（名師導(dǎo)學(xué)）2020版高考數(shù)學(xué)總復(fù)習(xí) 第二章 函數(shù) 第13講 函數(shù)與方程練習(xí) 文（含解析）新人教A版

《（名師導(dǎo)學(xué)）2020版高考數(shù)學(xué)總復(fù)習(xí) 第二章 函數(shù) 第13講 函數(shù)與方程練習(xí) 文（含解析）新人教A版》由會(huì)員分享，可在線閱讀，更多相關(guān)《（名師導(dǎo)學(xué)）2020版高考數(shù)學(xué)總復(fù)習(xí) 第二章 函數(shù) 第13講 函數(shù)與方程練習(xí) 文（含解析）新人教A版（6頁珍藏版）》請(qǐng)?jiān)谘b配圖網(wǎng)上搜索。

1、第13講　函數(shù)與方程 夯實(shí)基礎(chǔ)　【p32】 【學(xué)習(xí)目標(biāo)】 1．結(jié)合二次函數(shù)的圖象，掌握二次方程根的分布情況； 2．理解函數(shù)零點(diǎn)的概念和性質(zhì)，會(huì)用二分法求函數(shù)的零點(diǎn)． 【基礎(chǔ)檢測(cè)】 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 1．函數(shù)f(x)＝2x－8的零點(diǎn)是(　　) A．3 B．(3，0) C．4 D．(4，0) 【解析】函數(shù)f(x)的零點(diǎn)等價(jià)于方程f(x)＝0的根，即2x－8＝0，x＝3，故選A. 【答案】A 2．若方程x2＋ax＋a＝0的一根小于－2，另一根大于－2，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是(　　) A. B. C. D.∪ 【解析】令f＝x2＋ax＋a，

2、方程x2＋ax＋a＝0的一根小于－2，另一根大于－2， 則f＝4－2a＋a＝4－a<0，解得a>4.故選A. 【答案】A 3．函數(shù)f＝x－的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為(　　) A．0 B．1 C. 2 D. 3 【解析】在同一直角坐標(biāo)系下作出函數(shù)y＝x與y＝的圖象，如圖所示，由圖知，兩個(gè)函數(shù)只有一個(gè)交點(diǎn)，所以函數(shù)f(x)的零點(diǎn)只有1個(gè)，故選B. 【答案】B 4．已知f(x)＝g(x)＝f(x)＋x＋m，若g(x)存在兩個(gè)零點(diǎn)，則m的取值范圍是(　　) A．[－1，＋∞) B．[－1，0) C．[0，＋∞) D．[1，＋∞) 【解析】g(x)＝f(x)＋m＋x有兩個(gè)零點(diǎn)， 等

3、價(jià)于f(x)＋m＋x＝0有兩個(gè)根， 即y＝f(x)與y＝－x－m有兩個(gè)交點(diǎn)， 畫出y＝f(x)與y＝－x－m的圖象， 如圖，由圖可知，當(dāng)y＝－x－m在y軸的截距不大于1時(shí)， 兩函數(shù)圖象有兩個(gè)交點(diǎn)， 即－m≤1，m≥－1，m的取值范圍是[－1，＋∞)，故選A. 【答案】A 【知識(shí)要點(diǎn)】 1．二次函數(shù)y＝ax2＋bx＋c(a>0)的圖象與零點(diǎn)的關(guān)系 Δ>0 Δ＝0 Δ<0 圖象 與x軸 的交點(diǎn) __(x1，0)， (x2，0)__ __(x1，0)__ 無交點(diǎn) 零點(diǎn)個(gè)數(shù) __2__ __1__ __0__ 2.函數(shù)的零點(diǎn) (1)定

4、義：對(duì)于函數(shù)y＝f(x)，我們把使__f(x)＝0__的實(shí)數(shù)x叫作函數(shù)y＝f(x)的零點(diǎn)． (2)函數(shù)有零點(diǎn)的幾個(gè)等價(jià)關(guān)系：方程f(x)＝0有__實(shí)根__函數(shù)y＝f(x)的圖象與__x軸__有交點(diǎn)函數(shù)y＝f(x)有零點(diǎn)． (3)函數(shù)有零點(diǎn)的判定(零點(diǎn)存在性定理) 如果函數(shù)y＝f(x)在區(qū)間[a，b]上的圖象是__連續(xù)不斷__的一條曲線，并且有__f(a)·f(b)＜0__，那么函數(shù)y＝f(x)在區(qū)間__(a，b)__內(nèi)有零點(diǎn)，即存在c∈(a，b)，使得__f(c)＝0__，這個(gè)c也就是方程f(x)＝0的__根__． 典 例 剖 析　【p33】 考點(diǎn)1　函數(shù)零點(diǎn)區(qū)間的判定和求解

5、(1)函數(shù)f＝ln x＋x－4的零點(diǎn)所在的區(qū)間為(　　) A. B. C. D. 【解析】函數(shù)f＝ln x＋x－4，滿足f＝1＋e－4＝e－3＜0，f＝ln 3－1＞0， 由零點(diǎn)存在性定理可知函數(shù)f＝ln x＋x－4的零點(diǎn)所在的區(qū)間為. 故選C. 【答案】C (2)若a

6、b)＝(b－c)(b－a)＜0，f(c)＝(c－a)(c－b)＞0，所以f(a)f(b)＜0，f(b)f(c)＜0，所以函數(shù)的兩個(gè)零點(diǎn)分別在(a，b)和(b，c)內(nèi)，故選A. 【答案】A (3)函數(shù)f(x)＝x2－3x－18在區(qū)間[1，8]上______(填“存在”或“不存在”)零點(diǎn)． 【解析】法一：∵f(1)＝12－3×1－18＝－20<0， f(8)＝82－3×8－18＝22>0，∴f(1)·f(8)<0， 又f(x)＝x2－3x－18在區(qū)間[1，8]上的圖象是連續(xù)的， 故f(x)＝x2－3x－18在區(qū)間[1，8]上存在零點(diǎn)． 法二：令f(x)＝0，得x2－3x－18＝0，

7、 ∴(x－6)(x＋3)＝0. ∵x＝6∈[1，8]，x＝－3[1，8]， ∴f(x)＝x2－3x－18在區(qū)間[1，8]上存在零點(diǎn)． 【答案】存在 【小結(jié)】確定函數(shù)f(x)的零點(diǎn)所在區(qū)間的2種常用方法： (1)定義法：使用零點(diǎn)存在性定理，函數(shù)y＝f(x)必須在區(qū)間[a，b]上是連續(xù)的，當(dāng)f(a)·f(b)<0時(shí)，函數(shù)在區(qū)間(a，b)內(nèi)至少有一個(gè)零點(diǎn)． (2)圖象法：若一個(gè)函數(shù)(或方程)由兩個(gè)初等函數(shù)的和(或差)構(gòu)成，則可考慮用圖象法求解，如f(x)＝g(x)－h(huán)(x)，作出y＝g(x)和y＝h(x)的圖象，其交點(diǎn)的橫坐標(biāo)即為函數(shù)f(x)的零點(diǎn)． 考點(diǎn)2　函數(shù)零點(diǎn)個(gè)數(shù)的判斷和求解

8、 (1)函數(shù)f＝2x－零點(diǎn)的個(gè)數(shù)為(　　) A．0 B．1 C．2 D．3 【解析】在同一直角坐標(biāo)系下，作出函數(shù)y＝2x和y＝的圖象，如圖所示． 函數(shù)f＝2x－的零點(diǎn)等價(jià)于2x＝的根，等價(jià)于函數(shù)y＝2x和y＝的交點(diǎn)． 由圖可知，有一個(gè)交點(diǎn)，所以有一個(gè)零點(diǎn)．故選B. 【答案】B (2)函數(shù)f(x)＝的零點(diǎn)個(gè)數(shù)是________． 【解析】當(dāng)x≤0時(shí)，f(x)＝x2－2， 令x2－2＝0，得x＝(舍)或x＝－， 即在區(qū)間(－∞，0]上，函數(shù)只有一個(gè)零點(diǎn)． 當(dāng)x>0時(shí)，f(x)＝2x－6＋ln x， 令2x－6＋ln x＝0，得ln x＝6－2x. 作出函數(shù)y＝l

9、n x與y＝6－2x在區(qū)間(0，＋∞)上的圖象， 則兩函數(shù)圖象只有一個(gè)交點(diǎn)，即函數(shù)f(x)＝2x－6＋ln x(x>0)只有一個(gè)零點(diǎn)． 綜上可知，函數(shù)f(x)的零點(diǎn)的個(gè)數(shù)是2. 【答案】2 【小結(jié)】判斷函數(shù)零點(diǎn)個(gè)數(shù)的3種方法： (1)解方程法：若對(duì)應(yīng)方程f(x)＝0可解時(shí)，通過解方程，則有幾個(gè)解就有幾個(gè)零點(diǎn)． (2)零點(diǎn)存在性定理法：利用定理不僅要判斷函數(shù)在區(qū)間[a，b]上是連續(xù)不斷的曲線，且f(a)·f(b)<0，還必須結(jié)合函數(shù)的圖象與性質(zhì)(如單調(diào)性、奇偶性、周期性、對(duì)稱性)才能確定函數(shù)有多少個(gè)零點(diǎn)． (3)數(shù)形結(jié)合法：轉(zhuǎn)化為兩個(gè)函數(shù)的圖象的交點(diǎn)個(gè)數(shù)問題．先畫出兩個(gè)函數(shù)的圖象，

10、看其交點(diǎn)的個(gè)數(shù)，其中交點(diǎn)的個(gè)數(shù)，就是函數(shù)零點(diǎn)的個(gè)數(shù)． 考點(diǎn)3　二次函數(shù)的零點(diǎn)問題 已知函數(shù)f＝ax2－2x＋1. (1)若函數(shù)f有兩個(gè)零點(diǎn)，求a的取值范圍； (2)若函數(shù)f在區(qū)間與上各有一個(gè)零點(diǎn)，求a的取值范圍． 【解析】(1)函數(shù)f有兩個(gè)零點(diǎn)，即方程ax2－2x＋1＝0有兩個(gè)不等實(shí)根， 令Δ>0，即4－4a>0，解得a<1， 又a≠0，所以a的取值范圍為∪. (2)若函數(shù)在區(qū)間與上各有一個(gè)零點(diǎn)， 由f的圖象可知，只需 即 解得

11、點(diǎn)的應(yīng)用 (1)已知函數(shù)f(x)＝ln x＋3x－8的零點(diǎn)x0∈，且b－a＝1(a，b∈N＋)，則a＋b＝(　　) A．5 B．4 C．3 D．2 【解析】因?yàn)閒(x)＝ln x＋3x－8，可得函數(shù)是(0，＋∞)上的增函數(shù)，而且f＝ln 2－2<0，f(3)＝ln 3＋1>0，即f(2)f(3)<0，所以函數(shù)有唯一的零點(diǎn)x0∈，且滿足題意，所以a＝2，b＝3，即a＋b＝5，故選A. 【答案】A (2)已知偶函數(shù)f滿足f(x)＝f(x－2)，且當(dāng)x∈時(shí)，f＝x2.若在區(qū)間內(nèi)，函數(shù)g＝f－loga有3個(gè)零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是__________． 【解析】由題意知函數(shù)f(x)

12、的周期為2，在區(qū)間[－1，3]內(nèi)函數(shù)g(x)＝f(x)－loga有3個(gè)零點(diǎn)等價(jià)于y＝f(x)的圖象與y＝loga的圖象在區(qū)間[－1，3]內(nèi)有3個(gè)交點(diǎn)，當(dāng)01且解得3

13、零點(diǎn)x1，x2，x3，則x1x2＋x2x3＋x1x3等于__________. 【解析】由圖(此處令a＞1，0＜a＜1同理可得)可得關(guān)于x的方程f＝t的解有兩個(gè)或三個(gè)(t＝1時(shí)有三個(gè)，t≠1時(shí)有兩個(gè))，所以關(guān)于t的方程t2＋bt＋c＝0只能有一個(gè)根t＝1(若有兩個(gè)根，則關(guān)于x的方程＋bf＋c＝0有四個(gè)或五個(gè)根)，由f＝1，可得x1，x2，x3的值分別為0，1，2，所以x1x2＋x2x3＋x1x3＝0×1＋1×2＋0×2＝2. 【答案】2 【小結(jié)】本題考查分段函數(shù)的圖象和解析式，函數(shù)零點(diǎn)與方程根之間的關(guān)系及數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用． 方 法 總 結(jié)　【p33】 1．解決一元二次方程根的

14、分布問題，先構(gòu)造二次函數(shù)，再作出符合根的分布的二次函數(shù)圖象，由圖象的直觀形象可得出符合根的分布的必要條件，進(jìn)而證明(或?qū)で?它也是其充要條件． 2．利用函數(shù)y＝f(x)的零點(diǎn)來研究方程f(x)＝0的根的分布情況，是數(shù)形結(jié)合的體現(xiàn)．此時(shí)，要構(gòu)造合理的函數(shù)，根據(jù)函數(shù)值的情況判斷其零點(diǎn)情況，但若要知道零點(diǎn)個(gè)數(shù)，還需結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性． 走 進(jìn) 高 考　　【p33】 1．(2018·江蘇)若函數(shù)f(x)＝2x3－ax2＋1(a∈R)在(0，＋∞)內(nèi)有且只有一個(gè)零點(diǎn)，則f(x)在[－1，1]上的最大值與最小值的和為__________． 【解析】f′(x)＝6x2－2ax＝2x(3x－a)(a∈R

15、)， 當(dāng)a≤0時(shí)，f′(x)>0在(0，＋∞)上恒成立， 則f(x)在(0，＋∞)上單調(diào)遞增， 又f(0)＝1，所以此時(shí)f(x)在(0，＋∞)內(nèi)無零點(diǎn)，不滿足題意． 當(dāng)a>0時(shí)，由f′(x)>0得x>，由f′(x)<0得00，f(x)單調(diào)遞增， 當(dāng)x∈(0，1)時(shí)，f′(x)<0，f(x)單調(diào)遞減， 則f(x)max＝f(0)＝1，f(－1)＝－4，f(1)＝0，則f(x)min＝－4， 所以f(x)在[－1，1]上的最大值與最小值的和為－3. 【答案】－3 - 6 -