統(tǒng)計(jì)學(xué)習(xí)題答案 抽樣與抽樣分布

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1、第4章 抽樣與抽樣分布——練習(xí)題(全免) 1. 一種具有個(gè)觀測(cè)值的隨機(jī)樣本抽自于均值等于20、原則差等于16的總體。 ⑴ 給出的抽樣分布（反復(fù)抽樣）的均值和原則差 ⑵ 描述的抽樣分布的形狀。你的回答依賴(lài)于樣本容量嗎？ ⑶ 計(jì)算原則正態(tài)記錄量相應(yīng)于的值。 ⑷ 計(jì)算原則正態(tài)記錄量相應(yīng)于的值。 解: 已知 n=64，為大樣本，μ=20，σ=16， ⑴在反復(fù)抽樣狀況下，的抽樣分布的均值為 a. 20, 2 b. 近似正態(tài) c. -2.25 d. 1.50 2 . 參照練習(xí)4.1求概率。 ⑴<16； ⑵>23；

2、⑶>25； ⑷.落在16和22之間； ⑸<14。 解: a. 0.0228 b. 0.0668 c. 0.0062 d. 0.8185 e. 0.0013 3. 一種具有個(gè)觀測(cè)值的隨機(jī)樣本選自于、的總體。試求下列概率的近似值： 解: a. 0.8944 b. 0.0228 c. 0.1292 d. 0.9699 4. 一種具有個(gè)觀測(cè)值的隨機(jī)樣本選自于和的總體。 ⑴ 你估計(jì)的最大值和最小值是什么？ ⑵ 你覺(jué)得至多偏離多么遠(yuǎn)？ ⑶ 為了回答b你必須要懂得嗎？請(qǐng)解釋。 解:a. 101, 99 b. 1 c

3、. 不必 5. 考慮一種涉及的值等于0，1，2，…，97，98，99的總體。假設(shè)的取值的也許性是相似的。則運(yùn)用計(jì)算機(jī)對(duì)下面的每一種值產(chǎn)生500個(gè)隨機(jī)樣本，并對(duì)于每一種樣本計(jì)算。對(duì)于每一種樣本容量，構(gòu)造的500個(gè)值的相對(duì)頻率直方圖。當(dāng)值增長(zhǎng)時(shí)在直方圖上會(huì)發(fā)生什么變化？存在什么相似性？這里和。 解:趨向正態(tài) 6. 美國(guó)汽車(chē)聯(lián)合會(huì)（AAA）是一種擁有90個(gè)俱樂(lè)部的非營(yíng)利聯(lián)盟，它對(duì)其成員提供旅行、金融、保險(xiǎn)以及與汽車(chē)有關(guān)的各項(xiàng)服務(wù)。1999年5月，AAA通過(guò)對(duì)會(huì)員調(diào)查得知一種4口之家出游中平均每日餐飲和住宿費(fèi)用大概是213美元（《旅行新聞》Travel News，1999年5月11日）

4、。假設(shè)這個(gè)耗費(fèi)的原則差是15美元，并且AAA所報(bào)道的平均每日消費(fèi)是總體均值。又假設(shè)選用49個(gè)4口之家，并對(duì)其在1999年6月期間的旅行費(fèi)用進(jìn)行記錄。 ⑴ 描述（樣本家庭平均每日餐飲和住宿的消費(fèi)）的抽樣分布。特別闡明服從如何的分布以及的均值和方差是什么？證明你的回答； ⑵ 對(duì)于樣本家庭來(lái)說(shuō)平均每日消費(fèi)不小于213美元的概率是什么？不小于217美元的概率呢？在209美元和217美元之間的概率呢？ 解： a. 正態(tài)分布, 213, 4.5918 b. 0.5, 0.031, 0.938 7. 技術(shù)人員對(duì)奶粉裝袋過(guò)程進(jìn)行了質(zhì)量檢查。每袋的平均重量原則為克、原則差為克。監(jiān)控這一過(guò)程

5、的技術(shù)人者每天隨機(jī)地抽取36袋，并對(duì)每袋重量進(jìn)行測(cè)量?，F(xiàn)考慮這36袋奶粉所構(gòu)成樣本的平均重量。 （1）描述的抽樣分布，并給出和的值，以及概率分布的形狀； （3） 假設(shè)某一天技術(shù)人員觀測(cè)到，這與否意味著裝袋過(guò)程浮現(xiàn)問(wèn)題了呢，為什么？ 解： a. 406, 1.68, 正態(tài)分布 b. 0.001 c. 是，由于小概率浮現(xiàn)了 8. 在本章的記錄實(shí)踐中，某投資者考慮將1000美元投資于種不同的股票。每一種股票月收益率的均值為，原則差。對(duì)于這五種股票的投資組合，投資者每月的收益率是。投資者的每月收益率的方差是，它是投資者所面臨風(fēng)險(xiǎn)的一種度量。 ⑴ 如果投資者將1000美元僅投

6、資于這5種股票的其中3種，則這個(gè)投資者所面對(duì)的風(fēng)險(xiǎn)將會(huì)增長(zhǎng)還是減少？請(qǐng)解釋?zhuān)? ⑵ 假設(shè)將1000美元投資在此外10種收益率與上述的完全同樣的股票，試度量其風(fēng)險(xiǎn)，并與只投資5種股票的情形進(jìn)行比較。 解：a. 增長(zhǎng) b. 減少 9. 某制造商為擊劍運(yùn)動(dòng)員生產(chǎn)安全夾克，這些夾克是以劍鋒刺入其中時(shí)所需的最小力量（以牛頓為單位）來(lái)定級(jí)的。如果生產(chǎn)工藝操作對(duì)的，則她生產(chǎn)的夾克級(jí)別應(yīng)平均840牛頓，原則差15牛頓。國(guó)際擊劍管理組織（FIE）但愿這些夾克的最低檔別不不不小于800牛頓。為了檢查其生產(chǎn)過(guò)程與否正常，某檢查人員從生產(chǎn)過(guò)程中抽取了50個(gè)夾克作為一種隨機(jī)樣本進(jìn)行定級(jí)，并計(jì)算，即該樣本中夾

7、克級(jí)別的均值。她假設(shè)這個(gè)過(guò)程的原則差是固定的，但是緊張級(jí)別均值也許已經(jīng)發(fā)生變化。 ⑴ 如果該生產(chǎn)過(guò)程仍舊正常，則的樣本分布為什么？ ⑵ 假設(shè)這個(gè)檢查人員所抽取樣本的級(jí)別均值為830牛頓，則如果生產(chǎn)過(guò)程正常的話，樣本均值≤830牛頓的概率是多少？ ⑶ 在檢查人員假定生產(chǎn)過(guò)程的原則差固定不變時(shí)，你對(duì)b部分有關(guān)目前生產(chǎn)過(guò)程的現(xiàn)狀有何見(jiàn)解（即夾克級(jí)別均值與否仍為840牛頓）？ ⑷ 目前假設(shè)該生產(chǎn)過(guò)程的均值沒(méi)有變化，但是過(guò)程的原則差從15牛頓增長(zhǎng)到了45牛頓。在這種狀況下的抽樣分布是什么？當(dāng)具有這種分布時(shí)，則≤830牛頓的概率是多少？ 解： a. 正態(tài) b. 約等于0 c. 不正常 d

8、. 正態(tài), 0.06 10. 在任何生產(chǎn)過(guò)程中，產(chǎn)品質(zhì)量的波動(dòng)都是不可避免的。產(chǎn)品質(zhì)量的變化可被提成兩類(lèi)：由于特殊因素所引起的變化（例如，某一特定的機(jī)器），以及由于共同的因素所引起的變化（例如，產(chǎn)品的設(shè)計(jì)很差）。 一種清除了質(zhì)量變化的所有特殊因素的生產(chǎn)過(guò)程被稱(chēng)為是穩(wěn)定的或者是在記錄控制中的。剩余的變化只是簡(jiǎn)樸的隨機(jī)變化。如果隨機(jī)變化太大，則管理部門(mén)不能接受，但只要消除變化的共同因素，便可減少變化（Deming,1982,1986;De Vor, Chang,和Sutherland,1992）。 一般的做法是將產(chǎn)品質(zhì)量的特性繪制到控制圖上，然后觀測(cè)這些數(shù)值隨時(shí)間如何變動(dòng)。例如，為了

9、控制肥皂中堿的數(shù)量，可以每小時(shí)從生產(chǎn)線中隨機(jī)地抽選塊實(shí)驗(yàn)肥皂作為樣本，并測(cè)量其堿的數(shù)量，不同步間的樣本含堿量的均值描繪在下圖中。假設(shè)這個(gè)過(guò)程是在記錄控制中的，則的分布將具有過(guò)程的均值，原則差具有過(guò)程的原則差除以樣本容量的平方根，。下面的控制圖中水平線表達(dá)過(guò)程均值，兩條線稱(chēng)為控制極限度，位于的上下3的位置。如果落在界線的外面，則有充足的理由闡明目前存在變化的特殊因素，這個(gè)過(guò)程一定是失控的。 當(dāng)生產(chǎn)過(guò)程是在記錄控制中時(shí)，肥皂實(shí)驗(yàn)樣本中堿的比例將服從和的近似的正態(tài)分布。 ⑴ 假設(shè)則上下控制極限應(yīng)距離多么遠(yuǎn)？ ⑵ 如果這個(gè)過(guò)程是在控制中，則落在控制極限之外的概率是多少？ ⑶

10、 假設(shè)抽取樣本之前，過(guò)程均值移動(dòng)到，則由樣本得出這個(gè)過(guò)程失控的（對(duì)的的）結(jié)論的概率是多少？ 解：a. 0.015 b. 0.0026 c. 0.1587 4.11. 參照練習(xí)4.10。肥皂公司決定設(shè)立比練習(xí)4.10中所述的這一限度更為嚴(yán)格的控制極限。特別地，當(dāng)加工過(guò)程在控制中時(shí)，公司樂(lè)意接受落在控制極限外面的概率是0.10。 ⑴ 若公司仍想將控制極限度設(shè)在與均值的上下距離相等之處，并且仍籌劃在每小時(shí)的樣本中使用個(gè)觀測(cè)值，則控制極限應(yīng)當(dāng)設(shè)定在哪里？ ⑵ 假設(shè)a部分中的控制極限已付諸實(shí)行，但是公司不懂得，目前是3%（而不是2%）。若，則落在控制極限外面的概率是多少？若呢？ 解

11、： a. (0.012, 0.028) b. 0.6553, 0.7278 4.12. 參照練習(xí)4.11。為了改善控制圖的敏感性，有時(shí)將警戒線與控制極限一起畫(huà)在圖上。警戒限一般被設(shè)定為。如果有兩個(gè)持續(xù)的數(shù)據(jù)點(diǎn)落在警戒限之外，則這個(gè)過(guò)程一定是失控的（蒙哥馬利，1991年）。 ⑴ 假設(shè)肥皂加工過(guò)程是在控制中（即，它遵循和的正態(tài)分布），則的下一種值落在警戒限之外的概率是什么？ ⑵ 假設(shè)肥皂加工過(guò)程是在控制中，則你預(yù)料到畫(huà)在控制圖上的的這40個(gè)值中有多少個(gè)點(diǎn)落在上控制極限以上？ ⑶ 假設(shè)肥皂加工過(guò)程是在控制中，則的兩個(gè)將來(lái)數(shù)值落在下警戒線如下的概率是多少？ 解： a. 0.05 b. 1 c. 0.000625