高中數(shù)學 第一章 統(tǒng)計案例 第1節(jié) 回歸分析（第3課時）學案 北師大版選修1-21

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1.3　可線性化的回歸分析 1．進一步了解回歸分析的基本思想，明確建立回歸模型的基本步驟． 2．了解回歸模型與函數(shù)模型的區(qū)別，體會有些非線性模型通過變換可以轉(zhuǎn)化為線性回歸模型，了解在解決問題中尋找更好的模型的方法． 1．在具體問題中，我們首先應該作出原始數(shù)據(jù)(x，y)的________，從______中看出數(shù)據(jù)的大致規(guī)律，再根據(jù)這個規(guī)律選擇適當?shù)暮瘮?shù)進行擬合． 2．對于非線性回歸模型一般可轉(zhuǎn)化為______________，從而得到相應的回歸方程． 3．幾種常見模型 (1)冪函數(shù)曲線y＝axb. 其散點圖在如下圖所示曲線附近． 設(shè)__________________，則轉(zhuǎn)化為線性關(guān)系：u＝c＋bv. (2)指數(shù)曲線y＝aebx. 其散點圖在如下圖所示曲線附近． 設(shè)______________，則轉(zhuǎn)化為線性關(guān)系：u＝c＋bx. (3)倒指數(shù)曲線. 其散點圖在如下圖所示曲線附近． 設(shè)____________，則轉(zhuǎn)化為線性關(guān)系：u＝c＋bv. (4)對數(shù)曲線y＝a＋bln x. 其散點圖在如下圖所示曲線附近． 設(shè)________，則轉(zhuǎn)化為線性關(guān)系：y＝a＋bv. 【做一做1】 如圖中曲線所表示的函數(shù)最有可能是(　　)． A．y＝ln x B．y＝ex C． D． 【做一做2】 若一函數(shù)模型為y＝2＋3log2x，則作變換u＝__________，才能轉(zhuǎn)化為y是u的線性回歸方程． 答案：1．散點圖　散點圖 2．線性回歸模型 3．(1)u＝ln y，v＝ln x，c＝ln a　(2)u＝ln y，c＝ln a　(3)u＝ln y，c＝ln a，v＝　(4)v＝ln x 【做一做1】 D 【做一做2】 log2x 1．實際問題中非線性相關(guān)的函數(shù)模型的選取 剖析：(1)要先作散點圖；(2)選取所有符合的可能類型；(3)將非線性關(guān)系轉(zhuǎn)變?yōu)榫€性關(guān)系后，可再作線性相關(guān)的散點圖來進一步辨別，也可通過計算線性相關(guān)系數(shù)作比較． 2．常見的幾種模型在轉(zhuǎn)化為線性關(guān)系時應注意的問題 剖析：常見的幾種函數(shù)模型的解析式在轉(zhuǎn)變?yōu)榫€性相關(guān)關(guān)系時，要根據(jù)函數(shù)式的特點，靈活地換元轉(zhuǎn)變?yōu)榫€性函數(shù)關(guān)系．常見的幾種模型在使用時要注意散點圖的形狀符合哪一種類型曲線的形狀，有時不太容易辨別，可采用多種模型擬合，并轉(zhuǎn)變?yōu)榫€性回歸關(guān)系．利用線性相關(guān)系數(shù)來判斷檢驗用哪一種擬合效果較好，就用哪一種模型． 3．利用線性回歸擬合曲線的一般步驟 剖析：(1)繪制散點圖． 一般根據(jù)數(shù)據(jù)性質(zhì)結(jié)合專業(yè)知識便可確定數(shù)據(jù)的曲線類型．不能確定時，可在方格坐標紙上繪制散點圖，根據(jù)散點的分布，選擇接近的、合適的曲線類型． (2)進行變量替換． 令y′＝f(y)，x′＝g(x)，使變換后的兩個變量呈線性相關(guān)關(guān)系． (3)按最小二乘法原理求線性回歸方程并進行檢驗． (4)將線性回歸方程轉(zhuǎn)換為關(guān)于原始變量x，y的回歸方程． 題型一 已知模擬函數(shù)類型確定解析式 【例題1】 我國1950～1959年人口數(shù)據(jù)資料如下表所示： 年份t/年 1950 1951 1952 1953 1954 1955 1956 1957 1958 1959 人口y/萬人 55 196 56 300 57 482 58 796 60 266 61 456 62 828 64 563 65 994 67 207 若y與t之間滿足y＝aeb(t－1 950)的關(guān)系，求函數(shù)解析式．若按此增長趨勢，問我國2012年人口將達到多少億？ 分析：本題中已知函數(shù)模型的類型，可通過變形轉(zhuǎn)化為線性關(guān)系，從而求出． 反思：本題中已知函數(shù)模型，可通過恰當?shù)淖儞Q將函數(shù)轉(zhuǎn)化為線性函數(shù)關(guān)系u＝c＋bt′，然后通過變換公式計算出相應的u與t′之間的數(shù)據(jù)關(guān)系表，根據(jù)求線性回歸直線的公式計算出u與t′之間的函數(shù)關(guān)系，并將u與t′之間的關(guān)系再轉(zhuǎn)回到y(tǒng)與t之間的函數(shù)關(guān)系． 題型二 通過數(shù)據(jù)探尋函數(shù)關(guān)系模型 【例題2】 某種書每冊的成本費y(元)與印刷冊數(shù)x(千冊)有關(guān)，經(jīng)統(tǒng)計得到數(shù)據(jù)如下表所示： x 1 2 3 5 10 20 30 50 100 200 y 10.15 5.52 4.08 2.85 2.11 1.62 1.41 1.30 1.21 1.15 檢驗每冊書的成本費y與印刷冊數(shù)的倒數(shù)之間是否具有線性相關(guān)關(guān)系，如有，求出y對x的回歸方程． 分析：本題中y與x不具有線性相關(guān)關(guān)系，而y與可能具有線性相關(guān)關(guān)系，故先把x轉(zhuǎn)化為，不妨設(shè)u＝，建立y與u的回歸分析即可，最后轉(zhuǎn)化為y與x的關(guān)系． 反思：在拿不準y與之間是否具有線性相關(guān)關(guān)系時，可以通過變換u＝找y與u之間的關(guān)系，并通過畫散點圖或計算線性相關(guān)系數(shù)來進一步判斷y與u之間是否具有線性相關(guān)關(guān)系，從而進一步完成運算． 答案：【例題1】 解：設(shè)u＝ln y，c＝ln a，t′＝t－1 950，則u＝c＋bt′. u與t′之間的關(guān)系數(shù)據(jù)如下表： t′ 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 u 10.9186 10.9384 10.9592 10.9818 11.0065 11.0261 11.0482 11.0754 11.0973 11.1155 由此可得：i′2＝285，i′ui＝497.593 6， ＝4.5，＝11.016 7， 進而可以得b＝ ＝≈0.022 3， ∴c＝－b＝11.016 7－0.022 34.5≈10.916 4. ∴u＝10.916 4＋0.022 3t′. ∴y＝e10.916 4＋0.022 3(t－1 950)＝e10.916 4e0.022 3(t－1 950)． 當t＝2 012時，u＝10.916 4＋0.022 3(2 012－1 950)＝12.299， ∴y＝e12.299≈219 476.40(萬人)， 即如果按此增長趨勢，到2012年將達到21.947 640億人． 【例題2】 解：設(shè)u＝，則y與u的數(shù)據(jù)關(guān)系如下表： u 1 0.5 0.33 0.2 0.1 0.05 0.033 0.02 0.01 0.005 y 10.15 5.52 4.08 2.85 2.11 1.62 1.41 1.30 1.21 1.15 由此可得：＝1.412 989，＝171.803，iyi＝15.208 78，＝0.224 8，＝3.14， 則線性相關(guān)系數(shù) r＝ ＝≈0.999 8. 這表明u與y之間有較強的線性相關(guān)關(guān)系，從而求y與u的線性回歸方程是有意義的． ∵b＝≈8.98， a＝－b＝3.14－8.980.224 8≈1.12， ∴y＝1.12＋8.98u. ∴x與y之間的回歸方程為y＝1.12＋. 1冪函數(shù)曲線y＝xb，當b＞1時的圖像為(　　)． 答案：A　當b＞1時，圖像為選項A；當0＜b＜1時，圖像為選項B；當b＜0時，圖像為選項C；當b＝1時，圖像為選項D. 2倒指數(shù)曲線，當a＞0，b＞0時的圖像為(　　)． 答案：A 3某市居民2005～2009年家庭年平均收入x(單位：萬元)與年平均支出Y(單位：萬元)的統(tǒng)計資料如下表所示： 年份 2005 2006 2007 2008 2009 收入x 11.5 12.1 13 13.3 15 支出Y 6.8 8.8 9.8 10 12 根據(jù)統(tǒng)計資料，居民家庭年平均收入的中位數(shù)是__________萬元，家庭年平均收入與年平均支出有__________線性相關(guān)關(guān)系． 答案：13　正　根據(jù)中位數(shù)的定義，居民家庭年平均收入的中位數(shù)是13，家庭年平均收入與年平均支出有正線性相關(guān)關(guān)系． 4 x，y滿足如下表的關(guān)系： x 0.2 0.6 1.0 1.2 1.4 1.6 1.8 2.0 2.2 y 0.04 0.36 1 1.4 1.9 2.5 3.2 3.98 4.82 則x，y之間符合的函數(shù)模型為__________． 答案：y＝x2　通過數(shù)據(jù)發(fā)現(xiàn)y的值與x的平方值比較接近，所以x，y之間的函數(shù)模型為y＝x2. 5 某地今年上半年患某種傳染病的人數(shù)y(人)與月份x(月)之間滿足函數(shù)關(guān)系，模型為y＝aebx，確定這個函數(shù)解析式． 月份x/月 1 2 3 4 5 6 人數(shù)y/人 52 61 68 74 78 83 分析：函數(shù)模型為指數(shù)函數(shù)，可轉(zhuǎn)化為線性相關(guān)關(guān)系，從而求解． 解：設(shè)u＝ln y，c＝ln a，得u＝c＋bx， 則u與x的數(shù)據(jù)關(guān)系如下表： x 1 2 3 4 5 6 u＝ln y 3.95 4.11 4.22 4.304 4.356 7 4.418 8 由上表，得，，，， ，，≈4.226 58， ∴b≈ ＝≈0.09， c＝－b≈4.226 58－0.093.5＝3.911 58， ∴u＝3.911 58＋0.09x. ∴y＝e3.911 58e0.09x.