高考數(shù)學(xué)三輪增分練 高考小題分項(xiàng)練8 立體幾何 理
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高考小題分項(xiàng)練8 立體幾何 1.已知直線(xiàn)l⊥平面α,直線(xiàn)m?平面β,有下面四個(gè)命題: (1)α∥β?l⊥m;(2)α⊥β?l∥m;(3)l∥m?α⊥β;(4)l⊥m?α∥β. 其中正確的命題是( ) A.(1)與(2) B.(1)與(3) C.(2)與(4) D.(3)與(4) 答案 B 解析 ∵直線(xiàn)l⊥平面α,α∥β,∴l(xiāng)⊥平面β,又∵直線(xiàn)m?平面β,∴l(xiāng)⊥m,故(1)正確;∵直線(xiàn)l⊥平面α,α⊥β, ∴l(xiāng)∥平面β,或l?平面β,又∵直線(xiàn)m?平面β,∴l(xiāng)與m可能平行也可能相交,還可以異面,故(2)錯(cuò)誤;∵直線(xiàn)l⊥平面α,l∥m,∴m⊥α,∵直線(xiàn)m?平面β,∴α⊥β,故(3)正確;∵直線(xiàn)l⊥平面α,l⊥m,∴m∥α或m?α,又∵直線(xiàn)m?平面β,則α與β可能平行也可能相交,故(4)錯(cuò)誤.故選B. 2.已知如圖所示的正方體ABCD—A1B1C1D1,點(diǎn)P、Q分別在棱BB1、DD1上,且=,過(guò)點(diǎn)A、P、Q作截面截去該正方體的含點(diǎn)A1的部分,則下列圖形中不可能是截去后剩下幾何體的正(主)視圖的是( ) 答案 A 解析 當(dāng)P、B1重合時(shí),正(主)視圖為選項(xiàng)B;當(dāng)P到B點(diǎn)的距離比到B1近時(shí),正(主)視圖為選項(xiàng)C;當(dāng)P到B點(diǎn)的距離比到B1遠(yuǎn)時(shí),正(主)視圖為選項(xiàng)D,因此答案為A. 3.一個(gè)幾何體的三視圖如圖所示,則該幾何體的體積為( ) A. B. C.4 D. 答案 B 解析 由三視圖知幾何體為四棱錐,四棱錐的右邊側(cè)面與底面垂直,其直觀圖如圖. 四棱錐的底面是邊長(zhǎng)為2的正方形,由側(cè)(左)視圖中等腰三角形的腰長(zhǎng)為,得棱錐的高為=2,∴幾何體的體積V=222=.故選B. 4.設(shè)a,b,l均為直線(xiàn),α,β均為平面,則下列命題判斷錯(cuò)誤的是( ) A.若l∥α,則α內(nèi)存在無(wú)數(shù)條直線(xiàn)與l平行 B.若α⊥β,則α內(nèi)存在無(wú)數(shù)條直線(xiàn)與β不垂直 C.若α∥β,則α內(nèi)存在直線(xiàn)m,β內(nèi)存在直線(xiàn)n,使得m⊥n D.若a⊥l,b⊥l,則a與b不可能垂直 答案 D 解析 由直線(xiàn)與平面平行的性質(zhì)可知A正確;當(dāng)α⊥β時(shí),平面α內(nèi)與兩平面的交線(xiàn)不垂直的直線(xiàn)均與平面β不垂直,故B正確;由兩平面平行的性質(zhì)可知,C正確;當(dāng)a⊥l,b⊥l時(shí),a⊥b可以成立,例如長(zhǎng)方體一個(gè)頂點(diǎn)上的三條直線(xiàn)就滿(mǎn)足此條件,所以D錯(cuò),故選D. 5.如圖,ABCD—A1B1C1D1是邊長(zhǎng)為1的正方體,S—ABCD是高為1的正四棱錐,若點(diǎn)S,A1,B1,C1,D1在同一球面上,則該球的表面積為( ) A.π B.π C.π D.π 答案 D 解析 按如圖所示作輔助線(xiàn),點(diǎn)O為球心,設(shè)OG1=x,則OB1=SO=2-x,同時(shí)由正方體的性質(zhì)知B1G1=,則在Rt△OB1G1中,OB=OG+G1B,即(2-x)2=x2+()2,解得x=,所以球的半徑R=OB1=,所以球的表面積為S=4πR2=π,故選D. 6.如圖,已知平面α∩平面β=l,α⊥β.點(diǎn)A、B是直線(xiàn)l上的兩點(diǎn),點(diǎn)C、D是平面β內(nèi)的兩點(diǎn),且DA⊥l ,CB⊥l,DA=4,AB=6,CB=8.點(diǎn)P是平面α上的一動(dòng)點(diǎn),且有∠APD=∠BPC,則四棱錐P—ABCD的體積的最大值是( ) A.48 B.16 C.24 D. 144 答案 A 解析 由題意知: △PAD,△PBC是直角三角形, 又∠APD=∠BPC,所以△PAD∽△PBC. 因?yàn)镈A=4,CB=8,所以PB=2PA. 作PM⊥AB于點(diǎn)M,則PM⊥β. 令A(yù)M=t,則PA2-t2=4PA2-(6-t)2, 所以PA2=12-4t, 所以PM=, 即為四棱錐的高. 又底面為直角梯形,S=(4+8)6=36, 所以V=36 =12≤124=48. 7.如圖所示是某幾何體的三視圖,則該幾何體的表面積為( ) A.57+24π B.57+15π C.48+15π D.48+24π 答案 D 解析 本題為圓錐與直四棱柱的組合體.注意表面積分為三部分,圓錐側(cè)面展開(kāi)圖,即扇形面積5=15π;圓錐底面圓,S=πr2=9π;直四棱柱側(cè)面積,344=48,總面積為48+24π. 8.如圖,正方體ABCD—A1B1C1D1的棱長(zhǎng)為1,線(xiàn)段B1D1上有兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)E,F(xiàn),且EF=,則下列結(jié)論中錯(cuò)誤的是( ) A.AC⊥BE B.EF∥平面ABCD C.三棱錐A—BEF的體積為定值 D.△AEF的面積與△BEF的面積相等 答案 D 解析 連接BD,則AC⊥BD,BB1⊥AC, 所以AC⊥平面BDD1B1,則AC⊥BE,故A正確; 因?yàn)锽1D1∥平面ABCD,所以EF∥平面ABCD,故B正確;因?yàn)槿忮FA—BEF的底面是底邊為EF=,高為棱長(zhǎng)BB1=1的△BEF,面積為,三棱錐的高為,所以三棱錐A—BEF的體積是定值,故C正確;顯然△AEF與△BEF有相同的底邊,但B到EF的距離與A到EF的距離不相等,即兩三角形的面積不相等,故D錯(cuò)誤.故選D. 9.已知m,n是兩條不同的直線(xiàn),α,β,γ是三個(gè)不同的平面,則下列命題中正確的是( ) A.若α⊥γ,α⊥β,則γ∥β B.若m∥n,m?α,n?β,則α∥β C.若m∥n,m⊥α,n⊥β,則α∥β D.若m∥n,m∥α,則n∥α 答案 C 解析 由m,n是兩條不同的直線(xiàn),α,β,γ是三個(gè)不同的平面,知: 若α⊥γ,α⊥β,則γ與β相交或平行,故A錯(cuò)誤; 若m∥n,m?α,n?β,則α與β相交或平行,故B錯(cuò)誤; 若m∥n,m⊥α,n⊥β,則由線(xiàn)面垂直的性質(zhì)定理得α∥β,故C正確; 若m∥n,m∥α,則n∥α或n?α,故D錯(cuò)誤.故選C. 10.如圖,已知斜四棱柱ABCD—A1B1C1D1的各棱長(zhǎng)均為2,∠A1AD=60,∠BAD=90,平面A1ADD1⊥平面ABCD,則直線(xiàn)BD1與平面ABCD所成的角的正切值為( ) A. B. C. D. 答案 C 解析 延長(zhǎng)AD,過(guò)D1作D1E⊥AD于點(diǎn)E,連接BE. 因?yàn)槠矫鍭1ADD1⊥平面ABCD,平面A1ADD1∩平面ABCD=AD,D1E?平面A1ADD1,所以D1E⊥平面ABCD,即BE為D1B在平面ABCD內(nèi)的射影,所以∠D1BE為直線(xiàn)BD1與平面ABCD所成的角,因?yàn)镈1E=2sin 60=,BE==,所以tan∠D1BE===.故選C. 11.如圖,已知正方體ABCD—A1B1C1D1中,點(diǎn)E、F分別為棱BC和棱CC1的中點(diǎn),則異面直線(xiàn)AC和EF所成的角為( ) A.30 B.45 C.60 D.90 答案 C 解析 連接BC1,A1C1,A1B,如圖所示: 根據(jù)正方體的結(jié)構(gòu)特征,可得EF∥BC1,AC∥A1C1,則∠A1C1B即為異面直線(xiàn)AC和EF所成的角,BC1=A1C1=A1B,∴△A1C1B為等邊三角形,故∠A1C1B=60, 故選C. 12.如圖,在矩形ABCD中,AB=2,AD=3,點(diǎn)E為AD的中點(diǎn),現(xiàn)分別沿BE,CE將△ABE,△DCE翻折,使得點(diǎn)A,D重合于F,則此時(shí)二面角E—BC—F的余弦值為( ) A. B. C. D. 答案 B 解析 如圖所示,取BC的中點(diǎn)P,連接EP,F(xiàn)P. 由題意得BF=CF=2,PF⊥BC, 又∵EB=EC==,∴EP⊥BC, ∴∠EPF即為二面角E—BC—F的平面角, 而FP= =, ∴在△EPF中,cos∠EPF= ==, 故選B. 13.如圖,在棱長(zhǎng)為2的正方體ABCD—A1B1C1D1中,點(diǎn)O為底面ABCD的中心,點(diǎn)E為CC1的中點(diǎn),那么異面直線(xiàn)OE與AD1所成角的余弦值等于________. 答案 解析 取BC的中點(diǎn)F,連接EF,OF, 由于點(diǎn)O為底面ABCD的中心,點(diǎn)E為CC1的中點(diǎn),所以EF∥BC1∥AD1, 所以異面直線(xiàn)OE與AD1所成角,即OE與EF所成的角. 平面ABCD⊥平面BCC1B1, 平面ABCD∩BCC1B1=BC, OF⊥BC,OF?平面ABCD, 所以O(shè)F⊥平面BCC1B1,EF?平面BCC1B1, 所以EF⊥OF. 因?yàn)镋F=,OF=1, 所以O(shè)E===. 所以cos∠FEO===. 14.四棱錐P-ABCD的五個(gè)頂點(diǎn)都在一個(gè)球面上,底面ABCD是矩形,其中AB=3,BC=4,又PA⊥平面ABCD,PA=5,則該球的表面積為_(kāi)_______. 答案 50π 解析 由勾股定理得AC=5,在等腰直角三角形PAC中,PC=2R=5,因此表面積S=4πR2=50π. 15.已知矩形ABCD的周長(zhǎng)為18,把它沿圖中的虛線(xiàn)折成正六棱柱,當(dāng)這個(gè)正六棱柱的體積最大時(shí),它的外接球的表面積為_(kāi)_______. 答案 13π 解析 設(shè)正六棱柱的底面邊長(zhǎng)為x,高為y, 則6x+y=9,0<x<1.5, 正六棱柱的體積V=6x2y=(-6x3+9x2), ∴V′=-9x(x-1), ∴令V′=0,則x=0(舍)或x=1. ∵當(dāng)x>1時(shí),V′<0;當(dāng)0- 1.請(qǐng)仔細(xì)閱讀文檔,確保文檔完整性,對(duì)于不預(yù)覽、不比對(duì)內(nèi)容而直接下載帶來(lái)的問(wèn)題本站不予受理。
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