高考數(shù)學（精講+精練+精析）專題10_3 拋物線試題 理（含解析）

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專題10.3 拋物線 【三年高考】 1. 【2016年高考四川理數(shù)】設(shè)O為坐標原點，P是以F為焦點的拋物線 上任意一點，M是線段PF上的點，且=2,則直線OM的斜率的最大值為( ) （A） （B） （C） （D）1 【答案】C 2.【2016高考新課標1卷】以拋物線C的頂點為圓心的圓交C于A、B兩點,交C的準線于D、E兩點.已知|AB|=,|DE|=,則C的焦點到準線的距離為 (A)2 (B)4 (C)6 (D)8 【答案】B 3. 【2016高考浙江理數(shù)】若拋物線y2=4x上的點M到焦點的距離為10，則M到y(tǒng)軸的距離是_______． 【答案】 【解析】 4. 【2016高考天津理數(shù)】設(shè)拋物線，（t為參數(shù)，p＞0）的焦點為F，準線為l.過拋物線上一點A 作l的垂線，垂足為B.設(shè)C（p,0），AF與BC相交于點E.若|CF|=2|AF|，且△ACE的面積為，則p的 值為_________. 【答案】 【解析】拋物線的普通方程為，，，又，則，由拋物線的定義得，所以，則，由得，即，所以，，所以，． 5. 【2016高考新課標3理數(shù)】已知拋物線：的焦點為，平行于軸的兩條直線分別交于兩點，交的準線于兩點． （I）若在線段上，是的中點，證明； （II）若的面積是的面積的兩倍，求中點的軌跡方程. 6. 【2015高考浙江，理5】如圖，設(shè)拋物線的焦點為，不經(jīng)過焦點的直線上有三個不同的點，，，其中點，在拋物線上，點在軸上，則與的面積之比是（ ） A. B. C. D. 【答案】A. 【解析】，故選A. 7.【2015高考上海，理5】拋物線（）上的動點到焦點的距離的最小值為，則 ． 【答案】 【解析】因為拋物線上動點到焦點的距離為動點到準線的距離，因此拋物線上動點到焦點的最短距離為頂點到準線的距離，即 8.【2015高考四川，理10】設(shè)直線l與拋物線相交于A，B兩點，與圓相切于點M，且M為線段AB的中點.若這樣的直線l恰有4條，則r的取值范圍是（ ） （A） （B） （C） （D） 【答案】D 9.【2015高考新課標1，理20】在直角坐標系中，曲線C：y=與直線(＞0)交與M,N兩點， （Ⅰ）當k=0時，分別求C在點M和N處的切線方程； （Ⅱ）y軸上是否存在點P，使得當k變動時，總有∠OPM=∠OPN？說明理由. 10.【2014新課標1，理10】.已知拋物線：的焦點為，準線為，是上一點，是直線與的一個焦點，若，則= . . .3 .2 【答案】C 【解析】過Q作QM⊥直線L于M，∵∴， 又，∴，由拋物線定義知，選C 11.【2014新課標2，理10】設(shè)F為拋物線C:的焦點，過F且傾斜角為30的直線交C于A,B兩點，O為坐標原點，則△OAB的面積為（ ） A. B. C. D. 【答案】D. 12.【2014全國大綱，理21】已知拋物線C：的焦點為F，直線與y軸的交點為P，與C的交點為Q，且. （I）求C的方程； （II）過F的直線與C相交于A，B兩點，若AB的垂直平分線與C相較于M，N兩點，且A，M，B，N四點在同一圓上，求的方程. 【解析】（I）設(shè)，代入，得．由題設(shè)得，解得（舍去）或，∴C的方程為； （II）由題設(shè)知與坐標軸不垂直，故可設(shè)的方程為，代入得．設(shè)則 ．故的中點為．又的斜率為的方程為．將上式代入，并整理得．設(shè)則．故的中點為． 由于垂直平分線，故四點在同一圓上等價于，從而即，化簡得，解得或．所求直線的方程為或． 【三年高考命題回顧】 縱觀前三年各地高考試題, 一方面以選擇題、填空題的形式考查拋物線的定義、標準方程及簡單幾何性質(zhì)等基礎(chǔ)知識，另一方面以解答題的形式考查拋物線的概念和性質(zhì)、直線與拋物線的位置關(guān)系的綜合問題，著力于數(shù)學思想方法及數(shù)學語言的考查，題目的運算量一般不是很大，屬于中檔題，分值為5-12分． 【2017年高考復習建議與高考命題預測】 由前三年的高考命題形式可以看出，拋物線的的定義、標準方程及簡單幾何性質(zhì)是高考考試的重點，每年必考，考查方面其它利用性質(zhì)求拋物線方程，求弦長，求拋物線的最值或范圍問題，過定點問題，定值問題等．預測2017年高考，對本節(jié)內(nèi)容的考查仍將以求拋物線的方程和研究拋物線的性質(zhì)為主，仍以選擇題、填空、解答題的第一小題的形式考查拋物線的定義、標準方程及拋物線的幾何性質(zhì)，難度仍為容易題或中檔題，以解答題的第二問的形式考查直線與拋物線的位置關(guān)系，難度仍難題，分值保持在5-12分.在備戰(zhàn)2017年高考中，要熟記拋物線的定義，會根據(jù)題中的條件用待定系數(shù)法、定義法等方法求拋物線的標準方程，會根據(jù)條件研究拋物線的幾何性質(zhì)，會用設(shè)而不求思想處理直線與拋物線的位置關(guān)系，重點掌握與拋物線有關(guān)的最值問題、定點與定值問題、范圍問題的處理方法，注意題中向量條件的轉(zhuǎn)化與向量方法應用. 【2017年高考考點定位】 高考對拋物線的考查有三種主要形式：一是考查拋物線的定義；二是考查拋物線的標準方程與幾何性質(zhì)；三是考查直線與拋物線的位置關(guān)系，從涉及的知識上講，常平面向量、函數(shù)、方程、不等式等知識相聯(lián)系，試題多為容易題和中檔題. 【考點1】拋物線的定義 【備考知識梳理】 1.拋物線定義：平面內(nèi)與一個定點F和一條定直線l(定點F不在定直線l上)的距離的比等于1的點的軌跡叫做拋物線，點F叫做拋物線的焦點，直線l叫做拋物線的準線. 【規(guī)律方法技巧】 1. 拋物線的定義的實質(zhì)可歸結(jié)為“一動三定”：一個動點M；一個定點F(拋物線的焦點)；一條定直線l(拋物線的準線)；一個定值1(點M與定點F的距離和它到定直線l的距離之比等于1)． 2. 常常利用拋物線的定義將拋物線上一點到焦點的焦半徑問題與焦點到準線的距離問題互相轉(zhuǎn)化. 【考點針對訓練】 1. 【2016屆湖北省八校高三二聯(lián)】已知是拋物線的焦點，為拋物線上的動點，且的坐標為，則的最小值是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 2. 【2016屆河南省鄭州一中高三考前沖刺三】如圖所示，直線y=x-2與圓及拋物線依次交于A，B，C，D四點，則=（ ） A．13 B．14 C．15 D．16 【答案】B 【考點2】拋物線的標準方程與幾何性質(zhì) 【備考知識梳理】 1. 拋物線的標準方程與幾何性質(zhì) 焦點在正半軸上 焦點在負半軸上 焦點在正半軸上 焦點在正半軸上 標準方程 （） （） （） （） 圖形 性質(zhì) 頂點 （0,0） 對稱軸 軸 軸 焦點 （，0） （-，0） （0，） （0，-） 準線 =- = =- = 范圍 ≥0，∈R ≤0，∈R ≥0，∈R ≤0，∈R 離心率 =1 【規(guī)律方法技巧】 1.的幾何意義：是焦點到準線的距離，故恒為正. 2.焦點在軸上的拋物線的標準方程可以統(tǒng)一寫成；焦點在軸上的拋物線的標準方程可以統(tǒng)一寫成. 3.焦點的非零坐標是一次項系數(shù)的，準線方程中的常數(shù)為一次項系數(shù)的-. 4.求拋物線的標準方程 （1）定義法：若某曲線（或軌跡）上任意一點到定點的距離與到定直線的距離相等，符合拋物線的定義，該曲線是以定點為焦點，定直線為準線的拋物線，從而求出定點到定直線的距離即為，寫出拋物線的標準方程， （2）待定系數(shù)法，用待定系數(shù)法求拋物線標準方程分三步：①判定是否在原點；②確定焦點在哪個半軸上，確定標準方程類型；③根據(jù)條件列出關(guān)于的方程，解出值，即可寫出標準方程. 5.拋物線（）上點的坐標可設(shè)為（），在計算時，可以降低計算量. 【考點針對訓練】 1. 【2016屆陜西洛南永豐中學高三考前最后一卷】已知點是拋物線上一點，為坐標原點，若是以點為圓心，的長為半徑的圓與拋物線的兩個公共點，且為等邊三角形，則的值是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 2. 【2016屆福建省泉州市高三5月質(zhì)檢】已知拋物線,若等邊三角形中,在上,在的準線上,為的焦點, 則（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【考點3】直線與拋物線的位置關(guān)系 【備考知識梳理】 設(shè)雙曲線的方程為（），直線，將直線方程與拋物線方程聯(lián)立，消去y得到關(guān)于x的方程. (1) 若≠0，當△＞0時，直線與拋物線有兩個交點. 當△=0時，直線與拋物線有且只有一個公共點，此時直線與拋物線相切. 當△＜0時，直線與拋物線無公共點. （2）當=0時，直線與拋物線只有一個交點，此時直線與拋物線的對稱軸平行. 【規(guī)律方法技巧】 1.已知拋物線y2＝2px(p>0)，過其焦點的直線交拋物線于A、B兩點(如右圖所示)，設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)．則有以下結(jié)論： (1)|AB|＝x1＋x2＋p，或|AB|＝(α為AB所在直線的傾斜角)； (2)x1x2＝； (3)y1y2＝－p2. （4）以AB為直徑的圓與拋物線的準線相切. 2.過拋物線焦點且與對稱軸垂直的弦稱為拋物線的通徑，拋物線的通徑長為2p. 3. 直線方程與橢圓方程聯(lián)立，消元后得到一元二次方程，則一元二次方程的根是直線和橢圓交點的橫坐標或縱坐標，常設(shè)出交點坐標，用根與系數(shù)關(guān)系將橫坐標之和與之積表示出來，這是進一步解題的基礎(chǔ)． 4．直線y＝kx＋b(k≠0)與圓錐曲線相交于A(x1，y1)，B(x2，y2)兩點，則弦長|AB|＝ |x1－x2|＝ ＝|y1－y2|＝. 5．對中點弦問題常用點差法和參數(shù)法. 【考點針對訓練】 1. 【2016福建省廈門一中高三周測】已知拋物線與直線相交于兩點，為的焦點，若，則（ ） A． B． C． D． 【答案】B 2. 【2016屆遼寧大連八中、二十四中高三模擬】過拋物線的焦點的直線交拋物線于、兩點，分別過、兩點作準線的垂線，垂足分別為，兩點，以線段為直徑的圓過點，則圓的方程為（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【應試技巧點撥】 1.如何利用拋物線的定義解題 （1）求軌跡問題：主要抓住到定點的距離和到定直線距離的幾何特征，并驗證其滿足拋物線的定義，然后直接利用定義便可確定拋物線的方程； （2）求最值問題：主要把握兩個轉(zhuǎn)化：一是把拋物線上的點到焦點的距離可以轉(zhuǎn)化為到準線的距離；二是把點到拋物線的距離轉(zhuǎn)化為到焦點的距離.在解題時要準確把握題設(shè)的條件，進行有效的轉(zhuǎn)化，探求最值問題. 2.線和拋物線若有一個公共點，并不能說明直線和拋物線相切，還有可能直線與拋物線的對稱軸平行． 3．有關(guān)弦的問題 (1)有關(guān)弦長問題，應注意運用弦長公式及根與系數(shù)的關(guān)系，“設(shè)而不求”；有關(guān)焦點弦長問題，要重視拋物線定義的運用，以簡化運算． ①斜率為的直線與圓錐曲線交于兩點，，則所得弦長或，其中求與時通常使用根與系數(shù)的關(guān)系，即作如下變形： ，. ②當斜率不存在時，可求出交點坐標，直接運算(利用兩點間距離公式)． (2)弦的中點問題 有關(guān)弦的中點問題，應靈活運用“點差法”，“設(shè)而不求法”來簡化運算． 4．解拋物線中的最值問題要注意定義的靈活運用，即拋物線上的點到焦點的距離與該點到準線的距離相等，解該題的關(guān)鍵就是利用此定義將問題轉(zhuǎn)化為求解圓上的點到定點距離的最值問題． 二年模擬 1. 【2016屆江西師大附中、鷹潭一中聯(lián)考】 已知拋物線的頂點在坐標原點，準線方程為，直線與拋物線相交于兩點．若線段的中點為，則直線l的方程為( ) A． B． C． D． 【答案】A 2. 【2016屆河北省石家莊市高三二?！恳阎獙崝?shù)，直線與拋物線和圓從上到下的交點依次為，則的值為（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】與聯(lián)立方程組可求得，同理與聯(lián)立方程組可求得，所以有, ,所以正確選項為C. 3. 【2016屆河南省禹州市名校高三三?！窟^拋物線的焦點的直線交該拋物線于在第一象限) 兩點,為坐標原點, 若的面積為,則的值為（ ） A． B． C． D． 【答案】B 4. 【2016屆邯鄲市一中高三十研】已知直線與拋物線交于兩點，點，若，則（ ） A． B． C． D．0 【答案】B 【解析】由得即，設(shè)，則，所以，，，所以有，所以，故選B. 5. 【2016年安慶市高三二?！?已知拋物線的焦點為,動點在上,圓的半徑為,過點的直線與圓切于點,則的最小值為 ． 【答案】 3 【解析】. 由拋物線的定義知：為點到準線的距離,易知,拋物線的頂點到準線的距離最短,. 6. 【2016年河南省八市重點高中質(zhì)檢】為拋物線上一點，過點作垂直該拋物線的準線于點為拋物線的焦點，為坐標原點，若四邊形的四個頂點在同一個圓上，則該圓的面積為_______. 【答案】 7. 【2016年湖北安慶一中高三二?！咳魭佄锞€的準線被圓心為的圓截得的弦長等于,則該圓的半徑為 ． 【答案】 1 【解析】拋物線的準線,圓心到其距離等于.又弦長等于,所以則該圓的半徑為. 8. 【2016屆陜西省黃陵中學高三下第六次模擬】已知是拋物線的焦點，過作一直線交拋物線于兩點，若，則直線與坐標軸圍成的三角形的面積為______． 【答案】 9.【2016年湖北四市高三聯(lián)合測試】已知頂點為原點O，焦點在軸上的拋物線，其內(nèi)接的重心是焦點F，若直線BC的方程為。 （1）求拋物線方程； （2）過拋物線上一動點M作拋物線切線，又且交拋物線于另一點N，ME(E在M的右側(cè))平行于軸，若，求的值。 【解析】（1）設(shè)拋物線的方程為，則其焦點為，，聯(lián)立，∴，，又的重心為焦點F，，代入拋物線中，解得，故拋物線方程為； （2）設(shè)，即切線，即，又，∵，即. 10【2016年江西師大附中高三?？肌恳阎獟佄锞€的頂點為坐標原點，焦點，其準線與軸的交點為，過點的直線與交于兩點，點關(guān)于軸的對稱點為． （Ⅰ）證明：點在直線上； （Ⅱ）設(shè)，求內(nèi)切圓的方程. （Ⅱ）由（Ⅰ）可知，所以， 又，，故，則，故直線的方程為或，， 故直線的方程或，又為的平分線，故可設(shè)圓心，到直線及的距離分別為，由得或（舍去）.故圓的半徑為，所以圓的方程為. 11.【2015屆甘肅省天水市一中高三第五次高考模擬】已知是拋物線上的一個動點,是圓上的一個動點,是一個定點,則的最小值為（ ） A．3 B．4 C．5 D． 【答案】A 【解析】設(shè)圓心為點，則的最小值可以記為的最小值，結(jié)合拋物線的定義，可知其為點到準線的距離即為的最小值，所以最值為，故選A． 12.【2015屆上海市普陀區(qū)高三三模調(diào)研】已知拋物線的焦點為，準線為，過拋物線上一點作于，若直線的一個方向向量為，則______． 【答案】4 13.【2015屆吉林省吉林市高三第三次模擬考試】已知直線與拋物線交于A，B兩點，點P為拋物線C上一動點，且在直線l下方，則△PAB的面積的最大值為 . 【答案】 【解析】由題意知：當拋物線過點的切線與直線平行時，的面積最大，設(shè)點，由得：，，所以，解得：，所以，所以，點到直線的距離，由，消去，得：，設(shè)，，則，，所以，所以的面積的最大值是，所以答案應填：． 14.【2015屆浙江省余姚市高三第三次模擬考試】如圖，過拋物線的焦點的直線交于兩點，且 （Ⅰ）求的值； （Ⅱ）是上的兩動點，的縱坐標之和為1，的垂直平分線交軸于點，求的面積的最小值． 15.【2015屆黑龍江省哈爾濱市三中高三第四次模擬】過拋物線對稱軸上任一點作直線與拋物線交于兩點，點是點P關(guān)于原點的對稱點． （1）當直線方程為時，過A,B兩點的圓與拋物線在點A處有共同的切線，求圓的方程； （2）設(shè), 證明： 拓展試題以及解析 1.已知過拋物線的焦點的直線交拋物線于兩點，交其準線于點,已知=,則線段的中點到準線的距離為( ). A． B．3 C． D． 6 【答案】B 【入選理由】本題主要考查拋物線的方程及其幾何性質(zhì)，直線與拋物線的位置關(guān)系,向量的性質(zhì)等基礎(chǔ)知識, 意在考查分析問題、解決問題的能力、基本運算能力及推理能力，轉(zhuǎn)化與化歸能力，此題向量與拋物線結(jié)合，體現(xiàn)學科知識綜合，故選此題. 2.已知拋物線的焦點為,點為該拋物線上的動點，若點,則的最大值是（ ） A.1 B. C. D.2 【答案】B 【解析】由題意得，焦點，，，當時，；當時，（當且僅當時取等號）. 所以，所以的最大值是. 【入選理由】本題主要考查拋物線的方程及其幾何性質(zhì), 焦半徑,基本不等式求最值等基礎(chǔ)知識, 意在考查學生分類討論的思想,分析問題、解決問題的能力、基本運算能力及推理能力，轉(zhuǎn)化與化歸能力，此題是拋物線性質(zhì)的靈活應用，故選此題. 3.已知離心率等于的雙曲線的一個焦點與拋物線的焦點重合，則該雙曲線的方程為 . 【答案】 【解析】拋物線的標準方程為，故其焦點為，所以雙曲線的焦點在軸上，設(shè)其方程為，則由已知得，又，解得，所以，故雙曲線的方程為. 【入選理由】本題主要考查拋物線的方程及其幾何性質(zhì), 雙曲線的標準方程和幾何性質(zhì)等基礎(chǔ)知識, 意在考查學生分析問題、解決問題的能力、基本運算能力及推理能力，轉(zhuǎn)化與化歸能力，此題是一個基礎(chǔ)題，故選此題. 4.已知圓的方程為，是曲線上一點，過點作圓的兩條切線，切點為，則的取值范圍是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【入選理由】本題主要考查拋物線的方程及其幾何性質(zhì), 圓的標準方程和幾何性質(zhì),向量的數(shù)量積,解直角三角形,倍角公式等基礎(chǔ)知識, 意在考查學生分析問題、解決問題的能力、基本運算能力及推理能力，轉(zhuǎn)化與化歸能力，此題向量與拋物線結(jié)合，具有一定的綜合性，故選此題. 5.過拋物線的焦點作斜率為的直線，該直線與雙曲線的 兩條漸近線的交點分別為、，若是與的等比中項，則雙曲線的離心率等于（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【入選理由】本題主要考查拋物線的方程及其幾何性質(zhì), 雙曲線的標準方程和幾何性質(zhì),等比中項等基礎(chǔ)知識, 意在考查學生分析問題、解決問題的能力、基本運算能力及推理能力，轉(zhuǎn)化與化歸能力，此題雙曲線與拋物線結(jié)合，具有一定的綜合性，故選此題. 6.已知圓過定點且圓心在拋物線上運動，若軸截圓所得的弦為，則弦長等于（ ） A．2 B．3 C．4 D．與點位置有關(guān)的值 【答案】A 【解析】過作垂直于軸于，設(shè)，則，在中，，為圓的半徑，為的一半，因此 又點在拋物線上，∴，∴，∴. 【入選理由】本題主要考查拋物線的方程及其幾何性質(zhì), 圓的標準方程和幾何性質(zhì),勾股定理等基礎(chǔ)知識, 意在考查學生分析問題、解決問題的能力、基本運算能力及推理能力，轉(zhuǎn)化與化歸能力，此題是一個常規(guī)題,具有一定的解題技巧，故選此題. 7.已知拋物線的焦點為，是拋物線上一點，線段的延長線交拋物線的準線于點， 若，則=________. 【答案】 【入選理由】本題主要考查拋物線的方程及其幾何性質(zhì)，直線與拋物線的位置關(guān)系,向量的性質(zhì)等基礎(chǔ)知識, 意在考查學生分析問題、解決問題的能力、基本運算能力及推理能力，轉(zhuǎn)化與化歸能力，此題是一個常規(guī)題,具有一定的解題技巧，故選此題. 8.已知拋物線C：，過拋物線第一象限上的一點作拋物線C的切線，一直線過拋物線的焦點交拋物線于A、B兩點 ，拋物線準線為. （Ⅰ）求拋物線C的方程； （Ⅱ）若與軸的交點為M,求的面積S的范圍； （Ⅲ）若與相交于點P，設(shè)，，求證：λ+μ為定值． 【入選理由】本題主要考查拋物線的方程及其幾何性質(zhì), 拋物線的切線, 函數(shù)的導數(shù),直線與拋物線的位置關(guān)系,三角形面積等基礎(chǔ)知識, 意在考查學生分析問題、解決問題的能力、基本運算能力及推理能力，轉(zhuǎn)化與化歸能力，此題是一個常規(guī)題,具有一定的解題技巧，故選此題.