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1、理科數(shù)學第卷(選擇題,共60分)一、選擇題:本大題共12小題,每小題5分,共60分.在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的.1.設全集,集合則A. B. C. D.2.復數(shù)在復平面內(nèi)對應的點位于A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限3.空氣質(zhì)量指數(shù)是檢測空氣質(zhì)量的重要參數(shù),其數(shù)值越大說明空氣污染狀況越嚴重,空氣質(zhì)量越差.某地環(huán)保部門統(tǒng)計了該地區(qū)12月1日至12月24日連續(xù)24天空氣質(zhì)量指數(shù),根據(jù)得到的數(shù)據(jù)繪制出如圖所示的折線圖.則下列說法錯誤的是A.該地區(qū)在12月2日空氣質(zhì)量最好B.該地區(qū)在12月24日空氣質(zhì)量最差C.該地區(qū)從12月7日到12月12日持續(xù)增大D.該地
2、區(qū)的空氣質(zhì)量指數(shù)與日期成負相關4.已知銳角的三個內(nèi)角分別為則“”是“”的A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件5. “更相減損術”是我國古代數(shù)學名著九章算術中的算法案例,其對應的程序框圖如圖所示.若輸入的的值分別為4,6,1,則輸出的的值為 A.2 B.3 C.4 D.56.若關于的不等式在上恒成立,則實數(shù)的取值范圍為A. B.C. D.7如圖,已知雙曲線,長方形ABCD的頂點A,B分別為雙曲線的左,右焦點,且點C,D在雙曲線上若,則此雙曲線的離心率為 A. B. C. D.8.已知,則的值為A. B. C. D.9在三棱錐中,已知底面,若該三棱錐的頂點都
3、在同一個球面上,則該球的表面積為A. B. C. D.10.已知定義在上的奇函數(shù)滿足,且當時,.則下列不等式正確的是A. B. C. D. 11.設函數(shù),若且,則的取值范圍為A. B. C. D.12.已知關于的方程有三個不相等的實數(shù)根且,其中,為自然對數(shù)的底數(shù).則的值為A. B. C. D. 第II卷(非選擇題,共90分)二、填空題:本大題共4道小題,每小題5分,共20分.13.的展開式中的第三項系數(shù)為14.若實數(shù)滿足線性約束條件,則的最大值為15.如圖,在直角梯形中,已知是上一點,則線段的長度為16.在長方體中,已知底面為正方形,為的中點,點是正方形所在平面內(nèi)的一個動點,且,則線段的長度的
4、最大值為三、解答題:本大題共6小題,共70分.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.17.(本小題滿分12分)已知等差數(shù)列的前項和為,.(1)求數(shù)列的通項公式;(2)設求數(shù)列的前項和.18. (本小題滿分12分)某部門為了解一企業(yè)在生產(chǎn)過程中的用水量情況,對每天的用水量作了記錄,得到了大量的該企業(yè)的日用水量的統(tǒng)計數(shù)據(jù).從這些統(tǒng)計數(shù)據(jù)中隨機抽取12天的數(shù)據(jù)作為樣本,得到如圖所示的莖葉圖(單位:噸). 若用水量不低于95(噸),則稱這一天的用水量超標.(1)從這12天的數(shù)據(jù)中隨機抽取3個,求至多有1天是用水量超標的概率;(2)以這12天的樣本數(shù)據(jù)中用水量超標的頻率作為概率,估計該企業(yè)未來3天中用
5、水量超標的天數(shù).記隨機變量為未來這3天中用水量超標的天數(shù),求的分布列和數(shù)學期望.19.(本小題滿分12分)如圖,在邊長為5的菱形中,.現(xiàn)沿對角線把翻折到的位置得到四面體,如圖所示.已知.(1)求證:平面平面;(2)若是線段上的點,且,求二面角的余弦值. 圖 圖20.(本小題滿分12分)已知橢圓的右焦點,長半軸與短半軸之比等于2.(1)求橢圓的標準方程;(2)設不經(jīng)過點的直線與橢圓相交于不同的兩點.若線段的中點滿足,證明直線過定點,并求出該定點的坐標.21.(本小題滿分12分)已知函數(shù),其中為自然對數(shù)的底數(shù).(1)若曲線在點處的切線方程為,求的最小值;(2)當常數(shù)時,已知函數(shù)在上有兩個零點.證明
6、:.請考生在第22,23題中任選一題作答,如果多做,則按所做的第一題記分作答時,用2B鉛筆在答題卡上把所選題目對應的標號涂黑22.(本小題滿分10分)選修4-4:極坐標與參數(shù)方程在平面直角坐標系中,直線的參數(shù)方程為為參數(shù)).在以坐標原點為極點,軸的正半軸為極軸的極坐標系中,曲線的極坐標方程為.(1)寫出直線的普通方程和曲線的直角坐標方程;(2)已知點的直角坐標為.若直線與曲線相交于不同的兩點,求的值.23.(本小題滿分10分)選修4-5:不等式選講已知函數(shù).(1)當時,若不等式的解集為,求的值;(2)若關于的不等式當時恒成立,求的最大值.數(shù)學(理科)參考答案及評分意見第I卷(選擇題,共60分)
7、一選擇題:(每小題5分,共60分)1.B;2.D;3.D;4.C;5.C;6.B;7.B;8.A;9.C;10.C;11.B;12.B.第II卷(非選擇題,共90分)二填空題:(每小題5分,共20分)13.40;14.12;15.6;16.6.三解答題:(共70分)17.解:(1)設數(shù)列的公差為. 解得 4分 6分(2)由題意, 由-,可得 9分 11分 12分18.解:(1)記“從這12天的數(shù)據(jù)中隨機抽取3個,至多有1天是用水量超標” 為 事件 則 4分 (2)以這12天的樣本數(shù)據(jù)中用水量超標的頻率作為概率,易知其概率為. 隨機變量表示未來三天用水量超標的天數(shù),的取值分別為: 易知 則 8分
8、 隨機變量的分布列為10分 數(shù)學期望 12分19.解:(1)取的中點,連接得到.是菱形,, 平面平面 平面平面 4分(2)易知兩兩相互垂直.以為坐標原點,分別為軸,軸,軸的正方向建立空間直角坐標系,如圖所示.則設點.由 得 6分設為平面的一個法向量.由解得取則 8分取平面的一個法向量. 11分二面角的余弦值為 12分20.解:(1). 橢圓的標準方程為 4分(2)易知當直線的斜率不存在時,不合題意.設直線的方程為點聯(lián)立消去 可得由,可知點在以為直徑的圓上. 7分整理,得 解得或(舍去).直線的方程為故直線經(jīng)過定點,且該定點的坐標為 12分21.解:(1)曲線在點處的切線為. 3分設由解得當時,
9、單調(diào)遞增;當時, ,單調(diào)遞減.的極小值(也是最小值)為的最小值為 5分(2)當時,由解得當時,在上單調(diào)遞增;當時,在上單調(diào)遞減.的極小值為 7分又使得 9分當時,設在上單調(diào)遞增.恒成立.使得故成立. 12分22.解:(1)由消去參數(shù)可得 直線的普通方程為 2分 故曲線的直角坐標方程為 4分(2)將代入拋物線方程,可得即 8分設點對應的參數(shù)分別為. 則 10分23.解:(1)由題意,得. 當時,原不等式即;當時,原不等式即當時,原不等式即綜上,原不等式的解集為,即. 5分(2)由題意,得當時,即不等式成立.當或時,不等式恒成立.當時,原不等式可化為.可得當時,原不等式可化為可得綜上,可得,即的最大值為3. 10分