2021屆高三數(shù)學二輪復習 專題一 第2講 函數(shù)的圖象與性質教案

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1、 第2講　函數(shù)的圖象與性質 自主學習導引 真題感悟 1．(2012·陜西)下列函數(shù)中，既是奇函數(shù)又是增函數(shù)的為 A．y＝x＋1 　 B．y＝－x3 　 C．y＝ 　 D．y＝x|x| 解析　利用排除法求解． A選項中的函數(shù)為非奇非偶函數(shù)．B、C、D選項中的函數(shù)均為奇函數(shù)，但B、C選項中的函數(shù)不為增函數(shù)，故選D. 答案　D 2．(2012·山東)函數(shù)y＝的圖象大致為 解析　利用函數(shù)的奇偶性和函數(shù)值的變化規(guī)律求解． ∵y＝f(x)＝，∴f(－x)＝＝－f(x)，∴f(x)是奇函數(shù)，其圖象關于原點對稱，排除選項A；當x從正方向趨近0時，y＝f(x)＝趨近＋∞，排除選項B；當

2、x趨近＋∞時，y＝f(x)＝趨近0，排除選項C.故選擇選項D. 答案　D 考題分析 高考考查函數(shù)的性質主要是單調性、奇偶性與周期性的應用，考查圖象時一般以圖象的應用與識別為主，題目立意多樣、角度很靈活，高、中、低檔題目皆有，題型有選擇題，也有填空題，若為解答題，則與導數(shù)相結合． 網(wǎng)絡構建 高頻考點突破 考點一：函數(shù)及其表示 【例1】(1)(2012·衡水模擬)函數(shù)y＝ 的定義域為 A．(0,8]　　 B．(－2,8]　　 C．(2,8]　　 D．[8，＋∞) (2)(2012·石家莊二模)已知函數(shù)f(x)＝則f(f(1))＋f的值是 A．7

3、B．2 C．5 D．3 [審題導引]　(1)根據(jù)函數(shù)解析式的結構特征列出不等式組并解之； (2)根據(jù)自變量的范圍代入解析式求解． [規(guī)范解答]　(1)??－2＜x≤8， ∴函數(shù)的定義域為(－2,8]． (2)∵f(1)＝log21＝0，log3＜0， ∴f(f(1))＋f＝f(0)＋＋1 ＝90＋1＋＋1＝7. [答案]　(1)B　(2)A 【規(guī)律總結】 1．求函數(shù)定義域的類型和相應方法 (1)若已知函數(shù)的解析式，則這時函數(shù)的定義域是使解析式有意義的自變量的取值范圍，只需構建并解不等式(組)即可． (2)對于復合函數(shù)求定義域問題，若已知f(x)的定義域[a，

4、b]，其復合函數(shù)f(g(x))的定義域應由不等式a≤g(x)≤b解出． (3)實際問題或幾何問題除要考慮解析式有意義外，還應使實際問題有意義． 2．求f(g(x))類型的函數(shù)值 應遵循先內(nèi)后外的原則；而對于分段函數(shù)的求值、圖象、解不等式等問題，必須依據(jù)條件準確地找出利用哪一段求解；特別地對具有周期性的函數(shù)求值要用好其周期性． 【變式訓練】 1．已知函數(shù)f(x)的圖象如圖所示，則函數(shù)g(x)＝f(x)的定義域是________． 解析　要使函數(shù)g(x)有意義，則需f(x)＞0，由函數(shù)f(x)的圖象知2＜x≤8， 即函數(shù)g(x)＝f(x)的定義域為(2,8]． 答案　(2,8]

5、 2．已知函數(shù)f(x)＝2x－，且g(x)＝則函數(shù)g(x)的最小值是________． 解析　易知g(x)＝ ∵當x≥0，g′(x)＝(2x＋2－x)ln 2＞0， ∴g(x)min＝g(0)＝0， 當x＜0時，g′(x)＝－(2x＋2－x)ln 2＜0， ∴g(x)＞g(0)＝0. 故函數(shù)g(x)的最小值為g(0)＝0. 答案　0 考點二：函數(shù)的圖象 【例2】(1)(2012·豐臺二模)已知函數(shù)y＝sin ax＋b(a＞0)的圖象如圖所示，則函數(shù)y＝loga(x＋b)的圖象可能是 (2)(2012·武威模擬)函數(shù)y＝的圖象大致是 [審題導引]　(1)利用已

6、知函數(shù)的圖象求出a，b的范圍，再選擇y＝loga(x＋b)的圖象； (2)利用函數(shù)y＝的性質，結合排除法求解． [規(guī)范解答]　(1)由y＝sin ax＋b的圖象知其周期T＝＞2π， ∴0＜a＜1.又∵0＜b＜1，故選A. (2)∵x＝±1是y＝的零點，且當x＞1時，y＞0， 當0＜x＜1時，y＜0，故可排除A、B. 當x＞0時，y＝，由于函數(shù)y＝x的增長速度要大于函數(shù)y＝ln x的增長速度， 故當x→＋∞時，y＝→0. 故可排除D，選C. [答案]　(1)A　(2)C 【規(guī)律總結】 函數(shù)圖象的識別方法 (1)性質法：在觀察分析圖象時，要注意到圖象的分布及變化趨勢具有的性

7、質，結合函數(shù)的解析式，從函數(shù)的單調性、奇偶性、周期性、定義域、值域、特殊點的函數(shù)值等方面去分析函數(shù)，找準解析式與圖象的對應關系． (2)圖象變換法：根據(jù)函數(shù)解析式之間的關系，或利用基本初等函數(shù)的圖象去選擇未知函數(shù)的圖象． 【變式訓練】 3．(2012·蘭州模擬)函數(shù)y＝，x∈(－π，0)∪(0，π)的圖象可能是下列圖象中的 解析　因函數(shù)y＝是偶函數(shù)，故排除A， 又x∈時，x＞sin x， 即＞1，排除B，D，故選C. 答案　C 4．(2012·湖北)已知定義在區(qū)間[0,2]上的函數(shù)y＝f(x)的圖象如圖所示，則y＝－f(2－x)的圖象為 解析　由y＝f(x)的圖象寫出

8、f(x)的解析式． 由y＝f(x)的圖象知f(x)＝. 當x∈[0,2]時，2－x∈[0,2]， 所以f(2－x)＝， 故y＝－f(2－x)＝.圖象應為B. 答案　B 考點三：函數(shù)的性質及應用 【例3】(1)(2012·湘潭二模)已知函數(shù)f(x)＝x2－cos x，則f(－0.5)，f(0)，f(0.6)的大小關系是 A．f(0)＜f(－0.5)＜f(0.6) B．f(－0.5)＜f(0.6)＜f(0) C．f(0)＜f(0.6)＜f(－0.5) D．f(－0.5)＜f(0)＜f(0.6) (2)(2012·聊城二模)設函數(shù)f(x)是定義

9、在R上的奇函數(shù)，且對任意x∈R都有f(x)＝f(x＋4)，當x∈(－2,0)時，f(x)＝2x，則f(2 012)－f(2 011)的值為 A．－ B. C．2 D．－2 [審題導引]　(1)利用函數(shù)f(x)的奇偶性與單調性比較各數(shù)的大??； (2)利用函數(shù)的周期性與奇偶性求解． [規(guī)范解答]　(1)f′(x)＝2x＋sin x， ∴當x＞0時，f′(x)＞0， 即f(x)＝x2－cos x在(0，＋∞)上是增函數(shù)， 又f(x)是偶函數(shù)，∴f(－0.5)＝f(0.5)， ∴f(0)＜f(－0.5)＜f(0.6)． (2)由題可知函數(shù)的周期為4，

10、 故f(2 012)－f(2 011)＝f(0)－f(－1)＝0－2－1 ＝－. [答案]　(1)A　(2)A 【規(guī)律總結】 函數(shù)性質的綜合應用 求解函數(shù)奇偶性、單調性與周期性等性質相結合的題目的一般思路，即把自變量化歸到已知區(qū)間中，然后根據(jù)函數(shù)的有關性質進行求解，如例3第(1)題中要比較f(－0.5)，f(0)，f(0.6)的大小，就要根據(jù)函數(shù)的周期性和奇偶性將三個自變量都化歸到[0，＋∞)內(nèi)，然后根據(jù)函數(shù)的單調性比較它們的大小． [易錯提示]　常見周期函數(shù)的幾種形式 函數(shù)周期性多與函數(shù)的奇偶性、單調性等性質相結合，常涉及函數(shù)周期的求解，常見形式主要有以下幾種： (1)如果

11、f(x＋a)＝f(x＋b)(a≠b)，那么函數(shù)f(x)是周期函數(shù)，其中一個周期為T＝|a－b|； (2)如果f(x＋a)＝－f(x＋b)(a≠b)，那么函數(shù)f(x)是周期函數(shù)，其中一個周期為T＝2|a－b|； (3)如果f(x＋a)＝－f(x)，那么函數(shù)f(x)是周期函數(shù)，其中一個周期為T＝2a； (4)如果f(x＋a)＝或者f(x＋a)＝－，那么函數(shù)f(x)是周期函數(shù)，其中一個周期為T＝2a； (5)如果函數(shù)f(x)既有對稱中心，又有對稱軸，則該函數(shù)是一個周期函數(shù)，若其中的對稱中心為(a，m)，與其相鄰的對稱軸為x＝b，則該函數(shù)的一個周期為T＝4|a－b|. 【變式訓練】 5．(

12、2012·東莞二模)已知函數(shù)f(x)＝(x∈R)的最大值為M，最小值為m，則M＋m的值為________． 解析　f(x)＝＝1－， 令g(x)＝－，易知g(x)是R上的奇函數(shù)， 設g(x)的最大值為a，則其最小值為－a， ∴M＝1＋a，m＝1－a，∴M＋m＝2. 答案　2 6．(2012·龍巖模擬)已知函數(shù)f(x＋1)是奇函數(shù)，f(x－1)是偶函數(shù)，且f(0)＝2，則f(2 012)＝ A．－2 B．0 C．2 D．3 解析　∵f(x＋1)是奇函數(shù)， 則函數(shù)y＝f(x＋1)的圖象關于(0,0)對稱， ∴函數(shù)y＝f(x)的圖象關于

13、(1,0)對稱， 即f(2－x)＋f(x)＝0.① ∵f(x－1)是偶函數(shù)，即其圖象關于直線x＝0對稱， ∴函數(shù)y＝f(x)的圖象關于直線x＝－1對稱， 即f(x)＝f(－2－x)．② 由①②兩式得f(2－x)＝－f(－2－x)， 即f(x＋4)＝－f(x)，③ 可得f(x＋8)＝f(x)，所以函數(shù)y＝f(x)的周期T＝8. ∴f(2 012)＝f(251×8＋4)＝f(4)，在③式中， 令x＝0得f(4)＝－f(0)＝－2， ∴f(2 012)＝－2. 答案　A 名師押題高考 【押題1】在同一個坐標系中畫出函數(shù)y＝ax，y＝sin ax的部分圖象，其中a＞0且a≠1

14、，則下列所給圖象中可能正確的是 解析　當a＞1時，y＝sin ax的周期T＝＜2π，可排除A，C. 當0＜a＜1時，y＝sin ax的周期T＝＞2π，可排除B，故選D. 答案　D [押題依據(jù)]　高考對函數(shù)的圖象的考查有識圖、用圖、作圖三個方面，利用函數(shù)的性質與函數(shù)圖象變換的方法考查對函數(shù)圖象及性質的理解是高考的熱點，本題考查利用函數(shù)解析式中參數(shù)范圍對函數(shù)圖象的影響，難度較小，故押此題． 【押題2】設f(x)是定義在R上的奇函數(shù)，且當x≥0時，f(x)＝x2，若對任意的x∈[t，t＋2]，不等式f(x＋t)≥2f(x)恒成立，則實數(shù)t的取值范圍是 A．[，＋∞)　　　　 B．

15、[，) C．[，3) D．[，＋∞) 解析　∵當x≥0時，f(x)＝x2且f(x)是定義在R上的奇函數(shù)， ∴f(x＋t)≥2f(x)＝f(x)，且f(x)是定義在R上的單調遞增函數(shù)，∴x＋t≥x，整理得，(－1)x≤t，由于y＝(－1)x在x∈[t，t＋2]時單調遞增，所以(－1)(t＋2)≤t，解得t≥. 答案　A [押題依據(jù)]　利用函數(shù)的單調性求解參數(shù)的范圍，是一類重要的題型，是高考的熱點．本題利用函數(shù)的奇偶性推出函數(shù)的單調性并能恰當?shù)丶右詰茫瑢瘮?shù)的奇偶性考查較為容易，而著重考查了函數(shù)的單調性，符合高考的要求，故押此題． - 8 -