2021屆高三數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí) 必考問題專項(xiàng)突破16 橢圓、雙曲線、拋物線 理

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1、 16　橢圓、雙曲線、拋物線 1．(2012·福建)已知雙曲線－＝1的右焦點(diǎn)與拋物線y2＝12x的焦點(diǎn)重合，則該雙曲線的焦點(diǎn)到其漸近線的距離等于(　　)．　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 A. B．4 C．3 D．5 答案： A　[易求得拋物線y2＝12x的焦點(diǎn)為(3,0)，故雙曲線－＝1的右焦點(diǎn)為(3,0)，即c＝3，故32＝4＋b2，∴b2＝5， ∴雙曲線的漸近線方程為y＝±x，∴雙曲線的右焦點(diǎn)到其漸近線的距離為＝.] 2．(2012·新課標(biāo)全國)等軸雙曲線C的中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在x軸上，C與拋物線y2＝16x的準(zhǔn)線交于A，B兩點(diǎn)，|AB|＝4 ，則C的實(shí)軸長為

2、(　　)． A. B．2 C．4 D．8 答案：C　[拋物線y2＝16x的準(zhǔn)線方程是x＝－4，所以點(diǎn)A(－4，2 )在等軸雙曲線C；x2－y2＝a2(a＞0)上，將點(diǎn)A的坐標(biāo)代入得a＝2，所以C的實(shí)軸長為4.] 3．(2012·山東)已知橢圓C：＋＝1(a＞b＞0)的離心率為.雙曲線x2－y2＝1的漸近線與橢圓C有四個(gè)交點(diǎn)，以這四個(gè)交點(diǎn)為頂點(diǎn)的四邊形的面積為16，則橢圓C的方程為(　　)． A.＋＝1 B.＋＝1 C.＋＝1 D.＋＝1 答案：D　[因?yàn)闄E圓的離心率為，所以e＝＝，c2＝a2，c2＝a2＝a2－b2，所以b2＝a2，即a2＝4b2.雙曲線的漸近線

3、方程為y＝±x，代入橢圓方程得＋＝1，即＋＝＝1，所以x2＝b2，x＝±b，y2＝b2，y＝±b，則在第一象限雙曲線的漸近線與橢圓C的交點(diǎn)坐標(biāo)為，所以四邊形的面積為4×b×b＝b2＝16，所以b2＝5，所以橢圓方程為＋＝1.] 4．(2012·北京)在直角坐標(biāo)系xOy中，直線l過拋物線y2＝4x的焦點(diǎn)F，且與該拋物線相交于A，B兩點(diǎn)，其中點(diǎn)A在x軸上方，若直線l的傾斜角為60°，則△OAF的面積為________． 解析　直線l的方程為y＝(x－1)，即x＝y(tǒng)＋1，代入拋物線方程得y2－y－4＝0，解得yA＝＝2 (yB＜0，舍去)，故△OAF的面積為×1×2 ＝. 答案　 圓錐曲

4、線與方程是高考考查的核心內(nèi)容之一，在高考中一般有1～2個(gè)選擇或者填空題，一個(gè)解答題．選擇或者填空題有針對(duì)性地考查橢圓、雙曲線、拋物線的定義、標(biāo)準(zhǔn)方程和簡單幾何性質(zhì)及其應(yīng)用，主要針對(duì)圓錐曲線本身，綜合性較小，試題的難度一般不大；解答題主要是以橢圓為基本依托，考查橢圓方程的求解、考查直線與曲線的位置關(guān)系． 復(fù)習(xí)中，一要熟練掌握橢圓、雙曲線、拋物線的基礎(chǔ)知識(shí)、基本方法，在抓住通性通法的同時(shí)，要訓(xùn)練利用代數(shù)方法解決幾何問題的運(yùn)算技巧． 二要熟悉圓錐曲線的幾何性質(zhì)，重點(diǎn)掌握直線與圓錐曲線相關(guān)問題的基本求解方法與策略，提高運(yùn)用函數(shù)與方程思想，向量與導(dǎo)數(shù)的方法來解決問題的能力. 必備知識(shí) 

5、橢圓＋＝1(a＞b＞0)，點(diǎn)P(x，y)在橢圓上． (1)離心率：e＝＝； (2)過焦點(diǎn)且垂直于長軸的弦叫通徑，其長度為：. 雙曲線－＝1(a＞0，b＞0)，點(diǎn)P(x，y)在雙曲線上． (1)離心率：e＝＝； (2)過焦點(diǎn)且垂直于實(shí)軸的弦叫通徑，其長度為：. 拋物線y2＝2px(p＞0)，點(diǎn)C(x1，y1)，D(x2，y2)在拋物線上． (1)焦半徑|CF|＝x1＋； (2)過焦點(diǎn)弦長|CD|＝x1＋＋x2＋＝x1＋x2＋p，|CD|＝(其中α為傾斜角)，＋＝； (3)x1x2＝，y1y2＝－p2； (4)以拋物線上的點(diǎn)為圓心，焦半徑為半徑的圓必與準(zhǔn)線相切，以拋物線焦點(diǎn)

6、弦為直徑的圓，必與準(zhǔn)線相切． 必備方法 1．求圓錐曲線標(biāo)準(zhǔn)方程常用的方法 (1)定義法 (2)待定系數(shù)法 ①頂點(diǎn)在原點(diǎn)，對(duì)稱軸為坐標(biāo)軸的拋物線，可設(shè)為y2＝2ax或x2＝2ay(a≠0)，避開對(duì)焦點(diǎn)在哪個(gè)半軸上的分類討論，此時(shí)a不具有p的幾何意義． ②中心在坐標(biāo)原點(diǎn)，焦點(diǎn)在坐標(biāo)軸上，橢圓方程可設(shè)為＋＝1(m＞0，n＞0)． 雙曲線方程可設(shè)為－＝1(mn＞0)． 這樣可以避免討論和繁瑣的計(jì)算． 2．求軌跡方程的常用方法 (1)直接法：將幾何關(guān)系直接轉(zhuǎn)化成代數(shù)方程． (2)定義法：滿足的條件恰適合某已知曲線的定義，用待定系數(shù)法求方程． (3)代入法：把所求動(dòng)點(diǎn)的坐標(biāo)與已知?jiǎng)?/p>

7、點(diǎn)的坐標(biāo)建立聯(lián)系． (4)交軌法：寫出兩條動(dòng)直線的方程直接消參，求得兩條動(dòng)直線交點(diǎn)的軌跡． 注意：①建系要符合最優(yōu)化原則；②求軌跡與“求軌跡方程”不同，軌跡通常指的是圖形，而軌跡方程則是代數(shù)表達(dá)式；③化簡是否同解變形，是否滿足題意，驗(yàn)證特殊點(diǎn)是否成立等. 圓錐曲線的定義是圓錐曲線問題的根本，利用圓錐曲線的定義解題是高考考查圓錐曲線的一個(gè)重要命題點(diǎn)，在歷年的高考試題中曾多次出現(xiàn)．需熟練掌握．　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 【例1】? 已知橢圓＋＝1與雙曲線－y2＝1的公共焦點(diǎn)F1，F(xiàn)2，點(diǎn)P是兩曲線的一個(gè)公共點(diǎn)，則cos∠F1PF2的值為(　　)． A. B. C.

8、 D. [審題視點(diǎn)] 　 　 [聽課記錄] [審題視點(diǎn)] 結(jié)合橢圓、雙曲線的定義及余弦定理可求． B　[因點(diǎn)P在橢圓上又在雙曲線上，所以|PF1|＋|PF2|＝2 ， |PF1|－|PF2|＝2 . 設(shè)|PF1|＞|PF2|，解得|PF1|＝＋，|PF2|＝－， 由余弦定理得cos∠F1PF2＝ ＝＝.] 涉及橢圓、雙曲線上的點(diǎn)到兩焦點(diǎn)的距離問題時(shí)，要自覺地運(yùn)用橢圓、雙曲線的定義．涉及拋物線上的點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離時(shí)，常利用定義轉(zhuǎn)化到拋物線的準(zhǔn)線的距離． 【突破訓(xùn)練1】 如圖過拋物線y2＝2px(p＞0)的焦點(diǎn)的直線l依次交拋物線及其準(zhǔn)線與點(diǎn)A，B，C，若|BC|＝2|BF

9、|，且|AF|＝3，則拋物線的方程是________． 解析　 作BM⊥l，AQ⊥l，垂足分別為M、Q.則由拋物線定義得，|AQ|＝|AF|＝3，|BF|＝|BM|.又|BC|＝2|BF|，所以|BC|＝2|BM|.由BM∥AQ得，|AC|＝2|AQ|＝6，|CF|＝3.∴|NF|＝|CF|＝. 即p＝.拋物線方程為y2＝3x. 答案　y2＝3x 圓錐曲線的簡單幾何性質(zhì)是圓錐曲線的重點(diǎn)內(nèi)容，主要考查橢圓與雙曲線的離心率的求解、雙曲線的漸近線方程的求解，難度中檔．　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 【例2】? (2012·東北三省四市教研協(xié)作體二次調(diào)研)以O(shè)為中心，F(xiàn)

10、1，F(xiàn)2為兩個(gè)焦點(diǎn)的橢圓上存在一點(diǎn)M，滿足||＝2||＝2||，則該橢圓的離心率為(　　)． A. B. C. D. [審題視點(diǎn)] 　 　 [聽課記錄] [審題視點(diǎn)] 作MN⊥x軸，結(jié)合勾股定理可求c，利用橢圓定義可求a. C　[過M作x軸的垂線，交x軸于N點(diǎn)，則N點(diǎn)坐標(biāo)為，并設(shè)||＝2||＝2||＝2t，根據(jù)勾股定理可知，||2－||2＝||2－||2，得到c＝t，而a＝，則e＝＝，故選C.] 離心率的范圍問題其關(guān)鍵就是確立一個(gè)關(guān)于a，b，c的不等式，再根據(jù)a，b，c的關(guān)系消掉b得到關(guān)于a，c的不等式，由這個(gè)不等式確定e的范圍．　　　　　　　　　　　　　　　　　　　

11、【突破訓(xùn)練2】 設(shè)拋物線y2＝2px(p＞0)的焦點(diǎn)為F，點(diǎn)A(0,2)．若線段FA的中點(diǎn)B在拋物線上，則B到該拋物線準(zhǔn)線的距離為________． 解析　拋物線的焦點(diǎn)F的坐標(biāo)為，線段FA的中點(diǎn)B的坐標(biāo)為代入拋物線方程得1＝2p×，解得p＝，故點(diǎn)B的坐標(biāo)為，故點(diǎn)B到該拋物線準(zhǔn)線的距離為＋＝. 答案　 軌跡問題的考查往往與函數(shù)、方程、向量、平面幾何等知識(shí)相融合，著重考查分析問題、解決問題的能力，對(duì)邏輯思維能力、運(yùn)算能力也有一定的要求．　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 【例3】? (2011·天津)在平面直角坐標(biāo)系xOy中，點(diǎn)P(a，b)(a>b>0)為動(dòng)點(diǎn)，F(xiàn)1，F(xiàn)2分別為橢圓

12、＋＝1的左、右焦點(diǎn)．已知△F1PF2為等腰三角形． (1)求橢圓的離心率e； (2)設(shè)直線PF2與橢圓相交于A，B兩點(diǎn)，M是直線PF2上的點(diǎn)，滿足A·B＝－2，求點(diǎn)M的軌跡方程． [審題視點(diǎn)] 　 　 [聽課記錄] [審題視點(diǎn)] (1)根據(jù)|PF2|＝|F1F2|建立關(guān)于a與c的方程式． (2)可解出A、B兩點(diǎn)坐標(biāo)(用c表示)，利用·＝－2可求解． 解　(1)設(shè)F1(－c,0)，F(xiàn)2(c,0)(c>0)． 由題意可得|PF2|＝|F1F2|，即＝2c. 整理得22＋－1＝0， 得＝或＝－1(舍)，所以e＝. (2)由(1)知a＝2c，b＝c，可得橢圓方程為3x2＋4y2

13、＝12c2， 直線PF2方程為y＝(x－c)． A，B兩點(diǎn)的坐標(biāo)滿足方程組 消去y并整理，得5x2－8cx＝0，解得x1＝0，x2＝c，得方程組的解 不妨設(shè)A，B. 設(shè)點(diǎn)M的坐標(biāo)為(x，y)，則A＝， B＝(x，y＋c)．由y＝(x－c)，得c＝x－y. 于是A＝， B＝(x，x)．由題意知A·B＝－2，即 ·x＋·x＝－2， 化簡得18x2－16xy－15＝0. 將y＝代入c＝x－y，得c＝>0， 所以x>0. 因此，點(diǎn)M的軌跡方程是18x2－16xy－15＝0(x>0)． (1)求軌跡方程時(shí)，先看軌跡的形狀能否預(yù)知，若能預(yù)先知道軌跡為何種圓錐曲線，則可考慮用定

14、義法求解或用待定系數(shù)法求解． (2)討論軌跡方程的解與軌跡上的點(diǎn)是否對(duì)應(yīng)，要注意字母的取值范圍． 【突破訓(xùn)練3】 (2012·四川)如圖，動(dòng)點(diǎn)M與兩定點(diǎn)A(－1,0)、B(2,0)構(gòu)成△MAB，且∠MBA＝2∠MAB.設(shè)動(dòng)點(diǎn)M的軌跡為C. (1)求軌跡C的方程； (2)設(shè)直線y＝－2x＋m與y軸相交于點(diǎn)P，與軌跡C相交于點(diǎn)Q、R，且|PQ|＜|PR|，求的取值范圍． 解　(1)設(shè)M的坐標(biāo)為(x，y)，顯然有x＞0，且y≠0. 當(dāng)∠MBA＝90°時(shí)，點(diǎn)M的坐標(biāo)為(2，±3)． 當(dāng)∠MBA≠90°時(shí)，x≠2，且∠MBA＝2∠MAB， 有tan∠MBA＝，即－＝， 化簡可得3x

15、2－y2－3＝0. 而點(diǎn)(2，±3)在曲線3x2－y2－3＝0上， 綜上可知，軌跡C的方程為3x2－y2－3＝0(x＞1)． (2)由消去y，可得 x2－4mx＋m2＋3＝0.(*) 由題意，方程(*)有兩根且均在(1，＋∞)內(nèi)． 設(shè)f(x)＝x2－4mx＋m2＋3， 所以解得m＞1，且m≠2. 設(shè)Q、R的坐標(biāo)分別為(xQ，yQ)，(xR，yR)， 由|PQ|＜|PR|有xR＝2m＋，xQ＝2m－. 所以＝＝＝ ＝－1＋. 由m＞1，且m≠2，有1＜－1＋＜7＋4 ，且－1＋≠7.所以的取值范圍是(1,7)∪(7,7＋4 )． 在高考中，直線與圓錐曲線的位置關(guān)系是

16、熱點(diǎn)，通常圍繞弦長、面積、定點(diǎn)(定值)，范圍問題來展開，其中設(shè)而不求的思想是處理相交問題的最基本方法，試題難度較大． 【例4】? 已知橢圓C：＋＝1(a＞b＞0)的離心率為，過右焦點(diǎn)F的直線l與C相交于A，B兩點(diǎn)．當(dāng)l的斜率為1時(shí)，坐標(biāo)原點(diǎn)O到l的距離為. (1)求a，b的值； (2)C上是否存在點(diǎn)P，使得當(dāng)l繞F轉(zhuǎn)到某一位置時(shí)，有＝＋成立？若存在，求出所有的P的坐標(biāo)與l的方程；若不存在，說明理由． [審題視點(diǎn)] 　 　 [聽課記錄] [審題視點(diǎn)] (1)由直線l的斜率為1過焦點(diǎn)F，原點(diǎn)O到l的距離為可求解；(2)需分直線l的斜率存在或不存在兩種情況討論．設(shè)A(x1，y1)，B(

17、x2，y2)，由條件＝＋可得P點(diǎn)坐標(biāo)，結(jié)合A、B、P在橢圓上列等式消元求解． 解　(1)設(shè)F(c,0)，當(dāng)l的斜率為1時(shí)，其方程為x－y－c＝0，O到l的距離為＝，故＝，c＝1. 由e＝＝，得a＝，b＝＝ . (2)C上存在點(diǎn)P，使得當(dāng)l繞F轉(zhuǎn)到某一位置時(shí)，有＝＋成立．由(1)知C的方程為2x2＋3y2＝6.設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)． (i)當(dāng)l不垂直于x軸時(shí)，設(shè)l的方程為y＝k(x－1)． C上的點(diǎn)P使＝＋成立的充要條件是P點(diǎn)的坐標(biāo)為(x1＋x2，y1＋y2)，且2(x1＋x2)2＋3(y1＋y2)2＝6， 整理得2x＋3y＋2x＋3y＋4x1x2＋6y1y2＝6，

18、 又A、B在橢圓C上，即2x＋3y＝6,2x＋3y＝6， 故2x1x2＋3y1y2＋3＝0.① 將y＝k(x－1)代入2x2＋3y2＝6，并化簡得 (2＋3k2)x2－6k2x＋3k2－6＝0， 于是x1＋x2＝，x1·x2＝， y1·y2＝k2(x1－1)(x2－1)＝. 代入①解得k2＝2，此時(shí)x1＋x2＝. 于是y1＋y2＝k(x1＋x2－2)＝－，即P. 因此，當(dāng)k＝－ 時(shí)，P，l的方程為x＋y－ ＝0； 當(dāng)k＝時(shí)，P，l的方程為x－y－＝0. (ⅱ)當(dāng)l垂直于x軸時(shí)，由＋＝(2,0)知，C上不存在點(diǎn)P使＝＋成立．綜上，C上存在點(diǎn)P使＝＋成立，此時(shí)l的方程為x±y－

19、＝0. 本小題主要考查直線、橢圓、分類討論等基礎(chǔ)知識(shí)，考查學(xué)生綜合運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)進(jìn)行推理的運(yùn)算能力和解決問題的能力．此題的第(2)問以向量形式引進(jìn)條件，利用向量的坐標(biāo)運(yùn)算，將“形”、“數(shù)”緊密聯(lián)系在一起，既發(fā)揮了向量的工具性作用，也讓學(xué)生明白根與系數(shù)的關(guān)系是解決直線與圓錐曲線問題的通性通法． 【突破訓(xùn)練4】 設(shè)橢圓E：＋＝1(a，b＞0)過點(diǎn)M(2，)，N(，1)兩點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)． (1)求橢圓E的方程； (2)是否存在圓心在原點(diǎn)的圓，使得該圓的任意一條切線與橢圓E恒有兩個(gè)交點(diǎn)A，B，且⊥？若存在，寫出該圓的方程；若不存在，說明理由． 解　(1)將M，N的坐標(biāo)代入橢圓E的方程得

20、解得a2＝8，b2＝4. 所以橢圓E的方程為＋＝1. (2)假設(shè)滿足題意的圓存在，其方程為x2＋y2＝R2，其中0＜R＜2. 設(shè)該圓的任意一條切線AB和橢圓E交于A(x1，y1)，B(x2，y2)兩點(diǎn)，當(dāng)直線AB的斜率存在時(shí)，令直線AB的方程為y＝kx＋m，① 將其代入橢圓E的方程并整理得(2k2＋1)x2＋4kmx＋2m2－8＝0. 由方程根與系數(shù)的關(guān)系得 x1＋x2＝－，x1x2＝.② 因?yàn)椤?，所以x1x2＋y1y2＝0.③ 將①代入③并整理得(1＋k2)x1x2＋km(x1＋x2)＋m2＝0. 聯(lián)立②得m2＝(1＋k2)．④ 因?yàn)橹本€AB和圓相切，因此R＝. 由④得

21、R＝，所以存在圓x2＋y2＝滿足題意． 當(dāng)切線AB的斜率不存在時(shí)，易得x＝x＝， 由橢圓E的方程得y＝y(tǒng)＝，顯然⊥. 綜上所述，存在圓x2＋y2＝滿足題意． 講講離心率的故事 橢圓、雙曲線的離心率是一個(gè)重要的基本量，在橢圓中或在雙曲線中都有著極其特殊的應(yīng)用，也是高考常考的問題，通常有兩類：一是求橢圓和雙曲線的離心率的值；二是求橢圓和雙曲線離心率的取值范圍． 一、以離心率為“中介” 【示例1】? (2012·湖北)如圖，雙曲線－＝1(a，b＞0)的兩頂點(diǎn)為A1，A2，虛軸兩端點(diǎn)為B1，B2，兩焦點(diǎn)為F1，F(xiàn)2.若以A1A2為直徑的圓內(nèi)切于菱形F1B1F2B2，切點(diǎn)分別為A，B，

22、C，D.則 (1)雙曲線的離心率e＝________； (2)菱形F1B1F2B2的面積S1與矩形ABCD的面積S2的比值＝________. 解析　(1)由題意可得a ＝bc，∴a4－3a2c2＋c4＝0，∴e4－3e2＋1＝0，∴e2＝，∴e＝. (2)設(shè)sin θ＝，cos θ＝，＝＝＝＝e2－＝. 答案　(1)　(2) 老師叮嚀：離心率是“溝通”a，b，c的重要中介之一，本題在產(chǎn)生關(guān)于a，b，c的關(guān)系式后，再將關(guān)系式轉(zhuǎn)化為關(guān)于離心率e的方程，通過方程產(chǎn)生結(jié)論. 【試一試1】 (2012·南通模擬)A，B是雙曲線C的兩個(gè)頂點(diǎn)，直線l與雙曲線C交于不同的兩點(diǎn)P，Q，且與實(shí)

23、軸垂直，若·＝0，則雙曲線C的離心率e＝________. 解析　不妨設(shè)雙曲線C的方程－＝1(a＞0，b＞0)，則A(－a,0)，B(a,0)．設(shè)P(x，y)，Q(x，－y)， 所以＝(a－x，－y)，＝(x＋a，－y)， 由·＝0，得a2－x2＋y2＝0. 又－＝1，所以－＝1， 即y2＝0恒成立，所以－＝0. 即a2＝b2，所以2a2＝c2.從而e＝. 答案　 二、離心率的“外交術(shù)” 【示例2】? (2012·濰坊模擬)已知c是橢圓＋＝1(a ＞b＞0)的半焦距，則的取值范圍是(　　)． A．(1，＋∞) B．(，＋∞) C．(1，) D．(1， ] 解

24、析　由＝＝＋e，又0＜e＜1，設(shè)f(x)＝＋x,0＜x＜1，則f′(x)＝1－＝.令y′＝0，得x＝，則f(x)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，∴f(x)max＝＋＝，f(0)＝1，f(1)＝1.∴1＜f(x)≤，故1＜≤. 答案　D 老師叮嚀：離心率“外交”在于它可以較好地與其他知識(shí)交匯，本題中，如何求\f(b＋c,a)的取值范圍？結(jié)合離心率及關(guān)系式a2＝b2＋c2，將待求式子轉(zhuǎn)化為關(guān)于e的函數(shù)關(guān)系式，借助函數(shù)的定義域(即e的范圍)產(chǎn)生函數(shù)的值域，從而完成求解. 【試一試2】 (2012·江蘇)在平面直角坐標(biāo)系xOy中，若雙曲線－＝1的離心率為，則m的值為________． 解析　由題意得m＞0，∴a＝，b＝. ∴c＝，由e＝＝，得＝5，解得m＝2. 答案　2 必考問題 13