古典概型與幾何概型).ppt
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1.3古典概型與幾何概型1.3.1排列與組合公式1.排列從n個不同元素中任取r個元素排成一列（考慮元素先后出現次序），稱此為一個排列，此種排列的總數為若r=n，則稱為全排列,全排列的總數為An=n!．,,第1章概率論基礎,2.重復排列從n個不同元素中每次取出一個，放回后再取出下一個，如此連續(xù)取r次所得的排列稱為重復排列，此種重復排列數共有nr個，這里r允許大于n．,1.3.1排列與組合公式,3.組合從n個不同元素中任取r個元素并成一組（不考慮元素先后出現次序），稱為一個組合，此種組合的總數為易知，．排列組合公式在古典概型的概率計算中經常使用．,,1.3.1排列與組合公式,1.3.2古典概型具有以下兩個特點的試驗稱為古典概型：(1)有限性：試驗的樣本空間只含有限個樣本點；(2)等可能性：試驗中每個基本事件發(fā)生的可能性相同．對于古典概型，若樣本空間中共有n個樣本點，事件A包含k個樣本點，則事件A的概率為容易驗證，由上式確定的概率滿足公理化定義．,,1.3古典概型與幾何概型,【例1.5】（摸球問題）箱中盛有?個白球和?個黑球，從其中任意地接連取出k+1個球(k+1??+?)，如果每個球被取出后不再放回，試求最后取出的球是白球的概率．,1.3.2古典概型,解：由于注意了球的次序，故應考慮排列．接連不放回地取k+1個球的所有結果共有個，即樣本空間中共有個樣本點．最后取出的白球可以是?個白球中的任一個，共有?種取法，其余k個可以是其余?+?–1個的任意k個，共有種取法，因而事件A=“取出的k+1球中最后一個是白球”中共含有個樣本點，于是．,,,,,,與k無關！,1.3.2古典概型,【例1.6】（分房問題）有n個人，每個人都以同樣的概率被分配在N（n?N）間房中的每一間中，試求下列各事件的概率：(1)A=“某指定n間房中各有一人”；(2)B=“恰有n間房，其中各有一人”；(3)C=“某指定房中恰有m(m?n)人”．,1.3.2古典概型,解：因為每個人都可以分配到N間房中任一間，所以n個人分配房間的方式共有Nn種，即樣本空間中所有樣本點的個數為Nn．(1)A=“某指定n間房中各有一人”，“某指定n間房中各有一人”的分配方法共有n!種，因而事件A中含有n!個樣本點，于是,,1.3.2古典概型,(2)B=“恰有n間房，其中各有一人”這n間房可自N間中任意選出，共有種選法，因而事件B中含有個樣本點，于是,,,,,,,,1.3.2古典概型,(3)C=“某指定房中恰有m(m?n)人”事件C中的m個人可自n個人中任意選出,共有種選法，其余n–m個人可以任意分配在其余N–1間房里，共有個分配法，因而事件C中有個樣本點，于是,,,,,1.3.2古典概型,1.3.3幾何概型具有以下兩個特點的試驗稱為幾何概型：(1)隨機試驗的樣本空間為某可度量的區(qū)域?；(2)?中任一區(qū)域出現的可能性的大小與該區(qū)域的幾何度量成正比而與該區(qū)域的位置和形狀無關．,,1.3古典概型與幾何概型,對于幾何概型，若事件A是?中的某一區(qū)域，且A可以度量，則事件A的概率為其中，如果?是一維、二維或三維的區(qū)域，則?的幾何度量分別是長度、面積和體積．,,1.3.3幾何概型,【例1.8】（約會問題）甲乙兩人約定在下午6點到7點之間在某處會面，并約定先到者應等候另一人20分鐘，過時即可離去，求兩人能會面的概率．,1.3.3幾何概型,解：以x和y分別表示甲乙兩人到達約會地點的時間（以分鐘為單位），在平面上建立xOy直角坐標系，因為甲乙都是在0到60分鐘內等可能到達，所以這是一個幾何概型問題．樣本空間?={(x，y)：0?x，y?60}事件A=“甲乙將會面”={(x，y)??：|x–y|?20}因此,,1.3.3幾何概型,【例1.9】（蒲豐投針問題）平面上畫有間隔為d(d>0)的等距平行線，向平面任意投擲一枚長為l(l
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