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1、第六章 第41煉 指對(duì)數(shù)比較大小 不等式
第41煉 指對(duì)數(shù)比較大小
在填空選擇題中我們會(huì)遇到一類(lèi)比較大小的問(wèn)題，通常是三個(gè)指數(shù)和對(duì)數(shù)混在一起，進(jìn)行排序。這類(lèi)問(wèn)題如果兩兩進(jìn)行比較，則花費(fèi)的時(shí)間較多，所以本講介紹處理此類(lèi)問(wèn)題的方法與技巧
一、一些技巧和方法
1、如何快速判斷對(duì)數(shù)的符號(hào)？八字真言“同區(qū)間正，異區(qū)間負(fù)”，容我慢慢道來(lái)：
判斷對(duì)數(shù)的符號(hào)，關(guān)鍵看底數(shù)和真數(shù)，區(qū)間分為和
（1）如果底數(shù)和真數(shù)均在中，或者均在中，那么對(duì)數(shù)的值為正數(shù)
（2）如果底數(shù)和真數(shù)一個(gè)在中
2、，一個(gè)在中，那么對(duì)數(shù)的值為負(fù)數(shù)
例如：等
2、要善于利用指對(duì)數(shù)圖像觀察指對(duì)數(shù)與特殊常數(shù)（如0,1）的大小關(guān)系，一作圖，自明了
3、比較大小的兩個(gè)理念：
（1）求同存異：如果兩個(gè)指數(shù)（或?qū)?shù)）的底數(shù)相同，則可通過(guò)真數(shù)的大小與指對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性，判斷出指數(shù)（或?qū)?shù)）的關(guān)系，所以要熟練運(yùn)用公式，盡量將比較的對(duì)象轉(zhuǎn)化為某一部分相同的情況
例如：，比較時(shí)可進(jìn)行轉(zhuǎn)化，盡管底數(shù)難以轉(zhuǎn)化為同底，但指數(shù)可以變?yōu)橄嗤?
，從而只需比較底數(shù)的大小即可
（2）利用特殊值作“中間量”：在指對(duì)數(shù)中通?？蓛?yōu)先選擇“0,1”對(duì)所比較的數(shù)進(jìn)行劃分，然后再進(jìn)行比較，有時(shí)可以簡(jiǎn)化比較的步驟（在兵法上可稱(chēng)為“分割包圍，各
3、個(gè)擊破”，也有一些題目需要選擇特殊的常數(shù)對(duì)所比較的數(shù)的值進(jìn)行估計(jì)，例如，可知，進(jìn)而可估計(jì)是一個(gè)1點(diǎn)幾的數(shù)，從而便于比較
4、常用的指對(duì)數(shù)變換公式：
（1）
（2）
（3）
（4）換底公式：
進(jìn)而有兩個(gè)推論： （令）
二、典型例題：
例1：設(shè)，則的大小關(guān)系是______________
思路：可先進(jìn)行分堆，可判斷出，從而肯定最大，只需比較即可，觀察到有相同的結(jié)構(gòu)：真數(shù)均帶有根號(hào)，抓住這個(gè)特點(diǎn)，利用對(duì)數(shù)公式進(jìn)行變換：，從而可比較出，所以
答案：
例2：設(shè)，則的大小關(guān)系是___________
思路：觀察發(fā)現(xiàn)均在內(nèi)，的真數(shù)相同，進(jìn)而可通過(guò)比較底數(shù)得到大小關(guān)系
4、：，在比較和的大小，由于是指數(shù)，很難直接與對(duì)數(shù)找到聯(lián)系，考慮估計(jì)值得大?。?，可考慮以為中間量，則，進(jìn)而，所以大小順序?yàn)?
答案：
例3：設(shè) 則的大小關(guān)系為（ ）
A. B. C. D.
思路：觀察到都是以為底的對(duì)數(shù)，所以將其系數(shù)“放”進(jìn)對(duì)數(shù)之中，再進(jìn)行真數(shù)的比較。發(fā)現(xiàn)真數(shù)的底與指數(shù)也不相同，所以依然考慮“求同存異”，讓三個(gè)真數(shù)的指數(shù)一致： ，通過(guò)比較底數(shù)的大小可得：
答案：C
小煉有話(huà)說(shuō)：（1）本題的核心處理方式就是“求同存異”，將三個(gè)數(shù)變形為具備某相同的部分，從而轉(zhuǎn)換比較的對(duì)象，將“無(wú)法比較”轉(zhuǎn)變?yōu)椤翱梢员?/p>
5、較”
（2）本題在比較指數(shù)冪時(shí)，底數(shù)的次數(shù)較高，計(jì)算起來(lái)比較麻煩。所以也可以考慮將這三個(gè)數(shù)兩兩進(jìn)行比較，從而減少底數(shù)的指數(shù)便于計(jì)算。例如可以先比較，從而，同理再比較或即可
例4：設(shè)，，，則（ ）
A. B. C. D.
思路：觀察可發(fā)現(xiàn)：
，所以可得：
答案：D
例5：設(shè) 則的大小關(guān)系為（ ）
A. B. C. D.
思路：觀察可發(fā)現(xiàn)的底數(shù)相同，的指數(shù)相同，進(jìn)而考慮先進(jìn)行這兩輪的比較。對(duì)于，兩者底數(shù)在，則指數(shù)越大，指數(shù)冪越小，所以可得，再比較，兩者指
6、數(shù)相同，所以底數(shù)越大，則指數(shù)冪越大，所以，綜上：
答案：B
例6：已知三個(gè)數(shù)，則它們之間的大小關(guān)系是（ ）
A. B. C. D.
思路：可先進(jìn)行分組，，，所以只需比較大小，兩者都介于之間且一個(gè)是對(duì)數(shù)，一個(gè)是三角函數(shù)，無(wú)法找到之間的聯(lián)系。所以考慮尋找中間值作為橋梁。以作為入手點(diǎn)。利用特殊角的余弦值估計(jì)其大小。，而，從而，大小順序?yàn)?
答案：A
小煉有話(huà)說(shuō)：在尋找中間量時(shí)可以以其中一個(gè)為入手點(diǎn)，由于非特殊角的三角函數(shù)值可用特殊角三角函數(shù)值估計(jì)值的大小，所以本題優(yōu)先選擇作為研究對(duì)象。
例7：（2015甘肅河西三校第一
7、次聯(lián)考）設(shè)，則（ ）
A. B. C. D.
思路：首先進(jìn)行分組，可得，下面比較的大小，可以考慮以作為中間量，，所以，從而
答案：D
例8：設(shè)且，則的大小關(guān)系是（ ）
A. B. C. D.
思路：由可得：，先用將分堆，，，則為最大，只需要比較即可，由于的底數(shù)與真數(shù)不同，考慮進(jìn)行適當(dāng)變形并尋找中間量。，而，因?yàn)?，所以，所以順序?yàn)?
答案：C
例9：下列四個(gè)數(shù)：的大小順序?yàn)開(kāi)_______
思路：觀察發(fā)現(xiàn)，其余均為正。所以只需比較，考慮
8、，所以，而，所以下一步比較：，所以，綜上所述，大小順序?yàn)?
答案：
例10：已知均為正數(shù)，且，則（ ）
A. B. C. D.
思路：本題要通過(guò)左右相等的條件，以某一側(cè)的值作為突破口，去推斷的范圍。首先觀察等式左側(cè)，左側(cè)的數(shù)值均大于0，所以可得：均大于0，由對(duì)數(shù)的符號(hào)特點(diǎn)可得：，只需比較大小即可。觀察到，從而，所以順序?yàn)?
答案：A
小煉有話(huà)說(shuō)：本題也可用數(shù)形結(jié)合的方式比較大小，觀察發(fā)現(xiàn)前兩個(gè)等式右側(cè)為的形式，而第三個(gè)等式也可變形為，從而可以考慮視分別為兩個(gè)函數(shù)的交點(diǎn)。先作出圖像，再在這個(gè)坐標(biāo)系中作出，比較交點(diǎn)的位置即可。
第41煉 指對(duì)數(shù)比較大小
