2019屆高考數(shù)學二輪復習 第一篇 專題七 概率與統(tǒng)計 第1講 概率、隨機變量及其分布列限時訓練 理

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1、第1講　概率、隨機變量及其分布列 (限時:45分鐘) 【選題明細表】 知識點、方法 題號 抽樣方法 1,5 古典概型 2,3,6,11,12 幾何概型 4,7,9 離散型隨機變量的分布列 8,11,12 正態(tài)分布 10 一、選擇題 1.(2018·福州市質(zhì)檢)為了解某地區(qū)的“微信健步走”活動情況,擬從該地區(qū)的人群中抽取部分人員進行調(diào)查,事先已了解到該地區(qū)老、中、青三個年齡段人員的“微信健步走”活動情況有較大差異,而男女“微信健步走”活動情況差異不大.在下面的抽樣方法中,最合理的抽樣方法是(　C　) (A)簡單隨機抽樣 (B)按性別分層抽樣 (C)按年

2、齡段分層抽樣 (D)系統(tǒng)抽樣 解析:根據(jù)題意及分層抽樣的特點,最合理的抽樣方法是按年齡段分層抽樣.故選C. 2.(2018·武漢市四月調(diào)研)一張儲蓄卡的密碼共由6位數(shù)字組成,每位數(shù)字都可以是0～9中的任意一個.某人在銀行自動取款機上取錢時,忘記了密碼的最后一位數(shù)字,如果任意按最后一位數(shù)字,不超過2次就按對的概率為(　C　) (A) (B) (C) (D) 解析:按1次按對的概率為, 按2次按對的概率為=, 由互斥事件的概率公式得所求的概率為P=+=.故選C. 3.4位同學各自在周六、周日兩天中任選一天參加公益活動,則周六、周日都有同學參加公益活動的概率為(　D　) (A) (B

3、) (C) (D) 解析:法一　4位同學,每位同學都可以選周六、周日參加活動,每位同學有2種選法,根據(jù)乘法原理,共有24=16種方法. 其中周六、周日都有同學參加活動的方法有+=14種. 則所求概率為P==.故選D. 法二　4位同學任選周六、周日的基本事件數(shù)為24,都選擇同一天活動為2種,則所求事件的概率為1-=.故選D. 4.勾股定理在西方被稱為畢達哥拉斯定理,其證明方法有幾百種之多.著名的數(shù)學家趙爽創(chuàng)制了一幅“勾股圓方圖”,用數(shù)形結合的方法給出了勾股定理的詳細證明.如圖,在這幅“勾股圓方圖”中,以弦為邊長得到的正方形ABDE是由4個全等的直角三角形和中間的一個小正方形CFGH組成

4、的.若Rt△ABC的三邊長構成等差數(shù)列,則在正方形ABDE內(nèi)任取一點,此點取自小正方形CFGH內(nèi)的概率為(　C　) (A) (B) (C) (D) 解析:法一　由于Rt△ABC的三邊長成等差數(shù)列,所以2b=a+c,又a2+b2=c2,于是(2b-c)2+b2=c2,故=,=.大正方形ABDE的面積為c2,小正方形CFGH的面積為(b-a)2,在正方形ABDE內(nèi)任取一點,此點取自小正方形CFGH內(nèi)的概率為=(-)2=.故選C. 法二　由于Rt△ABC的三邊長成等差數(shù)列,不妨設a=3,b=4,c=5,于是大正方形ABDE的面積為c2=25,小正方形CFGH的面積為(b-a)2=1,所以在

5、正方形ABDE內(nèi)任取一點,此點取自小正方形CFGH內(nèi)的概率為.故選C. 5.某學校采用系統(tǒng)抽樣方法,從該校高一年級全體800名學生中抽50名學生做視力檢查.現(xiàn)將800名學生從1到800進行編號.已知從33～48這16個數(shù)中抽到的數(shù)是39,則在1～16中隨機抽到的數(shù)是(　B　) (A)5 (B)7 (C)11 (D)13 解析:把800名學生平均分成50組,每組16人,各小組抽到的數(shù)構成一個公差為16的等差數(shù)列,39在第3組,所以第1組抽到的數(shù)為39- 32=7.故選B. 6.(2018·湖北武漢高三調(diào)研)將一枚質(zhì)地均勻的骰子投兩次,得到的點數(shù)依次記為a和b,則方程ax2+bx+1=

6、0有實數(shù)解的概率是(　C　) (A) (B) (C) (D) 解析:若方程ax2+bx+1=0有實根,則必有Δ=b2-4a≥0, 若a=1,則b=2,3,4,5,6;若a=2,則b=3,4,5,6; 若a=3,則b=4,5,6;若a=4,則b=4,5,6; 若a=5,則b=5,6;若a=6,則b=5,6, 所以事件“方程ax2+bx+1=0有實根.”包含基本事件共5+4+3+3+2+2=19,所以事件的概率為. 故選C. 7.(2018·河北省“五個一名校聯(lián)盟”二次考試)在如圖所示的正方形中隨機投擲10 000個點,則落在陰影部分(曲線C的方程為x2-y=0)的點的個數(shù)約為(　

7、B　) (A)3 333 (B)6 667 (C)7 500 (D)7 854 解析:題圖中陰影部分的面積為(1-x2)dx=(x-)|=,正方形的面積為1,設落在陰影部分的點的個數(shù)為n,由幾何概型的概率計算公式可知,=,n≈6 667.故選B. 二、填空題 8.(2018·浙江杭州模擬)隨機變量ξ的分布列為 ξ -1 0 1 2 P x y 若E(ξ)=,則x+y=　　　　,D(ξ)=　　　　.? 解析:因為E(ξ)=, 所以由隨機變量ξ的分布列, 知 所以x+y=,x=,y=, D(ξ)=(-1-)2×+(0-)2×+(1-)2×+(2-)

8、2×=. 答案:　 9.甲、乙兩人約定上午7:00至8:00之間到某站乘公共汽車,在這段時間內(nèi)有3班公共汽車,它們開車時刻分別為7:20,7:40,8:00,如果他們約定,見車就乘,則甲、乙同乘一車的概率為　　　　.? 解析:設甲到達該站的時刻為x,乙到達該站的時刻為y,則7≤x≤8, 7≤y≤8,即甲、乙兩人到達該站的時刻(x,y)所對應的區(qū)域在平面直角坐標系中畫出(如圖所示)是大(單位)正方形.將三班車到站的時刻在圖形中畫出,則甲、乙兩人要想乘同一班車,必須滿足 或或 即(x,y)必須落在圖形中的三個帶陰影的小正方形內(nèi),所以由幾何概型的計算公式得P==, 即甲、乙同乘一車

9、的概率為. 答案: 10.(2017·四川資陽4月模擬)已知隨機變量X服從正態(tài)分布N(2, σ2),且P(0≤X≤2)=0.3,則P(X>4)=　　　　.? 解析:由題意結合正態(tài)分布的性質(zhì)可知P(2≤X≤4)=0.3, 則P(X>4)==0.2. 答案:0.2 三、解答題 11.(2018·山西省六校第四次聯(lián)考)某食品廠為了檢查一條自動包裝流水線的生產(chǎn)情況,隨機抽取該流水線上的20件產(chǎn)品作為樣本.稱出它們的重量(單位:克),重量的分組區(qū)間為(490,495],(495,500],…, (510,515],由此得到樣本的頻率分布直方圖,如圖所示. (1)在上述抽取的20件

10、產(chǎn)品中任取2件,設X為取到重量超過505克的產(chǎn)品件數(shù),求X=2的概率; (2)從上述20件產(chǎn)品中任取2件產(chǎn)品,設Y為取到重量超過505克的產(chǎn)品件數(shù).求Y的分布列與期望. 解:(1)由頻率分布直方圖可知, 重量超過505克的產(chǎn)品件數(shù)是 20×(0.05×5+0.01×5)=6, 所以P(X=2)==. (2)Y的所有可能取值為0,1,2, 由(1)知重量超過505克的產(chǎn)品有6件. P(Y=0)==, P(Y=1)==, P(Y=2)==, 所以Y的分布列為 Y 0 1 2 P E(Y)=0×+1×+2×=. 12.(2018·洛陽市統(tǒng)考)甲、乙兩家

11、外賣公司,其送餐員的日工資方案如下:甲公司,底薪80元,每單送餐員抽成4元;乙公司,無底薪,40單以內(nèi)(含40單)的部分送餐員每單抽成6元,超出40單的部分送餐員每單抽成7元.假設同一公司的送餐員一天的送餐單數(shù)相同,現(xiàn)從這兩家公司各隨機選取一名送餐員,并分別記錄其50天的送餐單數(shù),得到如下頻數(shù)表: 甲公司送餐員送餐單數(shù)頻數(shù)表 送餐單數(shù) 38 39 40 41 42 天數(shù) 10 15 10 10 5 乙公司送餐員送餐單數(shù)頻數(shù)表 送餐單數(shù) 38 39 40 41 42 天數(shù) 5 10 10 20 5 (1)現(xiàn)從記錄甲公司的50天送餐單數(shù)中隨機抽

12、取3天的送餐單數(shù),求這3天送餐單數(shù)都不小于40的概率. (2)若將頻率視為概率,回答下列兩個問題: ①記乙公司送餐員日工資為X(單位:元),求X的分布列和數(shù)學期 望E(X); ②小王打算到甲、乙兩家公司中的一家應聘送餐員,如果僅從日工資的角度考慮,請利用所學的統(tǒng)計學知識為小王作出選擇,并說明理由. 解:(1)記抽取的3天送餐單數(shù)都不小于40為事件M, 則P(M)==. (2)①設乙公司送餐員的送餐單數(shù)為a, 當a=38時,X=38×6=228, 當a=39時,X=39×6=234, 當a=40時,X=40×6=240, 當a=41時,X=40×6+1×7=247, 當

13、a=42時,X=40×6+2×7=254. 所以X的所有可能取值為228,234,240,247,254. 故X的分布列為 X 228 234 240 247 254 P 所以E(X)=228×+234×+240×+247×+254×=241.8. ②依題意,甲公司送餐員的日平均送餐單數(shù)為 38×0.2+39×0.3+40×0.2+41×0.2+42×0.1=39.7, 所以甲公司送餐員的日平均工資為80+4×39.7=238.8元. 由①得乙公司送餐員的日平均工資為241.8元. 因為238.8<241.8,所以推薦小王去乙公司應聘. 6