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(二)直線與圓錐曲線(2)
1．(2016四川)已知橢圓E：＋＝1(a>b>0)的兩個焦點與短軸的一個端點是直角三角形的三個頂點，直線l：y＝－x＋3與橢圓E有且只有一個公共點T.
(1)求橢圓E的方程及點T的坐標；
(2)設O是坐標原點，直線l′平行于OT，與橢圓E交于不同的兩點A，B，且與直線l交于點P.證明：存在常數(shù)λ，使得|PT|2＝λ|PA||PB|，并求λ的值．
解 (1)由已知，得a＝b，
則橢圓E的方程為＋＝1.
由方程組得3x2－12x＋(18－2b2)＝0.①
方程①的判別式為Δ＝24(b2－3)，由Δ＝0，得b2＝3，
此時方程①的解為x＝2，
所以橢圓E的方程為＋＝1.
點T的坐標為(2,1)．
(2)由已知可設直線l′的方程為
y＝x＋m(m≠0)，
由方程組可得
所以P點坐標為，|PT|2＝m2.
設點A，B的坐標分別為A(x1，y1)，B(x2，y2)．
由方程組可得3x2＋4mx＋(4m2－12)＝0.②
方程②的判別式為Δ＝16(9－2m2)，
由Δ>0，解得－
0)于點P，M關于點P的對稱點為N，連接ON并延長交C于點H.
(1)求；
(2)除H以外，直線MH與C是否有其他公共點？說明理由．
解 (1)如圖，由已知得M(0，t)，P，
又N為M關于點P的對稱點，故N，ON的方程為y＝x，代入y2＝2px整理得px2－2t2x＝0，
解得x1＝0，x2＝，因此H.
所以N為OH的中點，即＝2.
(2)直線MH與C除H以外沒有其他公共點，理由如下：
直線MH的方程為y－t＝x，即x＝(y－t)．
代入y2＝2px得y2－4ty＋4t2＝0，解得y1＝y(tǒng)2＝2t，
即直線MH與C只有一個公共點，
所以除H以外，直線MH與C沒有其他公共點．
3．(2016浙江)如圖，設橢圓＋y2＝1(a＞1)．
(1)求直線y＝kx＋1被橢圓截得的線段長(用a，k表示)；
(2)若任意以點A(0,1)為圓心的圓與橢圓至多有3個公共點，求橢圓離心率的取值范圍．
解 (1)設直線y＝kx＋1被橢圓截得的線段為AM，
由得(1＋a2k2)x2＋2a2kx＝0，
故x1＝0，x2＝－，
因此|AM|＝|x1－x2|＝.
(2)假設圓與橢圓的公共點有4個，由對稱性可設y軸左側的橢圓上有兩個不同的點P，Q，滿足|AP|＝|AQ|.
記直線AP，AQ的斜率分別為k1，k2，且k1，k2＞0，k1≠k2.
由(1)知|AP|＝，|AQ|＝，
故＝，
所以(k－k)[1＋k＋k＋a2(2－a2)kk]＝0.
由k1≠k2，k1，k2＞0得1＋k＋k＋a2(2－a2)kk＝0，
因此＝1＋a2(a2－2)，①
因為①式關于k1，k2的方程有解的充要條件是
1＋a2(a2－2)＞1，所以a＞.
因此任意以點A(0,1)為圓心的圓與橢圓至多有3個公共點的充要條件為1＜a≤，
由e＝＝，得0
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