《高中數(shù)學 第三章 導數(shù)及其應(yīng)用 3.1 導數(shù) 3.1.2 瞬時速度與導數(shù) 3.1.3 導數(shù)的幾何意義素材 新人教B版選修1-1（通用）》由會員分享，可在線閱讀，更多相關(guān)《高中數(shù)學 第三章 導數(shù)及其應(yīng)用 3.1 導數(shù) 3.1.2 瞬時速度與導數(shù) 3.1.3 導數(shù)的幾何意義素材 新人教B版選修1-1（通用）（4頁珍藏版）》請在裝配圖網(wǎng)上搜索。
1、3.1.2 瞬時速度與導數(shù) 3.1.3 導數(shù)的幾何
課堂探究
探究一 求導數(shù)
求函數(shù)在點x0處的導數(shù)就是求該點的函數(shù)值的改變量與自變量的改變量的比的極限，求解過程中要注意對式子的變形和約分，變形不徹底可能會導致不存在，得出錯誤結(jié)論．
【典型例題1】 已知函數(shù)y＝，求y′，y′|x＝1.
思路分析：按求導數(shù)的步驟求解即可，但要注意變形的技巧．
解：因為Δy＝－，
所以＝
＝
＝ .
所以y′＝ ＝ ＝ .
所以y′|x＝1＝.
點評 函數(shù)的導數(shù)與在點x0處的導數(shù)不是同一概念，在點x0處的導數(shù)是函數(shù)的導數(shù)在x＝x0處的函數(shù)值．分子有理化是解決本題的一種重要的變形技巧，要認
2、真體會．
探究二 利用導數(shù)求曲線的切線方程
求曲線上某點(x0，y0)處的切線方程，需要先求出f′(x0)，即切線的斜率，再用點斜式寫出切線方程后化簡，但要注意分清“求曲線y＝f(x)上過點M的切線”與“求曲線y＝f(x)上在點M處的切線”兩者的不同．
【典型例題2】 如圖，已知曲線y＝x3上一點P，
求：(1)點P處的切線方程．
(2)滿足斜率為1的曲線的切線方程．
思路分析：(1)先利用導數(shù)的幾何意義求斜率，然后寫出切線方程．
(2)設(shè)出切點坐標，利用斜率求出切點坐標，從而得切線方程．
解：因為y＝f(x)＝x3，
所以y′＝＝
＝
＝
＝x2.
(1)因為
3、y′|x＝2＝4，
所以在點P處的切線方程為y－＝4(x－2)，
即12x－3y－16＝0.
(2)設(shè)切點坐標為M，
由于切線斜率k＝，
則＝1，x0＝±1，那么切點坐標M或M′，所以所求切線方程為y＋＝x＋1或y－＝x－1，即x－y＋＝0或x－y－＝0.
探究三 導數(shù)幾何意義的應(yīng)用
(1)與導數(shù)的幾何意義相關(guān)的題目往往涉及解析幾何的相關(guān)知識，如直線間的位置關(guān)系等，因此要綜合應(yīng)用所學知識解題．
(2)與導數(shù)的幾何意義相關(guān)的綜合問題解題的關(guān)鍵是函數(shù)在某點處的導數(shù)，已知切點可以求斜率，已知斜率也可以求切點，切點的坐標是常設(shè)的未知量．
【典型例題3】 已知點M(0，－1)，F(xiàn)(0
4、,1)，過點M的直線l與曲線y＝x3－4x＋4在x＝－2處的切線平行．
(1)求直線l的方程；
(2)求以點F為焦點，l為準線的拋物線C的方程．
思路分析：要求直線l的方程，只需求y′|x＝－2，要求拋物線C的方程，可以利用拋物線的定義求解．
解：(1)設(shè)曲線y＝f(x)，
因為y′|x＝－2＝ ＝0，
所以直線l的斜率為0，其方程為y＝－1.
(2)因為拋物線以點F(0,1)為焦點，y＝－1為準線，
所以可設(shè)拋物線方程為x2＝2py，
則有＝1，p＝2.
故拋物線C的方程為x2＝4y.
探究四 易錯辨析
易錯點 混淆切點與切線經(jīng)過的點
【典型例題4】 試求過點P(
5、3,5)且與曲線y＝x2相切的直線的方程．
錯解：因為函數(shù)y＝x2的導數(shù)為y′＝2x，
所以y′|x＝3＝2×3＝6.
所以切線方程為y－5＝6(x－3)，即y＝6x－13.
錯因分析：沒有注意到點P不在曲線上，點P不是切點，錯解中把點P當成了切點，從而導致錯誤．
正解：直線的斜率不存在時顯然不成立．
函數(shù)y＝x2的導數(shù)為y′＝2x.
設(shè)所求切線的切點為A(x0，y0)，
則y0＝x20，切線斜率為y′|x＝x0＝2x0.
因為切線過P(3,5)和A(x0，y0)兩點，
所以其斜率為＝，所以2x0＝，
解得x0＝1或x0＝5，從而切點A的坐標為(1,1)或(5,25)．
當切點為(1,1)時，切線的斜率為2x0＝2；
當切點為(5,25)時，切線的斜率為2x0＝10.
所以所求切線有兩條，方程分別為
y－1＝2(x－1)或y－5＝10(x－3)，
即y＝2x－1或y＝10x－25.
點評 求曲線上在點P處的切線與過點P的切線有區(qū)別，在點P處的切線，點P必為切點；求過點P的切線，點P未必是切點，點P也不一定在已知曲線上．應(yīng)注意概念區(qū)別，其求解方法上也有所不同，要認真體會．若點P在曲線上，要分點P是切點和不是切點兩種情況解決．
高中數(shù)學 第三章 導數(shù)及其應(yīng)用 3.1 導數(shù) 3.1.2 瞬時速度與導數(shù) 3.1.3 導數(shù)的幾何意義素材 新人教B版選修1-1（通用）
