高中數(shù)學 第三章 推理與證明 第1節(jié) 歸納與類比（第1課時）學案 北師大版選修1-21

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1．1　歸納推理 1．理解歸納推理的含義，能利用歸納推理進行簡單的推理，體會并認識歸納推理在數(shù)學發(fā)展中的作用． 2．了解歐拉公式的概念． 1．根據(jù)一類事物中部分事物具有某種屬性，推斷該類事物中每一個事物都有這種屬性，我們將這種推理方式稱為________． 歸納推理是由______到______，由______到______的推理． 歸納推理是由部分到整體，由個別到一般的推理，得到的結論不一定正確，其正確性還有待于嚴格的證明或舉例說明其結論的不正確性． 2．歐拉公式：一個凸多面體中，多面體的面數(shù)(F)、棱數(shù)(E)、頂點數(shù)(V)，它們之間的關系為________． 【做一做1－1】 由集合{a1}，{a1，a2}，{a1，a2，a3}，…的子集個數(shù)歸納出集合{a1，a2，a3，…，an}的子集個數(shù)為(　　)． A．n B．n＋1 C．2n D．2n－1 【做一做1－2】 在某報《自測健康狀況》的報道中，自測血壓結果與相應年齡的統(tǒng)計數(shù)據(jù)如下表．觀察表中數(shù)據(jù)的特點，用適當?shù)臄?shù)填入表中“________”處． 年齡/歲 30 35 40 45 50 55 60 65 收縮壓/ 毫米汞柱 110 115 120 125 130 135 ____ 145 舒張壓/ 毫米汞柱 70 73 75 78 80 83 ____ 88 答案： 1．歸納推理　部分　整體　個別　一般 2．V－E＋F＝2 【做一做1－1】 C　由前三個集合子集的個數(shù)分別為 21,22,23，可歸納得出{a1，a2，a3，…，an}的子集個數(shù)為2n. 【做一做1－2】 140　85 1．如何判斷由歸納推理得到的結論的正確與否？ 剖析：歸納推理是根據(jù)已經(jīng)知道的一類事物中個別事物具有的屬性推斷出所有這類事物所具有的共性，有時結論正確，有時結論不正確．在歸納結論時，要對大量的個體進行觀察，其正確性還需要通過嚴格的證明，不正確的結論只需舉出一個特例說明即可． 2．歸納推理的一般步驟是什么？ 剖析：(1)通過觀察個別事物發(fā)現(xiàn)某些相同的性質；(2)從已知的相同性質中推出一個明確表達的一般性命題，并且在一般情況下，如果歸納的個別情況越多，越具有代表性，那么推廣的一般性結論也就越可靠，學習中要通過實例去分析、歸納問題的一般性命題，加強應用．特別注意，由歸納推理所獲得的結論，僅僅是一種猜測，并不一定可靠，其可靠性需要通過證明． (1)歸納推理是我們探求數(shù)學問題的一種重要方法和途徑，通過歸納推理可以發(fā)現(xiàn)許多未知的內容． (2)對于數(shù)列的通項公式和前n項和的求法，常用歸納猜想，然后再用數(shù)學歸納法進行證明． (3)數(shù)論問題也常常是由個別事例的發(fā)現(xiàn)、歸納、猜想得出一般性的結論．例如，哥德巴赫猜想：一個偶數(shù)(大于4)可以寫成兩個素數(shù)的和． 題型一 觀察找規(guī)律 【例題1】 將自然數(shù)0,1,2，…，按照如下形式進行擺放： 根據(jù)以上規(guī)律判定，從2008到2010的箭頭方向是(　　)． 反思：注意尋找規(guī)律，找到圖形隨數(shù)字變化的規(guī)律，然后進行預測猜想． 題型二 根據(jù)數(shù)列的前幾項歸納通項 【例題2】 如圖是一個面積為1的三角形，現(xiàn)進行如下操作．第一次操作：分別連接這個三角形三邊的中點，構成4個三角形，挖去中間一個三角形(如圖①中陰影部分所示)，并在挖去的三角形上貼上數(shù)字標簽“1”；第二次操作：連接剩余的3個三角形三邊的中點，再挖去各自中間的三角形(如圖②中陰影部分所示)，同時在挖去的3個三角形上都貼上數(shù)字標簽“2”；第三次操作：連接剩余的各三角形三邊的中點，再挖去各自中間的三角形，同時在挖去的三角形上都貼上數(shù)字標簽“3”；……如此下去，記第n次操作后剩余圖形的總面積為an. … 　　　　　　　　　　　　　 ①　　　　　?、凇　　　? (1)求a1，a2； (2)求第n次操作后，挖去的所有三角形上所貼標簽上的數(shù)字和Sn. 分析：寫出前幾項，歸納出第n項，從而發(fā)現(xiàn)規(guī)律，進行求和． 反思：本題由圖形發(fā)現(xiàn)規(guī)律，發(fā)現(xiàn)每次挖去的三角形個數(shù)構成等比數(shù)列，從而問題轉化為求數(shù)列的前n項和，利用錯位相減法求出． 題型三 探索不等式成立的條件 【例題3】 猜想不等式1＋＋＋…＋＞滿足什么條件時成立？ 分析：不等式的左邊不能合并，但當n取較小的自然數(shù)時，可以合并，n可從1開始取值進行探討． 反思：有些結論是在某些條件下成立，不一定恒成立，需探究其成立的條件． 答案：【例題1】 A　本題中的數(shù)字及箭頭方向都有一定的規(guī)律．箭頭每經(jīng)過四個數(shù)就要重復出現(xiàn)，即以4為周期變化.2 008恰好是4的倍數(shù)，應該與0的起始位置相同． 【例題2】 解：(1)a1＝，a2＝. (2)設第n次操作挖去bn個三角形，則{bn}是以1為首項，3為公比的等比數(shù)列，即bn＝3n－1，所以挖去的所有三角形上所貼標簽的數(shù)字的和 Sn＝11＋23＋…＋n3n－1， 則3Sn＝13＋232＋…＋(n－1)3n－1＋n3n. 兩式相減，得－2Sn＝(1＋3＋…＋3n－1)－n3n＝－n3n， 故Sn＝3n＋. 【例題3】 解：當n＝1時，左邊＝1，右邊＝＝，不等式不成立． 當n＝2時，左邊＝1＋＝， 右邊＝＝＝. ∵2＋＜，∴左邊＜右邊，不等式不成立． 當n＝3時，左邊＝1＋＋＝，右邊＝＝2，左邊＞＝＞2＝右邊． ∴不等式成立． 猜想當n∈N＋且n≥3時不等式成立． 1數(shù)列1,5,10,16,23,31，x,50，…中的x等于(　　)． A．38 B．39 C．40 D．41 答案：C　前6項從第2項起每一項與前一項的差分別為4,5,6,7,8，可得x＝31＋9＝40. 2已知數(shù)列{an}滿足a0＝1，an＝a0＋a1＋…＋an－1(n≥1)，則當n≥1時，an等于(　　)． A．2n B. C．2n－1 D．2n－1 答案：C　a0＝1，a1＝a0＝1，a2＝a0＋a1＝2a1＝2，a3＝a0＋a1＋a2＝2a2＝4，a4＝a0＋a1＋a2＋a3＝2a3＝8，……猜想當n≥1時，an＝2n－1. 3如下圖所示的三角形數(shù)陣中，滿足：(1)第1行的數(shù)為1；(2)第n(n≥2)行首尾兩數(shù)均為n，其余的數(shù)都等于它肩上的兩個數(shù)相加．則第n(n≥2)行中第2個數(shù)是__________．(用n表示) 1 2　　2 3　　4　　3 4　　7　　7　　4 5　　11　　14　　11　　5 6　　16　　25　　25　　16　　6 …　　…　　…　　…　　…　　… 答案：　如題圖，2＝1＋1,4＝(1＋2)＋1,7＝(1＋2＋3)＋1，11＝(1＋2＋3＋4)＋1. 歸納猜想，第n行第2個數(shù)為[1＋2＋3＋…＋(n－1)]＋1＝. 4在如下數(shù)表中，已知每行、每列中的數(shù)都成等差數(shù)列， 第1列 第2列 第3列 … 第1行 1 2 3 … 第2行 2 4 6 … 第3行 3 6 9 … … … … … 那么位于表中的第n行第n＋1列的數(shù)是________． 答案：n2＋n　觀察數(shù)表可知，第n行的第1個數(shù)為n，且第n行的數(shù)列的公差為n，所以位于第n行第n＋1列的數(shù)為n＋n2. 5已知數(shù)列{an}滿足a1＝1，an＋1＝(n∈N＋)． (1)求a2，a3，a4； (2)猜測a5及數(shù)列{an}的通項公式． 答案：分析：先通過題目中給出的遞推關系式，求出a2，a3，a4并猜想a5，發(fā)現(xiàn)它們之間的共同性質，再猜想出一個明確的通項公式． 解：(1)，，. (2)由(1)猜測，，an的通項公式為.