高考數(shù)學三輪增分練 高考小題分項練8 立體幾何 理
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高考小題分項練8 立體幾何 1.已知直線l⊥平面α,直線m?平面β,有下面四個命題: (1)α∥β?l⊥m;(2)α⊥β?l∥m;(3)l∥m?α⊥β;(4)l⊥m?α∥β. 其中正確的命題是( ) A.(1)與(2) B.(1)與(3) C.(2)與(4) D.(3)與(4) 答案 B 解析 ∵直線l⊥平面α,α∥β,∴l(xiāng)⊥平面β,又∵直線m?平面β,∴l(xiāng)⊥m,故(1)正確;∵直線l⊥平面α,α⊥β, ∴l(xiāng)∥平面β,或l?平面β,又∵直線m?平面β,∴l(xiāng)與m可能平行也可能相交,還可以異面,故(2)錯誤;∵直線l⊥平面α,l∥m,∴m⊥α,∵直線m?平面β,∴α⊥β,故(3)正確;∵直線l⊥平面α,l⊥m,∴m∥α或m?α,又∵直線m?平面β,則α與β可能平行也可能相交,故(4)錯誤.故選B. 2.已知如圖所示的正方體ABCD—A1B1C1D1,點P、Q分別在棱BB1、DD1上,且=,過點A、P、Q作截面截去該正方體的含點A1的部分,則下列圖形中不可能是截去后剩下幾何體的正(主)視圖的是( ) 答案 A 解析 當P、B1重合時,正(主)視圖為選項B;當P到B點的距離比到B1近時,正(主)視圖為選項C;當P到B點的距離比到B1遠時,正(主)視圖為選項D,因此答案為A. 3.一個幾何體的三視圖如圖所示,則該幾何體的體積為( ) A. B. C.4 D. 答案 B 解析 由三視圖知幾何體為四棱錐,四棱錐的右邊側面與底面垂直,其直觀圖如圖. 四棱錐的底面是邊長為2的正方形,由側(左)視圖中等腰三角形的腰長為,得棱錐的高為=2,∴幾何體的體積V=222=.故選B. 4.設a,b,l均為直線,α,β均為平面,則下列命題判斷錯誤的是( ) A.若l∥α,則α內(nèi)存在無數(shù)條直線與l平行 B.若α⊥β,則α內(nèi)存在無數(shù)條直線與β不垂直 C.若α∥β,則α內(nèi)存在直線m,β內(nèi)存在直線n,使得m⊥n D.若a⊥l,b⊥l,則a與b不可能垂直 答案 D 解析 由直線與平面平行的性質(zhì)可知A正確;當α⊥β時,平面α內(nèi)與兩平面的交線不垂直的直線均與平面β不垂直,故B正確;由兩平面平行的性質(zhì)可知,C正確;當a⊥l,b⊥l時,a⊥b可以成立,例如長方體一個頂點上的三條直線就滿足此條件,所以D錯,故選D. 5.如圖,ABCD—A1B1C1D1是邊長為1的正方體,S—ABCD是高為1的正四棱錐,若點S,A1,B1,C1,D1在同一球面上,則該球的表面積為( ) A.π B.π C.π D.π 答案 D 解析 按如圖所示作輔助線,點O為球心,設OG1=x,則OB1=SO=2-x,同時由正方體的性質(zhì)知B1G1=,則在Rt△OB1G1中,OB=OG+G1B,即(2-x)2=x2+()2,解得x=,所以球的半徑R=OB1=,所以球的表面積為S=4πR2=π,故選D. 6.如圖,已知平面α∩平面β=l,α⊥β.點A、B是直線l上的兩點,點C、D是平面β內(nèi)的兩點,且DA⊥l ,CB⊥l,DA=4,AB=6,CB=8.點P是平面α上的一動點,且有∠APD=∠BPC,則四棱錐P—ABCD的體積的最大值是( ) A.48 B.16 C.24 D. 144 答案 A 解析 由題意知: △PAD,△PBC是直角三角形, 又∠APD=∠BPC,所以△PAD∽△PBC. 因為DA=4,CB=8,所以PB=2PA. 作PM⊥AB于點M,則PM⊥β. 令AM=t,則PA2-t2=4PA2-(6-t)2, 所以PA2=12-4t, 所以PM=, 即為四棱錐的高. 又底面為直角梯形,S=(4+8)6=36, 所以V=36 =12≤124=48. 7.如圖所示是某幾何體的三視圖,則該幾何體的表面積為( ) A.57+24π B.57+15π C.48+15π D.48+24π 答案 D 解析 本題為圓錐與直四棱柱的組合體.注意表面積分為三部分,圓錐側面展開圖,即扇形面積5=15π;圓錐底面圓,S=πr2=9π;直四棱柱側面積,344=48,總面積為48+24π. 8.如圖,正方體ABCD—A1B1C1D1的棱長為1,線段B1D1上有兩個動點E,F(xiàn),且EF=,則下列結論中錯誤的是( ) A.AC⊥BE B.EF∥平面ABCD C.三棱錐A—BEF的體積為定值 D.△AEF的面積與△BEF的面積相等 答案 D 解析 連接BD,則AC⊥BD,BB1⊥AC, 所以AC⊥平面BDD1B1,則AC⊥BE,故A正確; 因為B1D1∥平面ABCD,所以EF∥平面ABCD,故B正確;因為三棱錐A—BEF的底面是底邊為EF=,高為棱長BB1=1的△BEF,面積為,三棱錐的高為,所以三棱錐A—BEF的體積是定值,故C正確;顯然△AEF與△BEF有相同的底邊,但B到EF的距離與A到EF的距離不相等,即兩三角形的面積不相等,故D錯誤.故選D. 9.已知m,n是兩條不同的直線,α,β,γ是三個不同的平面,則下列命題中正確的是( ) A.若α⊥γ,α⊥β,則γ∥β B.若m∥n,m?α,n?β,則α∥β C.若m∥n,m⊥α,n⊥β,則α∥β D.若m∥n,m∥α,則n∥α 答案 C 解析 由m,n是兩條不同的直線,α,β,γ是三個不同的平面,知: 若α⊥γ,α⊥β,則γ與β相交或平行,故A錯誤; 若m∥n,m?α,n?β,則α與β相交或平行,故B錯誤; 若m∥n,m⊥α,n⊥β,則由線面垂直的性質(zhì)定理得α∥β,故C正確; 若m∥n,m∥α,則n∥α或n?α,故D錯誤.故選C. 10.如圖,已知斜四棱柱ABCD—A1B1C1D1的各棱長均為2,∠A1AD=60,∠BAD=90,平面A1ADD1⊥平面ABCD,則直線BD1與平面ABCD所成的角的正切值為( ) A. B. C. D. 答案 C 解析 延長AD,過D1作D1E⊥AD于點E,連接BE. 因為平面A1ADD1⊥平面ABCD,平面A1ADD1∩平面ABCD=AD,D1E?平面A1ADD1,所以D1E⊥平面ABCD,即BE為D1B在平面ABCD內(nèi)的射影,所以∠D1BE為直線BD1與平面ABCD所成的角,因為D1E=2sin 60=,BE==,所以tan∠D1BE===.故選C. 11.如圖,已知正方體ABCD—A1B1C1D1中,點E、F分別為棱BC和棱CC1的中點,則異面直線AC和EF所成的角為( ) A.30 B.45 C.60 D.90 答案 C 解析 連接BC1,A1C1,A1B,如圖所示: 根據(jù)正方體的結構特征,可得EF∥BC1,AC∥A1C1,則∠A1C1B即為異面直線AC和EF所成的角,BC1=A1C1=A1B,∴△A1C1B為等邊三角形,故∠A1C1B=60, 故選C. 12.如圖,在矩形ABCD中,AB=2,AD=3,點E為AD的中點,現(xiàn)分別沿BE,CE將△ABE,△DCE翻折,使得點A,D重合于F,則此時二面角E—BC—F的余弦值為( ) A. B. C. D. 答案 B 解析 如圖所示,取BC的中點P,連接EP,F(xiàn)P. 由題意得BF=CF=2,PF⊥BC, 又∵EB=EC==,∴EP⊥BC, ∴∠EPF即為二面角E—BC—F的平面角, 而FP= =, ∴在△EPF中,cos∠EPF= ==, 故選B. 13.如圖,在棱長為2的正方體ABCD—A1B1C1D1中,點O為底面ABCD的中心,點E為CC1的中點,那么異面直線OE與AD1所成角的余弦值等于________. 答案 解析 取BC的中點F,連接EF,OF, 由于點O為底面ABCD的中心,點E為CC1的中點,所以EF∥BC1∥AD1, 所以異面直線OE與AD1所成角,即OE與EF所成的角. 平面ABCD⊥平面BCC1B1, 平面ABCD∩BCC1B1=BC, OF⊥BC,OF?平面ABCD, 所以OF⊥平面BCC1B1,EF?平面BCC1B1, 所以EF⊥OF. 因為EF=,OF=1, 所以OE===. 所以cos∠FEO===. 14.四棱錐P-ABCD的五個頂點都在一個球面上,底面ABCD是矩形,其中AB=3,BC=4,又PA⊥平面ABCD,PA=5,則該球的表面積為________. 答案 50π 解析 由勾股定理得AC=5,在等腰直角三角形PAC中,PC=2R=5,因此表面積S=4πR2=50π. 15.已知矩形ABCD的周長為18,把它沿圖中的虛線折成正六棱柱,當這個正六棱柱的體積最大時,它的外接球的表面積為________. 答案 13π 解析 設正六棱柱的底面邊長為x,高為y, 則6x+y=9,0<x<1.5, 正六棱柱的體積V=6x2y=(-6x3+9x2), ∴V′=-9x(x-1), ∴令V′=0,則x=0(舍)或x=1. ∵當x>1時,V′<0;當0- 配套講稿:
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