（名師導(dǎo)學(xué)）2020版高考數(shù)學(xué)總復(fù)習(xí) 第二章 函數(shù) 第13講 函數(shù)與方程練習(xí) 理（含解析）新人教A版

《（名師導(dǎo)學(xué)）2020版高考數(shù)學(xué)總復(fù)習(xí) 第二章 函數(shù) 第13講 函數(shù)與方程練習(xí) 理（含解析）新人教A版》由會員分享，可在線閱讀，更多相關(guān)《（名師導(dǎo)學(xué)）2020版高考數(shù)學(xué)總復(fù)習(xí) 第二章 函數(shù) 第13講 函數(shù)與方程練習(xí) 理（含解析）新人教A版（19頁珍藏版）》請在裝配圖網(wǎng)上搜索。

1、第13講　函數(shù)與方程 夯實基礎(chǔ)　【p29】 【學(xué)習(xí)目標(biāo)】 1．結(jié)合二次函數(shù)的圖象，了解函數(shù)的零點與方程根的聯(lián)系，判斷根的存在性與根的個數(shù)． 2．利用函數(shù)的零點求解參數(shù)的取值范圍． 【基礎(chǔ)檢測】 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 1．函數(shù)f(x)＝ex＋x－4的零點所在的區(qū)間為(　　) A．(－1，0) B．(1，2) C．(0，1) D．(2，3) 【解析】因為y＝ex與y＝x－4都是單調(diào)遞增函數(shù)， 所以函數(shù)f(x)單調(diào)遞增， ∵f(1)＝e－3<0，f(2)＝e2－2>0， ∴f(1)f(2)<0， ∴由零點存在定理可得有且僅有一個零點x0∈(1，2

2、)． 【答案】B 2．下列圖象表示的函數(shù)中能用二分法求零點的是(　　) 【解析】A中函數(shù)沒有零點，因此不能用二分法求零點；B中函數(shù)的圖象不連續(xù)，因此不能用二分法求零點；D中函數(shù)在x軸下方?jīng)]有圖象，因此不能用二分法求零點，故選C. 【答案】C 3．函數(shù)f(x)＝2|x|－logx的零點個數(shù)為(　　) A．0 B．1 C．2 D．3 【解析】∵f(x)＝2|x|－logx的定義域為(0，＋∞)， ∴f(x)＝2|x|－logx＝2x－logx＝2x＋log2x. 又函數(shù)y＝2x和y＝log2x在(0，＋∞)上單調(diào)遞增， ∴f(x)＝2x＋log2x在(0，＋∞)上

3、單調(diào)遞增． 又f＝2＋log2 ＝2－2<0，f(1)＝2>0， 由零點存在性定理知函數(shù)f(x)在上有唯一零點． 【答案】B 4．設(shè)f(x)＝3ax－2a＋1，若存在x0∈(－1，1)，使f(x0)＝0，則實數(shù)a的取值范圍是(　　) A. B．(－∞，－1) C.∪ D. 【解析】∵f(x)＝ax－2a＋1， 所以函數(shù)有且只有一個零點， 若存在x0∈(－1，1)，使f(x0)＝0， 則f(－1)·f(1)<0， 即(－3a－2a＋1)·(3a－2a＋1)<0， 即(－5a＋1)·(a＋1)<0， 解得a<－1或a>， 故實數(shù)a的取值范圍是∪. 【答案】

4、C 5．已知函數(shù)f(x)＝若方程f(x)＝2有兩個解，則實數(shù)a的取值范圍是________． 【解析】當(dāng)x≥1時，令f(x)＝2，解得x＝e，所以方程f(x)＝2在[1，＋∞)上有一個解，則x<1時，只有一個解，令f(x)＝2，即x2－4x＋a－2＝0在x<1時，只有一個解， 即函數(shù)y＝x2－4x＋a－2在此區(qū)間內(nèi)只有一個零點． 因為函數(shù)對稱軸為x＝2，且圖象開口朝上，所以x<1時函數(shù)單調(diào)遞減， 所以根據(jù)函數(shù)性質(zhì)，當(dāng)x＝1時，函數(shù)值小于0，即1－4＋a－2<0，解得a<5. 【答案】(－∞，5) 【知識要點】 1．函數(shù)的零點 (1)函數(shù)零點的定義 對于函數(shù)y＝f(x)，我們

5、把使__f(x)＝0__的實數(shù)x叫做函數(shù)y＝f(x)的零點． (2)方程f(x)＝0有實數(shù)根?函數(shù)y＝f(x)的圖象與x軸有交點?函數(shù)y＝f(x)有__零點__． (3)函數(shù)零點的判定 如果函數(shù)y＝f(x)在區(qū)間[a，b]上的圖象是__連續(xù)不斷__的一條曲線，并且有__f(a)·f(b)<0__，那么，函數(shù)y＝f(x)在區(qū)間__(a，b)__內(nèi)有零點，即存在c∈(a，b)，使得f(c)＝0，這個c也就是方程f(x)＝0的根． 2．二次函數(shù)y＝f(x)＝ax2＋bx＋c(a>0)零點的分布 根的分布 (m

6、10. 即f(1)·f(2)<0，所以函數(shù)f(x)＝ln(x＋

7、1)－的零點所在的大致區(qū)間為(1，2)． 【答案】B (2)函數(shù)f(x)＝e－x－x的零點所在的區(qū)間為(　　) A. B. C. D. 【解析】函數(shù)f(x)＝e－x－x的圖象是連續(xù)的，且： f(－1)＝e1－(－1)＝e＋1>0， f＝e－＝＋>0， f(0)＝e0－0＝1>0， f＝e－－＝－>0， f(1)＝e－1－1＝－1<0， 由函數(shù)零點存在定理可得函數(shù)零點所在的區(qū)間為. 【答案】D (3)設(shè)函數(shù)y＝x3與y＝2x＋1的圖象的交點為，則x0所在的區(qū)間是(　　) A．(0，1) B．(1，2) C．(2，3) D．(3，4) 【解析】設(shè)f(x)＝x

8、3－2x－1，∵f＝1－2－1<0，f＝8－4－1>0，∴ff<0，所以函數(shù)在區(qū)間(1，2)內(nèi)有零點，即函數(shù)y＝x3與y＝2x＋1的圖象的交點橫坐標(biāo)x0所在的區(qū)間是. 【答案】B 【點評】函數(shù)零點的判定方法： (1)定義法：使用零點存在性定理，函數(shù)y＝f(x)必須在區(qū)間[a，b]上是連續(xù)的，當(dāng)f(a)·f(b)＜0時，函數(shù)在區(qū)間(a，b)內(nèi)至少有一個零點． (2)圖象法：若一個函數(shù)(或方程)由兩個初等函數(shù)的和(或差)構(gòu)成，則可考慮用圖象法求解，如f(x)＝g(x)－h(huán)(x)，作出y＝g(x)和y＝h(x)的圖象，其交點的橫坐標(biāo)即為函數(shù)f(x)的零點． 考點2　函數(shù)零點個數(shù)的判斷和求解

9、 (1)函數(shù)y＝(x－1)2－loga x(其中a>1)零點的個數(shù)是(　　) A．0 B．1 C．2 D．3 【解析】函數(shù)y＝(x－1)2－loga x(其中a>1)零點的個數(shù)就是y＝(x－1)2的圖象與y＝loga x(其中a>1)圖象交點個數(shù)，在同一坐標(biāo)系內(nèi)畫出y＝(x－1)2的圖象與y＝loga x(其中a>1)圖象，如圖，由圖可知，y＝(x－1)2的圖象與y＝loga x(其中a>1)圖象有兩個交點，所以函數(shù)y＝(x－1)2－loga x(其中a>1)零點的個數(shù)是2. 【答案】C (2)關(guān)于x的方程cos－lg|x|＝0的實數(shù)根個數(shù)為(　　) A．6 B．8

10、 C．10 D．12 【解析】cos－lg|x|＝0即cos＝lg|x|， 令y1＝cos，y2＝lg|x|， 如圖畫出y1，y2的圖象， 結(jié)合圖象可得y1與y2有10個交點， ∴方程cos－lg|x|＝0的實數(shù)根個數(shù)為10個． 【答案】C (3)已知以T＝4為周期的函數(shù)f(x)＝若方程f(x)＝mx恰有5個實數(shù)解，則正實數(shù)m的取值范圍是________． 【解析】因為當(dāng)x∈[－1，1]時，將函數(shù)y＝化為方程x2＋y2＝1(y≥0)，其圖象為半圓，如圖所示，同時在坐標(biāo)系中作出當(dāng)x∈(1，3]的圖象，再根據(jù)周期性作出函數(shù)其他部分的圖象如圖， 由圖易知直線y＝mx與第

11、二個半圓(x－4)2＋y2＝1(y≥0)相交，而與第二段折線無公共點時，方程恰有5個實數(shù)解，將y＝mx代入(x－4)2＋y2＝1得(1＋m2)x2－8x＋15＝0，令Δ＝64－60(1＋m2)>0，得m2<.又當(dāng)x＝6時，6m>1，m>，所以m∈. 【答案】 【點評】判斷函數(shù)零點個數(shù)的方法 (1)直接法：解方程f(x)＝0，方程有幾個解，函數(shù)f(x)就有幾個零點； (2)圖象法：畫出函數(shù)f(x)的圖象，函數(shù)f(x)的圖象與x軸的交點個數(shù)即為函數(shù)f(x)的零點個數(shù)； (3)將函數(shù)f(x)拆成兩個常見函數(shù)h(x)和g(x)的差，從而f(x)＝0?h(x)－g(x)＝0?h(x)＝g(x)

12、，則函數(shù)f(x)的零點個數(shù)即為函數(shù)y＝h(x)與函數(shù)y＝g(x)的圖象的交點個數(shù)； (4)二次函數(shù)的零點問題，通過相應(yīng)的二次方程的判別式Δ來判斷． 考點3　二次函數(shù)的零點問題 (1)已知f(x)是定義在R上的奇函數(shù)，當(dāng)x≥0時，f(x)＝x2－3x，則函數(shù)g(x)＝f(x)－x＋3的零點的集合為(　　) A．{1，3} B．{－3，－1，1，3} C．{2－，1，3} D．{－2－，1，3} 【解析】∵f(x)是定義在R上的奇函數(shù)， 當(dāng)x≥0時，f(x)＝x2－3x， 令x<0，則－x>0，∴f(－x)＝x2＋3x＝－f(x)， ∴f(x)＝－x2－3x， ∴f

13、(x)＝ ∵g(x)＝f(x)－x＋3， ∴g(x)＝ 令g(x)＝0， 當(dāng)x≥0時，x2－4x＋3＝0，解得x＝1或x＝3， 當(dāng)x＜0時，－x2－4x＋3＝0，解得x＝－2－， ∴函數(shù)g(x)＝f(x)－x＋3的零點的集合為{－2－，1，3}． 【答案】D (2)已知f(x)＝x2＋kx＋|x2－1|，若f(x)在(0，2)上有兩個不同的零點x1，x2，則k的取值范圍是________． 【解析】不妨設(shè)0

14、意； ∴0

15、D．c

16、∈(9，11)， ∴abc＝c∈(9，11)． 【答案】C (3)已知偶函數(shù)f(x)滿足f(x)－f(x＋2)＝0，且當(dāng)x∈[0，1]時，f(x)＝x·ex，若在區(qū)間[－1，3]內(nèi)，函數(shù)g(x)＝f(x)－kx－2k有且僅有3個零點，則實數(shù)k的取值范圍是________． 【解析】由題意，函數(shù)滿足f(x)－f(x＋2)＝0， 即f(x)＝f(x＋2)，即函數(shù)f(x)的周期為2， 當(dāng)x∈[0，1]時，f(x)＝x·ex，可得函數(shù)為單調(diào)遞增函數(shù)， 且f(0)＝0，f(1)＝e， 當(dāng)x∈[－1，0]時，f(x)＝f(－x)＝－x·e－x， 由g(x)＝f(x)－kx－2k＝0，

17、可得函數(shù)y＝f(x)與函數(shù)y＝k(x＋2)在[－1，3]上的圖象有且僅有3個交點， 由圖象可知當(dāng)x＝1時，f(1)＝e，當(dāng)x＝3時，f(3)＝f(1)＝e，即B(1，e)，C(3，e)， 當(dāng)直線y＝k(x＋2)經(jīng)過點B(1，e)時，此時兩個函數(shù)有2個交點，此時e＝3k，解得k＝， 當(dāng)直線y＝k(x＋2)經(jīng)過點C(3，e)時，此時兩個函數(shù)有4個交點，此時e＝5k，解得k＝， 所以要使得函數(shù)g(x)＝f(x)－kx－2k有且僅有3個零點， 則直線的斜率滿足＜k＜， 即實數(shù)k的取值范圍是. 【答案】 方 法 總 結(jié)　　【p30】 1．利用函數(shù)y＝f(x)的零點來研究方程f(x)

18、＝0的根的分布情況，是數(shù)形結(jié)合的體現(xiàn)．此時，要構(gòu)造合理的函數(shù)，根據(jù)函數(shù)值的情況判斷其零點情況，若要知道零點個數(shù)，還需結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性． 2．解決一元二次方程根的分布問題，先構(gòu)造二次函數(shù)，再作出符合根的分布的二次函數(shù)的圖象，由圖象直觀可得出符合根的分布的必要條件，進而證明(或?qū)で?它也是其充分條件． 走 進 高 考　　【p30】 1．(2018·全國卷Ⅰ)已知函數(shù)f(x)＝g(x)＝f(x)＋x＋a.若g(x)存在2個零點，則a的取值范圍是(　　) A．[－1，0) B．[0，＋∞) C．[－1，＋∞) D．[1，＋∞) 【解析】函數(shù)g(x)＝f(x)＋x＋a存在2個零點，即關(guān)于

19、x的方程f(x)＝－x－a有2個不同的實根，即函數(shù)f(x)的圖象與直線y＝－x－a有2個交點，作出直線y＝－x－a與函數(shù)f(x)的圖象，如圖所示， 由圖可知，－a≤1，解得a≥－1. 【答案】C 2．(2018·全國卷Ⅱ)已知函數(shù)f(x)＝ex－ax2. (1)若a＝1，證明：當(dāng)x≥0時，f(x)≥1； (2)若f(x)在(0，＋∞)只有一個零點，求a. 【解析】(1)當(dāng)a＝1時，f(x)≥1等價于(x2＋1)e－x－1≤0. 設(shè)函數(shù)g(x)＝(x2＋1)e－x－1， 則g′(x)＝－(x2－2x＋1)e－x＝－(x－1)2e－x. 當(dāng)x≠1時，g′(x)<0，所以g(x

20、)在(0，＋∞)單調(diào)遞減． 而g(0)＝0，故當(dāng)x≥0時，g(x)≤0，即f(x)≥1. (2)設(shè)函數(shù)h(x)＝1－ax2e－x. f(x)在(0，＋∞)只有一個零點當(dāng)且僅當(dāng)h(x)在(0，＋∞)只有一個零點． (ⅰ)當(dāng)a≤0時，h(x)>0，h(x)沒有零點； (ⅱ)當(dāng)a>0時，h′(x)＝ax(x－2)e－x. 當(dāng)x∈(0，2)時，h′(x)<0；當(dāng)x∈(2，＋∞)時，h′(x)>0. 所以h(x)在(0，2)單調(diào)遞減，在(2，＋∞)單調(diào)遞增． 故h(2)＝1－是h(x)在(0，＋∞)的最小值． ①若h(2)>0，即a<，h(x)在(0，＋∞)沒有零點； ②若h(2)＝

21、0，即a＝，h(x)在(0，＋∞)只有一個零點； ③若h(2)<0，即a>，由于h(0)＝1， 所以h(x)在(0，2)有一個零點， 由(1)知，當(dāng)x>0時，ex>x2， 所以h(4a)＝1－＝1－>1－＝1－>0. 故h(x)在(2，4a)有一個零點， 因此h(x)在(0，＋∞)有兩個零點． 綜上，f(x)在(0，＋∞)只有一個零點時，a＝. 考 點 集 訓(xùn)　　【p190】 A組題 1．函數(shù)f(x)＝ex＋x2－2在區(qū)間(－2，1)內(nèi)零點的個數(shù)為(　　) A．1 B．2 C．3 D．4 【解析】令ex＋x2－2＝0，得ex＝－x2＋2，畫出y＝ex，y＝－x2＋

22、2的圖象如下圖所示，由圖可知，圖象有兩個交點，故原函數(shù)有2個零點． 【答案】B 2．函數(shù)f(x)＝ln(－x)－x－2的零點所在區(qū)間為(　　) A．(－4，－3) B．(－3，－e) C．(－e，－2) D．(－2，－1) 【解析】f(－4)＝ln 4－>0，f(－3)＝ln 3－1>0，f(－e)＝－1＋<0，f(－2)＝ln 2－<0，f(－1)＝－<0由零點存在性定理，f(－3)f(－e)<0， 所以零點所在區(qū)間為(－3，－e)． 【答案】B 3．若方程x2＋ax＋a＝0的一根小于－2，另一根大于－2，則實數(shù)a的取值范圍是(　　) A. B. C.

23、 D.∪ 【解析】令f＝x2＋ax＋a， 方程x2＋ax＋a＝0的一根小于－2，另一根大于－2， 則f＝4－2a＋a＝4－a<0，解得a>4. 【答案】A 4．已知函數(shù)f(x)＝2x＋x，g(x)＝log3x＋x，h(x)＝x－的零點依次為a，b，c，則(　　) A．a(chǎn)＜b＜c B．c＜b＜a C．c＜a＜b D．b＜a＜c 【解析】在同一平面直角坐標(biāo)系下分別畫出函數(shù)y＝2x，y＝log3x，y＝－，y＝－x的圖象，如圖，觀察它們與y＝－x的交點可知a＜b＜c. 【答案】A 5．已知函數(shù)f(x)＝若函數(shù)f(x)＝a在R上有三個不同的零點，則實數(shù)a的取值范圍是____

24、____． 【解析】函數(shù)f(x)在(－∞，0)上遞減，在(0，2)和[2，＋∞)上遞增，如圖，f(2)＝22－5＝－1，作直線y＝a，它與f(x)的圖象有三個交點，則－1≤a＜ln 2. 【答案】[－1，ln 2) 6．函數(shù)f(x)＝sin－lg x的零點個數(shù)為________． 【解析】函數(shù)f(x)＝sin－lg x的零點個數(shù)， 就是y＝lg x與y＝cos 2x圖象交點個數(shù)， 同一坐標(biāo)系內(nèi)作出y＝lg x與y＝cos 2x圖象，如圖． 由圖可知lg x與y＝cos 2x圖象有7個交點， 所以函數(shù)f(x)＝sin－lg x的零點個數(shù)為7. 【答案】7 7．已知函數(shù)

25、y＝的圖象與函數(shù)y＝kx－2的圖象恰有兩個交點，則實數(shù)k的取值范圍是______________． 【解析】y＝＝＝ 函數(shù)y＝kx－2的圖象恒過點(0，－2)， 在同一個坐標(biāo)系下畫出函數(shù)y＝的圖象與函數(shù)y＝kx－2的圖象， 結(jié)合圖象可知實數(shù)k的取值范圍是(0，1)∪(1，4)． 【答案】(0，1)∪(1，4) 8．已知函數(shù)f(x)＝g(x)＝f(x)－a. (1)若函數(shù)g(x)恰有兩個不相同的零點，求實數(shù)a的值； (2)記S(a)為函數(shù)g(x)的所有零點之和，當(dāng)－1＜a＜2時，求S(a)的取值范圍． 【解析】(1)由g(x)＝0得f(x)＝a，函數(shù)g(x)有兩不同的零點等

26、價于函數(shù)f(x)的圖象與直線y＝a有兩不同的交點，在同一坐標(biāo)系中，作函數(shù)f(x)和直線y＝a的圖象． 如圖所示： 由圖可知，當(dāng)且僅當(dāng)a＝－1時，直線y＝a與函數(shù)f(x)的圖象有兩不同的交點， 即函數(shù)g(x)有兩不同的零點，∴實數(shù)a＝－1. (2)當(dāng)－1＜a＜2時，由(1)圖可知，函數(shù)g(x)有四個不等的零點，從小到大依次設(shè)為x1，x2，x3，x4， 則x1＝a－2，x2＝log2(a＋2)， ∵x>2時，f(x)＝|x－5|－1的圖象關(guān)于直線x＝5對稱， ∴x3＋x4＝10， ∴S(a)＝log2(a＋2)＋a＋8，當(dāng)－1＜a＜2時，函數(shù)S(a)為增函數(shù)． ∴7

27、(a＋2)＋a＋8<12，∴S(a)的取值范圍是(7，12)． B組題 1．若a

28、＝(a>0，a≠1)，若x1≠x2，且f(x1)＝f(x2)，則x1＋x2的值(　　) A．恒小于2 B．恒大于2 C．恒等于2 D．與a相關(guān) 【解析】設(shè)f(x1)＝f(x2)＝t，不妨設(shè)－1at＋1－a， 所以x1＋x2>2. 若a>1，則y＝ax為增函數(shù)，且t>t＋1－a?at>at＋1－a， 所以x1＋x2>2，所以x1＋x2

29、的值恒大于2. 【答案】B 3．已知a＞1，設(shè)函數(shù)f(x)＝ax＋x－4的零點為m，g(x)＝logax＋x－4的零點為n，則mn的最大值為________． 【解析】由f(x)＝ax＋x－4＝0，得ax＝4－x，函數(shù)f(x)＝ax＋x－4的零點為m， 即y＝ax與y＝4－x的圖象相交于點(m，4－m)； 由g(x)＝logax＋x－4＝0，得logax＝4－x， 函數(shù)g(x)＝logax＋x－4的零點為n， 即y＝logax與y＝4－x的圖象相交于點(n，4－n)． 因為y＝ax，y＝logax互為反函數(shù)，則(m，4－m)與(n，4－n)關(guān)于直線y＝x對稱， 所以m＝4－n

30、，即m＋n＝4，且m＞0，n＞0. 由mn≤＝4，當(dāng)且僅當(dāng)m＝n＝2時“＝”成立， 所以mn的最大值為4. 【答案】4 4．已知函數(shù)f＝a＋. (1)若對任意的x∈∪，都有f≤ax＋＋a，求實數(shù)a的取值范圍； (2)若函數(shù)f有且僅有4個零點，求實數(shù)a的取值范圍． 【解析】(1)由題意知，a＋≤ax＋＋a在∪上恒成立， 即a≤－在∪上恒成立． ①當(dāng)x>0時，a≤＝＝－， 因為當(dāng)x＝2時，y＝－取得最小值－， 所以a≤－； ②當(dāng)x＝－1時，a×0≤0恒成立； ③當(dāng)－1

31、范圍是. (2)當(dāng)a＝0時，f＝，有唯一零點0，不符合題意； 當(dāng)a≠0時，f＝ ①若a>0，則－<0，所以f在上單調(diào)遞增，則f≥f＝a>0， 因此f在內(nèi)無零點， 而f在內(nèi)最多有兩個零點，不符合題意； ②若a<0，則－<0，所以f在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減， 而f＝>0，f＝a<0， 所以f在內(nèi)有兩個零點， 若a≤－，則－≤0， 所以f在上單調(diào)遞減，又f＝a<0， 此時f在內(nèi)無零點，不符合題意； 若－0， 所以f在上單調(diào)遞增， 在上單調(diào)遞減， 要使f在內(nèi)有兩個零點， 則f＝－>0， 即4a＋1>0，故－