高中數(shù)學(xué) 第一章 統(tǒng)計(jì)案例 第1節(jié) 回歸分析（第3課時(shí)）學(xué)案 北師大版選修1-21

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1.3　可線性化的回歸分析 1．進(jìn)一步了解回歸分析的基本思想，明確建立回歸模型的基本步驟． 2．了解回歸模型與函數(shù)模型的區(qū)別，體會(huì)有些非線性模型通過(guò)變換可以轉(zhuǎn)化為線性回歸模型，了解在解決問(wèn)題中尋找更好的模型的方法． 1．在具體問(wèn)題中，我們首先應(yīng)該作出原始數(shù)據(jù)(x，y)的________，從______中看出數(shù)據(jù)的大致規(guī)律，再根據(jù)這個(gè)規(guī)律選擇適當(dāng)?shù)暮瘮?shù)進(jìn)行擬合． 2．對(duì)于非線性回歸模型一般可轉(zhuǎn)化為_(kāi)_____________，從而得到相應(yīng)的回歸方程． 3．幾種常見(jiàn)模型 (1)冪函數(shù)曲線y＝axb. 其散點(diǎn)圖在如下圖所示曲線附近． 設(shè)__________________，則轉(zhuǎn)化為線性關(guān)系：u＝c＋bv. (2)指數(shù)曲線y＝aebx. 其散點(diǎn)圖在如下圖所示曲線附近． 設(shè)______________，則轉(zhuǎn)化為線性關(guān)系：u＝c＋bx. (3)倒指數(shù)曲線. 其散點(diǎn)圖在如下圖所示曲線附近． 設(shè)____________，則轉(zhuǎn)化為線性關(guān)系：u＝c＋bv. (4)對(duì)數(shù)曲線y＝a＋bln x. 其散點(diǎn)圖在如下圖所示曲線附近． 設(shè)________，則轉(zhuǎn)化為線性關(guān)系：y＝a＋bv. 【做一做1】 如圖中曲線所表示的函數(shù)最有可能是(　　)． A．y＝ln x B．y＝ex C． D． 【做一做2】 若一函數(shù)模型為y＝2＋3log2x，則作變換u＝__________，才能轉(zhuǎn)化為y是u的線性回歸方程． 答案：1．散點(diǎn)圖　散點(diǎn)圖 2．線性回歸模型 3．(1)u＝ln y，v＝ln x，c＝ln a　(2)u＝ln y，c＝ln a　(3)u＝ln y，c＝ln a，v＝　(4)v＝ln x 【做一做1】 D 【做一做2】 log2x 1．實(shí)際問(wèn)題中非線性相關(guān)的函數(shù)模型的選取 剖析：(1)要先作散點(diǎn)圖；(2)選取所有符合的可能類型；(3)將非線性關(guān)系轉(zhuǎn)變?yōu)榫€性關(guān)系后，可再作線性相關(guān)的散點(diǎn)圖來(lái)進(jìn)一步辨別，也可通過(guò)計(jì)算線性相關(guān)系數(shù)作比較． 2．常見(jiàn)的幾種模型在轉(zhuǎn)化為線性關(guān)系時(shí)應(yīng)注意的問(wèn)題 剖析：常見(jiàn)的幾種函數(shù)模型的解析式在轉(zhuǎn)變?yōu)榫€性相關(guān)關(guān)系時(shí)，要根據(jù)函數(shù)式的特點(diǎn)，靈活地?fù)Q元轉(zhuǎn)變?yōu)榫€性函數(shù)關(guān)系．常見(jiàn)的幾種模型在使用時(shí)要注意散點(diǎn)圖的形狀符合哪一種類型曲線的形狀，有時(shí)不太容易辨別，可采用多種模型擬合，并轉(zhuǎn)變?yōu)榫€性回歸關(guān)系．利用線性相關(guān)系數(shù)來(lái)判斷檢驗(yàn)用哪一種擬合效果較好，就用哪一種模型． 3．利用線性回歸擬合曲線的一般步驟 剖析：(1)繪制散點(diǎn)圖． 一般根據(jù)數(shù)據(jù)性質(zhì)結(jié)合專業(yè)知識(shí)便可確定數(shù)據(jù)的曲線類型．不能確定時(shí)，可在方格坐標(biāo)紙上繪制散點(diǎn)圖，根據(jù)散點(diǎn)的分布，選擇接近的、合適的曲線類型． (2)進(jìn)行變量替換． 令y′＝f(y)，x′＝g(x)，使變換后的兩個(gè)變量呈線性相關(guān)關(guān)系． (3)按最小二乘法原理求線性回歸方程并進(jìn)行檢驗(yàn)． (4)將線性回歸方程轉(zhuǎn)換為關(guān)于原始變量x，y的回歸方程． 題型一 已知模擬函數(shù)類型確定解析式 【例題1】 我國(guó)1950～1959年人口數(shù)據(jù)資料如下表所示： 年份t/年 1950 1951 1952 1953 1954 1955 1956 1957 1958 1959 人口y/萬(wàn)人 55 196 56 300 57 482 58 796 60 266 61 456 62 828 64 563 65 994 67 207 若y與t之間滿足y＝aeb(t－1 950)的關(guān)系，求函數(shù)解析式．若按此增長(zhǎng)趨勢(shì)，問(wèn)我國(guó)2012年人口將達(dá)到多少億？ 分析：本題中已知函數(shù)模型的類型，可通過(guò)變形轉(zhuǎn)化為線性關(guān)系，從而求出． 反思：本題中已知函數(shù)模型，可通過(guò)恰當(dāng)?shù)淖儞Q將函數(shù)轉(zhuǎn)化為線性函數(shù)關(guān)系u＝c＋bt′，然后通過(guò)變換公式計(jì)算出相應(yīng)的u與t′之間的數(shù)據(jù)關(guān)系表，根據(jù)求線性回歸直線的公式計(jì)算出u與t′之間的函數(shù)關(guān)系，并將u與t′之間的關(guān)系再轉(zhuǎn)回到y(tǒng)與t之間的函數(shù)關(guān)系． 題型二 通過(guò)數(shù)據(jù)探尋函數(shù)關(guān)系模型 【例題2】 某種書(shū)每?jī)?cè)的成本費(fèi)y(元)與印刷冊(cè)數(shù)x(千冊(cè))有關(guān)，經(jīng)統(tǒng)計(jì)得到數(shù)據(jù)如下表所示： x 1 2 3 5 10 20 30 50 100 200 y 10.15 5.52 4.08 2.85 2.11 1.62 1.41 1.30 1.21 1.15 檢驗(yàn)每?jī)?cè)書(shū)的成本費(fèi)y與印刷冊(cè)數(shù)的倒數(shù)之間是否具有線性相關(guān)關(guān)系，如有，求出y對(duì)x的回歸方程． 分析：本題中y與x不具有線性相關(guān)關(guān)系，而y與可能具有線性相關(guān)關(guān)系，故先把x轉(zhuǎn)化為，不妨設(shè)u＝，建立y與u的回歸分析即可，最后轉(zhuǎn)化為y與x的關(guān)系． 反思：在拿不準(zhǔn)y與之間是否具有線性相關(guān)關(guān)系時(shí)，可以通過(guò)變換u＝找y與u之間的關(guān)系，并通過(guò)畫(huà)散點(diǎn)圖或計(jì)算線性相關(guān)系數(shù)來(lái)進(jìn)一步判斷y與u之間是否具有線性相關(guān)關(guān)系，從而進(jìn)一步完成運(yùn)算． 答案：【例題1】 解：設(shè)u＝ln y，c＝ln a，t′＝t－1 950，則u＝c＋bt′. u與t′之間的關(guān)系數(shù)據(jù)如下表： t′ 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 u 10.9186 10.9384 10.9592 10.9818 11.0065 11.0261 11.0482 11.0754 11.0973 11.1155 由此可得：i′2＝285，i′ui＝497.593 6， ＝4.5，＝11.016 7， 進(jìn)而可以得b＝ ＝≈0.022 3， ∴c＝－b＝11.016 7－0.022 34.5≈10.916 4. ∴u＝10.916 4＋0.022 3t′. ∴y＝e10.916 4＋0.022 3(t－1 950)＝e10.916 4e0.022 3(t－1 950)． 當(dāng)t＝2 012時(shí)，u＝10.916 4＋0.022 3(2 012－1 950)＝12.299， ∴y＝e12.299≈219 476.40(萬(wàn)人)， 即如果按此增長(zhǎng)趨勢(shì)，到2012年將達(dá)到21.947 640億人． 【例題2】 解：設(shè)u＝，則y與u的數(shù)據(jù)關(guān)系如下表： u 1 0.5 0.33 0.2 0.1 0.05 0.033 0.02 0.01 0.005 y 10.15 5.52 4.08 2.85 2.11 1.62 1.41 1.30 1.21 1.15 由此可得：＝1.412 989，＝171.803，iyi＝15.208 78，＝0.224 8，＝3.14， 則線性相關(guān)系數(shù) r＝ ＝≈0.999 8. 這表明u與y之間有較強(qiáng)的線性相關(guān)關(guān)系，從而求y與u的線性回歸方程是有意義的． ∵b＝≈8.98， a＝－b＝3.14－8.980.224 8≈1.12， ∴y＝1.12＋8.98u. ∴x與y之間的回歸方程為y＝1.12＋. 1冪函數(shù)曲線y＝xb，當(dāng)b＞1時(shí)的圖像為(　　)． 答案：A　當(dāng)b＞1時(shí)，圖像為選項(xiàng)A；當(dāng)0＜b＜1時(shí)，圖像為選項(xiàng)B；當(dāng)b＜0時(shí)，圖像為選項(xiàng)C；當(dāng)b＝1時(shí)，圖像為選項(xiàng)D. 2倒指數(shù)曲線，當(dāng)a＞0，b＞0時(shí)的圖像為(　　)． 答案：A 3某市居民2005～2009年家庭年平均收入x(單位：萬(wàn)元)與年平均支出Y(單位：萬(wàn)元)的統(tǒng)計(jì)資料如下表所示： 年份 2005 2006 2007 2008 2009 收入x 11.5 12.1 13 13.3 15 支出Y 6.8 8.8 9.8 10 12 根據(jù)統(tǒng)計(jì)資料，居民家庭年平均收入的中位數(shù)是__________萬(wàn)元，家庭年平均收入與年平均支出有__________線性相關(guān)關(guān)系． 答案：13　正　根據(jù)中位數(shù)的定義，居民家庭年平均收入的中位數(shù)是13，家庭年平均收入與年平均支出有正線性相關(guān)關(guān)系． 4 x，y滿足如下表的關(guān)系： x 0.2 0.6 1.0 1.2 1.4 1.6 1.8 2.0 2.2 y 0.04 0.36 1 1.4 1.9 2.5 3.2 3.98 4.82 則x，y之間符合的函數(shù)模型為_(kāi)_________． 答案：y＝x2　通過(guò)數(shù)據(jù)發(fā)現(xiàn)y的值與x的平方值比較接近，所以x，y之間的函數(shù)模型為y＝x2. 5 某地今年上半年患某種傳染病的人數(shù)y(人)與月份x(月)之間滿足函數(shù)關(guān)系，模型為y＝aebx，確定這個(gè)函數(shù)解析式． 月份x/月 1 2 3 4 5 6 人數(shù)y/人 52 61 68 74 78 83 分析：函數(shù)模型為指數(shù)函數(shù)，可轉(zhuǎn)化為線性相關(guān)關(guān)系，從而求解． 解：設(shè)u＝ln y，c＝ln a，得u＝c＋bx， 則u與x的數(shù)據(jù)關(guān)系如下表： x 1 2 3 4 5 6 u＝ln y 3.95 4.11 4.22 4.304 4.356 7 4.418 8 由上表，得，，，， ，，≈4.226 58， ∴b≈ ＝≈0.09， c＝－b≈4.226 58－0.093.5＝3.911 58， ∴u＝3.911 58＋0.09x. ∴y＝e3.911 58e0.09x.