2013屆高三數學二輪復習 專題二 第1講 三角函數的圖像與性質教案

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1、專題二 三角函數、解三角形、平面向量第1講　三角函數的圖象與性質 自主學習導引 真題感悟 1．(2012·浙江)把函數y＝cos 2x＋1的圖象上所有點的橫坐標伸長到原來的2倍(縱坐標不變)，然后向左平移1個單位長度，再向下平移1個單位長度，得到的圖象是 解析　利用三角函數的圖象與變換求解． 結合選項可知應選A. 答案　A 2．(2012·湖北)已知向量a＝(cos ωx－sin ωx，sin ωx)，b＝(－cos ωx－sinωx,2cos ωx)，設函數f(x)＝a·b＋λ(x∈R)的圖象關于直線x＝π對稱，其中ω、λ為常數，且ω∈. (1)求函數f(x)的最小正

2、周期； (2)若y＝f(x)的圖象經過點，求函數f(x)在區(qū)間上的取值范圍． 解析　(1)因為f(x)＝sin2ωx－cos2ωx＋2sin ωx· cos ωx＋λ ＝－cos 2ωx＋sin 2ωx＋λ＝2sin＋λ. 由直線x＝π是y＝f(x)圖象的一條對稱軸， 可得sin＝±1. 所以2ωπ－＝kπ＋(k∈Z)，即 ω＝＋(k∈Z)． 又 ω∈，k∈Z，所以k＝1，故ω＝. 所以f(x)的最小正周期是. (2)由y＝f(x)的圖象過點，得f＝0， 即λ＝－2sin＝－2sin＝－. 即λ＝－，故f(x)＝2sin－. 由0≤x≤，有－≤x－≤， 所以－≤si

3、n≤1， 得－1－≤2sin－≤2－， 故函數f(x)在[0，]上的取值范圍為[－1－，2－]． 考題分析 本節(jié)內容高考的重點就是利用三角函數性質，如奇偶性、單調性、周期性、對稱性、有界性及“五點作圖法”等，去求解三角函數的值、求參數、求最值、求值域、求單調區(qū)間等問題，三角函數的圖象主要考查其變換，題型既有選擇題也有填空題，也有解答題，難度中等偏下． 網絡構建 高頻考點突破 考點一：三角函數的概念、誘導公式及基本關系式的應用 【例1】(2012·北京東城模擬)在平面直角坐標系xOy中，將點A(1，)繞原點O順時針旋轉90°到點B，那么點B的坐標為________；若直線OB

4、的傾斜角為α，則sin 2α的值為________． [審題導引]　根據三角函數的定義求出點B的坐標，進而求出角α，可求sin 2α. [規(guī)范解答]　如圖所示， ∵點A的坐標為(，1)， ∴∠AOx＝60°，又∠AOB＝90°，∴∠BOx＝30°， 過B作BC⊥x軸于C， ∵OB＝2， ∴OC＝，BC＝1， ∴點B的坐標為(，－1)， 則直線OB的傾斜角為，即α＝， ∴sin 2α＝sin ＝－sin ＝－. [答案]　(，－1)?。? 【規(guī)律總結】 三角函數的定義與誘導公式的應用 (1)三角函數的定義是推導誘導公式及同角三角函數基本關系式的理論基礎，應用三角函數的定

5、義求三角函數值有時反而更簡單． (2)應用誘導公式化簡三角函數式，要注意正確地選擇公式，注意公式的應用條件． 【變式訓練】 1．(2012·惠州模擬)在(0,2π)內，使sin x＞cos x成立的x的取值范圍為 A.∪　　 B. C. D.∪ 解析　在單位圓中畫三角函數線，如圖所示，要使在(0,2π)內，sin x＞cos x，則x∈. 答案　C 2．(2012·海淀一模)若tan α＝，則cos＝________. 解析　cos＝－sin 2α＝－2sin αcos α ＝－＝－＝－＝－. 答案?。? 考點二：三角函數圖象變換及函數y＝Asi

6、n(ωx＋φ)的解析式 【例2】(1)(2012·宿州模擬)函數y＝sin的圖象可由y＝cos 2x的圖象經過怎樣的變換得到 A．向左平移個單位 B．向右平移個單位 C．向左平移個單位 D．向右平移個單位 (2)(2012·泰州模擬)函數f(x)＝Asin(ωx＋φ)(A，ω，φ為常數，A＞0，ω＞0)的部分圖象如圖所示，則f的值是________． [審題導引]　(1)應用誘導公式把兩個函數化為同名函數，然后比較二者的差異可得； (2)先由圖象求出f(x)的周期，從而得ω的值，再由關鍵點求φ，由最小值求A，故得f(x)，可求f. [規(guī)范解答]　(1)y＝sin

7、＝cos＝cos ＝cos 2， 故函數y＝sin的圖象可由y＝cos 2x的圖象向右平移個單位得到，故選D. (2)如圖所示，＝π－＝， ∴T＝π.則ω＝2. 又2×＋φ＝π，∴φ＝， 又易知A＝， 故f(x)＝sin， ∴f＝sin ＝. [答案]　(1)D　(2) 【規(guī)律總結】 求函數y＝Asin(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0)的解析式及其圖象變換的規(guī)律方法 (1)已知函數y＝Asin(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0)的圖象求解析式時，常采用待定系數法，由圖中的最高點、最低點求A，由函數的周期確定ω，由圖象上的關鍵點確定φ. (2)一般地，函數y＝sin(ωx＋φ)的

8、圖象，可以看作把曲線y＝sin ωx上所有點向左(當φ＞0時)或向右(當φ＜0時)平移個單位長度而得到的． 【變式訓練】 3．(2012·臨沂模擬)若函數y＝sin x－cos x的圖象向右平移m(m＞0)個單位長度后，所得到的圖象關于y軸對稱，則m的最小值是 A.　　　　B.　　　　C.　　　　D. 解析　y＝sin x－cos x＝2sin，函數圖象向右平移m(m＞0)個單位長度，得到的函數解析式為y＝2sin，要使所得到的圖象關于y軸對稱，則有m＋＝＋kπ，k∈Z，即m＝＋kπ，k∈Z，所以當k＝0時，m＝，選C. 答案　C 4．(2012·房山一模)已知函數f(x)＝sin

9、(ωx＋φ)(ω＞0,0＜φ＜π)的圖象如圖所示，則ω＝________，φ＝________. 解析?。溅校?，∴T＝， ∴ω＝＝. 又×＋φ＝，∴φ＝π. 答案　　π 考點三：三角函數圖象與性質的綜合應用 【例3】(2012·北京東城11校聯考)已知函數f(x)＝cos2ωx－sin ωx·cos ωx(ω＞0)的最小正周期是π. (1)求函數f(x)的單調遞增區(qū)間和對稱中心； (2)若A為銳角△ABC的內角，求f(A)的取值范圍． [審題導引]　把f(x)化為y＝Acos(ωx＋φ)＋k的形式后求單調區(qū)間與對稱中心，再根據A的范圍求f(A)的取值范圍． [規(guī)范解答]

10、　(1)f(x)＝－sin 2ωx ＝cos＋， T＝＝π，ω＝1. f(x)＝cos＋， －π＋2kπ≤2x＋≤2kπ，k∈Z， －＋kπ≤x≤－＋kπ. 函數f(x)的單調增區(qū)間為，k∈Z， 令2x＋＝＋kπ，x＝＋， ∴對稱中心為，k∈Z. (2)0＜A＜，＜2A＋＜， －1≤cos＜， －≤cos＋＜1， 所以f(A)的取值范圍為. 【規(guī)律總結】 三角函數性質的求解方法 (1)三角函數的性質問題，往往都要先化成f(x)＝Asin(ωx＋φ)的形式再求解． (2)要正確理解三角函數的性質，關鍵是記住三角函數的圖象，根據圖象并結合整體代入的基本思想即可求三角

11、函數的單調性，最值與周期． [易錯提示]　(1)在求三角函數的最值時，要注意自變量x的范圍對最值的影響，往往結合圖象求解． (2)求函數f(x)＝Asin(ωx＋φ)的單調區(qū)間時，只有當ω＞0時，才可整體代入并求其解，當ω＜0時，需把ω的符號化為正值后求解． 【變式訓練】 5．(2012·朝陽模擬)已知函數f(x)＝cos. (1)若f(α)＝，求sin 2α的值； (2)設g(x)＝f(x)·f，求函數g(x)在區(qū)間上的最大值和最小值． 解析　(1)因為f(α)＝cos＝， 所以(cos α＋sin α)＝， 所以cos α＋sin α＝. 平方得，sin2α＋2sin

12、αcos α＋cos2α＝， 所以sin 2α＝. (2)因為g(x)＝f(x)·f ＝cos·cos ＝(cos x＋sin x)·(cos x－sin x) ＝(cos2x－sin2x)＝cos 2x. 當x∈時，2x∈. 所以，當x＝0時，g(x)的最大值為； 當x＝時，g(x)的最小值為－. 名師押題高考 【押題1】已知＜θ＜π，sin＝－，則tan(π－θ)的值為 A.　 　 　B. C．－　 　 　 D．－ 解析　∵sin＝cos θ＝－，θ∈， ∴sin θ＝，∴tan θ＝－， tan(π－θ)＝－tan θ＝. 答案　B [押題

13、依據]　本題以選擇題的形式考查了同角三角函數的基本關系式及誘導公式，重點突出、考查全面，題目考查內容基礎性較強，符合高考的方向，故押此題． 【押題2】(2012·北京東城一模)已知函數f(x)＝(sin 2x＋cos 2x)2－2sin22x. (1)求f(x)的最小正周期 (2)若函數y＝g(x)的圖象是由y＝f(x)的圖象向右平移個單位長度，再向上平移1個單位長度得到的，當x∈時，求y＝g(x)的最大值和最小值． 解析　(1)因為f(x)＝(sin 2x＋cos 2x)2－2sin22x ＝sin 4x＋cos 4x＝sin， 所以函數f(x)的最小正周期為. (2)依題意，y＝g(x)＝sin＋1 ＝sin＋1. 因為0≤x≤，所以－≤4x－≤. 當4x－＝，即x＝時，g(x)取最大值＋1； 當4x－＝－，即x＝0時，g(x)取最小值0. [押題依據]　將三角函數式化為y＝Asin(ωx＋φ)的形式，再求其周期、單調區(qū)間、最值等，一直是高考的熱點考向，也是三角函數的重要內容，本題考查內容重點突出，難度適中，故押此題．