2013屆高三數(shù)學二輪復習 必考問題專項突破15 直線、圓及其交匯問題 理

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1、必15　直線、圓及其交匯問題 1．(2012·浙江)設a∈R，則“a＝1”是“直線l1：ax＋2y－1＝0與直線l2：x＋(a＋1)y＋4＝0平行”的(　　)．　　　　　　　　　　　　　　　　　　 A．充分不必要條件 B．必要不充分條件 C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件 答案： A　[由a＝1可得l1∥l2，反之由l1∥l2可得a＝1或a＝－2，故選A.] 2．(2012·陜西)已知圓C：x2＋y2－4x＝0，l是過點P(3,0)的直線，則(　　)． A．l與C相交 B．l與C相切 C．l與C相離 D．以上三個選項均有可能 答案

2、：A　[把點(3,0)代入圓的方程的左側得32＋0－4×3＝－3＜0，故點(3,0)在圓的內部，所以過點(3,0)的直線l與圓C相交，選A.] 3．(2012·重慶)對任意的實數(shù)k，直線y＝kx＋1與圓x2＋y2＝2的位置關系一定是(　　)． A．相離 B．相切 C．相交但直線不過圓心 D．相交且直線過圓心 答案：C　[易知直線過定點(0,1)，且點(0,1)在圓內，但是直線不過圓心(0,0)，故選C.] 4．(2011·湖北)過點(－1，－2)的直線l被圓x2＋y2－2x－2y＋1＝0截得的弦長為，則直線l的斜率為________． 解析　由題意知直線要與圓相交

3、，必存在斜率，設為k，則直線方程為y＋2＝k(x＋1)，又圓的方程可化為(x－1)2＋(y－1)2＝1，圓心為(1,1)，半徑為1， ∴圓心到直線的距離d＝＝ ， 解得k＝1或. 答案　1或 本問題是整個解析幾何的基礎，在解析幾何的知識體系中占有重要位置，但解析幾何的主要內容是圓錐曲線與方程，故在該部分高考考查的分值不多，在高考試卷中一般就是一個選擇或填空題考查直線與方程、圓與方程的基本問題，偏向于考查直線與圓的綜合，試題難度不大，對直線方程、圓的方程的深入考查則與圓錐曲線結合進行． 高考對解析幾何的考查，主要考查直線和圓的方程以及直線與圓的位置關系的有關問題．運算能力與平面

4、幾何知識的靈活運用有可能成為制約考生解題的一個重要因素，因此在復習的過程中，要注意加強圓的幾何性質的復習，注意向量方法在解析幾何中的應用，注意強化運算能力的訓練，努力提高靈活解題的能力． 必備知識 兩直線平行、垂直的判定 (1)①l1：y＝k1x＋b1，l2：y＝k2x＋b2(兩直線斜率存在，且不重合)，則有l(wèi)1∥l2?k1＝k2，l1⊥l2?k1·k2＝－1. ②若兩直線的斜率都不存在，并且兩直線不重合，則兩直線平行； 若兩直線中一條直線的斜率為0，另一條直線斜率不存在，則兩直線垂直． (2)l1：A1x＋B1y＋C1＝0，l2：A2x＋B2y＋C2＝0， 則有l(wèi)1∥l2

5、?A1B2－A2B1＝0，且B1C2－B2C1≠0， l1⊥l2?A1A2＋B1B2＝0. 圓的方程 (1)圓的標準方程：(x－a)2＋(y－b)2＝r2(r＞0)，圓心為(a，b)，半徑為r. (2)圓的一般方程：x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0(D2＋E2－4F＞0)，圓心為，半徑為r＝；二元二次方程Ax2＋Bxy＋Cy2＋Dx＋Ey＋F＝0表示圓的充要條件是 必備方法 1．由于直線方程有多種形式，各種形式適用的條件、范圍不同，在具體求直線方程時，由所給的條件和采用的直線方程形式所限，可能會產生遺漏的情況，尤其在選擇點斜式、斜截式時要注意斜率不存在的情況． 2．處理有關圓

6、的問題，要特別注意圓心、半徑及平面幾何知識的應用，如弦心距、半徑、弦長的一半構成直角三角形經常用到，利用圓的一些特殊幾何性質解題，往往使問題簡化． 3．直線與圓中常見的最值問題 (1)圓外一點與圓上任一點的距離的最值． (2)直線與圓相離，圓上任一點到直線的距離的最值． (3)過圓內一定點的直線被圓截得弦長的最值． (4)直線與圓相離，過直線上一點作圓的切線，切線長的最小值問題． (5)兩圓相離，兩圓上點的距離的最值． 4．兩圓相交，將兩圓方程聯(lián)立消去二次項，得到一個二元一次方程即為兩圓公共弦所在的直線方程． 對于圓的方程，高考要求能根據(jù)所給的條件選取恰當?shù)姆匠绦问?/p>

7、利用待定系數(shù)法求出圓的方程，并結合圓的幾何性質解決與圓相關的問題．該部分在高考中常以填空、選擇的形式直接考查，或是在解答題中綜合軌跡問題進行考查．　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 【例1】? 已知圓C與圓x2＋y2－2x＝0相外切，并且與直線x＋y＝0相切于點Q(3，－)，求圓C的方程． [審題視點] 　 　 [聽課記錄] [審題視點] 先確定采用標準方程還是一般方程，然后求出相應的參數(shù)，即采用待定系數(shù)法． 解　設圓C的圓心為(a，b)，則 解得或所以r＝2或r＝6. 所以圓C的方程為(x－4)2＋y2＝4或x2＋(y＋4)2＝36. 求圓的方程一般有兩類方法：(1)

8、幾何法，通過研究圓的性質、直線和圓、圓與圓的位置關系，進而求得圓的基本量和方程；(2)代數(shù)法，即用待定系數(shù)法先設出圓的方程，再由條件求得各系數(shù)． 【突破訓練1】 已知圓過點A(1,2)，B(3,4)，且在x軸上截得的弦長為6，求圓的方程． 解　法一　設圓的方程為x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0. 令y＝0，得x2＋Dx＋F＝0. 設弦的兩端點的橫坐標分別為x1、x2. 因圓在x軸上截得的弦長為6，所以|x1－x2|＝6， 即D2－4F＝36，① 又圓過點A(1,2)，B(3,4)， 所以D＋2E＋F＋5＝0，② 3D＋4E＋F＋25＝0，③ 由①②③解得或 故所求圓的方程為

9、x2＋y2＋12x－22y＋27＝0或x2＋y2－8x－2y＋7＝0. 法二　設所求圓的方程為(x－a)2＋(y－b)2＝r2， 由已知得解得或 故所求圓的方程為(x＋6)2＋(y－11)2＝130，或(x－4)2＋(y－1)2＝10. 直線與圓的位置關系是高考考查的熱點，主要考查直線與圓的相交、相切、相離的判定與應用，以及弦長、面積的求法等，并常與圓的幾何性質交匯，要求學生有較強的運算求解能力．　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 【例2】? 如圖所示，已知以點A(－1,2)為圓心的圓與直線l1：x＋2y＋7＝0相切．過點B(－2,0)的動直線l與圓A相交于M，N兩點，Q是M

10、N的中點，直線l與l1相交于點P. (1)求圓A的方程； (2)當|MN|＝2時，求直線l的方程； (3)B·B是否為定值？如果是，求出其定值；如果不是，請說明理由． [審題視點] 　 　 [聽課記錄] [審題視點] 第(1)問由圓A與直線l1相切易求出圓的半徑，進而求出圓A的方程；第(2)問注意直線l的斜率不存在時也符合題意，以防漏解，另外應注意用好幾何法，以減小計算量；第(3)問分兩種情況分別計算平面向量的數(shù)量積為定值后方可下結論． 解　(1)設圓A的半徑為R， ∵圓A與直線l1：x＋2y＋7＝0相切， ∴R＝＝2. ∴圓A的方程為(x＋1)2＋(y－2)2＝20

11、. (2)當直線l與x軸垂直時，易知x＝－2符合題意； 當直線l與x軸不垂直時，設直線l的方程為y＝k(x＋2)，即kx－y＋2k＝0. 連接AQ，則AQ⊥MN. ∵|MN|＝2，∴|AQ|＝＝1， 由|AQ|＝＝1，得k＝. ∴直線l的方程為3x－4y＋6＝0， ∴所求直線l的方程為：x＝－2或3x－4y＋6＝0. (3)∵AQ⊥BP，∴A·B＝0， ∴B·B＝(B＋A)·B ＝B·B＋A·B ＝B·B. 當直線l與x軸垂直時，得P， 則B＝，又B＝(1,2)． ∴B·B＝B·B＝－5. 當直線l的斜率存在時，設直線l的方程為y＝k(x＋2)． 由解得P.

12、∴B＝. ∴B·B＝B·B＝－＝－5， 綜上所述，B·B是定值，且B·B＝－5. (1)直線和圓的位置關系常用幾何法，即利用圓的半徑r，圓心到直線的距離d及半弦長構成直角三角形關系來處理． (2)要注意分類討論，即對直線l分為斜率存在和斜率不存在兩種情況分別研究，以防漏解或推理不嚴謹． 【突破訓練2】 (2012·臨沂模擬)在平面直角坐標系xOy中，曲線y＝x2－6x＋1與坐標軸的交點都在圓C上． (1)求圓C的方程； (2)若圓C與直線x－y＋a＝0交于A，B兩點，且OA⊥OB，求a的值． 解　(1)曲線y＝x2－6x＋1與坐標軸的交點為(0,1)，(3±2，0)． 故可

13、設圓的圓心坐標為(3，t)， 則有32＋(t－1)2＝2＋t2. 解得t＝1，則圓的半徑為＝3. 所以圓的方程為(x－3)2＋(y－1)2＝9. (2)設A(x1，y1)，B(x2，y2)，其坐標滿足方程組 消去y得到方程2x2＋(2a－8)x＋a2－2a＋1＝0， 由已知可得判別式Δ＝56－16a－4a2＞0， 由韋達定理可得x1＋x2＝4－a，x1x2＝，① 由OA⊥OB可得x1x2＋y1y2＝0.又y1＝x1＋a，y2＝x2＋a. 所以2x1x2＋a(x1＋x2)＋a2＝0. 由①②可得a＝－1，滿足Δ＞0，故a＝－1. 常以直線、圓、圓錐曲線為載體結合

14、平面向量來命題，考查解決解析幾何問題的基本方法與技能，正成為高考命題新的生長點．　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 【例3】? (2012·杭州三校聯(lián)考)已知拋物線C：y2＝4x的焦點為F，過點K(－1,0)的直線l與C相交于A，B兩點，點A關于x軸的對稱點為D. (1)證明：點F在直線BD上； (2)設F·F＝，求△BDK的內切圓M的方程． [審題視點] 　 　 [聽課記錄] [審題視點] (1)設出A、B、D的坐標及l(fā)的方程，進而表示出直線BD的方程．再驗證；(2)由·＝可求直線l，BD的方程，再由A、D關于x軸對稱可設圓心M(t,0)，則M到直線l，BD的距離相等．

15、解　設A(x1，y1)，B(x2，y2)，D(x1，－y1)，l的方程為x＝my－1(m≠0)． (1)證明：將x＝my－1代入y2＝4x并整理得y2－4my＋4＝0，從而y1＋y2＝4m，y1y2＝4.① 直線BD的方程為y－y2＝·(x－x2)， 即y－y2＝·. 令y＝0，得x＝＝1. 所以點F(1,0)在直線BD上． (2)由(1)知，x1＋x2＝(my1－1)＋(my2－1)＝4m2－2， x1x2＝(my1－1)(my2－1)＝1. 因為F＝(x1－1，y1)，F(xiàn)＝(x2－1，y2)， F·F＝(x1－1)(x2－1)＋y1y2＝x1x2－(x1＋x2)＋1＋4

16、 ＝8－4m2， 故8－4m2＝，解得m＝±. 所以l的方程為3x＋4y＋3＝0,3x－4y＋3＝0. 又由①知y2－y1＝±＝±， 故直線BD的斜率＝±， 因而直線BD的方程為3x＋y－3＝0,3x－y－3＝0. 因為KF為∠BKD的平分線，故可設圓心M(t,0)(－1

17、【突破訓練3】 (2011·江蘇改編)如圖，在平面直角坐標系xOy中，M、N分別是橢圓＋＝1的頂點，過坐標原點的直線交橢圓于P、A兩點，其中點P在第一象限，過P作x軸的垂線，垂足為C.連接AC，并延長交橢圓于點B.設直線PA的斜率為k. (1)當直線PA平分線段MN時，求k的值； (2)當k＝2時，求點P到直線AB的距離d. 解　(1)由題設知，a＝2，b＝，故M(－2,0)，N(0，－)，所以線段MN中點的坐標為.由于直線PA平分線段MN，故直線PA過線段MN的中點，又直線PA過坐標原點，所以k＝＝. (2)直線PA的方程為y＝2x，代入橢圓方程得＋＝1，解得x＝±，因此P，

18、A. 于是C，直線AC的斜率為＝1，故直線AB的方程為x－y－＝0.因此，d＝＝. 直線問題“誤”匯 易錯點1：忽視截距為零或認為截距是距離的情況 【示例1】? 經過點(2,1)且在兩坐標軸上截距相等的直線方程是________________． 解析　(1)直線在兩坐標軸的截距為0時，直線方程為y＝x. (2)直線在兩坐標軸的截距不為0時，設直線方程為x＋y＝a.因為點(2,1)在直線上，所以2＋1＝a，即a＝3.直線方程為x＋y＝3.故所求直線方程為y＝x或x＋y＝3. 答案　y＝x或x＋y＝3 老師叮嚀：考生可能產生2種錯誤，第1種錯誤：忽視截距為零的情況，只答出第(

19、2)種情況；第2種錯誤：認為截距是距離，把直線在兩坐標軸上的截距互為相反數(shù)的也帶進來，導致有錯誤答案為“所求直線方程為y＝x或x＋y＝3或x－y＝1”. 【試一試1】 已知直線l過點(2，－6)，它在y軸上的截距是在x軸上的截距的2倍，求直線l的方程． 解　當直線l過原點時，它在兩坐標軸上的截距都是0，適合題意，此時直線方程為y＝x＝－3x，可化為3x＋y＝0； 當直線l不過原點時，設它在x軸上的截距為a(a≠0)，則它在y軸上的截距為2a，則直線的截距式為＋＝1，把點(2，－6)的坐標代入得－＝1，解得a＝－1，故此時直線的方程為－x－＝1，可化為2x＋y＋2＝0. 綜上，直線的方程

20、為3x＋y＝0或2x＋y＋2＝0. 易錯點2：忽視直線的斜率不存在的情況 【示例2】? 已知直線l過點(－2,0)，直線x＋2y－5＝0和3x－y－1＝0的交點到直線l的距離為3，求直線l的方程． [滿分解答]　由得，即直線x＋2y－5＝0和3x－y－1＝0的交點坐標為(1,2)．(2分) (1)當直線l的斜率不存在時，其方程為x＝－2，點(1,2)到該直線的距離為3，適合題意．(6分) (2)當直線l的斜率存在時，設為k，則直線l的點斜式方程為y＝k(x＋2)，可化為kx－y＋2k＝0. 依題意得＝3， 解得k＝－. 所以，此時直線l的方程為5x＋12y＋10＝0.(10分)

21、 綜上，直線的方程為x＋2＝0或5x＋12y＋10＝0. (12分) 老師叮嚀：忽視直線的斜率不存在的情形，也是一類常見錯誤.在相關問題中，需設直線的斜率時，一定要注意分析直線的斜率是否一定存在，不一定存在，就需分類討論. 　　　　　　　　　　　　　　　　　 【試一試2】 已知直線l1：ax－y＋2a＝0與直線l2：(2a－1)x＋ay＋a＝0互相垂直，則a等于(　　)． A．1 B．0 C．1或0 D．1或－1 答案： C　[法一　依題意有a·(2a－1)＋(－1)·a＝0；解得a＝0或a＝1. 法二?、賏＝0時直線l2斜率不存在，直線l1的斜率為0，兩直線垂直． ②a≠0時，直線l1的斜率為a，直線l2的斜率為－，因為直線l1與直線l2垂直，所以a·＝－1，解得a＝1.故所求a值為0或1，選C.] 【試一試3】 C　[將圓C方程配方得：(x＋1)2＋(y＋2)2＝8，圓C的圓心坐標和半徑分別是：C(－1，－2)，R＝2.設與直線l：x＋y＋1＝0平行且距離為的直線方程為x＋y＋m＝0，由＝知，m＝－1或m＝3.當m＝－1時，圓心到直線的距離d1＝＝2＝R，直線與圓相切，滿足要求的點只有一個；當m＝3時，圓心到直線的距離d2＝＝0＜R，直線與圓相交，滿足要求的點有兩個．故滿足要求的點共有3個．選C.] 必考問題