2020高考數(shù)學大一輪復習 第二章 函數(shù)概念與基本初等函數(shù) 8 第8講 函數(shù)與方程練習 理（含解析）

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1、第8講 函數(shù)與方程 [基礎題組練] 1．(2019·滄州模擬)設f(x)是區(qū)間[－1，1]上的增函數(shù)，且f·f＜0，則方程f(x)＝0在區(qū)間[－1，1]內(nèi)(　　) A．可能有3個實數(shù)根　　　 B．可能有2個實數(shù)根 C．有唯一的實數(shù)根 D．沒有實數(shù)根 解析：選C.因為f(x)在區(qū)間[－1，1]上是增函數(shù)，且f·f＜0，所以f(x)在區(qū)間上有唯一的零點．所以方程f(x)＝0在區(qū)間[－1，1]內(nèi)有唯一的實數(shù)根． 2．設f(x)＝3x－x2，則在下列區(qū)間中，使函數(shù)f(x)有零點的區(qū)間是(　　) A．[0，1] B．[1，2] C．[－2，－1] D．[－1，0] 解析：選D.因為f

2、(x)＝3x－x2，所以f(－1)＝3－1－1＝－＜0，f(0)＝30－0＝1＞0，所以f(－1)·f(0)＜0. 3．(一題多解)(2019·南寧模擬)設函數(shù)f(x)＝ln x－2x＋6，則f(x)零點的個數(shù)為(　　) A．3 B．2 C．1 D．0 解析：選B.法一：函數(shù)f(x)＝ln x－2x＋6的定義域為(0，＋∞)．f′(x)＝－2＝，令f′(x)＝0，得x＝，當0＜x＜時，f′(x)＞0，當x＞時，f′(x)＜0，所以函數(shù)f(x)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減．因為f＝－4－＜0，f＝5－ln 2＞0，f(e2)＝8－2e2＜0，所以函數(shù)f(x)在，上各有一個零點，所以函數(shù)f(

3、x)的零點個數(shù)為2，故選B. 法二：令f(x)＝0，則ln x＝2x－6，令g(x)＝ln x，h(x)＝2x－6(x＞0)，在同一平面直角坐標系中畫出這兩個函數(shù)的圖象，如圖所示，兩個函數(shù)圖象的交點個數(shù)就等于函數(shù)f(x)零點的個數(shù)，容易看出函數(shù)f(x)零點的個數(shù)為2，故選B. 4．已知函數(shù)f(x)＝－log3x，若x0是函數(shù)y＝f(x)的零點，且0＜x1＜x0，則f(x1)的值(　　) A．恒為正值 B．等于0 C．恒為負值 D．不大于0 解析：選A.因為函數(shù)f(x)＝－log3x在(0，＋∞)上是減函數(shù)，所以當0＜x1＜x0時，有f(x1)＞f(x0)．又x0是函數(shù)f(x)的零

4、點，因此f(x0)＝0，所以f(x1)＞0，即此時f(x1)的值恒為正值，故選A. 5．已知函數(shù)f(x)＝則使函數(shù)g(x)＝f(x)＋x－m有零點的實數(shù)m的取值范圍是(　　) A．[0，1) B．(－∞，1) C．(－∞，1]∪(2，＋∞) D．(－∞，0]∪(1，＋∞) 解析：選D.函數(shù)g(x)＝f(x)＋x－m的零點就是方程f(x)＋x＝m的根，畫出h(x)＝f(x)＋x＝的大致圖象(圖略)．觀察它與直線y＝m的交點，得知當m≤0或m＞1時，有交點，即函數(shù)g(x)＝f(x)＋x－m有零點． 6．(2019·江西八所重點中學聯(lián)考)已知f(x)＝，若關于x的方程a＝f(x)恰有兩個不

5、同的實根，則實數(shù)a的取值范圍是(　　) A.∪[1，2) B.∪[1，2) C．(1，2) D．[1，2) 解析：選B.關于x的方程a＝f(x)恰有兩個不同的實根，即函數(shù)f(x)的圖象與直線y＝a恰有兩個不同的交點，作出函數(shù)f(x)的圖象如圖所示，由圖象可得實數(shù)a的取值范圍是∪[1，2)，故選B. 7．(2019·河南鄭州質(zhì)檢)已知函數(shù)f(x)＝－cos x，則f(x)在[0，2π]上的零點個數(shù)為________． 解析：如圖，作出g(x)＝與h(x)＝cos x的圖象，可知其在[0，2π]上的交點個數(shù)為3，所以函數(shù)f(x)在[0，2π]上的零點個數(shù)為3.

6、答案：3 8．函數(shù)f(x)＝＋2cos πx(－4≤x≤6)的所有零點之和為________． 解析：可轉(zhuǎn)化為兩個函數(shù)y＝與y＝－2cos πx在[－4，6]上的交點的橫坐標的和，因為兩個函數(shù)均關于x＝1對稱，所以兩個函數(shù)在x＝1兩側的交點對稱，則每對對稱點的橫坐標的和為2，分別畫出兩個函數(shù)的圖象易知兩個函數(shù)在x＝1兩側分別有5個交點，所以5×2＝10. 答案：10 9．若函數(shù)f(x)＝(m－2)x2＋mx＋(2m＋1)的兩個零點分別在區(qū)間(－1，0)和區(qū)間(1，2)內(nèi)，則m的取值范圍是________． 解析：依題意，結合函數(shù)f(x)的圖象分析可知m需滿足 即 解得＜m＜.

7、 答案： 10．已知函數(shù)f(x)＝若關于x的方程f(x)＝kx－恰有4個不相等的實數(shù)根，則實數(shù)k的取值范圍是________． 解析：若關于x的方程f(x)＝kx－恰有4個不相等的實數(shù)根，則f(x)的圖象和直線y＝kx－有4個交點．作出函數(shù)f(x)的圖象，如圖，故點(1，0)在直線y＝kx－的下方．所以k·1－＞0，解得k＞. 當直線y＝kx－和y＝ln x相切時，設切點橫坐標為m，則k＝＝，所以m＝.此時，k＝＝，f(x)的圖象和直線y＝kx－有3個交點，不滿足條件，故要求的k的取值范圍是. 答案： 11．設函數(shù)f(x)＝(x>0)． (1)作出函數(shù)f(x)的圖象； (2

8、)當0

9、(f(1))＝g(－3)＝－3＋1＝－2. (2)令f(x)＝t，則原方程化為g(t)＝a，易知方程f(x)＝t在t∈(－∞，1)內(nèi)有2個不同的解， 則原方程有4個解等價于函數(shù)y＝g(t)(t<1)與y＝a的圖象有2個不同的交點，作出函數(shù)y＝g(t)(t<1)的圖象(圖略)，由圖象可知，當1≤a<時，函數(shù)y＝g(t)(t<1)與y＝a有2個不同的交點，即所求a的取值范圍是. [綜合題組練] 1．(應用型)已知函數(shù)f(x)＝2x＋x，g(x)＝log2x＋x，h(x)＝x3＋x的零點依次為a，b，c，則a，b，c的大小關系為(　　) A．a(chǎn)＜b＜c B．a(chǎn)＜c＜b C．a(chǎn)＞b＞c D

10、．c＞a＞b 解析：選B.f(x)＝2x＋x的零點a為函數(shù)y＝2x與y＝－x圖象的交點的橫坐標，由圖象(圖略)可知a＜0，g(x)＝log2x＋x的零點b為函數(shù)y＝log2x與y＝－x圖象的交點的橫坐標，由圖象(圖略)知b＞0，令h(x)＝0，得c＝0.故選B. 2．(創(chuàng)新型)(2019·蘭州模擬)已知奇函數(shù)f(x)是R上的單調(diào)函數(shù)，若函數(shù)y＝f(2x2＋1)＋f(λ－x)只有一個零點，則實數(shù)λ的值是(　　) A. B. C．－ D．－ 解析：選C.因為函數(shù)y＝f(2x2＋1)＋f(λ－x)只有一個零點，所以方程f(2x2＋1)＋f(λ－x)＝0只有一個實數(shù)根，又奇函數(shù)f(x)是定義

11、在R上的單調(diào)函數(shù)，所以f(－x)＝－f(x)，所以f(2x2＋1)＋f(λ－x)＝0?f(2x2＋1)＝－f(λ－x)?f(2x2＋1)＝f(x－λ)?2x2＋1＝x－λ，所以方程2x2－x＋1＋λ＝0只有一個實數(shù)根，所以Δ＝(－1)2－4×2×(1＋λ)＝0，解得 λ＝－.故選C. 3．(應用型)(2019·甘肅一模)已知定義在R上的函數(shù)y＝f(x)對任意的x都滿足f(x＋2)＝f(x)，當－1≤x＜1時，f(x)＝sin x，若函數(shù)g(x)＝f(x)－loga|x|至少有6個零點，則a的取值范圍是(　　) A.∪(5，＋∞) B.∪[5，＋∞) C.∪(5，7) D.∪[5，7)

12、解析：選A.當a＞1時，作出函數(shù)f(x)與函數(shù)y＝loga|x|的圖象，如圖所示． 結合圖象可知，故a＞5； 當0＜a＜1時，作出函數(shù)f(x)與函數(shù)y＝loga|x|的圖象，如圖所示． 結合圖象可知，故0＜a≤.故選A. 4．設函數(shù)f(x)＝，x∈R且x≠1. (1)求f＋f＋f＋f＋f(4)＋f(6)＋f(8)＋f(10)的值； (2)就m的取值情況，討論關于x的方程f(x)＋x＝m在x∈[2，3]上解的個數(shù)． 解：(1)根據(jù)題意，函數(shù)f(x)＝，則f＝＝＝－， 則f(x)＋f＝0， 則f＋f＋f＋f＋f(4)＋f(6)＋f(8)＋f(10)＝f＋f(10)＋f＋f

13、(8)＋f＋f(6)＋f＋f(4)＝0. (2)根據(jù)題意，設g(x)＝f(x)＋x＝＋x＝(x－1)＋＋2， 令t＝x－1，又由x∈[2，3]，則t∈[1，2]， 則設h(t)＝t＋＋2， 有h′(t)＝1－＝， 分析可得：在區(qū)間[1，]上，h(t)單調(diào)遞減，在區(qū)間[，2]上，h(t)單調(diào)遞增； 則h(t)在[1，2]有最小值h()＝2＋2， 且h(1)＝h(2)＝5， 則函數(shù)h(t)在區(qū)間[1，2]上有最大值5，最小值2＋2， 方程f(x)＋x＝m的解的個數(shù)即為函數(shù)g(x)與直線y＝m的交點個數(shù)， 分析可得：當m＜2＋2時，函數(shù)g(x)與直線y＝m沒有交點，方程f(x)＋x＝m無解； 當m＝2＋2時，函數(shù)g(x)與直線y＝m有1個交點，方程f(x)＋x＝m有1個解； 當2＋2＜m≤5時，函數(shù)g(x)與直線y＝m有2個交點，方程f(x)＋x＝m有2個解； 當m＞5時，函數(shù)g(x)與直線y＝m沒有交點，方程f(x)＋x＝m無解； 綜上可得，當m＜2＋2或m＞5時，方程f(x)＋x＝m無解； 當m＝2＋2時，方程f(x)＋x＝m有1個解； 當2＋2＜m≤5時方程f(x)＋x＝m有2個解． - 7 -