2021屆高三數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí) 必考問題專項(xiàng)突破13 空間線面位置關(guān)系的推理與證明 理

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1、 題13　空間線面位置關(guān)系的推理與證明 (2012·江蘇)如圖，在直三棱柱ABC -A1B1C1中，A1B1＝A1C1，D，E分別是棱BC，CC1上的點(diǎn)(點(diǎn)D不同于點(diǎn)C)，且AD⊥DE，F(xiàn)為B1C1的中點(diǎn)． 求證：(1)平面ADE⊥平面BCC1B1； (2)直線A1F∥平面ADE. 證明　(1)因?yàn)锳BCA1B1C1是直三棱柱， 所以 CC1⊥平面ABC， 又AD?平面ABC，所以CC1⊥AD. 又因?yàn)锳D⊥DE，CC1，DE?平面BCC1B1， CC1∩DE＝E， 所以AD⊥平面BCC1B1.又AD?平面ADE， 所以平面ADE⊥平面BCC1B1. (2)

2、因?yàn)锳1B1＝A1C1，F(xiàn)為B1C1的中點(diǎn)， 所以A1F⊥B1C1. 因?yàn)镃C1⊥平面A1B1C1，且A1F?平面A1B1C1， 所以CC1⊥A1F. 又因?yàn)镃C1，B1C1?平面BCC1B1，CC1∩B1C1＝C1， 所以A1F⊥平面BCC1B1. 由(1)知AD⊥平面BCC1B1，所以A1F∥AD. 又AD?平面ADE，A1F?平面ADE，所以A1F∥平面ADE. 本問題主要以解答題的形式進(jìn)行考查，重點(diǎn)是空間線面平行關(guān)系和垂直關(guān)系的證明，而且一般是這個(gè)解答題的第一問． 首先要學(xué)會(huì)認(rèn)識(shí)幾何圖形，有一定的空間想象能力，對(duì)照著已知條件逐一判斷．其次要熟悉相關(guān)的基本定理和

3、基本性質(zhì)，要善于把空間問題轉(zhuǎn)化為平面問題進(jìn)行解答．高考試題一般是利用直線與平面平行或垂直的判斷定理和性質(zhì)定理，以及平面與平面平行或垂直的判定定理和性質(zhì)定理，把空間中的線線位置關(guān)系、線面位置關(guān)系和面面位置關(guān)系進(jìn)行相互轉(zhuǎn)化，這就要求同學(xué)們對(duì)平行與垂直的判定定理和性質(zhì)定理熟練掌握，并在相應(yīng)的題目中用相應(yīng)的數(shù)學(xué)語言進(jìn)行準(zhǔn)確的表述． 必備知識(shí) 平行關(guān)系的轉(zhuǎn)化 兩平面平行問題常?？梢赞D(zhuǎn)化為直線與平面的平行，而直線與平面平行又可轉(zhuǎn)化為直線與直線平行，所以要注意轉(zhuǎn)化思想的應(yīng)用，以下為三種平行關(guān)系的轉(zhuǎn)化示意圖． 解決平行問題時(shí)要注意以下結(jié)論的應(yīng)用 (1)經(jīng)過平面外一點(diǎn)有且只有一個(gè)平面與已知

4、平面平行． (2)兩個(gè)平面平行，其中一個(gè)平面內(nèi)的任一直線必平行于另一個(gè)平面． (3)一條直線與兩平行平面中的一個(gè)相交，那么它與另一個(gè)也相交． (4)平行于同一條直線的兩條直線平行． (5)平行于同一個(gè)平面的兩個(gè)平面平行． (6)如果一條直線與兩個(gè)相交平面都平行，那么這條直線必與它們的交線平行． 垂直關(guān)系的轉(zhuǎn)化 與平行關(guān)系之間的轉(zhuǎn)化類似，它們之間的轉(zhuǎn)化如下示意圖． 在垂直的相關(guān)定理中，要特別注意記憶面面垂直的性質(zhì)定理：兩個(gè)平面垂直，在一個(gè)平面內(nèi)垂直于它們交線的直線必垂直于另一個(gè)平面，當(dāng)題目中有面面垂直的條件時(shí)，一般都要用此定理進(jìn)行轉(zhuǎn)化． 必備方法 1．證明平行、垂直

5、問題常常從已知聯(lián)想到有關(guān)判定定理或性質(zhì)定理，將分析法與綜合法綜合起來考慮． 2．證明面面平行、垂直時(shí)，常轉(zhuǎn)化為線面的平行與垂直，再轉(zhuǎn)化為線線的平行與垂直． 3．使用化歸策略可將立體幾何問題轉(zhuǎn)化為平面幾何問題． 4．正向思維受阻時(shí)，可考慮使用反證法． 5．計(jì)算題應(yīng)在計(jì)算中融入論證，使證算合一，邏輯嚴(yán)謹(jǐn)．通常計(jì)算題是經(jīng)過“作圖、證明、說明、計(jì)算”等步驟來完成的，應(yīng)不缺不漏，清晰、嚴(yán)謹(jǐn)． 此類問題涉及的知識(shí)面較廣，綜合性較強(qiáng)，?？疾榭臻g線線、線面、面面位置關(guān)系的判定與性質(zhì)，考查學(xué)生分析、解決問題的能力，難度中檔． 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 【例1】? 如圖

6、所示，平面ABEF⊥平面ABCD，四邊形ABEF與ABCD都是直角梯形，∠BAD＝∠FAB＝90°，BC綉AD，BE綉AF，G、H分別為FA、FD的中點(diǎn)． (1)證明：四邊形BCHG是平行四邊形； (2)C，D，F(xiàn)，E四點(diǎn)是否共面？為什么？ [審題視點(diǎn)] 　 　 [聽課記錄] [審題視點(diǎn)] 要證明四邊形BCHG是平行四邊形，只要證明GH綉B(tài)C或GB綉HC即可；要證明C，D，E，F(xiàn)共面，可通過證明四邊形CDEF中至少有一組對(duì)邊平行或兩邊的延長線相交即可． (1)證明　由題意知，F(xiàn)G＝GA，F(xiàn)H＝HD，所以GH綉AD. 又BC綉AD，故GH綉B(tài)C.所以四邊形BCHG是平行四邊形

7、． (2)解　C、D、F、E四點(diǎn)共面．理由如下： 由BE綉AF，G是FA的中點(diǎn)知，BE綉GF，所以EF綉B(tài)G. 由(1)知BG∥CH，所以EF∥CH，故EC、FH共面．又點(diǎn)D在直線FH上，所以C、D、F、E四點(diǎn)共面． 法二　由題設(shè)知FA，AB，AD兩兩互相垂直，如圖，以A為坐標(biāo)原點(diǎn)，以射線AB為x軸正方向，以射線AD為y軸正方向，以射線AF為z軸正方向，建立直角坐標(biāo)系A(chǔ)xyz. (1)證明　設(shè)AB＝a，BC＝b，BE＝c，則由題設(shè)得 A(0,0,0)，B(a,0,0)，C(a，b,0)， D(0,2b,0)，E(a,0，c)，G(0,0，c)， H(0，b，c)． 所以＝

8、(0，b,0)，＝(0，b,0)，于是＝. 又點(diǎn)G不在直線BC上，所以四邊形BCHG是平行四邊形． (2)解　C，D，F(xiàn)，E四點(diǎn)共面． 理由如下： 由題設(shè)知F(0,0,2c)，所以＝(－a,0，c)，＝(－a,0，c)， ＝，又C?EF，H∈FD，故C，D，E，F(xiàn)四點(diǎn)共面． 解決空間線面位置關(guān)系的組合判斷題常有以下方法： (1)借助空間線面位置關(guān)系的線面平行、面面平行、線面垂直、面面垂直的判定定理和性質(zhì)定理逐項(xiàng)判斷來解決問題； (2)借助空間幾何模型，如從長方體模型、四面體模型等模型中觀察線面位置關(guān)系，結(jié)合有關(guān)定理，肯定或否定某些選項(xiàng)，并作出選擇． 【突破訓(xùn)練1】 給出下列

9、關(guān)于互不相同的直線m，l，n和平面α，β的四個(gè)命題： ①若m?α，l∩α＝A，點(diǎn)A?m，則l與m不共面； ②若m、l是異面直線，l∥α，m∥α，且n⊥l，n⊥m，則n⊥α； ③若l∥α，m∥β，α∥β，則l∥m； ④若l?α，m?α，l∩m＝A，l∥β，m∥β，則α∥β. 其中為真命題的是________(填序號(hào))． 解析?、壑衛(wèi)∥m或l，m異面，所以③錯(cuò)誤，其他正確． 答案?、佗冖? 此類問題多以多面體為載體，求證線線、線面的平行與垂直，在解答題中往往作為第一問，難度一般不大，適當(dāng)添加輔助線是解題的常用方法，考查學(xué)生靈活應(yīng)用線線、線面的平行與垂直的相互轉(zhuǎn)化能力．　　　　　　

10、　　　　　　　　　　　　　 【例2】? 如圖所示，正三棱柱A1B1C1ABC中，點(diǎn)D是BC的中點(diǎn)，BC＝BB1，設(shè)B1D∩BC1＝F.求證： (1)A1C∥平面AB1D； (2)BC1⊥平面AB1D. [審題視點(diǎn)] 　 　 [聽課記錄] [審題視點(diǎn)] 本題可先挖掘正三棱柱中有關(guān)的線面平行及垂直關(guān)系，第(1)問可利用“線線平行”或“面面平行”，第(2)問可利用“線線垂直”來證“線面垂直”． 證明　(1)連接A1B，設(shè)A1B與AB1交于E，連接DE. ∵點(diǎn)D是BC中點(diǎn)，點(diǎn)E是A1B中點(diǎn)， ∴DE∥A1C，∵A1C?平面AB1D， DE?平面AB1D， ∴A1C∥平面

11、AB1D. (2)∵△ABC是正三角形，點(diǎn)D是BC的中點(diǎn)，∴AD⊥BC. ∵平面ABC⊥平面B1BCC1， 平面ABC∩平面B1BCC1＝BC，AD?平面ABC， ∴AD⊥平面B1BCC1， ∵BC1?平面B1BCC1，∴AD⊥BC1. ∵點(diǎn)D是BC的中點(diǎn)，BC＝BB1，∴BD＝BB1. ∵＝＝，∴Rt△B1BD∽R(shí)t△BCC1. ∴∠BDB1＝∠BC1C. ∴∠FBD＋∠BDF＝∠C1BC＋∠BC1C＝90°. ∴BC1⊥B1D.因?yàn)锽1D∩AD＝D， ∴BC1⊥平面AB1D. 將立體幾何問題轉(zhuǎn)化為平面幾何問題，是解決立體幾何問題的很好途徑，其中過特殊點(diǎn)作輔助線，構(gòu)

12、造平面是比較常用的方法．當(dāng)然，記住公式、定理、概念等基礎(chǔ)知識(shí)是解決問題的前提． 【突破訓(xùn)練2】 (2011·山東)如 圖，在四棱臺(tái)ABCDA1B1C1D1中，D1D⊥平面ABCD，底面ABCD是平行四邊形，AB＝2AD，AD＝A1B1，∠BAD＝60°.證明： (1)AA1⊥BD； (2)CC1∥平面A1BD. 證明　 (1)因?yàn)镈1D⊥平面ABCD，且BD?平面ABCD，所以BD⊥D1D， 取AB的中點(diǎn)G，連接DG， 在△ABD中，由AB＝2AD得， AG＝AD， 又∠BAD＝60°，所以△ADG為等邊三角形． 因此GD＝GB，故∠DBG＝∠GDB， 又∠AG

13、D＝60°，所以∠GDB＝30°， 故∠ADB＝∠ADG＋∠GDB＝60°＋30°＝90° 所以BD⊥AD.又AD∩D1D＝D， 所以BD⊥平面ADD1A1，又AA1?平面ADD1A1， 故AA1⊥BD. (2)連接AC，A1C1，設(shè)AC∩BD＝E，連接EA1， 因?yàn)樗倪呅蜛BCD為平行四邊形， 所以EC＝AC， 由棱臺(tái)定義及AB＝2AD＝2A1B1知， A1C1∥EC且A1C1＝EC， 所以四邊形A1ECC1為平行四邊形， 因此CC1∥EA1， 又因?yàn)镋A1?平面A1BD，CC1?平面A1BD， 所以CC1∥平面A1BD. 此類問題多以多面體為載體，結(jié)

14、合線線、線面的位置關(guān)系，涉及的知識(shí)點(diǎn)多，綜合性強(qiáng)，通?？疾槊婷嫖恢藐P(guān)系的判定及性質(zhì)，考查學(xué)生的推理論證能力．　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 【例3】? 如圖所示， 在四棱錐PABCD中，△PAB為正三角形，且面PAB⊥面ABCD，四邊形ABCD是直角梯形，且AD∥BC，∠BCD＝，AD＝1，BC＝2，E為棱PC的中點(diǎn)． (1)求證：DE∥平面PAB； (2)求證：平面PAB⊥平面PBC. [審題視點(diǎn)] 　 　 [聽課記錄] [審題視點(diǎn)] (1)證明線面平行只需在平面內(nèi)找一條和該直線平行的直線即可，也可轉(zhuǎn)化為經(jīng)過這條直線的平面和已知平面平行；(2)證明面面垂直，只需在

15、一個(gè)平面內(nèi)找到另一個(gè)平面的垂線． (1)證明　如圖所示，取線段BC的中點(diǎn)F，連接EF、FD. 在△PBC中，E、F分別為PC、CB的中點(diǎn)，∴EF∥PB. 在直角梯形ABCD中，F(xiàn)為CB的中點(diǎn)， ∴BF＝BC＝1. 又∵AD∥BC，且AD＝1， ∴AD綉B(tài)F. ∴四邊形ABFD是平行四邊形， ∴FD∥AB. 又∵EF∩FD＝F，PB∩BA＝B， ∴平面EFD∥平面PAB. 又∵DE?平面EFD， ∴DE∥平面PAB. (2)證明　在直角梯形中，CB⊥AB， 又∵平面PAB⊥平面ABCD，且平面PAB∩平面ABCD＝AB， ∴CB⊥平面PAB. ∵CB?平面PB

16、C，∴平面PBC⊥平面PAB. 解決空間兩個(gè)平面位置關(guān)系的思維方法是“以退為進(jìn)”，即面面問題退證為線面問題，再退證為線線問題，充分利用面面、線面、線線相互之間的轉(zhuǎn)化關(guān)系． 【突破訓(xùn)練3】 (2011·江蘇)如圖， 在四棱錐PABCD中，平面PAD⊥平面ABCD，AB＝AD，∠BAD＝60°，E，F(xiàn)分別是AP，AD的中點(diǎn)．求證： (1)直線EF∥平面PCD； (2)平面BEF⊥平面PAD. 證明　 (1)如圖，在△PAD中，因?yàn)镋，F(xiàn)分別為AP，AD的中點(diǎn)，所以EF∥PD. 又因?yàn)镋F?平面PCD， PD?平面PCD， 所以直線EF∥平面PCD. (2)連接BD.

17、因?yàn)锳B＝AD，∠BAD＝60°， 所以△ABD為正三角形． 因?yàn)镕是AD的中點(diǎn)，所以BF⊥AD. 因?yàn)槠矫鍼AD⊥平面ABCD，BF?平面ABCD， 平面PAD∩平面ABCD＝AD，所以BF⊥平面PAD. 又因?yàn)锽F?平面BEF，所以平面BEF⊥平面PAD. 此類問題通常是把平面圖形折疊成空間幾何體，并以此為載體考查線線、線面、面面位置關(guān)系及有關(guān)計(jì)算．考查學(xué)生的知識(shí)遷移能力和空間想象能力，難度較大． 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 【例4】? (2012·臨沂二模)如圖，在直角梯形ABCP中，AP∥BC，AP⊥AB，AB＝BC＝AP，D是AP的中點(diǎn)，E、F分別

18、為PC、PD的中點(diǎn)，將△PCD沿CD折起得到四棱錐PABCD. (1)G為線段BC上任一點(diǎn)，求證：平面EFG⊥平面PAD； (2)當(dāng)G為BC的中點(diǎn)時(shí)，求證：AP∥平面EFG. [審題視點(diǎn)] 　 　 [聽課記錄] [審題視點(diǎn)] (1)轉(zhuǎn)化為證EF⊥平面PAD； (2)轉(zhuǎn)化為證平面PAB∥平面EFG. 證明　(1)在直角梯形ABCP中， ∵BC∥AP，BC＝AP，D為AP的中點(diǎn)， ∴BC綉AD，又AB⊥AP，AB＝BC， ∴四邊形ABCD為正方形． ∴CD⊥AP，CD⊥AD，CD⊥PD. 在四棱錐PABCD中，∵E，F(xiàn)分別為PC、PD的中點(diǎn)， ∴EF∥CD、EF⊥A

19、D，EF⊥PD. 又PD∩AD＝D、PD?面PAD、AD?面PAD. ∴EF⊥面PAD. 又EF?面EFG，∴面EFG⊥面PAD. (2)法一　∵G、F分別為BC和PC中點(diǎn)，∴GF∥BP， ∵GF?面PAB，BP?面PAB，∴GF∥面PAB. 由(1)知，EF∥DC，∵AB∥DC，∴EF∥AB， ∵EF?面PAB，AB?面PAB，∴EF∥面PAB. ∵EF∩GF＝F，EF?面EFG，GF?面EFG. ∴面EFG∥面PAB.∵PA?面PAB，∴PA∥面EFG. 法二　取AD中點(diǎn)H，連接GH、HE. 由(1)知四邊形ABCD為平行四邊形， 又G、H分別為BC、AD的中點(diǎn)，∴

20、GH∥CD. 由(1)知，EF∥CD，∴EF∥GH. ∴四點(diǎn)E、F、G、H共面． ∵E、H分別為PD、AD的中點(diǎn)，∴EH∥PA. ∵PA?面EFGH，EH?面EFGH， ∴PA∥面EFGH，即PA∥面EFG. (1)解決與折疊有關(guān)的問題的關(guān)鍵是搞清折疊前后的變化量和不變量，一般情況下，折線同一側(cè)的線段的長度是不變量，而位置關(guān)系往往會(huì)發(fā)生變化，抓住不變量是解決問題的突破口．(2)在解決問題時(shí)，要綜合考慮折疊前后的圖形，既要分析折疊后的圖形，也要分析折疊前的圖形． 【突破訓(xùn)練4】 如圖，平行四邊形ABCD中，∠DAB＝60°，AB＝2，AD＝4.將△CBD沿BD折起到△EBD的位置

21、，使平面EBD⊥平面ABD. (1)求證：AB⊥DE； (2)求三棱錐EABD的側(cè)面積． (1)證明　在△ABD中，∵AB＝2，AD＝4，∠DAB＝60°，∴BD＝＝2. ∴AB2＋BD2＝AD2，∴AB⊥BD. 又∵平面EBD⊥平面ABD， 平面EBD∩平面ABD＝BD，AB?平面ABD， ∴AB⊥平面EBD.又∵DE?平面EBD，∴AB⊥DE. (2)解　由(1)知AB⊥BD. ∵CD∥AB，∴CD⊥BD，從而DE⊥BD. 在Rt△DBE中，∵DB＝2，DE＝DC＝AB＝2， ∴S△DBE＝DB·DE＝2. 又∵AB⊥平面EBD，BE?平面EBD，∴AB⊥BE.

22、 ∵BE＝BC＝AD＝4，∴S△ABE＝AB·BE＝4. ∵DE⊥BD，平面EBD⊥平面ABD，∴ED⊥平面ABD， 而AD?平面ABD，∴ED⊥AD， ∴S△ADE＝AD·DE＝4. 綜上，三棱錐EABD的側(cè)面積S＝8＋2. 證明線面關(guān)系，嚴(yán)禁跳步作答 證明線面位置關(guān)系的基本思想是轉(zhuǎn)化與化歸，根據(jù)線面平行、垂直關(guān)系的判定和性質(zhì)，進(jìn)行相互之間的轉(zhuǎn)化，但分析問題時(shí)不能只局限在線上，要把相關(guān)的線歸結(jié)到某個(gè)平面上，通過證明線面垂直達(dá)到證明線線垂直的目的，但證明線面垂直又要借助于線線垂直，在不斷的相互轉(zhuǎn)化中達(dá)到最終目的． 【示例】? (2012·北京東城一模)在棱長為2的正方體AB

23、CDA1B1C1D1中，E、F分別為DD1、DB的中點(diǎn)． (1)求證：EF∥平面ABC1D1； (2)求證：EF⊥B1C. [滿分解答]　 (1)連接BD1，如圖所示，在△DD1B中，E、F分別為DD1、DB的中點(diǎn)， 則EF∥D1B， ∵D1B?平面ABC1D1， EF?平面ABC1D1， ∴EF∥平面ABC1D1.(6分) (2)∵ABCDA1B1C1D1為正方體， ∴AB⊥平面BCC1B1. ∴B1C⊥AB. 又B1C⊥BC1，AB?平面ABC1D1， BC1?平面ABC1D1且AB∩BC1＝B， ∴B1C⊥平面ABC1D1， 又∵BD1?平面ABC1D1

24、，∴B1C⊥BD1. 又EF∥BD1，∴EF⊥B1C.(12分) 老師叮嚀：本題失分原因主要有兩點(diǎn)：一是推理論證不嚴(yán)謹(jǐn)，在使用線面位置關(guān)系的判定定理、性質(zhì)定理時(shí)忽視定理的使用條件，如由EF∥D1B就直接得出EF∥平面ABC1D1；二是線面位置關(guān)系的證明思路出錯(cuò)，如本題第(2)問的證明，缺乏轉(zhuǎn)化的思想意識(shí)，不知道證明線線垂直可以通過線面垂直達(dá)到目的，出現(xiàn)證明上的錯(cuò)誤．解這類問題時(shí)要注意推理嚴(yán)謹(jǐn)，使用定理時(shí)找足條件，書寫規(guī)范等． 【試一試】 (2012·福州二模)如圖， 在四棱錐SABCD中，底面ABCD是菱形，SA⊥底面ABCD，M為SA的中點(diǎn)，N為CD的中點(diǎn)．證明： (1)平面SBD⊥平面SAC； (2)直線MN∥平面SBC. 證明　(1)∵ABCD是菱形，∴BD⊥AC. ∵SA⊥底面ABCD，∴BD⊥SA. ∵SA∩AC＝A，∴BD⊥平面SAC. 又∵BD?平面SBD，∴平面SBD⊥平面SAC. (2)如圖，取SB中點(diǎn)E，連接ME，CE. ∵M(jìn)為SA中點(diǎn)， ∴ME∥AB且ME＝AB. 又∵ABCD是菱形，N為CD的中點(diǎn)， ∴CN∥AB且CN＝CD＝AB. ∴CN綉ME. ∴四邊形CNME是平行四邊形，∴MN∥CE. 又MN?平面SBC，CE?平面SBC， ∴直線MN∥平面SBC. 　 　 　 　 　 13