蘇教版高三數(shù)學復習課件橢圓.ppt

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掌握橢圓的定義、標準方程、幾何圖形及簡單性質(zhì)．,第6課時橢圓,【命題預測】,1．本講主要考查橢圓的基本概念和性質(zhì)，用待定系數(shù)法求橢圓方程，橢圓第一、二定義的綜合運用，橢圓中各量的計算，關(guān)于離心率e的題目為熱點問題，各種題型均有考查，屬中檔題．2．考綱要求掌握橢圓的定義、標準方程和橢圓的簡單幾何性質(zhì)，所以，近幾年的高考試題一直在客觀題中考查定義、性質(zhì)的理解和運用，在解答題中考查軌跡問題和直線與橢圓的位置關(guān)系．,3．在解析幾何與向量的交匯處設計高考題，是近年來高考中一個新的亮點，主要考查：(1)將向量作為工具解答橢圓問題；(2)以解析幾何為載體，將向量作為條件融入題設條件中．4．利用數(shù)形結(jié)合法或?qū)⑺鼈兊姆匠探M成的方程組轉(zhuǎn)化為一元二次方程，利用判別式、根與系數(shù)關(guān)系來求解或證明直線與圓錐曲線的位置關(guān)系問題．,【應試對策】,率e確定橢圓的形狀，焦點到對應準線的距離p確定橢圓的大?。⒁饨裹c在x軸和y軸上對應的橢圓方程的區(qū)別和聯(lián)系．涉及橢圓上的點到兩個焦點的距離問題，常常要注意運用第一定義，而涉及橢圓上的點到某一焦點的距離，常常用橢圓的第二定義．對于后者，需要注意的是焦點與準線的正確對應，不能弄錯．,1．在運用橢圓的兩種定義解題時，一定要注意隱含條件a>c，離心,問題；準確把握橢圓標準方程的結(jié)構(gòu)特征以及“標準”的含義；要能從橢圓標準方程中讀出幾何性質(zhì)，能夠利用標準方程解決問題．橢圓的幾何性質(zhì)是需要重點掌握的內(nèi)容，要能夠熟練運用其幾何性質(zhì)來分析和解決問題．特別是橢圓的離心率，作為橢圓的幾何性質(zhì)之一，是高考的熱點．,2．考綱要求掌握橢圓的定義和標準方程，靈活運用橢圓的定義來解決,得到一個關(guān)于x(或y)的一元二次方程，再求判別式或應用根與系數(shù)關(guān)系解題．由判別式可以得到字母關(guān)系的范圍；利用根與系數(shù)關(guān)系、數(shù)形結(jié)合的思想和“設而不求”的方法可以解決中點弦或弦的垂直等問題．橢圓在解答題的考查中計算量比較大，要有簡化運算的意識：可先運算字母關(guān)系，最后代入數(shù)值，這樣做可減少運算錯誤，提高運算的準確性．,3．解決直線與橢圓問題的通法是：將直線和橢圓的方程聯(lián)立、消元，,4．由于平面向量具有“雙重性”，與平面解析幾何在本質(zhì)上有密切的聯(lián)，因此，在解答此類問題時，要充分抓住垂直、平行、長度、夾角的關(guān)系，將向量的表達形式轉(zhuǎn)化為坐標形式．,【知識拓展】,焦點三角形橢圓上的點P(x0，y0)與兩焦點構(gòu)成的三角形PF1F2稱作焦點三角形，如圖，∠F1PF2＝θ.(1)θ=arccos當r1=r2時，即P為短軸端點時，θ最大，且θmax=arccos(2)＝當|y0|＝b，即P為短軸端點時，S△PF1F2最大，且最大值為bc.,2．焦點弦(過焦點的弦)AB為橢圓(a>b>c)的焦點弦，A(x1，y1)，B(x2，y2)，弦中點M(x0，y0)．則弦長l＝2ae(x1＋x2)＝2a2ex0,通徑最短lmin＝,1．橢圓的定義(1)平面內(nèi)的動點的軌跡是橢圓必須滿足的兩個條件：①到兩個定點F1、F2的距離的等于常數(shù)2a(a>0)．②2aF1F2.(2)上述橢圓的焦點是，橢圓的焦距是.思考：當2a＝F1F2時動點的軌跡是什么圖形？提示：當2a＝F1F2時，動點的軌跡是線段F1F2.,和,＞,F1、F2,F1F2,2．橢圓的標準方程和幾何性質(zhì),,,,－a,－b,,,－a,－b,,a,,b,b,a,,(－a,0),,(a,0),(0，－b),,(0，b),(0，－a),,(0，a),(－b,0),,(b,0),,2c,,(0,1),,a2－b2,探究：橢圓的離心率的大小與橢圓的扁平程度有怎樣的關(guān)系？提示：離心率越接近1，橢圓越扁，離心率越接近0，橢圓就越接近于圓．,＝0的點M總在橢圓內(nèi)部，則橢圓離心率的取值范圍是________．答案：,1．(2010東臺中學高三診斷)已知F1、F2是橢圓的兩個焦點，滿足,2．已知橢圓的方程是＝1(a>5)，它的兩個焦點分別為F1、F2，,且F1F2＝8，弦AB過F1，則△ABF2的周長為________．解析：∵a>5，∴橢圓的焦點在x軸上．∴a2－25＝42，a＝.由橢圓的定義知△ABF2的周長為4a＝4答案：4,3．中心在原點，焦點在x軸上，若長軸長為18，且兩個焦點恰好將,長軸三等分，則此橢圓的方程是__________________．解析：∵2a＝18,2c＝2a＝6，∴a＝9，c＝3，b2＝81－9＝72.答案：,4．(揚州市高三期末調(diào)研)已知F1、F2是橢圓,的左、右焦點，弦AB過F1，若△ABF2的周長為8，則橢圓的離心率為________．解析：由題意知，△ABF2的周長為8，根據(jù)橢圓定義得4a＝8，即a＝2.又c2＝a2－b2＝1，所以橢圓的離心率e＝答案：,5．橢圓上有一點P到左準線的距離為那么P到右焦點的距離為________．,解析：a＝5，b＝3，∴c＝4，e＝答案：8,∴PF2＝10－2＝8.,求橢圓的標準方程主要有定義法、待定系數(shù)法，有時還可根據(jù)條件用代入法．用待定系數(shù)法求橢圓方程的一般步驟是：(1)作判斷：根據(jù)條件判斷橢圓的焦點在x軸上，還是在y軸上，還是兩個坐標軸都有能．(2)設方程：根據(jù)上述判斷設方程(a>b>0)或(a>b>0)或mx2＋ny2＝1.(3)找關(guān)系：根據(jù)已知條件，建立關(guān)于a、b、c的方程組．(4)得方程：解方程組，將解代入所設方程，即為所求．,【例1】(江蘇南通調(diào)研題)一動圓與已知圓O1：(x＋3)2＋y2＝1外切，與圓O2：(x－3)2＋y2＝81內(nèi)切，試求動圓圓心的軌跡方程．思路點撥：兩圓相切，圓心之間的距離與圓半徑有關(guān)，據(jù)此可以找到動圓圓心滿足的條件．,解：由已知，兩定圓的圓心和半徑分別是O1(－3,0)，r1＝1；O2(3,0)，r2＝9.設動圓圓心為M(x，y)，半徑為R，則由題設條件，可知MO1＝1＋R，MO2＝9－R.∴MO1＋MO2＝10.由橢圓的定義知：M在以O1、O2為焦點的橢圓上，且a＝5，c＝3，b2＝a2－c2＝25－9＝16.故動圓圓心的軌跡方程為,變式1：已知圓A：(x＋3)2＋y2＝100，圓A內(nèi)一定點B(3,0)，動圓P過B點且與圓A內(nèi)切，求圓心P的軌跡方程.,解：設|PB|＝r.∵圓P與圓A內(nèi)切，圓A的半徑為10，∴兩圓的圓心距PA＝10－r，即PA＋PB＝10(大于AB)．∴點P的軌跡是以A、B兩點為焦點的橢圓．∴2a＝10,2c＝AB＝6.∴a＝5，c＝3.∴b2＝a2－c2＝25－9＝16，即點P的軌跡方程為,1．橢圓的性質(zhì)常涉及一些不等關(guān)系，例如對橢圓(a＞b＞0)，,有－a≤x≤a，－b≤y≤b,00)上任意一點，F(xiàn)1為其左焦點．,(1)求|PF1|的最小值和最大值；(2)在橢圓,上求一點P，使這點與橢圓兩焦點的連線互相垂直．,思路點撥：用x0，a，e表示PF1，(1)利用PF1與x0，a，e之間的關(guān)系求最值；(2)用PF1、PF2與x0，a，e之間的關(guān)系及勾股定理列出x0，a，e的方程，并求x0.,解：(1)對應于F1的準線方程為x＝－∴PF1＝a＋ex0.又－a≤x0≤a，∴當x0＝－a時，PF1min＝a＋當x0＝a時，PF1max＝a＋(2)∵a2＝25，b2＝5，∴c2＝20，e2＝∵∴(a＋ex0)2＋(a－ex0)2＝4c2.將數(shù)據(jù)代入得25＋代入橢圓方程得P點的坐標為,變式3：已知點P在橢圓＝1(a>b>0)上，F(xiàn)1、F2為橢圓的兩個焦點，,求PF1PF2的取值范圍．解：設P(x0，y0)，橢圓的準線方程為y＝不妨設F1、F2分別為下焦點、上焦點，則PF2＝a－∴PF1PF2＝∴當y0＝0時，PF1PF2最大，最大值為a2；當y0＝a時，PF1PF2最小，最小值為a2－c2＝b2.因此，PF1PF2的取值范圍是[b2，a2]．,y0＋a，,∵－a≤y0≤a，,1．直線與橢圓位置關(guān)系的判定把橢圓方程＝1(a>b>0)與直線方程y＝kx＋b聯(lián)立消去y，整理成形如Ax2＋Bx＋C＝0的形式，對此一元二次方程有：(1)Δ>0，直線與橢圓相交，有兩個公共點．(2)Δ＝0，直線與橢圓相切，有一個公共點．(3)Δb>0)的兩個焦點為F1，F(xiàn)2，點P在橢圓C上，且PF1⊥F1F2，PF1＝(1)求橢圓C的方程；(2)若直線l過圓x2＋y2＋4x－2y＝0的圓心M，交橢圓C于A，B兩點，且A，B關(guān)于點M對稱，求直線l的方程．,思路點撥：(1)可根據(jù)橢圓定義來求橢圓方程；(2)解法一：設斜率為k，表示出直線方程，然后與橢圓方程聯(lián)立，利用根與系數(shù)的關(guān)系及中點坐標公式求解；解法二：設出A、B兩點坐標，代入橢圓方程，作差變形，利用中點坐標公式及斜率求解(即點差法)．,解：(1)因為點P在橢圓C上，所以2a＝PF1＋PF2＝6，a＝3.在Rt△PF1F2中，F(xiàn)1F2＝故橢圓的半焦距c＝從而b2＝a2－c2＝4，所以橢圓C的方程為(2)設點A，B的坐標分別為(x1，y1)，(x2，y2)．已知圓的方程為(x＋2)2＋(y－1)2＝5，所以圓心M的坐標為(－2,1)，從而可設直線l的方程為：y＝k(x＋2)＋1，代入橢圓C的方程得：(4＋9k2)x2＋(36k2＋18k)x＋36k2＋36k－27＝0.因為A，B關(guān)于點M對稱，所以＝－2，解得k＝,所以直線l的方程為y＝(x＋2)＋1，即8x－9y＋25＝0.(經(jīng)檢驗，所求直線方程符合題意),變式4：斜率為1的直線l與橢圓＋y2＝1相交于A、B兩點，則AB的最大值為________．,,解析：設橢圓截直線于A(x1，y1)，B(x2，y2)兩點，由消去y，得5x2＋8tx＋4(t2－1)＝0.則有x1＋x2＝－t，x1x2＝.∴AB＝|x1－x2|＝＝，當t＝0時，|AB|max＝,2．(1)如果已知橢圓＋＝1(a>b>0)上一點P，需要解決有關(guān)△PF1F2的問題，由于在△PF1F2中已知F1F2＝2c，PF1＋PF2＝2a，如果再給出一個條件，△PF1F2可解．(2)當然如果涉及到橢圓上點到焦點的距離，也可考慮由＝和方程推出的結(jié)論——焦半徑公式PF1＝a＋ex0，PF2＝a－ex0.,【規(guī)律方法總結(jié)】,1．求橢圓方程：(1)可通過對條件的“量化”根據(jù)兩個條件利用待定系數(shù)法求橢圓的標準方程；(2)可利用求軌跡方程的方法求橢圓方程．,,3．在掌握橢圓簡單幾何性質(zhì)的基礎上，能對橢圓性質(zhì)有更多的了解，如(1)a＋c與a－c分別為橢圓上點到焦點距離的最大值和最小值；(2)橢圓的通徑(過焦點垂直于長軸的弦)長，是過橢圓焦點的直線被橢圓所截得的弦長的最小值等．,4．求橢圓的離心率e＝，可根據(jù)已知條件列出一個關(guān)于a、b、c的齊次等式，再結(jié)合a2＝b2＋c2可得關(guān)于e的方程求解，求橢圓的離心率與求橢圓的標準方程相比較，比求橢圓的標準方程少一個條件.,【例5】(2009重慶卷)已知橢圓＋＝1(a>b>0)的左、右焦點分別為F1(－c,0)、F2(c,0)，若橢圓上存在點P使＝，則該橢圓的離心率的取值范圍為________．,分析：在△PF1F2中根據(jù)正弦定理建立關(guān)系式和已知條件比較尋找關(guān)于離心率e的不等式．,【高考真題】,規(guī)范解答：根據(jù)已知條件∠PF1F2，∠PF2F1都不等于0，即點P不是橢圓的左、右頂點，故P，F(xiàn)1，F(xiàn)2構(gòu)成三角形．在△PF1F2中，由正弦定理得＝，則由已知得，即aPF1＝cPF2.設點P(x0，y0)，由焦點半徑公式，得PF1＝a＋ex0，PF2＝a－ex0，則a(a＋ex0)＝c(a－ex0)．得x0＝，由橢圓的幾何性質(zhì)知x0>－a，則－a，,整理得e2＋2e－1>0，解得e－1.又e∈(0,1)，故橢圓的離心率e∈(－1,1)．故填(－1,1)．答案：(－1,1),【全解密】,本題考查橢圓的定義、橢圓的簡單幾何性質(zhì)、正弦定理等基礎知識，但試題的核心考查點是分析問題、解決問題的能力，試題給出的實際上是給出了這個橢圓上點P到左、右焦點的兩條焦半徑之間的一個等量關(guān)系，要求考生根據(jù)這個等量關(guān)系建立關(guān)于離心率的不等式，對能力有較高的要求．試題設計新穎，是一道值得仔細品味的試題．,【命題探究】,橢圓的焦點半徑,果在橢圓C：＋＝1(a>b>0)中，點P(x0，y0)，F(xiàn)1，F(xiàn)2分別為左、右焦點，則PF1＝a＋ex0，PF2＝a－ex0，F(xiàn)1F2＝2c，e為橢圓的離心率，其證明過程如下：由于＝1，故，根據(jù)兩點間的距離公式PF1＝=又由于－a≤x0≤a，所以00，從而可求出離心率e的范圍．,【誤點警示】,本題易出現(xiàn)的一個致命的錯誤就是忽視了隱含條件“∠PF1F2，∠PF2F1都不能等于0”，這樣會導致在最后的答案中含有離心率等于－1.解答數(shù)學題目要注意對隱含條件的挖掘，確保答案準確無誤，特別是解答選擇題和填空題尤為如此.,1．已知橢圓x2＋＝1和直線y＝2x＋m恒有兩個不同的交點，求兩交點連線的中點軌跡方程．,分析：解決直線與圓錐曲線的關(guān)系問題，除利用根與系數(shù)關(guān)系外，也可以運用點差法，但必須以直線與圓錐曲線相交為前提，否則不宜用此法．,解：設直線與橢圓的兩個交點的坐標為M(x1，y1)，N(x2，y2)，則有,①,②,設MN的中點P(x，y)，則x1＋x2＝2x，y1＋y2＝2y.又∵＝2，∴2＝－4，即2x＋y＝0為所求軌跡方程(軌跡為已知橢圓內(nèi)的部分)．,2．已知橢圓C：＋＝1，F(xiàn)1，F(xiàn)2為其兩個焦點，問：能否在橢圓C上找到一點M，使點M到左準線的距離|MN|是|MF1|和|MF2|的等比中項(如圖)？若存在，求出點M的坐標；若不存在，說明理由．分析：對于探索性問題，可以先假設結(jié)論成立，尋找這個假設成立的等價條件，并與題設條件進行對照，從而使問題得到解決．在解本題的過程中，應考慮到橢圓的第一定義、第二定義、橢圓的幾何性質(zhì)和基本不等式等知識．,解：解法一：設M點存在，其坐標為(x0，y0)，則.∵|MN|＝|x0＋4|，|MF1|＝，|MF2|＝.代入等式|MN|2＝|MF1||MF2|，整理，得(x0＋4)2＝.∵－2≤x0≤2，∴(x0＋4)2＝(16－x)，解得x0＝－4或xo＝－.∵當點M存在時，xo∈[－2,2]，∴符合題設條件的點M不存在．,解法二：由已知，得橢圓的半長軸a＝2，半短軸b＝，∴半焦距c＝1，離心率e＝.又焦點F1，F(xiàn)2的坐標分別為(－1,0)和(1,0)，左準線l的方程為x＝－＝－4.設|MN|＝t>0，由橢圓的第二定義，|MF1|＝e|MN|＝et.,又由橢圓的第一定義，得|MF1|＋|MF2|＝2a，∴|MF2|＝2a－et.設M點存在，則|MN|2＝|MF1||MF2|，得t2＝et(2a－et)．∵t≠0，∴t＝＝.由于橢圓C上的點到左準線的最短距離是橢圓左頂點到左準線的距離，即－a＝4－2＝2.而|MN|＝t＝<2，∴符合題設條件的點M不存在．,