人教版高一數學必修一全套教案43819.doc

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______________________________________________________________________________________________________________ 必修 1 1.1.1集合的含義與表示（一） 引入課題 今天我們學習高中數學的第一章集合與函數，初中我們就學習過函數，高中我們將在集合的背景下重新學習函數，所以我們從今天開始先學習集合，（板書）下面請咱班的全體同學把課本翻到第二頁，在這里，咱班的全體同學就構成了一個集合。小學和初中我們已經接觸過一些集合，例如，自然數的集合，不等式解的集合，平面內到一條線段兩個端點距離相等的點的集合。那么集合的含義是什么呢？ 閱讀課本P2-5內容，附加（9）我國的小河流；（10）全班成績好的學生 其中（1）--（8）都是把一些確定的元素組成的總體叫集合，而（9），（10）其研究對象含糊不清，不明確，不能作為一個集合 二、新課教學 1，集合的有關概念 一般地，我們把研究對象統(tǒng)稱為元素，一些元素組成的總體叫集合，也簡稱集。 比如說咱們班全體同學構成了一個集合，其元素是每一位同學。 同學們舉例----- 2，關于集合的元素的特征 教室內帥氣的男生能否構成一個集合？ 確定性：設A是一個給定的集合，x是某一個具體對象，則或者是A的元素，或者不是A的元素，兩種情況必有一種且只有一種成立。 今天上了哪些課程？今天數學是聯(lián)排課，數學用不用說兩遍？ 互異性：一個給定集合中的元素，指屬于這個集合的互不相同的個體（對象），因此，同一集合中不應重復出現同一元素。 咱班的同學按照姓氏筆畫排列一遍，再按照年齡大小排列一遍，是不是同一個集合？ 無序性：給定一個集合與集合里面元素的順序無關。 練習：判定是否是集合？ （1） 方程x*2-2x+1=0的解集（2）魯迅，π，上海 說明：其中前兩個性質作為集合的判定定理 3，元素與集合的關系； （1）如果a是集合A的元素，就說a屬于A，記作：a∈A （2）如果a不是集合A的元素，就說a不屬于A，記作：aA 會不會有第三種關系，即不確定屬于不屬于？（確定性） 例如，我們A表示“1~20以內的所有質數”組成的集合，則有3∈A，4A，等等。 4．集合與元素的字母表示： 集合通常用大寫的拉丁字母A，B，C…表示；集合的元素用小寫的拉丁字母a,b,c,…表示。 5．常用的數集及記法： 非負整數集（或自然數集），記作N；（自然英文首字母） 正整數集，記作N*或N+； 整數集，記作Z；（zheng） 有理數集，記作Q；（QQ交朋友） 實數集，記作R；（真實的英文首字母） 區(qū)分有理數，無理數： 有理數：整數，分數，小數，無限循環(huán)小數 無理數：無限不循環(huán)小數，典型代表，π，e 6,我們可以用自然語言來描述一個集合，比如說“四大洋”，這個集合有幾個元素？元素個數比較少，我們可以一一列舉出來，這就是集合的表示方法之一，列舉法，再比如2，4，6，7這四個數構成的集合，用自然語言描述不好描述，用列舉法就很簡單， 下面我們看看列舉法的一般的書寫格式 列舉法：把集合中的元素一一列舉出來，并用花括號“”括起來表示集合的方法叫 列舉法。 如：{1，2，3，4，5}，{x2，3x+2，5y3-x，x2+y2}，…； 例1．（課本例1）用列舉法表示下列集合： （1）小于10的所有自然數組成的集合； （2）方程x2=x的所有實數根組成的集合； （3）由1到20以內的所有質數組成的集合； （4）方程組的解組成的集合 說明：1．集合中的元素具有無序性，所以用列舉法表示集合時不必考慮元素的順序。 　　　2．各個元素之間要用逗號隔開； 　　　3．元素不能重復； 4．集合中的元素可以數，點，代數式等； 　　　5．對于含有較多元素的集合，用列舉法表示時，必須把元素間的規(guī)律顯示清楚后方能用省略號， 象自然數集Ｎ用列舉法表示為 6，{實數集}，{R}也是錯誤的，這里的{ 　}已包含“所有”的意思。 思考：你能用列舉法表示不等式x-7<3的解集嗎？無法用列舉法（元素個數無限多，而且不容易寫出規(guī)律加省略號），但是這些元素共同的性質很容易概括，x<10 得出描述法的定義： （2）描述法：把集合中的元素的公共屬性描述出來，寫在花括號{　}內。 具體方法：在花括號內先寫上表示這個集合元素的一般符號及取值（或變化）范圍，再畫一條豎線，在豎線后寫出這個集合中元素所具有的共同特征。 一般格式： 如：{x|x-3>2}，{(x,y)|y=x2+1}，{x︳直角三角形}，…； 例2．（課本例2）試分別用列舉法和描述法表示下列集合： （1）方程x2—2=0的所有實數根組成的集合； （2）由大于10小于20的所有整數組成的集合； （3）方程組的解。 描述法表示集合應注意集合的代表元素，如{(x,y)|y= x2+3x+2}與 {y|y= x2+3x+2}， {x|y= x2+3x+2}, {y/3|y= x2+3x+2}是不同的集合， 探究：課本P5最后一段話；生活的的例子適合用自然語言，比如說我們班的全體同學，元素個數有限且較少更適合列舉法，元素個數多或則無法一一列舉適合但共同屬性很容易概括適用于描述法 歸納小結：1---6 提升：集合是高中數學的一個重要平臺，學好集合基本知識，為我們在這個平臺上施展抱負做好準備。 1.1.2集合間的基本關系 一、復習回顧： 1.提問：集合的兩種表示方法？ 如何用適當的方法表示下列集合？ （1）10以內3的倍數； （2）1000以內3的倍數 2.用適當的符號填空： 0 N； Q； -1.5 R。 思考1：類比實數的大小關系，如5<7，2≤2，試想集合間是否有類似的“大小”關系呢？ 二、新課教學 比較下面幾個例子，試發(fā)現兩個集合之間的關系： （1），； （2），； （3）， 由學生通過觀察得結論。 1． 子集的定義： 對于兩個集合A，B，如果集合A的任何一個元素都是集合B的元素，我們說這兩個集合有包含關系，稱集合A是集合B的子集。 記作： 讀作：A包含于B，或B包含A 當集合A不包含于集合B時，記作 用Venn圖表示兩個集合間的“包含”關系： B A 如：（1）中 2． 集合相等定義： 如果A是集合B的子集，且集合B是集合A的子集，則集合A與集合B中的元素是一樣的，因此集合A與集合B相等，即若，則。（可以類比兩個實數相等） 如（3）中的兩集合。（相等，子集兩種寫法都對） 3． 真子集定義： 若集合，但存在元素，則稱集合A是集合B的真子集。 記作：A B（或B A） 讀作：A真包含于B（或B真包含A） 如：（1）和（2）中A B，C D；（子集，真子集兩種寫法都對） 探究A是B的子集可能包含了什么情況？ 4． 空集定義：方程x*2+1=0的解集？你還能舉出不含任何元素的集合嗎？ 不含有任何元素的集合稱為空集，記作：。 5． 幾個重要的結論： （1） 空集是任何集合的子集； （2） 空集是任何非空集合的真子集； （3） 任何一個集合是它本身的子集； （4） 對于集合A，B，C，如果，且，那么。 （5） 例3，練習1， 注意：1）分類討論要不重不漏，有邏輯性，可以按照元素的個數分類， 2) 歸納法有猜想的成分，不嚴謹，我們學習了排列組合可以嚴謹證明 應用：（1，2）真含于A含于（1，2，3，4，5）求滿足條件的集合A的個數 變式：（1，2）真含于A含于（1，2，3，4，5，6，7） 課本P7練習2，3 注意：集合與元素是“屬于”“不屬于”的關系，集合與集合是“包含于”“不包含于”的關系； 歸納小結： 本節(jié)課從實例入手，非常自然貼切地引出子集、真子集、空集、相等的概念及符號；并用Venn圖直觀地把這種關系表示出來；注意包含與屬于符號的運用。 提升：集合已經學習了兩節(jié)課，學習了不少概念，集合是數學的基本語言，同學們現在好比是牙牙學語的幼兒，希望同學們理解并記牢，快速成長！ 1.1.3集合的基本運算 一、復習回顧： 1．已知A={1，2，3}，S={1，2，3，4，5}，則A S；{x|x∈S且xA}= 。 2．用適當符號填空： 0 {0}； 0 Φ； Φ {x|x＋1＝0,x∈R} {0} {x|x<3且x>5}； {x|x>6} {x|x<－2或x>5} ； {x|x>－3} {x>2} 同學們兩個實數之間有四則運算，兩個集合之間是否也有類似運算嗎？ 二、新課教學 思考：考察下列集合，說出集合C與集合A，B之間的關系： （1），； （2），；由學生通過觀察得結論。 1．并集的定義： 一般地，由所有屬于集合A或屬于集合B的元素所組成的集合，叫做集合A與集合B的并集（union set）。記作：A∪B（讀作：“A并B”），即 用Venn圖表示： 這樣，在問題（1）（2）中，集合A，B的并集是C，即 = C 說明：定義中要注意“所有”和“或”這兩個條件。 課本例4，例5 例5，數軸求并集1）畫線高低錯落，2）空心實心毫不含糊，3）求并有線就行 討論：A∪B與集合A、B有什么特殊的關系？ A∪A＝ , A∪Ф＝ , A∪B B∪A A∪B＝A , A∪B＝B . 引入：1，（2，4，6，8，10）（3，5，8，12）（8） 2，女同學，高一學生，高一女同學 2．交集的定義： 一般地，由屬于集合A且屬于集合B的所有元素組成的集合，叫作集合A、B的交集（intersection set），記作A∩B（讀“A交B”）即： A∩B＝{x|x∈A，且x∈B} 用Venn圖表示：（陰影部分即為A與B的交集） 鞏固練習（口答）： ①．A＝{3,5,6,8}，B＝{4,5,7,8}，則A∩B＝ ; ②．A＝{等腰三角形}，B＝{直角三角形}，則A∩B＝ ; ③．A＝{x|x>3}，B＝{x|x<6}，則A∩B＝ 。 （雙線才算） 討論：A∩B與A、B、B∩A的關系？ A∩A＝ A∩Ф＝ A∩B B∩A A∩B＝A A∩B＝B 3. 全集、補集概念及性質的教學： 研究問題時，我們經常要確定研究對象的范圍，例如，從小學到初中，我么研究數的范圍逐步由自然數，整數，有理數，實數過度不同范圍研究同一個問題時，可能有不同結果，例如方程。(X-2)(X*2-3)=0的解在有理數范圍只有一個解，在實數范圍下就有三個解，所以研究問題時，我們常常需要設定前提范圍，這就是全集。 1）、全集的定義：一般地，如果一個集合含有我們所研究問題中涉及的所有元素，那么就稱這個集合為全集,記作U，是相對于所研究問題而言的一個相對概念。（看書上的例題練習題，全集是因題而異的，是人為設定的） 2）、補集的定義：對于一個集合A，由全集U中不屬于集合A的所有元素組成的集合，叫作集合A相對于全集U的補集，記作：，讀作：“A在U中的補集”，即 用Venn圖表示：（陰影部分即為A在全集U中的補集） 鞏固練習：例8，例9，練習題1，2，3，4 第四題：1）添加一問介紹反衍律，畫圖證明2）介紹四塊地的集合表示 歸納小結：交，并，補 提升：到現在為止集合的概念運算已經都學完了，集合是數學的基本語言，同學們現在好比是牙牙學語的幼兒，已經初步掌握了這門語言，希望同學們認真練習，熟練運用！ 1.2.1函數的概念 一、復習準備： 初中我們都學習了哪些函數？一次，二次，反比例，其圖像為：---混入一個豎直的直線，一個開口向右的拋物線，引出初中函數的定義，在一個變化過程中，有兩個變量x和y，對于x的每一個確定的值，y都有唯一的值與之對應，此時y是x的函數，x是自變量，y是因變量。 二、講授新課： （一）函數的概念： 函數的定義： 設A、B是兩個非空的數集，如果按照某種確定的對應關系f，使對于集合A中的任意一個數x，在集合B中都有唯一確定的數和它對應，那么稱為從集合A到集合B的一個函數，記作： 問題1，初高中定義的相同點和不同點？相同點：關鍵詞任意唯一每變，不同點：高中定義中提到了集合。 問題2，集合在定義中扮演什么角色？“口袋”作用就是把X,Y的取值裝入兩個集合口袋一個叫集合A一個叫集合B，比如說我們初中學習的一次函數，二次函數用高中定義來說—— 練習1，是否是A到B的函數？ 總結：任意唯一，是函數需遍取A中任意一個元素，不是函數只要在A中找到一個元素在B中沒有對應，或對應多于一個。 完善定義：其中，x叫自變量，x的取值范圍A叫作定義域，與x的值對應的y值叫函數值，函數值的集合叫值域。顯然，值域是集合B的子集。 探究：值域是集合B的子集？ 練習2，下列是A到B的函數的是A=[0，6] B=[0，2]（ ） Af:y=x/4 B f:y=x/3 Cf:y=x/2 練習3，下列是A到B的函數（1）f: y^2=x, A:x≥0，y∈R （2）x^2+y^2=1 A,B=[-1，1] 練習4，A=[三角形] B=[正實數] f:求該三角形的面積 這就是我們高中函數的定義，其中定義域值域是初中定義每涉及的，下面我們就研究初中接觸的函數的定義域和值域 （1）一次函數y=ax+b (a≠0)的定義域是R，值域也是R； （2）二次函數 (a≠0)的定義域是R，值域是B；當a>0時，值域；當a﹤0時，值域。 （3）反比例函數的定義域是，值域是。 （二）區(qū)間及寫法： 設a、b是兩個實數，且a5}、{x|x≤-1}、{x|x<0} （學生做，教師訂正） （3） 例題講解： 例1：求下列函數的定義域（用區(qū)間表示） 1 f(x)=； ⑵ f(x)=； ⑶ f(x)=－； 學生試求→訂正→小結：定義域求法（分式、根式、組合式） 說明：求定義域步驟：列不等式（組） → 解不等式（組）→寫成集合或區(qū)間 例2，已知函數，求f(0)、f(a)、f(2a+1)、f(x-1)、f(g(x))的值。 說明：秘訣：整體打包代入 例3．（課本P18例2）下列函數中哪個與函數y=x相等？ （1）； （2）； （3）； （4） 。 說明：相同三要素完全相同，不同一個要素不同就不同。 探究：三要素是有關系的，我們是否可以判定兩要素相同就說是同一個函數？ 總結：函數的定義 提升：從初中函數的概念到高中函數的概念，我們在更高的平臺上對函數有了進一步的了解，好比同學們的學習，一個又一個臺階，不斷進步！ 1.2.2函數的表示法 一、復習準備： 1．提問：函數的概念？函數的三要素？ 2．討論：初中所學習的函數三種表示方法？試舉出日常生活中的例子說明. 二、講授新課： （一）函數的三種表示方法： 結合課本P15 給出的三個實例，說明三種表示方法的適用范圍及其優(yōu)點： 解析法：就是用數學表達式表示兩個變量之間的對應關系，如1.2.1的實例（1）； 優(yōu)點：簡明扼要；給自變量求函數值。 圖象法：就是用圖象表示兩個變量之間的對應關系，如1.2.1的實例（2）； 優(yōu)點：直觀形象，反映兩個變量的變化趨勢。 列表法：就是列出表格來表示兩個變量之間的對應關系，如1.2.1的實例（3）； 優(yōu)點：不需計算就可看出函數值，如股市走勢圖； 列車時刻表；銀行利率表等。 例1．（課本P19 例3）某種筆記本的單價是2元，買x (x∈{1，2，3，4，5})個筆記本需要y元．試用三種表示法表示函數y=f(x) ． 例2：（課本P20 例4）下表是某校高一（1）班三位同學在高一學年度六次數學測試的成績及班級平均分表： 第一次 第二次 第三次 第四次 第五次 第六次 甲 98 87 91 92 88 95 乙 90 76 88 75 86 80 丙 68 65 73 72 75 82 班平均分 88．2 78．3 85．4 80．3 75．7 82．6 請你對這三們同學在高一學年度的數學學習情況做一個分析． （二）分段函數的教學： 分段函數的定義： 在函數的定義域內，對于自變量x的不同取值范圍，有著不同的對應法則，這樣的函數通常叫做分段函數，如以下的例3的函數就是分段函數。 說明： （1）．分段函數是一個函數而不是幾個函數，處理分段函數問題時，首先要確定自變量的數值屬于哪個區(qū)間段，從而選取相應的對應法則；畫分段函數圖象時，應根據不同定義域上的不同解析式分別作出； （2）．分段函數只是一個函數，只不過x的取值范圍不同時，對應法則不相同。 例3：（課本P21 例6）某市“招手即停”公共汽車的票價按下列規(guī)則制定： （1）5公里以內（含5公里），票價2元； （2）5公里以上，每增加5公里，票價增加1元（不足5公里的俺公里計算）。 如果某條線路的總里程為20公里，請根據題意，寫出票價與里程之間的函數解析式，并畫出函數的圖象。 例4． 已知f(x)＝，求f(0)、f[f(-1)]的值 導入：對比函數的定義 函數是建立在兩個非空數集間的一種對應，若將其中的條件“非空數集”弱化為“任意兩個非空集合”，按照某種法則可以建立起更為普通的元素之間的對應關系，即映射。 （三） 映射的概念教學： 定義：一般地，設A、B是兩個非空的集合，如果按某一個確定的對應法則f，使對于集合A中的任意一個元素x，在集合B中都有唯一確定的元素y與之對應，那么就稱對應為從集合A到集合B的一個映射。記作： 討論：映射有哪些對應情況？一對多是映射嗎？ 例1．（課本P22例7）以下給出的對應是不是從A到集合B的映射？ （1） 集合A={P | P是數軸上的點}，集合B=R，對應關系f：數軸上的點與它所代表的實數對應； （2） 集合A={P | P是平面直角坐標系中的點}，B= ，對應關系f： 平面直角坐標系中的點與它的坐標對應； （3） 集合A={x | x是三角形}，集合B={x | x是圓}，對應關系f：每一個三角形都對應它的內切圓； （4） 集合A={x | x是新華中學的班級}，集合B={x | x是新華中學的學生}，對應關系：每一個班級都對應班里的學生。 例2．設集合A={a,b,c}，B={0,1} ，試問：從A到B的映射一共有幾個？并將它們分別表示出來。 （四）、歸納小結： 本節(jié)課歸納了函數的三種表示方法及優(yōu)點；講述了分段函數概念；了解了函數的圖象可以是一些離散的點、線段、曲線或射線。 1.3.1單調性與最大（?。┲? 1、 復習準備： 下圖是神州號飛船飛行的高度關于時間的圖像 問題1，是定義在t∈[0，8]的函數圖像嗎？ 問題2，觀察函數圖像，你能了解神州號飛船的飛行規(guī)律嗎？上升下降，最高最低點 這就是我們本節(jié)課要學習的兩個方面，單調性與最值（寫課題） 引導1，在t∈[0，2]上圖像是如何變化的？上升的 引導2，圖像是上升的，很好的感性的認識，但一般不會作為嚴格的官方定義，如何定義呢？ 隨著x的變大y變大 引導3，隨著x的變大y變大，也就是說如果x10時， → ；根式是能表示成分數指數冪的形式 ，當被開方的指數不能被根指數整除時根式是否也能表示成分數指數冪的形式？ → .這樣規(guī)定的合理性？使得理論體系得以推廣健全。 定義分數指數冪： 規(guī)定； 隨堂練習：A.將下列根式寫成分數指數冪形式：；； B. 求值 ； ； ； . 討論：0的正分數指數冪？ 0的負分數指數冪？ 指出：規(guī)定了分數指數冪的意義后，指數的概念就從整數指數推廣到了有理數指數，那么整數指數冪的運算性質也同樣可以推廣到有理數指數冪． 指數冪的運算性質： ·； ； ． 教學例題： （1）、（P51，例2） 解：① ，② ③ ，④ 總結：有兩種思路：1）直接將分數指數冪轉化成根式。但這樣做有時比較麻煩，如④。2）把底數先寫成分數指數冪的形式，這樣新老冪之間可能約分化簡，較好！ （2）、（P51，例3）用分數指數冪的形式表或下列各式（＞0） 解：， （3）（P52例5）計算下列各式 （1）（2）＞0） 無理指數冪的教學 的結果？→定義：無理指數冪.（結合教材P58利用逼近的思想理解無理指數冪意義） 無理數指數冪是一個確定的實數．實數指數冪的運算性質？ 歸納小結： 1．根式的概念：若n＞1且，則 為偶數時，； 2． 掌握兩個公式： 3． 根式和分數指數冪的轉化。 提升：指數冪的推廣完善：整數（初中）→有理數→實數，理論體系就像一顆種子一樣慢慢的生根發(fā)芽開花結果！ 2.1.2 指數函數及其性質 一、復習準備： 1. 提問：分數指數冪是怎樣定義的？ 2. 提問：有理指數冪的運算法則可歸納為幾條？ 講新課之前我想提一個一直困擾我的拉面問題，2^1=2,2^2=4,2^3=8,2^4=16,2^5=32-----實際上就是一個函數關系，大約拉4，5次就可以了，正是這個函數把我從人生的困惑中解脫出來，這就是我們今天指數函數。 2、 講授新課： 舉例：生活中其它指數模型？ A．細胞分裂時，第一次由1個分裂成2個，第2次由2個分裂成4個，第3次由4個分裂成8個，如此下去，如果第x次分裂得到y(tǒng)個細胞，那么細胞個數y與次數x的函數關系式是什么？ B．一種放射性物質不斷變化成其他物質，每經過一年的殘留量是原來的84％，那么以時間x年為自變量，殘留量y的函數關系式是什么？ 討論：上面的兩個函數有什么共同特征？底數是什么？指數是什么？ 定義：一般地，函數叫做指數函數（exponential function），其中x是自變量，函數的定義域為R. 討論：為什么規(guī)定＞0且≠1呢？否則會出現什么情況呢？討論：你能類比前面討論函數性質時的思路，提出研究指數函數性質的內容和方法嗎？研究方法：畫出函數的圖象（有圖有真相），結合圖象研究函數的性質． 研究內容：定義域、值域、特殊點、單調性、最大（?。┲?、奇偶性． 如何做出一個新函數的圖像？描點法或者圖像變換 作圖：在同一坐標系中畫出下列函數圖象： （師生共作→小結作法） 函數與的圖象有什么關系？如何由的圖象畫出的圖象？根據兩 函數的圖象的特征，歸納出這兩個指數函數的性質. → 變底數為3或1/3等后？ 根據圖象歸納：指數函數的性質 (書P56) 01 定義域 值域 單調性 奇偶性 定點 圖像位置關系 3、例題講解 例1：（P56 例6）已知指數函數（＞0且≠1）的圖象過點（3，π），求 例2：（P56例7）比較下列各題中的個值的大小 （1）1.72.5 與 1.73( 2 )與( 3 ) 1.70.3 與 0.93.1 總結：比較大小的常見方法：做差，做商，單調性，中間量-------- 教學指數函數的應用模型： ① 出示例1：我國人口問題非常突出，在耕地面積只占世界7%的國土上，卻養(yǎng)育著22%的世界人口．因此，中國的人口問題是公認的社會問題．2000年第五次人口普查，中國人口已達到13億，年增長率約為1%．為了有效地控制人口過快增長，實行計劃生育成為我國一項基本國策． (Ⅰ)按照上述材料中的1%的增長率，從2000年起，x年后我國的人口將達到2000年的多少倍？ (Ⅱ)從2000年起到2020年我國的人口將達到多少？ （師生共同讀題摘要→ 討論方法 → 師生共練→ 小結：從特殊到一般的歸納法） ② 練習： 2005年某鎮(zhèn)工業(yè)總產值為100億，計劃今后每年平均增長率為8%, 經過x年后的總產值為原來的多少倍？ → 變式：多少年后產值能達到120億？ ③ 小結指數函數增長模型：原有量N，平均最長率p，則經過時間x后的總量y=？ →一般形式：涉及到指數型函數的應用，形如（a＞0且≠1）. 歸納小結 1、指數函數的定義 2、指數函數圖像和性質 提升：思想方法：分類討論，數形結合，這是高中數學較比重要的思想希望同學們能有所體會！而且展示了研究一個新學函數方法，這位我們以后的學習起到了示范作用。 2.2.1對數與對數運算 復習準備： 今天我們學習2.2，在2.1中我們學習了哪些內容？根式與分數指數冪。指數函數對于這兩節(jié)內容我們簡單復習一下： 問題1.X^2=4,X=±2？.X^2=5，X=±√5？為什么X=±√5？這個方程的根X真實存在，但在有理數范圍內是無解的，于是我們規(guī)定了n次方根的定義，從而就可以把這兩個解書寫出來，可以說就是為了解方程的需要人為發(fā)明的一個符號標記。 問題2。對于指數函數，Y=8,X=?, Y=30,X=?, X存在嗎？唯一確定嗎？你能估測其所在區(qū)間嗎？雖然方程的根唯一確定但我們現在是無法說出x等于什么，怎么辦？人為標記一個符號，怎么標記？同學們嘗試發(fā)明創(chuàng)造-------，大家的創(chuàng)造能力很強，和合理，但生不逢時，這個已經被數學前輩發(fā)明了，16世紀蘇格蘭數學家納皮爾，發(fā)明了對數，對數的發(fā)明是數學歷史上的重大事件，天文學家，航海家為之欣喜若狂，恩格斯把對數的發(fā)明，解析幾何，微積分并稱17世紀數學的3大創(chuàng)造，伽利略說過，給我空間時間和對數我就能創(chuàng)造一個宇宙?。?！ 定義：一般地，如果，那么數 x叫做以a為底 N的對數（logarithm）. 記作 ，其中a叫做對數的底數，N叫做真數 用定義說明： =30,X=?, 定義：我們通常將以10為底的對數叫做常用對數（common logarithm），并把常用對數簡記為lgN 在科學技術中常使用以無理數e=2.71828……為底的對數，以e為底的對數叫自然對數，并把自然對數簡記作lnN → 認識：lg5 ; lg3.5； ln10； ln3 練習課本例1.互化，添加兩題（7）lg（-1）= (8)lg0= (9)lg1= (10)lg10= 結論：負數與零沒有有對數？（原因：在指數式中 N > 0 ） ， 例2--------- 指數有哪些運算律？對數也應當有自己的運算律，如果我們發(fā)現將是對對數體系是重大完善！ ① 引例： 由，如何探討和、之間的關系？ 設, ，由對數的定義可得：M=，N= ∴MN== ∴MN=p+q，即得MN=M + N ② 探討：根據上面的證明，能否得出以下式子？ 如果 a > 0，a 1 1，M > 0， N > 0 ，則 ; ； 性質的證明思路？（對數定義，用定義證明是證明的根本，學過了哪些？證明單調性，奇偶性）自然語言如何敘述三條性質？ 例1. 判斷下列式子是否正確，（＞0且≠1，＞0且≠1，＞0，＞）， （1） （2） （3） （4） （5） （6） （7） 例2（ P65例3例4）：用，，表示出（1）（2）小題，并求出（3）、（4）小題的值. （1） （2） （3） （4） 對數在生活中的應用是很強的，看課本P66，我國人口問題達到18億的年份，如何求，這里是非特殊值需要計算機，但問題來了，計算器上都是以10，e,為底的，所以我們需要把這個結果轉化成以10或e,為底的。 換底公式，查計算機算出本題。從計算器求對數這個角度可以看出換底公式的重要性。 換底公式的推論：； 接下來繼續(xù)見證對數的神奇：長沙馬王墓女尸出土時碳14的余含量約占原始量的76.7%，試推算古墓的年代？ 歸納小結： 對數的定義：＞0且≠1） 　 對數的性質公式： 提升：同學們本節(jié)課大家見證了對數的發(fā)明與發(fā)展，這個過程神奇但也入情入理，希望同學們在數學上投入興趣多做研究，將來也能成為一名偉大的數學家！ 2.2.2對數函數及其性質 一、復習準備： 對數的定義和運算，對數是17世紀數學史的重大發(fā)明，恩格斯把對數的發(fā)明，解析幾何，微積分并稱17世紀數學的3大創(chuàng)造，伽利略說過，給我空間時間和對數我就能創(chuàng)造一個宇宙。比如教材P73例， 對每一個碳14的含量P的取值，通過對應關系，生物死亡年數t都有唯一的值與 之對應，從而t是關于P的函數，這個函數在考古年代斷定上有無以倫比的作用，這個函數就 是今天要學習的對數函數。 二、講授新課： 定義：一般地，當a＞0且a≠1時，函數叫做對數函數(logarithmic function).自變量是x； 函數的定義域是（0，+∞） 探究：你能類比前面討論指數函數性質的思路，提出研究對數函數性質的內容和方法嗎？ 研究方法：畫出函數的圖象，結合圖象研究函數的性質． 研究內容：定義域、值域、特殊點、單調性、最大（?。┲怠⑵媾夹裕? 如何做出一個新函數的圖像？描點法，圖像變換 同一坐標系中畫出下列對數函數的圖象 ；（可以通過將得到關于X軸對稱）根據圖象，你能歸納出對數函數的哪些性質？ 01 定義域 值域 單調性 奇偶性 定點 圖像位置關系 例1：（P71例7）求下列函數的定義域 （1） （2） （＞0且≠1） 例2. （P72例8）比較下列各組數中的兩個值大小 （1） （2） （3） （＞0，且≠1） 例3. （P72例9）：溶液酸堿度的測量問題：溶液酸堿度pH的計算公式，其中表示溶液中氫離子的濃度，單位是摩爾/升. （Ⅰ）分析溶液酸堿讀與溶液中氫離子濃度之間的關系？ （Ⅱ）純凈水摩爾/升，計算純凈水的酸堿度. 總結：用函數思想解決實際應用問題的步驟： 第一步:抽象出的函數模型。（建函數）（本題是直接給出函數） 第二步：如何應用函數模型解決問題？（用函數）（單調性，由X求Y） 第三步：匯報實際結論。（跳出函數） 過度：PH值分別是8，9，10求對應的氫離子的濃度，分別將函數值代入8，9，10再指對互化分別求出自變量，但這樣運算有重復的嫌疑，指對互化了3次，我們可以先指對互化得到一個新函數，對于這個新函數的自變量分別代入8，9，10這樣會簡單些。 原函數：PH值關于氫離子濃度的函數，新函數：氫離子濃度關于PH值的函數 這兩個函數有什么變化？自變量和因變量顛倒。這就是我們下面要學習的反函數 當一個函數是一一映射時, 可以把這個函數的因變量作為一個新函數的自變量, 而把這個函數的自變量新的函數的因變量. 我們稱這兩個函數為反函數（inverse function） 如何由求出它的反函數？ y=2x-1? 函數由解出，是把指數函數中的自變量與因變量對調位置而得出的. 習慣上我們通常用x表示自變量，y表示函數，即寫為.那么我們就說指數函數與對數函數互為反函數。 在同一平面直角坐標系中，畫出上面兩對互為反函數的圖象，發(fā)現什么性質？關于y=x對稱。為什么？ 例1、求下列函數的反函數 （1） （2） （師生共練 → 小結步驟：解x ；交換x,y；定義域） 類比：原函數（漢獻帝掌權）反解x （曹操挾天子以令諸侯）；交換x,y（曹操稱帝，當然曹操自己沒有稱帝） 例2、己知函數的圖象過點（1，3）其反函數的圖象過（2，0）點，求的表達式. 歸納小結：對數函數的概念、圖象和性質; 反函數的含義 提升：指對函數是高中最先學的兩個基本初等函數，它們關于Y=X對稱，（畫門形圖），走進這扇門將正式進入高中函數的學習！ 2.3冪函數 新課引入： （1）邊長為的正方形面積，這里是的函數； （2）面積為的正方形邊長，這里是的函數； （3）邊長為的立方體體積，這里是的函數； （4）某人內騎車行進了1，則他騎車的平均速度，這里是的函數； （5）購買每本1元的練習本本，則需支付元，這里是的函數. 觀察上述五個函數，有什么共同特征？（指數定，底變） 給出定義：一般地，形如的函數稱為冪函數，其中為常數. 冪函數和我們學習過的什么函數相似度較高？指數函數。區(qū)別是什么？指數：底定指變，冪：指定底變。 練：判斷在函數y=x^3（是）,y=3^x（不是）,y=3x^2（不是）,y=x^2+x^3（不是），y=1/x（是）,y=x^0（是）,y=1（不是）中，哪幾個函數是冪函數？用定義嚴格判斷。只要形如這種形式的就是冪函數，參數a可以取任何值。在這里我們也可以看出冪函數的多樣性，y=1/x,y=x,y=x^2,圖像差別較大。 如何研究冪函數？可類比指對函數研究的方式：函數定義有了，下一步有圖有真相，通過描點法出圖像，但由于圖像的多樣性，每個冪函數的類比性不強，借鑒意義不算大，每個冪函數都要描點，今天我們用“超級描點法”比如：y=x^1/2:定義域【0，正無窮）值域【0，正無窮）圖像就鎖定第一象限且過原點，單調性【0，正無窮）單增，這樣就把圖像就有了大致輪廓，再描點就不會很盲目?。惐龋鹤鳟?，警察破案） 練習：分小組做出下列冪函數的大致圖像a=3，-3，2/3,3/2,-2/3,-3/2 引導學生觀察圖象，歸納概括冪函數的的性質及圖象變化規(guī)律： （Ⅰ）所有的冪函數在（0，+∞）都有定義，并且圖象都過點（1，1）； （Ⅱ）時，冪函數的圖象通過原點，并且在區(qū)間上是增函數．特別地，當時，冪函數的圖象下凸；當時，冪函數的圖象上凸； （Ⅲ）時，冪函數的圖象在區(qū)間上是減函數．在第一象限內，當從右邊趨向原點時，圖象在軸右方無限地逼近軸正半軸，當趨于時，圖象在軸上方無限地逼近軸正半軸。 過度：這就是我們今天研究的冪函數，體會了超級描點法，就是先通過函數解析式，可以很容易得到函數的一些性質，定義域，值域，單調性，奇偶性，特殊點---這樣就可以勾勒出圖像大致輪廓，再描點，就可以把圖像快速畫出！比如單調性不通過嚴謹證明，很容易判定出來，是增函數，當然如果你要想嚴謹證明也可以證出來。 例1（P78例1）．證明冪函數上是增函數 證：任?。紕t = = 因＜0，＞0 所以，即上是增函數. 例2. 比較大?。号c； 與； 與. 歸納小結： 1， 定義。2，作圖。3，性質 提升：通過作圖可以了解冪函數性質，而通過性質我們也可以幫助我們作圖，體現了數形結合思想，數形相輔相成。 3.1.1 方程的根與函數的零點 引入：在第二章我們學習了函數的概念，性質，指對冪函數，函數是高中數學最重要的內容，而函數在實際生活中應用非常廣泛，比如上一章我們研究的人口的增長問題就是指數型函數模型，考古中年代斷定就是對數型函數，不舉高大上的就比如一個一直困擾我的拉面問題，2^1=2,2^2=4,2^3=8,2^4=16,2^5=32-----實際上就是一個指數函數，大約拉4，5次就可以了，正是這個函數把我從人生的困惑中解脫出來。第三章我們就重點研究函數的應用。 1、提出問題：一元二次方程 ax2+bx+c=0 (a≠0)的根與二次函數y=ax2+bx+c(a≠0)的圖象有什么關系？ 2．先來觀察幾個具體的一元二次方程的根及其相應的二次函數的圖象： ①方程與函數②方程與函數 ③方程與函數 生：這三個二次方程的根就是二次函數圖形與X軸交點的橫坐標 師：上述結論推廣到一般二次方程和二次函數又怎樣？可推廣為更一般的函數與方程嗎？ 方程的根就是函數與X軸交點的橫坐標 就叫做函數的零點．問上面三個函數的零點（糾錯零點不是點是橫坐標，名字有很強的迷惑性）方程有實數根函數的圖象與軸有交點函數有零點． 過度：函數一定有零點嗎？ 過度：二次函數的零點存在性可以通過判別式斷定，其它函數的零點存在性如何判定？ 零點存在性的探索： （Ⅰ）觀察二次函數的圖象： ① 在區(qū)間上有零點______； _______，_______, ·_____0（＜或＞＝）． ② 在區(qū)間上有零點______； ·____0（＜或＞＝）． （Ⅱ）觀察下面函數的圖象 ① 在區(qū)間上______(有/無)零點； ·_____0（＜或＞＝）． ② 在區(qū)間上______(有/無)零點； ·_____0（＜或＞＝）． ③ 在區(qū)間上______(有/無)零點； ·_____0（＜或＞＝）． 1，由以上兩步探索，你可以得出什么樣的結論？區(qū)間端點函數值異號，那么在該區(qū)間上存在零點。 2，這個結論對不對？連續(xù)函數區(qū)間端點函數值異號，那么在該區(qū)間上存在零點。 3，存在幾個確定不？生：單調函數肯定存在一個，不單調一定存在奇數個。 4，這個結論正確嗎？不單調也可能存在偶數個零點 5，端點值同號一定不存在零點嗎？不一定 6，存在零點端點值一定異號嗎？不 一定 從上面的問題中我們也可以看出零點存在性定理不能隨意推廣發(fā)散，遇到和定理不一樣的描述一定認真判定其正確與否。 例1，求函數f(x)=的零點個數。 例2．求函數，并畫出它的大致圖象． 例3.（課本例1）求函數f(x)=lnx+2x-6零點的個數， 解法1，課本給出的有零點存在性定理可知零點位于（2，3）又由于函數在定義域上單調遞增 解法2，函數有零點．方程有實數根兩個函數交點的橫坐標 總結：1，零點的定義；2，零點存在性定理。 提升：涉及到哪些思想方法？等價轉化思想。等價轉化思想是無比重要的數學思想，俄羅斯著名數學家雅 潔卡婭在《什么是解題》中說過這樣一句話：解題就是把要解的題轉化成已經解過的題，這句話體現了轉化思想的重要性！ 3.1.2用二分法求方程的近似解 引入：小學課本上有這樣的一個問題有一個整數位于1到80，我現在就把這個數寫在這張紙的背面，你可以問我形如這樣的問題：這個數>20嗎？我只會答是或不是，你如何找到這個數？ 生：這個數>40嗎？不是。這個數>20嗎？是，這個數>30嗎？------可以不斷取中點從而確定這個數。 下面我們用這個理念解決上節(jié)課的問題，（課本例1）求函數f(x)=lnx+2x-6零點的個數，課本給出的有零點存在性定理可知零點位于（2，3），我想把這個零點的范圍繼續(xù)縮小，如何處理呢？我們通過“取中點”的方法逐步縮小零點所在的范圍。 取區(qū)間（2，3）的中點2.5，用計算器算得f(2.5)≈－0.084,因為f(2.5)*f(3)＜0,所以零點在區(qū)間（2.5，3）內；再取區(qū)間（2.5，3）的中點2.75，用計算器算得f(2.75)≈0.512,因為f(2.75)*f(2.5)＜0,所以零點在（2.5，2.75）內；由于（2，3），（2.5，3），（2.5，2.75）越來越小，所以零點所在范圍確實越來越小了；重復上述步驟，那么零點所在范圍會越來越小，這樣在有限次重復相同的步驟后，在一定的精確度下，將所得到的零點所在區(qū)間上任意的一點作為零點的近似值，特別地可以將區(qū)間的端點作為零點的近似值。例如，當精確度為0.01時，（解釋：近似值和