高中數(shù)學(xué) 第三章 推理與證明 第1節(jié) 歸納與類(lèi)比（第1課時(shí)）學(xué)案 北師大版選修1-21

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1．1　歸納推理 1．理解歸納推理的含義，能利用歸納推理進(jìn)行簡(jiǎn)單的推理，體會(huì)并認(rèn)識(shí)歸納推理在數(shù)學(xué)發(fā)展中的作用． 2．了解歐拉公式的概念． 1．根據(jù)一類(lèi)事物中部分事物具有某種屬性，推斷該類(lèi)事物中每一個(gè)事物都有這種屬性，我們將這種推理方式稱為_(kāi)_______． 歸納推理是由______到______，由______到______的推理． 歸納推理是由部分到整體，由個(gè)別到一般的推理，得到的結(jié)論不一定正確，其正確性還有待于嚴(yán)格的證明或舉例說(shuō)明其結(jié)論的不正確性． 2．歐拉公式：一個(gè)凸多面體中，多面體的面數(shù)(F)、棱數(shù)(E)、頂點(diǎn)數(shù)(V)，它們之間的關(guān)系為_(kāi)_______． 【做一做1－1】 由集合{a1}，{a1，a2}，{a1，a2，a3}，…的子集個(gè)數(shù)歸納出集合{a1，a2，a3，…，an}的子集個(gè)數(shù)為(　　)． A．n B．n＋1 C．2n D．2n－1 【做一做1－2】 在某報(bào)《自測(cè)健康狀況》的報(bào)道中，自測(cè)血壓結(jié)果與相應(yīng)年齡的統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)如下表．觀察表中數(shù)據(jù)的特點(diǎn)，用適當(dāng)?shù)臄?shù)填入表中“________”處． 年齡/歲 30 35 40 45 50 55 60 65 收縮壓/ 毫米汞柱 110 115 120 125 130 135 ____ 145 舒張壓/ 毫米汞柱 70 73 75 78 80 83 ____ 88 答案： 1．歸納推理　部分　整體　個(gè)別　一般 2．V－E＋F＝2 【做一做1－1】 C　由前三個(gè)集合子集的個(gè)數(shù)分別為 21,22,23，可歸納得出{a1，a2，a3，…，an}的子集個(gè)數(shù)為2n. 【做一做1－2】 140　85 1．如何判斷由歸納推理得到的結(jié)論的正確與否？ 剖析：歸納推理是根據(jù)已經(jīng)知道的一類(lèi)事物中個(gè)別事物具有的屬性推斷出所有這類(lèi)事物所具有的共性，有時(shí)結(jié)論正確，有時(shí)結(jié)論不正確．在歸納結(jié)論時(shí)，要對(duì)大量的個(gè)體進(jìn)行觀察，其正確性還需要通過(guò)嚴(yán)格的證明，不正確的結(jié)論只需舉出一個(gè)特例說(shuō)明即可． 2．歸納推理的一般步驟是什么？ 剖析：(1)通過(guò)觀察個(gè)別事物發(fā)現(xiàn)某些相同的性質(zhì)；(2)從已知的相同性質(zhì)中推出一個(gè)明確表達(dá)的一般性命題，并且在一般情況下，如果歸納的個(gè)別情況越多，越具有代表性，那么推廣的一般性結(jié)論也就越可靠，學(xué)習(xí)中要通過(guò)實(shí)例去分析、歸納問(wèn)題的一般性命題，加強(qiáng)應(yīng)用．特別注意，由歸納推理所獲得的結(jié)論，僅僅是一種猜測(cè)，并不一定可靠，其可靠性需要通過(guò)證明． (1)歸納推理是我們探求數(shù)學(xué)問(wèn)題的一種重要方法和途徑，通過(guò)歸納推理可以發(fā)現(xiàn)許多未知的內(nèi)容． (2)對(duì)于數(shù)列的通項(xiàng)公式和前n項(xiàng)和的求法，常用歸納猜想，然后再用數(shù)學(xué)歸納法進(jìn)行證明． (3)數(shù)論問(wèn)題也常常是由個(gè)別事例的發(fā)現(xiàn)、歸納、猜想得出一般性的結(jié)論．例如，哥德巴赫猜想：一個(gè)偶數(shù)(大于4)可以寫(xiě)成兩個(gè)素?cái)?shù)的和． 題型一 觀察找規(guī)律 【例題1】 將自然數(shù)0,1,2，…，按照如下形式進(jìn)行擺放： 根據(jù)以上規(guī)律判定，從2008到2010的箭頭方向是(　　)． 反思：注意尋找規(guī)律，找到圖形隨數(shù)字變化的規(guī)律，然后進(jìn)行預(yù)測(cè)猜想． 題型二 根據(jù)數(shù)列的前幾項(xiàng)歸納通項(xiàng) 【例題2】 如圖是一個(gè)面積為1的三角形，現(xiàn)進(jìn)行如下操作．第一次操作：分別連接這個(gè)三角形三邊的中點(diǎn)，構(gòu)成4個(gè)三角形，挖去中間一個(gè)三角形(如圖①中陰影部分所示)，并在挖去的三角形上貼上數(shù)字標(biāo)簽“1”；第二次操作：連接剩余的3個(gè)三角形三邊的中點(diǎn)，再挖去各自中間的三角形(如圖②中陰影部分所示)，同時(shí)在挖去的3個(gè)三角形上都貼上數(shù)字標(biāo)簽“2”；第三次操作：連接剩余的各三角形三邊的中點(diǎn)，再挖去各自中間的三角形，同時(shí)在挖去的三角形上都貼上數(shù)字標(biāo)簽“3”；……如此下去，記第n次操作后剩余圖形的總面積為an. … 　　　　　　　　　　　　　 ①　　　　　?、凇　　　? (1)求a1，a2； (2)求第n次操作后，挖去的所有三角形上所貼標(biāo)簽上的數(shù)字和Sn. 分析：寫(xiě)出前幾項(xiàng)，歸納出第n項(xiàng)，從而發(fā)現(xiàn)規(guī)律，進(jìn)行求和． 反思：本題由圖形發(fā)現(xiàn)規(guī)律，發(fā)現(xiàn)每次挖去的三角形個(gè)數(shù)構(gòu)成等比數(shù)列，從而問(wèn)題轉(zhuǎn)化為求數(shù)列的前n項(xiàng)和，利用錯(cuò)位相減法求出． 題型三 探索不等式成立的條件 【例題3】 猜想不等式1＋＋＋…＋＞滿足什么條件時(shí)成立？ 分析：不等式的左邊不能合并，但當(dāng)n取較小的自然數(shù)時(shí)，可以合并，n可從1開(kāi)始取值進(jìn)行探討． 反思：有些結(jié)論是在某些條件下成立，不一定恒成立，需探究其成立的條件． 答案：【例題1】 A　本題中的數(shù)字及箭頭方向都有一定的規(guī)律．箭頭每經(jīng)過(guò)四個(gè)數(shù)就要重復(fù)出現(xiàn)，即以4為周期變化.2 008恰好是4的倍數(shù)，應(yīng)該與0的起始位置相同． 【例題2】 解：(1)a1＝，a2＝. (2)設(shè)第n次操作挖去bn個(gè)三角形，則{bn}是以1為首項(xiàng)，3為公比的等比數(shù)列，即bn＝3n－1，所以挖去的所有三角形上所貼標(biāo)簽的數(shù)字的和 Sn＝11＋23＋…＋n3n－1， 則3Sn＝13＋232＋…＋(n－1)3n－1＋n3n. 兩式相減，得－2Sn＝(1＋3＋…＋3n－1)－n3n＝－n3n， 故Sn＝3n＋. 【例題3】 解：當(dāng)n＝1時(shí)，左邊＝1，右邊＝＝，不等式不成立． 當(dāng)n＝2時(shí)，左邊＝1＋＝， 右邊＝＝＝. ∵2＋＜，∴左邊＜右邊，不等式不成立． 當(dāng)n＝3時(shí)，左邊＝1＋＋＝，右邊＝＝2，左邊＞＝＞2＝右邊． ∴不等式成立． 猜想當(dāng)n∈N＋且n≥3時(shí)不等式成立． 1數(shù)列1,5,10,16,23,31，x,50，…中的x等于(　　)． A．38 B．39 C．40 D．41 答案：C　前6項(xiàng)從第2項(xiàng)起每一項(xiàng)與前一項(xiàng)的差分別為4,5,6,7,8，可得x＝31＋9＝40. 2已知數(shù)列{an}滿足a0＝1，an＝a0＋a1＋…＋an－1(n≥1)，則當(dāng)n≥1時(shí)，an等于(　　)． A．2n B. C．2n－1 D．2n－1 答案：C　a0＝1，a1＝a0＝1，a2＝a0＋a1＝2a1＝2，a3＝a0＋a1＋a2＝2a2＝4，a4＝a0＋a1＋a2＋a3＝2a3＝8，……猜想當(dāng)n≥1時(shí)，an＝2n－1. 3如下圖所示的三角形數(shù)陣中，滿足：(1)第1行的數(shù)為1；(2)第n(n≥2)行首尾兩數(shù)均為n，其余的數(shù)都等于它肩上的兩個(gè)數(shù)相加．則第n(n≥2)行中第2個(gè)數(shù)是__________．(用n表示) 1 2　　2 3　　4　　3 4　　7　　7　　4 5　　11　　14　　11　　5 6　　16　　25　　25　　16　　6 …　　…　　…　　…　　…　　… 答案：　如題圖，2＝1＋1,4＝(1＋2)＋1,7＝(1＋2＋3)＋1，11＝(1＋2＋3＋4)＋1. 歸納猜想，第n行第2個(gè)數(shù)為[1＋2＋3＋…＋(n－1)]＋1＝. 4在如下數(shù)表中，已知每行、每列中的數(shù)都成等差數(shù)列， 第1列 第2列 第3列 … 第1行 1 2 3 … 第2行 2 4 6 … 第3行 3 6 9 … … … … … 那么位于表中的第n行第n＋1列的數(shù)是________． 答案：n2＋n　觀察數(shù)表可知，第n行的第1個(gè)數(shù)為n，且第n行的數(shù)列的公差為n，所以位于第n行第n＋1列的數(shù)為n＋n2. 5已知數(shù)列{an}滿足a1＝1，an＋1＝(n∈N＋)． (1)求a2，a3，a4； (2)猜測(cè)a5及數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式． 答案：分析：先通過(guò)題目中給出的遞推關(guān)系式，求出a2，a3，a4并猜想a5，發(fā)現(xiàn)它們之間的共同性質(zhì)，再猜想出一個(gè)明確的通項(xiàng)公式． 解：(1)，，. (2)由(1)猜測(cè)，，an的通項(xiàng)公式為.