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必修 1
1.1.1集合的含義與表示(一)
引入課題
今天我們學(xué)習(xí)高中數(shù)學(xué)的第一章集合與函數(shù),初中我們就學(xué)習(xí)過函數(shù),高中我們將在集合的背景下重新學(xué)習(xí)函數(shù),所以我們從今天開始先學(xué)習(xí)集合,(板書)下面請咱班的全體同學(xué)把課本翻到第二頁,在這里,咱班的全體同學(xué)就構(gòu)成了一個集合。小學(xué)和初中我們已經(jīng)接觸過一些集合,例如,自然數(shù)的集合,不等式解的集合,平面內(nèi)到一條線段兩個端點距離相等的點的集合。那么集合的含義是什么呢?
閱讀課本P2-5內(nèi)容,附加(9)我國的小河流;(10)全班成績好的學(xué)生
其中(1)--(8)都是把一些確定的元素組成的總體叫集合,而(9),(10)其研究對象含糊不清,不明確,不能作為一個集合
二、新課教學(xué)
1,集合的有關(guān)概念
一般地,我們把研究對象統(tǒng)稱為元素,一些元素組成的總體叫集合,也簡稱集。
比如說咱們班全體同學(xué)構(gòu)成了一個集合,其元素是每一位同學(xué)。
同學(xué)們舉例-----
2,關(guān)于集合的元素的特征
教室內(nèi)帥氣的男生能否構(gòu)成一個集合?
確定性:設(shè)A是一個給定的集合,x是某一個具體對象,則或者是A的元素,或者不是A的元素,兩種情況必有一種且只有一種成立。
今天上了哪些課程?今天數(shù)學(xué)是聯(lián)排課,數(shù)學(xué)用不用說兩遍?
互異性:一個給定集合中的元素,指屬于這個集合的互不相同的個體(對象),因此,同一集合中不應(yīng)重復(fù)出現(xiàn)同一元素。
咱班的同學(xué)按照姓氏筆畫排列一遍,再按照年齡大小排列一遍,是不是同一個集合?
無序性:給定一個集合與集合里面元素的順序無關(guān)。
練習(xí):判定是否是集合?
(1) 方程x*2-2x+1=0的解集(2)魯迅,π,上海
說明:其中前兩個性質(zhì)作為集合的判定定理
3,元素與集合的關(guān)系;
(1)如果a是集合A的元素,就說a屬于A,記作:a∈A
(2)如果a不是集合A的元素,就說a不屬于A,記作:aA
會不會有第三種關(guān)系,即不確定屬于不屬于?(確定性)
例如,我們A表示“1~20以內(nèi)的所有質(zhì)數(shù)”組成的集合,則有3∈A,4A,等等。
4.集合與元素的字母表示:
集合通常用大寫的拉丁字母A,B,C…表示;集合的元素用小寫的拉丁字母a,b,c,…表示。
5.常用的數(shù)集及記法:
非負整數(shù)集(或自然數(shù)集),記作N;(自然英文首字母)
正整數(shù)集,記作N*或N+;
整數(shù)集,記作Z;(zheng)
有理數(shù)集,記作Q;(QQ交朋友)
實數(shù)集,記作R;(真實的英文首字母)
區(qū)分有理數(shù),無理數(shù):
有理數(shù):整數(shù),分數(shù),小數(shù),無限循環(huán)小數(shù)
無理數(shù):無限不循環(huán)小數(shù),典型代表,π,e
6,我們可以用自然語言來描述一個集合,比如說“四大洋”,這個集合有幾個元素?元素個數(shù)比較少,我們可以一一列舉出來,這就是集合的表示方法之一,列舉法,再比如2,4,6,7這四個數(shù)構(gòu)成的集合,用自然語言描述不好描述,用列舉法就很簡單,
下面我們看看列舉法的一般的書寫格式
列舉法:把集合中的元素一一列舉出來,并用花括號“”括起來表示集合的方法叫
列舉法。
如:{1,2,3,4,5},{x2,3x+2,5y3-x,x2+y2},…;
例1.(課本例1)用列舉法表示下列集合:
(1)小于10的所有自然數(shù)組成的集合;
(2)方程x2=x的所有實數(shù)根組成的集合;
(3)由1到20以內(nèi)的所有質(zhì)數(shù)組成的集合;
(4)方程組的解組成的集合
說明:1.集合中的元素具有無序性,所以用列舉法表示集合時不必考慮元素的順序。
2.各個元素之間要用逗號隔開;
3.元素不能重復(fù);
4.集合中的元素可以數(shù),點,代數(shù)式等;
5.對于含有較多元素的集合,用列舉法表示時,必須把元素間的規(guī)律顯示清楚后方能用省略號, 象自然數(shù)集N用列舉法表示為
6,{實數(shù)集},{R}也是錯誤的,這里的{ }已包含“所有”的意思。
思考:你能用列舉法表示不等式x-7<3的解集嗎?無法用列舉法(元素個數(shù)無限多,而且不容易寫出規(guī)律加省略號),但是這些元素共同的性質(zhì)很容易概括,x<10
得出描述法的定義:
(2)描述法:把集合中的元素的公共屬性描述出來,寫在花括號{ }內(nèi)。
具體方法:在花括號內(nèi)先寫上表示這個集合元素的一般符號及取值(或變化)范圍,再畫一條豎線,在豎線后寫出這個集合中元素所具有的共同特征。
一般格式:
如:{x|x-3>2},{(x,y)|y=x2+1},{x︳直角三角形},…;
例2.(課本例2)試分別用列舉法和描述法表示下列集合:
(1)方程x2—2=0的所有實數(shù)根組成的集合;
(2)由大于10小于20的所有整數(shù)組成的集合;
(3)方程組的解。
描述法表示集合應(yīng)注意集合的代表元素,如{(x,y)|y= x2+3x+2}與 {y|y= x2+3x+2}, {x|y= x2+3x+2}, {y/3|y= x2+3x+2}是不同的集合,
探究:課本P5最后一段話;生活的的例子適合用自然語言,比如說我們班的全體同學(xué),元素個數(shù)有限且較少更適合列舉法,元素個數(shù)多或則無法一一列舉適合但共同屬性很容易概括適用于描述法
歸納小結(jié):1---6
提升:集合是高中數(shù)學(xué)的一個重要平臺,學(xué)好集合基本知識,為我們在這個平臺上施展抱負做好準備。
1.1.2集合間的基本關(guān)系
一、復(fù)習(xí)回顧:
1.提問:集合的兩種表示方法? 如何用適當(dāng)?shù)姆椒ū硎鞠铝屑希?
(1)10以內(nèi)3的倍數(shù); (2)1000以內(nèi)3的倍數(shù)
2.用適當(dāng)?shù)姆柼羁眨?0 N; Q; -1.5 R。
思考1:類比實數(shù)的大小關(guān)系,如5<7,2≤2,試想集合間是否有類似的“大小”關(guān)系呢?
二、新課教學(xué)
比較下面幾個例子,試發(fā)現(xiàn)兩個集合之間的關(guān)系:
(1),;
(2),;
(3),
由學(xué)生通過觀察得結(jié)論。
1. 子集的定義:
對于兩個集合A,B,如果集合A的任何一個元素都是集合B的元素,我們說這兩個集合有包含關(guān)系,稱集合A是集合B的子集。
記作:
讀作:A包含于B,或B包含A
當(dāng)集合A不包含于集合B時,記作
用Venn圖表示兩個集合間的“包含”關(guān)系:
B
A
如:(1)中
2. 集合相等定義:
如果A是集合B的子集,且集合B是集合A的子集,則集合A與集合B中的元素是一樣的,因此集合A與集合B相等,即若,則。(可以類比兩個實數(shù)相等)
如(3)中的兩集合。(相等,子集兩種寫法都對)
3. 真子集定義:
若集合,但存在元素,則稱集合A是集合B的真子集。
記作:A B(或B A)
讀作:A真包含于B(或B真包含A)
如:(1)和(2)中A B,C D;(子集,真子集兩種寫法都對)
探究A是B的子集可能包含了什么情況?
4. 空集定義:方程x*2+1=0的解集?你還能舉出不含任何元素的集合嗎?
不含有任何元素的集合稱為空集,記作:。
5. 幾個重要的結(jié)論:
(1) 空集是任何集合的子集;
(2) 空集是任何非空集合的真子集;
(3) 任何一個集合是它本身的子集;
(4) 對于集合A,B,C,如果,且,那么。
(5) 例3,練習(xí)1,
注意:1)分類討論要不重不漏,有邏輯性,可以按照元素的個數(shù)分類,
2) 歸納法有猜想的成分,不嚴謹,我們學(xué)習(xí)了排列組合可以嚴謹證明
應(yīng)用:(1,2)真含于A含于(1,2,3,4,5)求滿足條件的集合A的個數(shù)
變式:(1,2)真含于A含于(1,2,3,4,5,6,7)
課本P7練習(xí)2,3
注意:集合與元素是“屬于”“不屬于”的關(guān)系,集合與集合是“包含于”“不包含于”的關(guān)系;
歸納小結(jié):
本節(jié)課從實例入手,非常自然貼切地引出子集、真子集、空集、相等的概念及符號;并用Venn圖直觀地把這種關(guān)系表示出來;注意包含與屬于符號的運用。
提升:集合已經(jīng)學(xué)習(xí)了兩節(jié)課,學(xué)習(xí)了不少概念,集合是數(shù)學(xué)的基本語言,同學(xué)們現(xiàn)在好比是牙牙學(xué)語的幼兒,希望同學(xué)們理解并記牢,快速成長!
1.1.3集合的基本運算
一、復(fù)習(xí)回顧:
1.已知A={1,2,3},S={1,2,3,4,5},則A S;{x|x∈S且xA}= 。
2.用適當(dāng)符號填空:
0 {0}; 0 Φ; Φ {x|x+1=0,x∈R}
{0} {x|x<3且x>5}; {x|x>6} {x|x<-2或x>5} ; {x|x>-3} {x>2}
同學(xué)們兩個實數(shù)之間有四則運算,兩個集合之間是否也有類似運算嗎?
二、新課教學(xué)
思考:考察下列集合,說出集合C與集合A,B之間的關(guān)系:
(1),;
(2),;由學(xué)生通過觀察得結(jié)論。
1.并集的定義:
一般地,由所有屬于集合A或?qū)儆诩螧的元素所組成的集合,叫做集合A與集合B的并集(union set)。記作:A∪B(讀作:“A并B”),即
用Venn圖表示:
這樣,在問題(1)(2)中,集合A,B的并集是C,即
= C
說明:定義中要注意“所有”和“或”這兩個條件。
課本例4,例5
例5,數(shù)軸求并集1)畫線高低錯落,2)空心實心毫不含糊,3)求并有線就行
討論:A∪B與集合A、B有什么特殊的關(guān)系?
A∪A= , A∪Ф= , A∪B B∪A
A∪B=A , A∪B=B .
引入:1,(2,4,6,8,10)(3,5,8,12)(8)
2,女同學(xué),高一學(xué)生,高一女同學(xué)
2.交集的定義:
一般地,由屬于集合A且屬于集合B的所有元素組成的集合,叫作集合A、B的交集(intersection set),記作A∩B(讀“A交B”)即:
A∩B={x|x∈A,且x∈B}
用Venn圖表示:(陰影部分即為A與B的交集)
鞏固練習(xí)(口答):
①.A={3,5,6,8},B={4,5,7,8},則A∩B= ;
②.A={等腰三角形},B={直角三角形},則A∩B= ;
③.A={x|x>3},B={x|x<6},則A∩B= 。 (雙線才算)
討論:A∩B與A、B、B∩A的關(guān)系?
A∩A= A∩Ф= A∩B B∩A
A∩B=A A∩B=B
3. 全集、補集概念及性質(zhì)的教學(xué):
研究問題時,我們經(jīng)常要確定研究對象的范圍,例如,從小學(xué)到初中,我么研究數(shù)的范圍逐步由自然數(shù),整數(shù),有理數(shù),實數(shù)過度不同范圍研究同一個問題時,可能有不同結(jié)果,例如方程。(X-2)(X*2-3)=0的解在有理數(shù)范圍只有一個解,在實數(shù)范圍下就有三個解,所以研究問題時,我們常常需要設(shè)定前提范圍,這就是全集。
1)、全集的定義:一般地,如果一個集合含有我們所研究問題中涉及的所有元素,那么就稱這個集合為全集,記作U,是相對于所研究問題而言的一個相對概念。(看書上的例題練習(xí)題,全集是因題而異的,是人為設(shè)定的)
2)、補集的定義:對于一個集合A,由全集U中不屬于集合A的所有元素組成的集合,叫作集合A相對于全集U的補集,記作:,讀作:“A在U中的補集”,即
用Venn圖表示:(陰影部分即為A在全集U中的補集)
鞏固練習(xí):例8,例9,練習(xí)題1,2,3,4
第四題:1)添加一問介紹反衍律,畫圖證明2)介紹四塊地的集合表示
歸納小結(jié):交,并,補
提升:到現(xiàn)在為止集合的概念運算已經(jīng)都學(xué)完了,集合是數(shù)學(xué)的基本語言,同學(xué)們現(xiàn)在好比是牙牙學(xué)語的幼兒,已經(jīng)初步掌握了這門語言,希望同學(xué)們認真練習(xí),熟練運用!
1.2.1函數(shù)的概念
一、復(fù)習(xí)準備:
初中我們都學(xué)習(xí)了哪些函數(shù)?一次,二次,反比例,其圖像為:---混入一個豎直的直線,一個開口向右的拋物線,引出初中函數(shù)的定義,在一個變化過程中,有兩個變量x和y,對于x的每一個確定的值,y都有唯一的值與之對應(yīng),此時y是x的函數(shù),x是自變量,y是因變量。
二、講授新課:
(一)函數(shù)的概念:
函數(shù)的定義:
設(shè)A、B是兩個非空的數(shù)集,如果按照某種確定的對應(yīng)關(guān)系f,使對于集合A中的任意一個數(shù)x,在集合B中都有唯一確定的數(shù)和它對應(yīng),那么稱為從集合A到集合B的一個函數(shù),記作:
問題1,初高中定義的相同點和不同點?相同點:關(guān)鍵詞任意唯一每變,不同點:高中定義中提到了集合。
問題2,集合在定義中扮演什么角色?“口袋”作用就是把X,Y的取值裝入兩個集合口袋一個叫集合A一個叫集合B,比如說我們初中學(xué)習(xí)的一次函數(shù),二次函數(shù)用高中定義來說——
練習(xí)1,是否是A到B的函數(shù)?
總結(jié):任意唯一,是函數(shù)需遍取A中任意一個元素,不是函數(shù)只要在A中找到一個元素在B中沒有對應(yīng),或?qū)?yīng)多于一個。
完善定義:其中,x叫自變量,x的取值范圍A叫作定義域,與x的值對應(yīng)的y值叫函數(shù)值,函數(shù)值的集合叫值域。顯然,值域是集合B的子集。
探究:值域是集合B的子集?
練習(xí)2,下列是A到B的函數(shù)的是A=[0,6] B=[0,2]( )
Af:y=x/4 B f:y=x/3 Cf:y=x/2
練習(xí)3,下列是A到B的函數(shù)(1)f: y^2=x, A:x≥0,y∈R (2)x^2+y^2=1 A,B=[-1,1]
練習(xí)4,A=[三角形] B=[正實數(shù)] f:求該三角形的面積
這就是我們高中函數(shù)的定義,其中定義域值域是初中定義每涉及的,下面我們就研究初中接觸的函數(shù)的定義域和值域
(1)一次函數(shù)y=ax+b (a≠0)的定義域是R,值域也是R;
(2)二次函數(shù) (a≠0)的定義域是R,值域是B;當(dāng)a>0時,值域;當(dāng)a﹤0時,值域。
(3)反比例函數(shù)的定義域是,值域是。
(二)區(qū)間及寫法:
設(shè)a、b是兩個實數(shù),且a
5}、{x|x≤-1}、{x|x<0}
(學(xué)生做,教師訂正)
(3) 例題講解:
例1:求下列函數(shù)的定義域(用區(qū)間表示)
1 f(x)=; ⑵ f(x)=; ⑶ f(x)=-;
學(xué)生試求→訂正→小結(jié):定義域求法(分式、根式、組合式)
說明:求定義域步驟:列不等式(組) → 解不等式(組)→寫成集合或區(qū)間
例2,已知函數(shù),求f(0)、f(a)、f(2a+1)、f(x-1)、f(g(x))的值。
說明:秘訣:整體打包代入
例3.(課本P18例2)下列函數(shù)中哪個與函數(shù)y=x相等?
(1); (2);
(3); (4) 。
說明:相同三要素完全相同,不同一個要素不同就不同。
探究:三要素是有關(guān)系的,我們是否可以判定兩要素相同就說是同一個函數(shù)?
總結(jié):函數(shù)的定義
提升:從初中函數(shù)的概念到高中函數(shù)的概念,我們在更高的平臺上對函數(shù)有了進一步的了解,好比同學(xué)們的學(xué)習(xí),一個又一個臺階,不斷進步!
1.2.2函數(shù)的表示法
一、復(fù)習(xí)準備:
1.提問:函數(shù)的概念?函數(shù)的三要素?
2.討論:初中所學(xué)習(xí)的函數(shù)三種表示方法?試舉出日常生活中的例子說明.
二、講授新課:
(一)函數(shù)的三種表示方法:
結(jié)合課本P15 給出的三個實例,說明三種表示方法的適用范圍及其優(yōu)點:
解析法:就是用數(shù)學(xué)表達式表示兩個變量之間的對應(yīng)關(guān)系,如1.2.1的實例(1);
優(yōu)點:簡明扼要;給自變量求函數(shù)值。
圖象法:就是用圖象表示兩個變量之間的對應(yīng)關(guān)系,如1.2.1的實例(2);
優(yōu)點:直觀形象,反映兩個變量的變化趨勢。
列表法:就是列出表格來表示兩個變量之間的對應(yīng)關(guān)系,如1.2.1的實例(3);
優(yōu)點:不需計算就可看出函數(shù)值,如股市走勢圖; 列車時刻表;銀行利率表等。
例1.(課本P19 例3)某種筆記本的單價是2元,買x (x∈{1,2,3,4,5})個筆記本需要y元.試用三種表示法表示函數(shù)y=f(x) .
例2:(課本P20 例4)下表是某校高一(1)班三位同學(xué)在高一學(xué)年度六次數(shù)學(xué)測試的成績及班級平均分表:
第一次
第二次
第三次
第四次
第五次
第六次
甲
98
87
91
92
88
95
乙
90
76
88
75
86
80
丙
68
65
73
72
75
82
班平均分
88.2
78.3
85.4
80.3
75.7
82.6
請你對這三們同學(xué)在高一學(xué)年度的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)情況做一個分析.
(二)分段函數(shù)的教學(xué):
分段函數(shù)的定義:
在函數(shù)的定義域內(nèi),對于自變量x的不同取值范圍,有著不同的對應(yīng)法則,這樣的函數(shù)通常叫做分段函數(shù),如以下的例3的函數(shù)就是分段函數(shù)。
說明:
(1).分段函數(shù)是一個函數(shù)而不是幾個函數(shù),處理分段函數(shù)問題時,首先要確定自變量的數(shù)值屬于哪個區(qū)間段,從而選取相應(yīng)的對應(yīng)法則;畫分段函數(shù)圖象時,應(yīng)根據(jù)不同定義域上的不同解析式分別作出;
(2).分段函數(shù)只是一個函數(shù),只不過x的取值范圍不同時,對應(yīng)法則不相同。
例3:(課本P21 例6)某市“招手即?!惫财嚨钠眱r按下列規(guī)則制定:
(1)5公里以內(nèi)(含5公里),票價2元;
(2)5公里以上,每增加5公里,票價增加1元(不足5公里的俺公里計算)。
如果某條線路的總里程為20公里,請根據(jù)題意,寫出票價與里程之間的函數(shù)解析式,并畫出函數(shù)的圖象。
例4. 已知f(x)=,求f(0)、f[f(-1)]的值
導(dǎo)入:對比函數(shù)的定義
函數(shù)是建立在兩個非空數(shù)集間的一種對應(yīng),若將其中的條件“非空數(shù)集”弱化為“任意兩個非空集合”,按照某種法則可以建立起更為普通的元素之間的對應(yīng)關(guān)系,即映射。
(三) 映射的概念教學(xué):
定義:一般地,設(shè)A、B是兩個非空的集合,如果按某一個確定的對應(yīng)法則f,使對于集合A中的任意一個元素x,在集合B中都有唯一確定的元素y與之對應(yīng),那么就稱對應(yīng)為從集合A到集合B的一個映射。記作:
討論:映射有哪些對應(yīng)情況?一對多是映射嗎?
例1.(課本P22例7)以下給出的對應(yīng)是不是從A到集合B的映射?
(1) 集合A={P | P是數(shù)軸上的點},集合B=R,對應(yīng)關(guān)系f:數(shù)軸上的點與它所代表的實數(shù)對應(yīng);
(2) 集合A={P | P是平面直角坐標(biāo)系中的點},B= ,對應(yīng)關(guān)系f: 平面直角坐標(biāo)系中的點與它的坐標(biāo)對應(yīng);
(3) 集合A={x | x是三角形},集合B={x | x是圓},對應(yīng)關(guān)系f:每一個三角形都對應(yīng)它的內(nèi)切圓;
(4) 集合A={x | x是新華中學(xué)的班級},集合B={x | x是新華中學(xué)的學(xué)生},對應(yīng)關(guān)系:每一個班級都對應(yīng)班里的學(xué)生。
例2.設(shè)集合A={a,b,c},B={0,1} ,試問:從A到B的映射一共有幾個?并將它們分別表示出來。
(四)、歸納小結(jié):
本節(jié)課歸納了函數(shù)的三種表示方法及優(yōu)點;講述了分段函數(shù)概念;了解了函數(shù)的圖象可以是一些離散的點、線段、曲線或射線。
1.3.1單調(diào)性與最大(?。┲?
1、 復(fù)習(xí)準備:
下圖是神州號飛船飛行的高度關(guān)于時間的圖像
問題1,是定義在t∈[0,8]的函數(shù)圖像嗎?
問題2,觀察函數(shù)圖像,你能了解神州號飛船的飛行規(guī)律嗎?上升下降,最高最低點
這就是我們本節(jié)課要學(xué)習(xí)的兩個方面,單調(diào)性與最值(寫課題)
引導(dǎo)1,在t∈[0,2]上圖像是如何變化的?上升的
引導(dǎo)2,圖像是上升的,很好的感性的認識,但一般不會作為嚴格的官方定義,如何定義呢?
隨著x的變大y變大
引導(dǎo)3,隨著x的變大y變大,也就是說如果x10時, → ;根式是能表示成分數(shù)指數(shù)冪的形式 ,當(dāng)被開方的指數(shù)不能被根指數(shù)整除時根式是否也能表示成分數(shù)指數(shù)冪的形式? → .這樣規(guī)定的合理性?使得理論體系得以推廣健全。
定義分數(shù)指數(shù)冪:
規(guī)定;
隨堂練習(xí):A.將下列根式寫成分數(shù)指數(shù)冪形式:;;
B. 求值 ; ; ; .
討論:0的正分數(shù)指數(shù)冪? 0的負分數(shù)指數(shù)冪?
指出:規(guī)定了分數(shù)指數(shù)冪的意義后,指數(shù)的概念就從整數(shù)指數(shù)推廣到了有理數(shù)指數(shù),那么整數(shù)指數(shù)冪的運算性質(zhì)也同樣可以推廣到有理數(shù)指數(shù)冪.
指數(shù)冪的運算性質(zhì):
·; ; .
教學(xué)例題:
(1)、(P51,例2)
解:① ,②
③ ,④
總結(jié):有兩種思路:1)直接將分數(shù)指數(shù)冪轉(zhuǎn)化成根式。但這樣做有時比較麻煩,如④。2)把底數(shù)先寫成分數(shù)指數(shù)冪的形式,這樣新老冪之間可能約分化簡,較好!
(2)、(P51,例3)用分數(shù)指數(shù)冪的形式表或下列各式(>0)
解:,
(3)(P52例5)計算下列各式
(1)(2)>0)
無理指數(shù)冪的教學(xué)
的結(jié)果?→定義:無理指數(shù)冪.(結(jié)合教材P58利用逼近的思想理解無理指數(shù)冪意義)
無理數(shù)指數(shù)冪是一個確定的實數(shù).實數(shù)指數(shù)冪的運算性質(zhì)?
歸納小結(jié):
1.根式的概念:若n>1且,則
為偶數(shù)時,;
2. 掌握兩個公式:
3. 根式和分數(shù)指數(shù)冪的轉(zhuǎn)化。
提升:指數(shù)冪的推廣完善:整數(shù)(初中)→有理數(shù)→實數(shù),理論體系就像一顆種子一樣慢慢的生根發(fā)芽開花結(jié)果!
2.1.2 指數(shù)函數(shù)及其性質(zhì)
一、復(fù)習(xí)準備:
1. 提問:分數(shù)指數(shù)冪是怎樣定義的?
2. 提問:有理指數(shù)冪的運算法則可歸納為幾條?
講新課之前我想提一個一直困擾我的拉面問題,2^1=2,2^2=4,2^3=8,2^4=16,2^5=32-----實際上就是一個函數(shù)關(guān)系,大約拉4,5次就可以了,正是這個函數(shù)把我從人生的困惑中解脫出來,這就是我們今天指數(shù)函數(shù)。
2、 講授新課:
舉例:生活中其它指數(shù)模型?
A.細胞分裂時,第一次由1個分裂成2個,第2次由2個分裂成4個,第3次由4個分裂成8個,如此下去,如果第x次分裂得到y(tǒng)個細胞,那么細胞個數(shù)y與次數(shù)x的函數(shù)關(guān)系式是什么?
B.一種放射性物質(zhì)不斷變化成其他物質(zhì),每經(jīng)過一年的殘留量是原來的84%,那么以時間x年為自變量,殘留量y的函數(shù)關(guān)系式是什么?
討論:上面的兩個函數(shù)有什么共同特征?底數(shù)是什么?指數(shù)是什么?
定義:一般地,函數(shù)叫做指數(shù)函數(shù)(exponential function),其中x是自變量,函數(shù)的定義域為R.
討論:為什么規(guī)定>0且≠1呢?否則會出現(xiàn)什么情況呢?討論:你能類比前面討論函數(shù)性質(zhì)時的思路,提出研究指數(shù)函數(shù)性質(zhì)的內(nèi)容和方法嗎?研究方法:畫出函數(shù)的圖象(有圖有真相),結(jié)合圖象研究函數(shù)的性質(zhì). 研究內(nèi)容:定義域、值域、特殊點、單調(diào)性、最大(?。┲?、奇偶性.
如何做出一個新函數(shù)的圖像?描點法或者圖像變換
作圖:在同一坐標(biāo)系中畫出下列函數(shù)圖象: (師生共作→小結(jié)作法)
函數(shù)與的圖象有什么關(guān)系?如何由的圖象畫出的圖象?根據(jù)兩
函數(shù)的圖象的特征,歸納出這兩個指數(shù)函數(shù)的性質(zhì). → 變底數(shù)為3或1/3等后?
根據(jù)圖象歸納:指數(shù)函數(shù)的性質(zhì) (書P56)
01
定義域
值域
單調(diào)性
奇偶性
定點
圖像位置關(guān)系
3、例題講解
例1:(P56 例6)已知指數(shù)函數(shù)(>0且≠1)的圖象過點(3,π),求
例2:(P56例7)比較下列各題中的個值的大小
(1)1.72.5 與 1.73( 2 )與( 3 ) 1.70.3 與 0.93.1
總結(jié):比較大小的常見方法:做差,做商,單調(diào)性,中間量--------
教學(xué)指數(shù)函數(shù)的應(yīng)用模型:
① 出示例1:我國人口問題非常突出,在耕地面積只占世界7%的國土上,卻養(yǎng)育著22%的世界人口.因此,中國的人口問題是公認的社會問題.2000年第五次人口普查,中國人口已達到13億,年增長率約為1%.為了有效地控制人口過快增長,實行計劃生育成為我國一項基本國策.
(Ⅰ)按照上述材料中的1%的增長率,從2000年起,x年后我國的人口將達到2000年的多少倍?
(Ⅱ)從2000年起到2020年我國的人口將達到多少?
(師生共同讀題摘要→ 討論方法 → 師生共練→ 小結(jié):從特殊到一般的歸納法)
② 練習(xí): 2005年某鎮(zhèn)工業(yè)總產(chǎn)值為100億,計劃今后每年平均增長率為8%, 經(jīng)過x年后的總產(chǎn)值為原來的多少倍? → 變式:多少年后產(chǎn)值能達到120億?
③ 小結(jié)指數(shù)函數(shù)增長模型:原有量N,平均最長率p,則經(jīng)過時間x后的總量y=? →一般形式:涉及到指數(shù)型函數(shù)的應(yīng)用,形如(a>0且≠1).
歸納小結(jié)
1、指數(shù)函數(shù)的定義
2、指數(shù)函數(shù)圖像和性質(zhì)
提升:思想方法:分類討論,數(shù)形結(jié)合,這是高中數(shù)學(xué)較比重要的思想希望同學(xué)們能有所體會!而且展示了研究一個新學(xué)函數(shù)方法,這位我們以后的學(xué)習(xí)起到了示范作用。
2.2.1對數(shù)與對數(shù)運算
復(fù)習(xí)準備:
今天我們學(xué)習(xí)2.2,在2.1中我們學(xué)習(xí)了哪些內(nèi)容?根式與分數(shù)指數(shù)冪。指數(shù)函數(shù)對于這兩節(jié)內(nèi)容我們簡單復(fù)習(xí)一下:
問題1.X^2=4,X=±2?.X^2=5,X=±√5?為什么X=±√5?這個方程的根X真實存在,但在有理數(shù)范圍內(nèi)是無解的,于是我們規(guī)定了n次方根的定義,從而就可以把這兩個解書寫出來,可以說就是為了解方程的需要人為發(fā)明的一個符號標(biāo)記。
問題2。對于指數(shù)函數(shù),Y=8,X=?, Y=30,X=?, X存在嗎?唯一確定嗎?你能估測其所在區(qū)間嗎?雖然方程的根唯一確定但我們現(xiàn)在是無法說出x等于什么,怎么辦?人為標(biāo)記一個符號,怎么標(biāo)記?同學(xué)們嘗試發(fā)明創(chuàng)造-------,大家的創(chuàng)造能力很強,和合理,但生不逢時,這個已經(jīng)被數(shù)學(xué)前輩發(fā)明了,16世紀蘇格蘭數(shù)學(xué)家納皮爾,發(fā)明了對數(shù),對數(shù)的發(fā)明是數(shù)學(xué)歷史上的重大事件,天文學(xué)家,航海家為之欣喜若狂,恩格斯把對數(shù)的發(fā)明,解析幾何,微積分并稱17世紀數(shù)學(xué)的3大創(chuàng)造,伽利略說過,給我空間時間和對數(shù)我就能創(chuàng)造一個宇宙?。。?
定義:一般地,如果,那么數(shù) x叫做以a為底 N的對數(shù)(logarithm).
記作 ,其中a叫做對數(shù)的底數(shù),N叫做真數(shù) 用定義說明: =30,X=?,
定義:我們通常將以10為底的對數(shù)叫做常用對數(shù)(common logarithm),并把常用對數(shù)簡記為lgN 在科學(xué)技術(shù)中常使用以無理數(shù)e=2.71828……為底的對數(shù),以e為底的對數(shù)叫自然對數(shù),并把自然對數(shù)簡記作lnN → 認識:lg5 ; lg3.5; ln10; ln3
練習(xí)課本例1.互化,添加兩題(7)lg(-1)= (8)lg0= (9)lg1= (10)lg10=
結(jié)論:負數(shù)與零沒有有對數(shù)?(原因:在指數(shù)式中 N > 0 )
,
例2---------
指數(shù)有哪些運算律?對數(shù)也應(yīng)當(dāng)有自己的運算律,如果我們發(fā)現(xiàn)將是對對數(shù)體系是重大完善!
① 引例: 由,如何探討和、之間的關(guān)系?
設(shè), ,由對數(shù)的定義可得:M=,N=
∴MN==
∴MN=p+q,即得MN=M + N
② 探討:根據(jù)上面的證明,能否得出以下式子?
如果 a > 0,a 1 1,M > 0, N > 0 ,則
; ;
性質(zhì)的證明思路?(對數(shù)定義,用定義證明是證明的根本,學(xué)過了哪些?證明單調(diào)性,奇偶性)自然語言如何敘述三條性質(zhì)?
例1. 判斷下列式子是否正確,(>0且≠1,>0且≠1,>0,>),
(1) (2)
(3) (4)
(5) (6)
(7)
例2( P65例3例4):用,,表示出(1)(2)小題,并求出(3)、(4)小題的值.
(1) (2) (3) (4)
對數(shù)在生活中的應(yīng)用是很強的,看課本P66,我國人口問題達到18億的年份,如何求,這里是非特殊值需要計算機,但問題來了,計算器上都是以10,e,為底的,所以我們需要把這個結(jié)果轉(zhuǎn)化成以10或e,為底的。
換底公式,查計算機算出本題。從計算器求對數(shù)這個角度可以看出換底公式的重要性。
換底公式的推論:;
接下來繼續(xù)見證對數(shù)的神奇:長沙馬王墓女尸出土?xí)r碳14的余含量約占原始量的76.7%,試推算古墓的年代?
歸納小結(jié):
對數(shù)的定義:>0且≠1)
對數(shù)的性質(zhì)公式:
提升:同學(xué)們本節(jié)課大家見證了對數(shù)的發(fā)明與發(fā)展,這個過程神奇但也入情入理,希望同學(xué)們在數(shù)學(xué)上投入興趣多做研究,將來也能成為一名偉大的數(shù)學(xué)家!
2.2.2對數(shù)函數(shù)及其性質(zhì)
一、復(fù)習(xí)準備:
對數(shù)的定義和運算,對數(shù)是17世紀數(shù)學(xué)史的重大發(fā)明,恩格斯把對數(shù)的發(fā)明,解析幾何,微積分并稱17世紀數(shù)學(xué)的3大創(chuàng)造,伽利略說過,給我空間時間和對數(shù)我就能創(chuàng)造一個宇宙。比如教材P73例,
對每一個碳14的含量P的取值,通過對應(yīng)關(guān)系,生物死亡年數(shù)t都有唯一的值與
之對應(yīng),從而t是關(guān)于P的函數(shù),這個函數(shù)在考古年代斷定上有無以倫比的作用,這個函數(shù)就
是今天要學(xué)習(xí)的對數(shù)函數(shù)。
二、講授新課:
定義:一般地,當(dāng)a>0且a≠1時,函數(shù)叫做對數(shù)函數(shù)(logarithmic function).自變量是x; 函數(shù)的定義域是(0,+∞)
探究:你能類比前面討論指數(shù)函數(shù)性質(zhì)的思路,提出研究對數(shù)函數(shù)性質(zhì)的內(nèi)容和方法嗎?
研究方法:畫出函數(shù)的圖象,結(jié)合圖象研究函數(shù)的性質(zhì).
研究內(nèi)容:定義域、值域、特殊點、單調(diào)性、最大(?。┲?、奇偶性.
如何做出一個新函數(shù)的圖像?描點法,圖像變換
同一坐標(biāo)系中畫出下列對數(shù)函數(shù)的圖象 ;(可以通過將得到關(guān)于X軸對稱)根據(jù)圖象,你能歸納出對數(shù)函數(shù)的哪些性質(zhì)?
01
定義域
值域
單調(diào)性
奇偶性
定點
圖像位置關(guān)系
例1:(P71例7)求下列函數(shù)的定義域
(1) (2) (>0且≠1)
例2. (P72例8)比較下列各組數(shù)中的兩個值大小
(1) (2)
(3) (>0,且≠1)
例3. (P72例9):溶液酸堿度的測量問題:溶液酸堿度pH的計算公式,其中表示溶液中氫離子的濃度,單位是摩爾/升.
(Ⅰ)分析溶液酸堿讀與溶液中氫離子濃度之間的關(guān)系?
(Ⅱ)純凈水摩爾/升,計算純凈水的酸堿度.
總結(jié):用函數(shù)思想解決實際應(yīng)用問題的步驟:
第一步:抽象出的函數(shù)模型。(建函數(shù))(本題是直接給出函數(shù))
第二步:如何應(yīng)用函數(shù)模型解決問題?(用函數(shù))(單調(diào)性,由X求Y)
第三步:匯報實際結(jié)論。(跳出函數(shù))
過度:PH值分別是8,9,10求對應(yīng)的氫離子的濃度,分別將函數(shù)值代入8,9,10再指對互化分別求出自變量,但這樣運算有重復(fù)的嫌疑,指對互化了3次,我們可以先指對互化得到一個新函數(shù),對于這個新函數(shù)的自變量分別代入8,9,10這樣會簡單些。
原函數(shù):PH值關(guān)于氫離子濃度的函數(shù),新函數(shù):氫離子濃度關(guān)于PH值的函數(shù)
這兩個函數(shù)有什么變化?自變量和因變量顛倒。這就是我們下面要學(xué)習(xí)的反函數(shù)
當(dāng)一個函數(shù)是一一映射時, 可以把這個函數(shù)的因變量作為一個新函數(shù)的自變量, 而把這個函數(shù)的自變量新的函數(shù)的因變量. 我們稱這兩個函數(shù)為反函數(shù)(inverse function)
如何由求出它的反函數(shù)? y=2x-1?
函數(shù)由解出,是把指數(shù)函數(shù)中的自變量與因變量對調(diào)位置而得出的. 習(xí)慣上我們通常用x表示自變量,y表示函數(shù),即寫為.那么我們就說指數(shù)函數(shù)與對數(shù)函數(shù)互為反函數(shù)。
在同一平面直角坐標(biāo)系中,畫出上面兩對互為反函數(shù)的圖象,發(fā)現(xiàn)什么性質(zhì)?關(guān)于y=x對稱。為什么?
例1、求下列函數(shù)的反函數(shù)
(1) (2)
(師生共練 → 小結(jié)步驟:解x ;交換x,y;定義域)
類比:原函數(shù)(漢獻帝掌權(quán))反解x (曹操挾天子以令諸侯);交換x,y(曹操稱帝,當(dāng)然曹操自己沒有稱帝)
例2、己知函數(shù)的圖象過點(1,3)其反函數(shù)的圖象過(2,0)點,求的表達式.
歸納小結(jié):對數(shù)函數(shù)的概念、圖象和性質(zhì); 反函數(shù)的含義
提升:指對函數(shù)是高中最先學(xué)的兩個基本初等函數(shù),它們關(guān)于Y=X對稱,(畫門形圖),走進這扇門將正式進入高中函數(shù)的學(xué)習(xí)!
2.3冪函數(shù)
新課引入:
(1)邊長為的正方形面積,這里是的函數(shù);
(2)面積為的正方形邊長,這里是的函數(shù);
(3)邊長為的立方體體積,這里是的函數(shù);
(4)某人內(nèi)騎車行進了1,則他騎車的平均速度,這里是的函數(shù);
(5)購買每本1元的練習(xí)本本,則需支付元,這里是的函數(shù).
觀察上述五個函數(shù),有什么共同特征?(指數(shù)定,底變)
給出定義:一般地,形如的函數(shù)稱為冪函數(shù),其中為常數(shù).
冪函數(shù)和我們學(xué)習(xí)過的什么函數(shù)相似度較高?指數(shù)函數(shù)。區(qū)別是什么?指數(shù):底定指變,冪:指定底變。
練:判斷在函數(shù)y=x^3(是),y=3^x(不是),y=3x^2(不是),y=x^2+x^3(不是),y=1/x(是),y=x^0(是),y=1(不是)中,哪幾個函數(shù)是冪函數(shù)?用定義嚴格判斷。只要形如這種形式的就是冪函數(shù),參數(shù)a可以取任何值。在這里我們也可以看出冪函數(shù)的多樣性,y=1/x,y=x,y=x^2,圖像差別較大。
如何研究冪函數(shù)?可類比指對函數(shù)研究的方式:函數(shù)定義有了,下一步有圖有真相,通過描點法出圖像,但由于圖像的多樣性,每個冪函數(shù)的類比性不強,借鑒意義不算大,每個冪函數(shù)都要描點,今天我們用“超級描點法”比如:y=x^1/2:定義域【0,正無窮)值域【0,正無窮)圖像就鎖定第一象限且過原點,單調(diào)性【0,正無窮)單增,這樣就把圖像就有了大致輪廓,再描點就不會很盲目?。惐龋鹤鳟?,警察破案)
練習(xí):分小組做出下列冪函數(shù)的大致圖像a=3,-3,2/3,3/2,-2/3,-3/2
引導(dǎo)學(xué)生觀察圖象,歸納概括冪函數(shù)的的性質(zhì)及圖象變化規(guī)律:
(Ⅰ)所有的冪函數(shù)在(0,+∞)都有定義,并且圖象都過點(1,1);
(Ⅱ)時,冪函數(shù)的圖象通過原點,并且在區(qū)間上是增函數(shù).特別地,當(dāng)時,冪函數(shù)的圖象下凸;當(dāng)時,冪函數(shù)的圖象上凸;
(Ⅲ)時,冪函數(shù)的圖象在區(qū)間上是減函數(shù).在第一象限內(nèi),當(dāng)從右邊趨向原點時,圖象在軸右方無限地逼近軸正半軸,當(dāng)趨于時,圖象在軸上方無限地逼近軸正半軸。
過度:這就是我們今天研究的冪函數(shù),體會了超級描點法,就是先通過函數(shù)解析式,可以很容易得到函數(shù)的一些性質(zhì),定義域,值域,單調(diào)性,奇偶性,特殊點---這樣就可以勾勒出圖像大致輪廓,再描點,就可以把圖像快速畫出!比如單調(diào)性不通過嚴謹證明,很容易判定出來,是增函數(shù),當(dāng)然如果你要想嚴謹證明也可以證出來。
例1(P78例1).證明冪函數(shù)上是增函數(shù)
證:任?。紕t
=
=
因<0,>0
所以,即上是增函數(shù).
例2. 比較大小:與; 與; 與.
歸納小結(jié):
1, 定義。2,作圖。3,性質(zhì)
提升:通過作圖可以了解冪函數(shù)性質(zhì),而通過性質(zhì)我們也可以幫助我們作圖,體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合思想,數(shù)形相輔相成。
3.1.1 方程的根與函數(shù)的零點
引入:在第二章我們學(xué)習(xí)了函數(shù)的概念,性質(zhì),指對冪函數(shù),函數(shù)是高中數(shù)學(xué)最重要的內(nèi)容,而函數(shù)在實際生活中應(yīng)用非常廣泛,比如上一章我們研究的人口的增長問題就是指數(shù)型函數(shù)模型,考古中年代斷定就是對數(shù)型函數(shù),不舉高大上的就比如一個一直困擾我的拉面問題,2^1=2,2^2=4,2^3=8,2^4=16,2^5=32-----實際上就是一個指數(shù)函數(shù),大約拉4,5次就可以了,正是這個函數(shù)把我從人生的困惑中解脫出來。第三章我們就重點研究函數(shù)的應(yīng)用。
1、提出問題:一元二次方程 ax2+bx+c=0 (a≠0)的根與二次函數(shù)y=ax2+bx+c(a≠0)的圖象有什么關(guān)系?
2.先來觀察幾個具體的一元二次方程的根及其相應(yīng)的二次函數(shù)的圖象:
①方程與函數(shù)②方程與函數(shù)
③方程與函數(shù)
生:這三個二次方程的根就是二次函數(shù)圖形與X軸交點的橫坐標(biāo)
師:上述結(jié)論推廣到一般二次方程和二次函數(shù)又怎樣?可推廣為更一般的函數(shù)與方程嗎?
方程的根就是函數(shù)與X軸交點的橫坐標(biāo)
就叫做函數(shù)的零點.問上面三個函數(shù)的零點(糾錯零點不是點是橫坐標(biāo),名字有很強的迷惑性)方程有實數(shù)根函數(shù)的圖象與軸有交點函數(shù)有零點.
過度:函數(shù)一定有零點嗎?
過度:二次函數(shù)的零點存在性可以通過判別式斷定,其它函數(shù)的零點存在性如何判定?
零點存在性的探索:
(Ⅰ)觀察二次函數(shù)的圖象:
① 在區(qū)間上有零點______;
_______,_______,
·_____0(<或>=).
② 在區(qū)間上有零點______;
·____0(<或>=).
(Ⅱ)觀察下面函數(shù)的圖象
① 在區(qū)間上______(有/無)零點;
·_____0(<或>=).
② 在區(qū)間上______(有/無)零點;
·_____0(<或>=).
③ 在區(qū)間上______(有/無)零點;
·_____0(<或>=).
1,由以上兩步探索,你可以得出什么樣的結(jié)論?區(qū)間端點函數(shù)值異號,那么在該區(qū)間上存在零點。
2,這個結(jié)論對不對?連續(xù)函數(shù)區(qū)間端點函數(shù)值異號,那么在該區(qū)間上存在零點。
3,存在幾個確定不?生:單調(diào)函數(shù)肯定存在一個,不單調(diào)一定存在奇數(shù)個。
4,這個結(jié)論正確嗎?不單調(diào)也可能存在偶數(shù)個零點
5,端點值同號一定不存在零點嗎?不一定
6,存在零點端點值一定異號嗎?不 一定
從上面的問題中我們也可以看出零點存在性定理不能隨意推廣發(fā)散,遇到和定理不一樣的描述一定認真判定其正確與否。
例1,求函數(shù)f(x)=的零點個數(shù)。
例2.求函數(shù),并畫出它的大致圖象.
例3.(課本例1)求函數(shù)f(x)=lnx+2x-6零點的個數(shù),
解法1,課本給出的有零點存在性定理可知零點位于(2,3)又由于函數(shù)在定義域上單調(diào)遞增
解法2,函數(shù)有零點.方程有實數(shù)根兩個函數(shù)交點的橫坐標(biāo)
總結(jié):1,零點的定義;2,零點存在性定理。
提升:涉及到哪些思想方法?等價轉(zhuǎn)化思想。等價轉(zhuǎn)化思想是無比重要的數(shù)學(xué)思想,俄羅斯著名數(shù)學(xué)家雅
潔卡婭在《什么是解題》中說過這樣一句話:解題就是把要解的題轉(zhuǎn)化成已經(jīng)解過的題,這句話體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化思想的重要性!
3.1.2用二分法求方程的近似解
引入:小學(xué)課本上有這樣的一個問題有一個整數(shù)位于1到80,我現(xiàn)在就把這個數(shù)寫在這張紙的背面,你可以問我形如這樣的問題:這個數(shù)>20嗎?我只會答是或不是,你如何找到這個數(shù)?
生:這個數(shù)>40嗎?不是。這個數(shù)>20嗎?是,這個數(shù)>30嗎?------可以不斷取中點從而確定這個數(shù)。
下面我們用這個理念解決上節(jié)課的問題,(課本例1)求函數(shù)f(x)=lnx+2x-6零點的個數(shù),課本給出的有零點存在性定理可知零點位于(2,3),我想把這個零點的范圍繼續(xù)縮小,如何處理呢?我們通過“取中點”的方法逐步縮小零點所在的范圍。 取區(qū)間(2,3)的中點2.5,用計算器算得f(2.5)≈-0.084,因為f(2.5)*f(3)<0,所以零點在區(qū)間(2.5,3)內(nèi);再取區(qū)間(2.5,3)的中點2.75,用計算器算得f(2.75)≈0.512,因為f(2.75)*f(2.5)<0,所以零點在(2.5,2.75)內(nèi);由于(2,3),(2.5,3),(2.5,2.75)越來越小,所以零點所在范圍確實越來越小了;重復(fù)上述步驟,那么零點所在范圍會越來越小,這樣在有限次重復(fù)相同的步驟后,在一定的精確度下,將所得到的零點所在區(qū)間上任意的一點作為零點的近似值,特別地可以將區(qū)間的端點作為零點的近似值。例如,當(dāng)精確度為0.01時,(解釋:近似值和
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