2013屆高三數(shù)學二輪復(fù)習 必考問題專項突破1 函數(shù)、基本初等函數(shù)的圖象和性質(zhì) 理

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1、二輪專題復(fù)習·數(shù)學理(新課標)第一部分　22個必考問題專項突破 必考問題1　函數(shù)、基本初等函數(shù)的圖象和性質(zhì) 1．(2012·江西)下列函數(shù)中，與函數(shù)y＝定義域相同的函數(shù)為(　　)．　　　　　　　　　　　　　　　　　　 A．y＝ B．y＝ C．y＝xex D．y＝ 答案：D　[函數(shù)y＝的定義域為(－∞，0)∪(0，＋∞)，而y＝的定義域為{x|x∈R，x≠kπ，k∈Z}，y＝的定義域為(0，＋∞)，y＝xex的定義域為R，y＝的定義域為(－∞，0)∪(0，＋∞)．] 2．(2012·安徽)下列函數(shù)中，不滿足f(2x)＝2f(x)的是(　　)． A．f(x)＝|x|

2、 B．f(x)＝x－|x| C．f(x)＝x＋1 D．f(x)＝－x 答案：C　[對于選項A，f(2x)＝|2x|＝2|x|＝2f(x)；對于選項B，f(x)＝x－|x|＝，當x≥0時，f(2x)＝0＝2f(x)，當x＜0時，f(2x)＝4x＝2·2x＝2f(x)，恒有f(2x)＝2f(x)；對于選項D，f(2x)＝－2x＝2(－x)＝2f(x)；對于選項C，f(2x)＝2x＋1＝2f(x)－1.] 3．(2012·廣東)下列函數(shù)中，在區(qū)間(0，＋∞)上為增函數(shù)的是(　　)． A．y＝ln(x＋2) B．y＝－ C．y＝x D．y＝x＋ 答案：A　[結(jié)合初等函數(shù)的

3、單調(diào)性逐一分析即可得到正確結(jié)論．選項A的函數(shù)y＝ln(x＋2)的增區(qū)間為(－2，＋∞)，所以在(0，＋∞)上一定是增函數(shù)．] 4．(2011·江蘇)已知實數(shù)a≠0，函數(shù)f(x)＝若f(1－a)＝f(1＋a)，則a的值為________． 解析　首先討論1－a,1＋a與1的關(guān)系， 當a＜0時，1－a＞1,1＋a＜1， 所以f(1－a)＝－(1－a)－2a＝－1－a； f(1＋a)＝2(1＋a)＋a＝3a＋2. 因為f(1－a)＝f(1＋a)，所以－1－a＝3a＋2， 所以a＝－.當a＞0時，1－a＜1,1＋a＞1， 所以f(1－a)＝2(1－a)＋a＝2－a； f(1＋a)＝－

4、(1＋a)－2a＝－3a－1. 因為f(1－a)＝f(1＋a)，所以2－a＝－3a－1，所以a＝－(舍去)． 綜上，滿足條件的a＝－. 答案　－ 高考對本內(nèi)容的考查主要有：①利用函數(shù)的圖象與性質(zhì)求函數(shù)定義域、值域與最值，尤其是考查對數(shù)函數(shù)的定義域、值域與最值問題；②借助基本初等函數(shù)考查函數(shù)單調(diào)性與奇偶性的應(yīng)用，尤其是考查含參函數(shù)的單調(diào)性問題或借助單調(diào)性求參數(shù)的范圍，主要以解答題的形式考查；③求二次函數(shù)的解析式、值域與最值，考查二次函數(shù)的最值、一元二次方程與不等式的綜合應(yīng)用；④在函數(shù)與導數(shù)的解答題中，考查指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)的求導、含參函數(shù)單調(diào)性的討論、函數(shù)的極值或最值的求解等．

5、 本部分的試題多圍繞二次函數(shù)、分段函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)等幾個常見的函數(shù)來設(shè)計，考查函數(shù)的單調(diào)性、奇偶性、周期性、對稱性等，所以復(fù)習時一定要回歸課本，重讀教材，只有把課本中的例題、習題弄明白，把基礎(chǔ)夯扎實，才能真正掌握、靈活應(yīng)用，達到事半功倍的效果. 必備知識 函數(shù)及其圖象 (1)定義域、值域和對應(yīng)關(guān)系是確定函數(shù)的三個要素，是一個整體，研究函數(shù)問題時務(wù)必要“定義域優(yōu)先”． (2)對于函數(shù)的圖象要會作圖、識圖、用圖，作函數(shù)圖象有兩種基本方法：一是描點法；二是圖象變換法，其中圖象變換有平移變換、伸縮變換、對稱變換． 函數(shù)的性質(zhì) (1)函數(shù)單調(diào)性的判定方法 ①定義法：取值，作

6、差，變形，定號，作答． 其中變形是關(guān)鍵，常用的方法有：通分、配方、因式分解． ②導數(shù)法． ③復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性遵循“同增異減”的原則． (2)函數(shù)的奇偶性反映了函數(shù)圖象的對稱性，是函數(shù)的整體特性．利用函數(shù)的奇偶性可以把研究整個函數(shù)具有的性質(zhì)問題轉(zhuǎn)化到只研究部分(一半)區(qū)間上，是簡化問題的一種途徑． (3)求函數(shù)最值(值域)常用的方法 ①單調(diào)性法：適合于已知或能判斷單調(diào)性的函數(shù)； ②圖象法：適合于已知或易作出圖象的函數(shù)； ③基本不等式法：特別適合于分式結(jié)構(gòu)或兩元的函數(shù)； ④導數(shù)法：適合于可求導數(shù)的函數(shù)． 函數(shù)圖象的對稱性 (1)若函數(shù)y＝f(x)滿足f(a＋x)＝f(a－x

7、)，即f(x)＝f(2a－x)，則f(x)的圖象關(guān)于直線x＝a對稱． (2)若f(x)滿足f(a＋x)＝f(b－x)，則函數(shù)f(x)的圖象關(guān)于直線x＝對稱． (3)若f(x＋a)為奇函數(shù)?f(x)的圖象關(guān)于點(a,0)成中心對稱；若f(x＋a)為偶函數(shù)?f(x)的圖象關(guān)于直線x＝a對稱． 必備方法 1．函數(shù)的圖象和解析式是函數(shù)關(guān)系的主要表現(xiàn)形式，它們的實質(zhì)是相同的，在解題時經(jīng)常要互相轉(zhuǎn)化．在解決函數(shù)問題時，尤其是較為繁瑣的(如分類討論，求參數(shù)的取值范圍等)問題時，要注意充分發(fā)揮圖象的直觀作用． 2．二次函數(shù)、一元二次方程和一元二次不等式是一個有機的整體，要深刻理解它們之間的相互關(guān)系，

8、能用函數(shù)與方程、分類討論、數(shù)形結(jié)合思想來研究與“三個二次”有關(guān)的問題，高考對“三個二次”知識的考查往往滲透在其他知識之中，并且大都出現(xiàn)在解答題中. ?？疾椋孩俳o定函數(shù)解析式求定義域；②給出分段函數(shù)表達式結(jié)合奇偶性、周期性求值．熟練轉(zhuǎn)化函數(shù)的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵，是高考的必考內(nèi)容，常以選擇題、填空題的形式考查，多為基礎(chǔ)題．　　　　　　　　　　　　　　　　　　 【例1】? 設(shè)定義域在[－2,2]上的偶函數(shù)f(x)在區(qū)間[0,2]上單調(diào)遞減，若f(1－m)＜f(m)．則實數(shù)m的取值范圍是________． [審題視點] 　 　 [聽課記錄] [審題視點] 利用已知條件，可將問題轉(zhuǎn)化為|1

9、－m|＞|m|. 解析　∵f(x)是偶函數(shù)，∴f(－x)＝f(x)＝f(|x|)． ∴不等式f(1－m)＜f(m)?f(|1－m|)＜f(|m|)， 又∵當x∈[0,2]時，f(x)是減函數(shù)， ∴解得－1≤m＜. 答案　 (1)函數(shù)的性質(zhì)主要是函數(shù)的奇偶性、單調(diào)性和周期性以及函數(shù)圖象的對稱性． (2)求函數(shù)最值常用的方法有單調(diào)性法、圖象法、基本不等式法、導數(shù)法和換元法． 【突破訓練1】 (2012·濟南2月月考)已知定義在R上的函數(shù)y＝f(x)滿足以下三個條件：①對于任意的x∈R，都有f(x＋4)＝f(x)；②對于任意的x1，x2∈R，且0≤x1≤x2≤2，都有f(x1)

10、＜f(x2)；③函數(shù)y＝f(x＋2)的圖象關(guān)于y軸對稱．則下列結(jié)論正確的是(　　)．　　　　　　　　　　　　　　　　　　 A．f(4.5)＜f(7)＜f(6.5) B．f(7)＜f(4.5)＜f(6.5) C．f(7)＜f(6.5)＜f(4.5) D．f(4.5)＜f(6.5)＜f(7) 答案：A　[由①知，f(x)的周期為4， 由②知，f(x)在[0,2]上單調(diào)遞增． 由③知，f(x)的對稱軸為x＝2. ∴f(4.5)＝f(0.5)，f(7)＝f(3)＝f(1)． f(6.5)＝f(2.5)＝f(1.5)． ∴f(4.5)＜f(7)＜f(6.5)．] ?？疾?/p>

11、：①由函數(shù)的性質(zhì)(如單調(diào)性、對稱性、最值)及圖象的變換選圖象；②在解方程或不等式問題時，利用圖象求交點個數(shù)或解集的范圍，是高考考查的熱點，常以選擇題形式考查，難度中檔．　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 【例2】? 函數(shù)y＝－2sin x的圖象大致是(　　)． [審題視點] 　 　 [聽課記錄] [審題視點] 利用導數(shù)的正負與函數(shù)在某一區(qū)間內(nèi)的單調(diào)性的關(guān)系求解． C　[由f(－x)＝－f(x)知，函數(shù)f(x)為奇函數(shù)，所以排除A；又f′(x)＝－2cos x，當x在y軸右側(cè)，趨向0時，f′(x)＜0，所以函數(shù)f(x)在x軸右邊接近原點處為減函數(shù)，當x＝2π時，f′(2π)＝

12、－2cos 2π＝－＜0，所以x＝2π應(yīng)在函數(shù)的減區(qū)間上，所以選C.] 函數(shù)的圖象在研究函數(shù)性質(zhì)中有著舉足輕重的作用． (1)識圖：在觀察、分析圖象時，要注意到圖象的分布及變化趨勢，具有的性質(zhì)，找準解析式與圖象的對應(yīng)關(guān)系． (2)用圖：在研究函數(shù)性質(zhì)特別是單調(diào)性、最值、零點時，要注意用好其與圖象的關(guān)系，結(jié)合圖象研究． (3)掌握基本初等函數(shù)的圖象(一元一次函數(shù)、一元二次函數(shù)、反比例函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)、三角函數(shù))，它們是圖象變換的基礎(chǔ)． 【突破訓練2】 (2012·新課標全國)已知函數(shù)f(x)＝，則y＝f(x)的圖象大致為(　　)． 答案：B　[g(x)＝ln(x＋1)

13、－x?g′(x)＝－， 當g′(x)＞0時，－1＜x＜0.當g′(x)＜0時，x＞0. 故g(x)＜g(0)＝0，即x＞0或－1＜x＜0時均有f(x)＜0，排除A、C、D.] 高考很少單獨考查二次函數(shù)，往往與導數(shù)結(jié)合來命題，可涉及到二次函數(shù)的許多基礎(chǔ)知識的考查，如含參函數(shù)根的分布問題，根與系數(shù)的關(guān)系問題，要求考生熟練應(yīng)用有關(guān)的基礎(chǔ)知識．　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 【例3】? 設(shè)函數(shù)f(x)＝x3＋bx2＋cx＋d(a＞0)，且方程f′(x)－9x＝0的兩個根分別為1,4. (1)當a＝3且曲線y＝f(x)過原點時，求f(x)的解析式； (2)若f(x)在(－∞，＋∞

14、)內(nèi)無極值點，求a的取值范圍． [審題視點] 　 　 [聽課記錄] [審題視點] (1)借助根與系數(shù)的關(guān)系，曲線過原點等條件進行求解；(2)問題可轉(zhuǎn)化為f′(x)≥0在(－∞，＋∞)內(nèi)恒成立． 解　由f(x)＝x3＋bx2＋cx＋d，得f′(x)＝ax2＋2bx＋c. 因為f′(x)－9x＝ax2＋2bx＋c－9x＝0的兩個根分別為1,4， 所以(*) (1)當a＝3時，由(*)式得 解得b＝－3，c＝12. 又因為曲線y＝f(x)過原點，所以d＝0， 故f(x)＝x3－3x2＋12x. (2)由于a＞0，所以“f(x)＝x3＋bx2＋cx＋d在(－∞，＋∞)內(nèi)無極值點

15、”等價于“f′(x)＝ax2＋2bx＋c≥0在(－∞，＋∞)內(nèi)恒成立”． 由(*)式得2b＝9－5a，c＝4a. 又Δ＝(2b)2－4ac＝9(a－1)(a－9)． 解得，a∈[1,9]， 即a的取值范圍是[1,9]． 高考對該部分的考查多與二次函數(shù)相結(jié)合綜合命題，涉及函數(shù)零點問題，比較方程根的大小問題，函數(shù)值的求解，函數(shù)圖象的識別等問題，考查學生分析、解決問題的能力． 【突破訓練3】 已知函數(shù)f(x)＝3ax4－2(3a＋1)x2＋4x. (1)當a＝時，求f(x)的極值； (2)若f(x)在(－1,1)上是增函數(shù)，求a的取值范圍． 解　(1)f′(x)＝4(x－1)(3

16、ax2＋3ax－1)． 當a＝時，f′(x)＝2(x＋2)(x－1)2， f(x)在(－∞，－2)內(nèi)單調(diào)遞減，在(－2，＋∞)內(nèi)單調(diào)遞增， 在x＝－2時，f(x)有極小值． 所以f(－2)＝－12是f(x)的極小值． (2)在(－1,1)上，f(x)單調(diào)遞增，當且僅當f′(x)＝4(x－1)·(3ax2＋3ax－1)≥0，即3ax2＋3ax－1≤0，① (i)當a＝0時，①恒成立； (ii)當a＞0時，①成立，當且僅當3a·12＋3a·1－1≤0. 解得a≤.∴0＜a≤. (iii)當a＜0時，①成立，即3a2－－1≤0成立， 當且僅當－－1≤0.解得a≥－.∴－≤a＜0.

17、 綜上，a的取值范圍是. 函數(shù)基礎(chǔ)知識在綜合問題中的應(yīng)用 函數(shù)是高考永遠不變的主題，二次函數(shù)更是熱點．對二次函數(shù)的考查主要以二次函數(shù)的圖象為載體，利用數(shù)形結(jié)合思想，解決二次函數(shù)的單調(diào)區(qū)間、二次函數(shù)在給定區(qū)間上的最值以及與此相關(guān)的參數(shù)范圍的問題．下面介紹函數(shù)基礎(chǔ)知識在綜合問題中的應(yīng)用． 【示例】? (高考改編題)設(shè)函數(shù)f(x)＝－x3＋x2＋(m2－1)x(x∈R)，其中m＞0. (1)當m＝1時，求曲線y＝f(x)在點(1，f(1))處的切線的斜率； (2)求函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間與極值； (3)已知函數(shù)f(x)有三個互不相同的零點0，x1，x2，且x1＜x2，若對任意的x∈

18、[x1，x2]，f(x)＞f(1)恒成立，求m的取值范圍． [滿分解答]　(1)當m＝1時，f(x)＝－x3＋x2，f′(x)＝－x2＋2x，故f′(1)＝1.所以曲線y＝f(x)在點(1，f(1))處的切線的斜率為1.(3分) (2)f′(x)＝－x2＋2x＋m2－1. 令f′(x)＝0，解得x＝1－m或x＝1＋m. 因為m＞0，所以1＋m＞1－m.當x變化時，f′(x)，f(x)的變化情況如下表： x (－∞，1－m) 1－m (1－m,1＋m) 1＋m (1＋m，＋∞) f′(x) － 0 ＋ 0 － f(x)  極小值  極大值  所

19、以f(x)在(－∞，1－m)，(1＋m，＋∞)上是減函數(shù)，在(1－m,1＋m)上是增函數(shù)．函數(shù)f(x)在x＝1－m處取得極小值f(1－m)，且f(1－m)＝－m3＋m2－.函數(shù)f(x)在x＝1＋m處取得極大值f(1＋m)，且f(1＋m)＝m3＋m2－.(7分) (3)由題設(shè)，f(x)＝x＝－x(x－x1)(x－x2)，所以方程－x2＋x＋m2－1＝0有兩個相異的實根x1，x2，故x1＋x2＝3，且Δ＝1＋(m2－1)＞0，解得m＜－(舍去)或m＞.因為x1＜x2，所以2x2＞x1＋x2＝3，故x2＞＞x1.(9分) 若x1≤1＜x2，則f(1)＝－(1－x1)(1－x2)≥0，而f(x1)

20、＝0，不合題意． 若1＜x1＜x2，對任意的x∈[x1，x2]，有x＞0，x－x1≥0，x－x2≤0，則f(x)＝－x(x－x1)(x－x2)≥0.又f(x1)＝0，所以f(x)在[x1，x2]上的最小值為0.于是對任意的x∈[x1，x2]，f(x)＞f(1)恒成立的充要條件是f(1)＝m2－＜0，解得－＜m＜.綜上，m的取值范圍是.(12分) 老師叮嚀：該題綜合考查了導數(shù)知識與函數(shù)的基礎(chǔ)知識，是一道不錯的試題.(1)(2)問較易得分，第(3)問因找不到問題的突破口而得分率很低，原因是二次函數(shù)的相關(guān)基礎(chǔ)知識掌握不牢固，不會利用數(shù)形結(jié)合的思想. 【試一試】 設(shè)函數(shù)f(x)＝6x3＋3(a＋2)x2＋2ax. (1)若f(x)的兩個極值點為x1，x2，且x1x2＝1，求實數(shù)a的值； (2)是否存在實數(shù)a，使得f(x)是(－∞，＋∞)上的單調(diào)函數(shù)？若存在，求出a的值；若不存在，說明理由． 解　f′(x)＝18x2＋6(a＋2)x＋2a. (1)由已知有f′(x1)＝f′(x2)＝0，從而x1x2＝＝1，所以a＝9. (2)由于Δ＝36(a＋2)2－4×18×2a＝36(a2＋4)＞0， 所以不存在實數(shù)a，使得f(x)是(－∞，＋∞)上的單調(diào)函數(shù)．