《高考數(shù)學(xué)三輪增分練 高考?jí)狠S大題突破練(二)直線與圓錐曲線(2)理》由會(huì)員分享,可在線閱讀,更多相關(guān)《高考數(shù)學(xué)三輪增分練 高考?jí)狠S大題突破練(二)直線與圓錐曲線(2)理(4頁(yè)珍藏版)》請(qǐng)?jiān)谘b配圖網(wǎng)上搜索。
(二)直線與圓錐曲線(2)
1.(2016四川)已知橢圓E:+=1(a>b>0)的兩個(gè)焦點(diǎn)與短軸的一個(gè)端點(diǎn)是直角三角形的三個(gè)頂點(diǎn),直線l:y=-x+3與橢圓E有且只有一個(gè)公共點(diǎn)T.
(1)求橢圓E的方程及點(diǎn)T的坐標(biāo);
(2)設(shè)O是坐標(biāo)原點(diǎn),直線l′平行于OT,與橢圓E交于不同的兩點(diǎn)A,B,且與直線l交于點(diǎn)P.證明:存在常數(shù)λ,使得|PT|2=λ|PA||PB|,并求λ的值.
解 (1)由已知,得a=b,
則橢圓E的方程為+=1.
由方程組得3x2-12x+(18-2b2)=0.①
方程①的判別式為Δ=24(b2-3),由Δ=0,得b2=3,
此時(shí)方程①的解為x=2,
所以橢圓E的方程為+=1.
點(diǎn)T的坐標(biāo)為(2,1).
(2)由已知可設(shè)直線l′的方程為
y=x+m(m≠0),
由方程組可得
所以P點(diǎn)坐標(biāo)為,|PT|2=m2.
設(shè)點(diǎn)A,B的坐標(biāo)分別為A(x1,y1),B(x2,y2).
由方程組可得3x2+4mx+(4m2-12)=0.②
方程②的判別式為Δ=16(9-2m2),
由Δ>0,解得-
0)于點(diǎn)P,M關(guān)于點(diǎn)P的對(duì)稱點(diǎn)為N,連接ON并延長(zhǎng)交C于點(diǎn)H.
(1)求;
(2)除H以外,直線MH與C是否有其他公共點(diǎn)?說(shuō)明理由.
解 (1)如圖,由已知得M(0,t),P,
又N為M關(guān)于點(diǎn)P的對(duì)稱點(diǎn),故N,ON的方程為y=x,代入y2=2px整理得px2-2t2x=0,
解得x1=0,x2=,因此H.
所以N為OH的中點(diǎn),即=2.
(2)直線MH與C除H以外沒有其他公共點(diǎn),理由如下:
直線MH的方程為y-t=x,即x=(y-t).
代入y2=2px得y2-4ty+4t2=0,解得y1=y(tǒng)2=2t,
即直線MH與C只有一個(gè)公共點(diǎn),
所以除H以外,直線MH與C沒有其他公共點(diǎn).
3.(2016浙江)如圖,設(shè)橢圓+y2=1(a>1).
(1)求直線y=kx+1被橢圓截得的線段長(zhǎng)(用a,k表示);
(2)若任意以點(diǎn)A(0,1)為圓心的圓與橢圓至多有3個(gè)公共點(diǎn),求橢圓離心率的取值范圍.
解 (1)設(shè)直線y=kx+1被橢圓截得的線段為AM,
由得(1+a2k2)x2+2a2kx=0,
故x1=0,x2=-,
因此|AM|=|x1-x2|=.
(2)假設(shè)圓與橢圓的公共點(diǎn)有4個(gè),由對(duì)稱性可設(shè)y軸左側(cè)的橢圓上有兩個(gè)不同的點(diǎn)P,Q,滿足|AP|=|AQ|.
記直線AP,AQ的斜率分別為k1,k2,且k1,k2>0,k1≠k2.
由(1)知|AP|=,|AQ|=,
故=,
所以(k-k)[1+k+k+a2(2-a2)kk]=0.
由k1≠k2,k1,k2>0得1+k+k+a2(2-a2)kk=0,
因此=1+a2(a2-2),①
因?yàn)棰偈疥P(guān)于k1,k2的方程有解的充要條件是
1+a2(a2-2)>1,所以a>.
因此任意以點(diǎn)A(0,1)為圓心的圓與橢圓至多有3個(gè)公共點(diǎn)的充要條件為1<a≤,
由e==,得0
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