2＝8的實軸長是(　　) A．2　　　　　　　　　　 B．2 C．4 D．4 [答案]　C [解析]　由2x2－y2＝8可得－＝1， 則a2＝4，a＝2,2a＝4，故選C. 2．(2020·湖南理，5)設(shè)雙曲線－＝1(a>0)的漸近線方程為3x±2y＝0，則a的值為(　　) A．4 B．3 C．2 D．1 [答案]　C [解析]　雙曲線的漸近線方程為y＝±x， 比較y＝±x，∴a＝2. 3．(2020·天津文，6)已知雙曲線－＝1(a>0

2、，b>0)的左頂點與拋物線y2＝2px(p>0)的焦點的距離為4，且雙曲線的一條漸近線與拋物線的準(zhǔn)線的交點坐標(biāo)為(－2，－1)，則雙曲線的焦距為(　　) A．2 B．2 C．4 D．4 [答案]　B [解析]　∵拋物線的準(zhǔn)線與雙曲線的一條漸近線的交點為(－2，－1)， ∴－＝－2，p＝4，拋物線方程為y2＝8x， 雙曲線漸近線的斜率＝. ∴拋物線焦點坐標(biāo)為(2,0)． 由題意2－(－a)＝4，得a＝2， ∴b＝1，c2＝a2＋b2＝4＋1＝5. ∴2c＝2. 4．(2020·山東菏澤)方程為＋＝1(a>b>0)的橢圓左頂點為A，左、右焦點分別為F1、F2，D是它短

3、軸上的一個頂點，若3＝＋2，則該橢圓的離心率為(　　) A. B. C. D. [答案]　D [解析]　∵3＝＋2， ∴2(－)＝－， ∴＝2，即a－c＝4c， ∴e＝＝. 5．(2020·海南五校聯(lián)考)如圖，正六邊形ABCDEF的兩個頂點A、D為雙曲線的兩個焦點，其余4個頂點都在雙曲線上，則該雙曲線的離心率是(　　) A.＋1 B.－1 C. D. [答案]　A [解析]　設(shè)正六邊形的邊長為1，則AE＝，ED＝1， AD＝2，∴2a＝AE－ED＝－1,2c＝AD＝2， ∴e＝＝＝＋1. 6．(2020·大連一模)設(shè)F為拋物線y2＝2px(p>

4、0)的焦點，A，B，C為該拋物線上三點，當(dāng)＋＋＝0，且||＋||＋||＝3時，此拋物線的方程為(　　) A．y2＝2x B．y2＝4x C．y2＝6x D．y2＝8x [答案]　A [解析]　由題意知焦點F(，0)，設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，C(x3，y3)，則由＋＋＝0，得(x1－)＋(x2－)＋(x3－)＝0，∴x1＋x2＋x3＝.又由拋物線定義，得||＋||＋||＝(x1＋)＋(x2＋)＋(x3＋)＝3p＝3，∴p＝1，因此所求拋物線的方程為y2＝2x. 7．(2020·大綱全國卷理，10)已知拋物線C：y2＝4x的焦點為F，直線y＝2x－4與C交于A，B兩

5、點，則cos∠AFB＝(　　) A. B. C．－ D．－ [答案]　D [解析]　方法一：聯(lián)立，不妨設(shè)A在x軸上方，∴A(4,4)，B(1，－2)， ∵F點坐標(biāo)為(1,0)，∴＝(3,4)，＝(0，－2)， cos∠AFB＝＝＝－. 方法二：|AB|＝3，|AF|＝5，|BF|＝2， 由余弦定理知，cos∠AFB＝＝－. 8．(文)(2020·遼寧文，7)已知F是拋物線y2＝x的焦點，A，B是該拋物線上的兩點，|AF|＋|BF|＝3，則線段AB的中點到y(tǒng)軸的距離為(　　) A. B．1 C. D. [答案]　C [解析]　如圖所示： ∵|AF|

6、＝|AK|，|BF|＝|BM| ∴|AK|＋|BM|＝|AF|＋|BF|＝3 ∴AB的中點P到準(zhǔn)線的距離 |PN|＝(|AK|＋|BM|)＝ ∴點P到y(tǒng)軸的距離為－＝. (理)(2020·浙江理，8)已知橢圓C1：＋＝1(a>b>0)與雙曲線C2：x2－＝1 有公共的焦點，C1的一條漸近線與以C1的長軸為直徑的圓相交于A，B兩點．若C1 恰好將線段AB三等分，則(　　) A．a(chǎn)2＝ B．a(chǎn)2＝13 C. b2＝ D．b2＝ 2 [答案]　C [解析]　由雙曲線x2－＝1知焦點坐標(biāo)為(－，0)，(，0)，漸近線方程為y＝±2x. ∴橢圓中：a2＝b

7、2＋5，由條件知|AB|＝2a， 由得x2＝， y2＝，又2＝|AB|， ∴＝ 整理，得：a2＝11b2，結(jié)合a2＝b2＋5，得a2＝，b2＝，選C. 二、填空題 9．(2020·陜西質(zhì)檢二)已知拋物線C的頂點為原點，焦點在x軸上，直線y＝x與拋物線C交于A，B兩點．若P(2,2)為AB的中點，則拋物線C的方程為________． [答案]　y2＝4x [解析]　設(shè)拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為y2＝2px，A(x1，y1)，B(x2，y2)，則y＝2px1，y＝2px2，兩式相減可得(y1－y2)(y1＋y2)＝2p(x1－x2)，則kAB＝＝，∴＝1，解得p＝2，即所求拋物線方程為y2

8、＝4x. 10．已知拋物線C的頂點在坐標(biāo)原點，焦點為F(1,0)，直線l與拋物線C相交于A、B兩點．若AB的中點為(2,2)，則直線l的方程為__________． [答案]　y＝x [解析]　因為拋物線頂點在原點，焦點F(1,0)，故拋物線方程為y2＝4x.設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)(x1≠x2)， 則y＝4x1，y＝4x2. ∴(y1－y2)(y1＋y2)＝4(x1－x2)， ∴kAB＝＝1， ∴直線AB的方程為y－2＝x－2，即y＝x. 11．(文)(2020·山東文，15)已知雙曲線－＝1(a>0，b>0)和橢圓＋＝1有相同的焦點，且雙曲線的離心率是橢圓離心率

9、的兩倍，則雙曲線的方程為________________． [答案]?。? [解析]　橢圓焦點為(±，0)，所以a2＋b2＝7，橢圓離心率為e＝，∴＝×2，∴a＝2，b＝， ∴雙曲線方程為－＝1. (理)(2020·江西理，14)若橢圓＋＝1的焦點在x軸上，過點(1，)作圓x2＋y2＝1的切線，切點分別為A，B，直線AB恰好經(jīng)過橢圓的右焦點和上頂點，則橢圓方程是________________． [答案]?。? [解析]　解法一：點在圓外過點(1，)與圓相切的一條直線方程為x＝1，一個切點為(1,0)，設(shè)另一條的方程為y＝x＋m，由1＝得m＝，故另一條切線的方程為y＝－x＋代入

10、圓的方程聯(lián)立解得切點為，則直線AB的方程為y＝－2x＋2，故橢圓的上頂點坐標(biāo)為(0,2)．因此c＝1，b＝2，a＝，所求橢圓方程為＋＝1. 解法二：由題意可得切點A(1,0)． 切點B(m，n)滿足解得B. ∴過切點A，B的直線方程為2x＋y－2＝0. 令y＝0得x＝1，即c＝1； 令x＝0得y＝2，即b＝2. ∴a2＝b2＋c2＝5，∴橢圓方程為＋＝1. 12．(文)(2020·江西文，12)若雙曲線－＝1的離心率e＝2，則m＝________. [答案]　48 [解析]　c2＝a2＋b2＝16＋m，又∵e＝， ∴e＝2＝，∴m＝48. (理)(2020·海淀模擬)已知

11、有公共焦點的橢圓與雙曲線的中心為原點，焦點在x軸上，左、右焦點分別為F1、F2，且它們在第一象限的交點為P，△PF1F2是以PF1為底邊的等腰三角形．若|PF1|＝10，雙曲線的離心率的取值范圍為(1,2)．則該橢圓的離心率的取值范圍是________． [答案]　(，) [解析]　設(shè)橢圓的半焦距為c，長半軸長為a，由橢圓的定義及題意知，|PF1|＝2a－|PF2|＝2a－2c＝10，得到a－c－5＝0，因為雙曲線的離心率的取值范圍為(1,2)，所以1<<2，∴

12、橢圓C：＋＝1(a>b>0)的離心率為，橢圓C上任意一點到橢圓C兩個焦點的距離之和為6. (1)求橢圓C的方程； (2)設(shè)直線l：y＝kx－2與橢圓C交于A，B兩點，點P(0,1)，且|PA|＝|PB|，求直線l的方程． [解析]　(1)由已知2a＝6，e＝＝， 解得a＝3，c＝，所以b2＝a2－c2＝3， 所以橢圓C的方程為＋＝1. (2)由得，(1＋3k2)x2－12kx＋3＝0， 因為直線l與橢圓C有兩個不同的交點， 所以Δ＝144k2－12(1＋3k2)>0，解得k2>. 設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，AB的中點為E， 則x1＋x2＝，x1x2＝， y1＋

13、y2＝k(x1＋x2)－4＝k·－4＝－， 所以AB的中點坐標(biāo)為E， 因為|PA|＝|PB|，所以PE⊥AB，kPE·kAB＝－1， 所以·k＝－1， 解得k＝1或k＝－1，經(jīng)檢驗，符合題意． 所以直線l的方程為x－y－2＝0或x＋y＋2＝0. 14．(文)(2020·天津文，18)設(shè)橢圓＋＝1(a>b>0)的左、右焦點分別為F1，F(xiàn)2，點P(a，b)滿足|PF2|＝|F1F2|. (1)求橢圓的離心率e； (2)設(shè)直線PF2與橢圓相交于A，B兩點，若直線PF2與圓(x＋1)2＋(y－)2＝16相交于M，N兩點，且|MN|＝|AB|，求橢圓的方程． [解析]　(1)設(shè)F1(－

14、c,0)，F(xiàn)2(c,0)(c>0)， 因為|PF2|＝|F1F2|，所以＝2c，整理得22＋－1＝0，得＝－1(舍)或＝， 所以e＝. (2)由(1)知a＝2c，b＝c，可得橢圓方程為3x2＋4y2＝12c2，直線PF2的方程為y＝(x－c)， A，B兩點的坐標(biāo)滿足方程組， 消去y并整理，得5x2－8cx＝0，解得x1＝0，x2＝c， 得方程組的解， 不妨設(shè)A，B， 所以|AB|＝＝c. 于是|MN|＝|AB|＝2c， 圓心到直線PF2的距離 d＝＝. 因為d2＋2＝42，所以(2＋c)2＋c2＝16. 整理得7c2＋12c－52＝0，得c＝－(舍)，或c＝2， 所

15、以橢圓方程為＋＝1. (理)(2020·天津理，18)在平面直角坐標(biāo)系xOy中，點P(a，b)(a>b>0)為動點，F(xiàn)1，F(xiàn)2分別為橢圓＋＝1的左、右焦點，已知△F1PF2為等腰三角形． (1)求橢圓的離心率e； (2)設(shè)直線PF2與橢圓相交于A，B兩點，M是直線PF2上的點，滿足·＝－2，求點M的軌跡方程． [解析]　(1)設(shè)F1(－c,0)，F(xiàn)2(c,0)(c>0)．由題意，可得|PF2|＝|F1F2|，即＝2c.整理得 22＋－1＝0.得＝－1(舍)或＝. 所以e＝. (2)由(1)知a＝2c，b＝c，可得橢圓方程為3x2＋4y2＝12c2，直線PF2方程為v＝(x－c)．

16、 A，B兩點的坐標(biāo)滿足方程組 消去y并整理，得5x2－8cx＝0，解得x1＝0，x2＝c. 得方程組的解 不妨設(shè)A，B. 設(shè)點M的坐標(biāo)為(x，y)，則＝，＝(x，y＋c)． 由y＝(x－c)，得c＝x－y. 于是＝，＝(x，x)． 由·＝－2，即·x＋·x＝－2，化簡得18x2－16xy－15＝0， 將y＝代入c＝x－y，得c＝>0. 所以x>0. 因此，點M的軌跡方程是18x2－16xy－15＝0(x>0)． 15．(2020·北京理，19)已知橢圓G：＋y2＝1，過點(m,0)作圓x2＋y2＝1的切線l交橢圓G于A、B兩點． (1)求橢圓G的焦點坐標(biāo)和離心率；

17、(2)將|AB|表示為m的函數(shù)，并求|AB|的最大值． [解析]　(1)由已知得a＝2，b＝1， 所以c＝＝. 所以橢圓G的焦點坐標(biāo)為(－，0)，(，0)，離心率為e＝＝. (2)由題意知，|m|≥1， 當(dāng)m＝1時，切線l的方程為x＝1，點A，B的坐標(biāo)分別為(1，)，(1，－)，此時|AB|＝. 當(dāng)m＝－1時，同理可得|AB|＝. 當(dāng)|m|>1時，設(shè)切線l的方程為y＝k(x－m)． 由得(1＋4k2)x2－8k2mx＋4k2m2－4＝0. 設(shè)A，B兩點的坐標(biāo)分別為(x1，y1)，(x2，y2)，則 x1＋x2＝，x1x2＝. 又由l與圓x2＋y2＝1相切，得＝1， 即m2k2＝k2＋1. 所以|AB|＝ ＝ ＝ ＝. 由于當(dāng)m＝±1時，|AB|＝， 所以|AB|＝，m∈(－∞，－1]∪[1，＋∞)． 因為|AB|＝＝≤2，且當(dāng)m＝±時，|AB|＝2. 所以|AB|的最大值為2.