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1、CHAPTER 10 COMPRESSIBLE FLOW THROUGH NOZZLES, DIFFUSERS, AND WIND TUNNELS 通過噴管、擴壓器和風(fēng)洞的可壓縮流 10.1 引言 要觀察超音速下飛行器的升力、阻力的產(chǎn)生及繞飛行器流動的流場細節(jié)，包括激波、膨脹波的構(gòu)型，可以采用以下兩種方法： （）Conduct flight tests using the actual vehicle 進行實際飛行器的飛行試驗 （）Run wind-tunnel tests on a small-scale model of the vehicle 用飛行器的縮小模型進行風(fēng)洞
2、實驗,盡管飛行試驗?zāi)軌蛱峁┱鎸嶏w行環(huán)境下的真實結(jié)果，但其代價非常昂貴，更重要的原因是在飛行器沒有得到充分驗證時進行這樣的飛行試驗是極其危險的。因此，在一個型號進行飛行試驗前, 必須對該型號飛行器的性能進行風(fēng)洞實驗驗證,通過在地面上進行風(fēng)洞實驗得到大量的超音速空氣動力學(xué)數(shù)據(jù)。,在這一章我們將討論流通過管道的可壓縮流的基本氣動特性，這些相關(guān)基礎(chǔ)知識對于高速風(fēng)洞，火箭發(fā)動機、噴氣發(fā)動機等的設(shè)計至關(guān)重要。對于全面認識可壓縮流動的特性也是必不可少的。 通過對管道內(nèi)可壓縮流的研究，我們主要回答如下問題: (1) How do we produce a uniform flow of supersonic
3、gas in a laboratory environment? 如何在風(fēng)洞中產(chǎn)生均勻的超音速流動？ (2) What are the characteristics of supersonic wind tunnels? 超音速風(fēng)洞的特征是什么？,Development of the governing equations for quasi-one-dimensional flow (準一維流動控制方程的推導(dǎo)),Nozzle flows(噴管流動),Difusers(擴壓器),Supersonic wind tunnels (超音速風(fēng)洞),圖10.3 第十章的路線圖,,,,,,,,,,10
4、.2 GOVERNING EQUATIONS FOR QUASI-ONE-DIMENSIONAL FLOW （準一維流的控制方程） 什么是準一維流？ 如圖10.4b所示, 流管面積變化不太劇烈（the area variation is moderate）, y、z方向的速度分量與x方向相比很小, 這樣的流場變量可被假設(shè)為只是x的函數(shù), 即氣流在每一個x站位是均勻的。這樣的流動，滿足A=A(x), p=p(x),= (x), u=u(x)等等，被定義為準一維流動。,注意，嚴格講來， 圖10.4b所示的流動是三維流動，準一維流只是對變截面管內(nèi)真實三維流動的近似。,Fig.10.5 Finit
5、e control volume for quasi-one-dimensional flow 準一維流有限控制體,,Fig.10.5 Finite control volume for quasi-one-dimensional flow,,連續(xù)方程:,(10.1),,,,,動量方程 在定常、無粘、忽略體積力作用的假設(shè)下, 積分形式的動量方程可以寫成：,,,(10.2),(10.3),對應(yīng)x方向分量：,Fig.10.5 Finite control volume for quasi-one-dimensional flow,,,,,,Fig.10.5 Finite control vo
6、lume for quasi-one-dimensional flow,,,,,,,,,,,,,,,,,dA,,,(10.5),把上面的積分結(jié)果代入我們前面已給出的x方向動量方程：,(10.3),得：,整理得：,能量方程： 在無粘、絕熱、定常并忽略體積力的假設(shè)下，積分形式的能量方程可以寫成：,,(10.6),應(yīng)用于圖10.5所示的控制體，我們得到：,,(10.7),,即：,,,(10.8),(10.9),,(10.10),(10.11),(10.12),狀態(tài)方程:,對于量熱完全氣體焓與溫度的關(guān)系為:,將控制方程歸納如下:,(10.1),(10.5),(10.9),(10.11),(10.1
7、2),只要知道1截面處的 ,以上五個方程就可以確定2截面處的5個未知數(shù) 。,或,在給出準一維流動求解方法之前，我們將應(yīng)用于前面所得到的積分形式控制方程推導(dǎo)準一維流動的微分(differential)形式控制方程，并借助微分形式的控制方程推導(dǎo)出準一維流動的面積-速度關(guān)系式(area-velocity relation), 以了解準一維流動的一些重要物理特性。 準一維流動的微分(differential)形式控制方程的推導(dǎo)：,,,(10.14),微分形式連續(xù)方程：,方程（10.5）應(yīng)用于右圖所示的無限小控制體上。氣流在站位1，面積為A處流入控制體， p、 、u分別為此站位
8、的壓強、密度和速度； 在站位2流出控制體，x坐標增加了dx，面積為A+dA，壓強、密度、速度分別為p+dp、 +d 、u+du。,,(10.15),對照方程:,得:,我們忽略所有微分的乘積， 即高階微分量，得：,,(10.16),,(10.17),,,,(10.18),我們將微分形式的連續(xù)方程 (10.14)展開，,(10.16)-(10.17)得:,方程（10.18）是定常、無粘、準一維流動的微分形式動量方程，這一方程也被稱為歐拉方程。,同乘以速度u:,將準一維流動微分形式的控制方程（differential form of the governing equations）歸納入下
9、：,微分形式的能量方程可由（10.9）式直接微分求得：,(10.19),(10.19),(10.14),(10.18),注意準一維流動與真正一維流動的區(qū)別： 真正一維流動連續(xù)方程為：,下面我們用以上的微分形式控制方程推導(dǎo)出準一維流動的面積-速度關(guān)系式(area-velocity relation)，并用面積-速度關(guān)系式來研究準一維流動的一些物理特性。 將方程（10.14） 展開并同除以 得：,（10.20）,因為我們要得到面積-速度關(guān)系式，因此我們要想辦法將上式中的 用du、dA的函數(shù)來表示。 方程（10.18）( )可改寫為：,（10.21）,假設(shè)目前沒有激波出現(xiàn)，那么我們研
10、究的無粘、絕熱流動是等熵的,滿足：,,（10 .22),由第八章知識，我們知道：,,即：,,（10 .23),為推導(dǎo)清楚起見，我們將前面導(dǎo)出的關(guān)系式歸納如下：,(10.20),(10.21),(10.22),(10.23),將,代入 （10.20)式得：,(10.25),(10.25),This equation is very important, it tells the following information: 1、For (subsonic flow), the quantity in parentheses in Eq. (10.25) is negative. He
11、nce, an increase in velocity (positive du ) is associated with a decrease in area (negative dA) . Likewise, a decrease in velocity (negative du) is associated with an increase in area( positive dA). 對于 （亞音速流動），（10.25）式中括號內(nèi)的值為負，因此速度的增加（正的du）與面積的減小（負的dA）相聯(lián)系。同樣，速度的減小（負的du）與面積的增加（正的dA）相聯(lián)系。,對于亞音速可壓縮流動
12、，要使流動速度增加，我們必須使管道截面收縮；要使速度減小，我們必須使管道擴張。,Convergent,Divergent,結(jié)論：Subsonic compressible flow is qualitatively ( but not quantitatively ) similar to incompressible flow.亞音速可壓縮流動定性地（但不是定量地）與不可壓縮流動相似。,2、For M1 (supersonic flow), the quantity in parentheses in Eq.(10.25) is positive. Hence, an increase in
13、 velocity (positive du ) is associated with an increase in area (positive dA) . Likewise, a decrease in velocity (negative du) is associated with a decrease in area( negative dA). 對于M1 (超音速流），（10.25）式中括號內(nèi)的值為正，因此速度的增加（正的du）與面積的增加（正的dA）相聯(lián)系。同樣，速度的減?。ㄘ摰膁u）與面積的減?。ㄘ摰膁A）相聯(lián)系。,對于超音速流動，要使流動速度增加，我們必須使管道截面擴張；要
14、使速度減小，我們必須使管道截面收縮。 結(jié)論：They are the direct opposite of the trends for subsonic flow. 與亞音速流變化趨勢完全相反。,Convergent,Divergent,為什么在亞音速流中, 要使速度增大,必須縮小截面積,而在超音速流動中要使速度增大，必須增大截面積A呢？ 由我們剛才推導(dǎo)出的密度與速度關(guān)系就可以明顯看出:,很明顯，由上式可以看出， 在亞音速時,密度下降比速度增大慢,為保證質(zhì)量守恒方程式 得到滿足, 要使速度增大面積A必須減小; 而在超音速時,密度下降比速度增大快得多，為保證質(zhì)量守恒方程式
15、 得到滿足，必須增大截面積A。,3. For M=1( sonic flow), Eq. (10.25) shows that dA=0 even though a finite du exists. Mathematically, this corresponds to a local maximum or minimum in the area distribution. Physically, it corresponds to a minimum area, as discussed below. 對于M=1(音速流), (10.25)式指出即使du為有限值，仍對應(yīng)dA=0。在數(shù)學(xué)
16、上，這對應(yīng)于截面積分布函數(shù)A(x)達到當?shù)刈畲蠡蜃钚 Ｔ谖锢砩?，如我們下面討論的那樣，M=1只能對應(yīng)于管道面積最小處。,想像我們要使靜止氣體等熵地加速為超音速流。我們得出的結(jié)論告訴我們，首先應(yīng)通過收縮管道在亞音速段加速氣體；然而，一旦達到音速，我們必須通過擴張管道進一步將氣流加速至超音速。因此，要在管道的出口處產(chǎn)生超音速氣流，必須將管道設(shè)計成如下圖所示的收縮-擴張管道（convergent-divergent duct)；并且馬赫數(shù)等于1只可能出現(xiàn)在最小截面積處。噴管的最小截面積處也被稱為喉道(throat)。,這種通過收縮-擴張管道產(chǎn)生超音速氣流的方法是瑞典工程師拉瓦爾在十九世紀末首先實現(xiàn)的
17、，因此這種先收縮后擴張的噴管也被稱為拉瓦爾管。,重要結(jié)論： Sonic flow can only occur at a throat or minimum area of the flow. 音速流只可能出現(xiàn)在喉道或最小截面積處 。,本節(jié)課小結(jié): 1. 給出了準一維流動的定義。 2.推導(dǎo)了準一維流動的積分形式控制方程。 3.推導(dǎo)了準一維流動的微分形式控制方程。 4.推導(dǎo)了重要的面積-速度關(guān)系式(10.25)并分析了其內(nèi)在的物理意義。,FIGURE 10.8 Illustration and comparison of a supersonic nozzle and a supersonic
18、diffuser 超音速噴管與超音速擴壓器的說明與比較,10.3 NOZZLE FLOWS(噴管流動）,這一節(jié)，我們將沿路線圖（9.3）的左半支，對通過噴管的可壓縮流動進行仔細研究。首先，我們將推導(dǎo)一個重要的方程，此方程將流動馬赫數(shù)、噴管截面面積與音速喉道面積的比聯(lián)系起來，我們稱之為面積-馬赫數(shù)關(guān)系式 （ area-Mach number relation ） 。.,考慮如圖10.9所示的管道。假設(shè)氣流在喉道處達到音速,此時喉道面積為A*，那么此處的馬赫數(shù)和速度分別由M*、u*表示，且M*=1、u*=a*。在管道其他任意截面處，其面積、馬赫數(shù)、速度如圖10.9所示分別用A 、M、 u表示。在A
19、*和A之間應(yīng)用連續(xù)方程（10.1），我們得到,推導(dǎo)面積-馬赫數(shù)關(guān)系式示意圖,(10.26),,因為：,所以：,,其中 、 分別是滯止密度和滯止音速，在任意等熵流動中二者均保持為常數(shù)。將上式平方后，我們得到如下公式：,,,,由前幾章的知識，我們有下列關(guān)系式：,,,,,將上面公式代入,得：,整理上式，我們得到：,,(10.32),書上的推導(dǎo)方法：,（10.30）,由,及,得：,即：,(10.32),（10.27）,(10.32)式非常重要，被稱為面積-馬赫數(shù)關(guān)系式。這一關(guān)系式具有非常重要的意義. 它指出， ； 即管道內(nèi)任一截面處的馬赫數(shù)是當?shù)亟孛婷娣e與音速喉道面積之比的函數(shù)（The Mach
20、number at any location in the duct is a function of the ratio of the local duct area to the sonic throat area） 由（10.25）式我們知道，A必須大于或至少等于A*。A
21、a supersonic value. ),在后面我們將要解釋，對于兩個馬赫數(shù)解，在實際問題中應(yīng)取哪個解取決于噴管入口和出口處的壓力比。 (Which value of M that actually holds in a given case depends on the pressures at the inlet and exit of the duct, as explained later.),采用數(shù)值迭代求解方法可以求出（10.32）式的全部解。附錄A以列表形式給出了馬赫數(shù)與A/A*的對應(yīng)關(guān)系。 觀察附錄A，我們可以看到，當M1時，隨馬赫數(shù)的增大A/A*增大，即管道是擴張的。這和
22、我們上一節(jié)對收縮-擴張管道的討論完全一致。而且，有附錄A可看出，M是的A/A*雙值函數(shù)，如A/A* =2，我們可以查出M=0.31或M=2.2。,(10.32),;,M=f(A/A*)的數(shù)值解法： M<1, 采用如下迭代公式：,M1, 采用如下迭代公式：,例如：對于A/A*=2, 設(shè)M0=0.5 ,則M1=0.3350 ； M2=0.3093 ；M3=0.3063 ；M4=0.3059 ；M5=0.3059。所以： M0.31,例如：對于A/A*=2, 設(shè)M0=1.5 ,則M1=1.9114 ； M2=2.0932 ；M3=2.1610 ；M4=2 . 1848 ；M5=2.1929； M6=
23、2.1958。所以： M2.2,一旦馬赫數(shù)分布已知，其他流動參數(shù)就很容易得到。例如，我們可以求出A/A*和壓強的關(guān)系：,,面積比與馬赫數(shù)、壓強比的函數(shù)關(guān)系如后圖所示。 從圖中，我們可以更直接地看出馬赫數(shù)是面積比的雙值函數(shù)。,補充圖：,考慮如圖10.10所示的一給定截面積分布的收縮-擴張管道。假設(shè)入口處的面積比Ai/A*是一個很大的值，且入口處氣流來自一個儲存靜止氣體的儲氣罐，儲氣罐的壓強和溫度分別為p0和T0 。因為管道的截面積分布A=A(x)是已知的，所以，在任意位置的A/A*值均為已知。喉道面積由A*表示，出口處的面積由Ae表示，出口處的馬赫數(shù)和靜壓分別由Me和表示pe。假設(shè)氣流等熵地通過
24、噴管加速,在擴張段膨脹為超音速流。此時的出口馬赫數(shù)與壓強分別為Me=Me,6 ， pe=pe,6 。（采用下標6的原因在后面內(nèi)中很明顯）。對于這種情況，喉道處的流動為音速，且At=A*。通過管道的流動特性由A/A*確定如下：,（1）由（10.32）式或附錄A可求得當?shù)伛R赫數(shù)，其為x的函數(shù)。對于給定的截面積分布A=A(x)，我們知道相應(yīng)的A/A*，然后由附錄A的前一部分（M1）查出擴張段的超音速馬赫數(shù)值。左圖給出了沿整個噴管的馬赫數(shù)分布. （2）一旦知道了馬赫數(shù)分布,與其相對應(yīng)的溫度、壓力、密度等變化由附錄A得出。參見左圖。,討論：對于圖10.10的等熵流動，我們再次強調(diào)這一結(jié)論--沿噴管的馬
25、赫數(shù)分布、進而由馬赫數(shù)決定的壓強、溫度、密度等的分布只依賴于當?shù)氐拿娣e比A/A*。這是分析噴管內(nèi)準一維超音速等熵流動的關(guān)鍵。 我們知道，通過噴管的流動是不可能自動發(fā)生的，只有入口與出口存在壓力差，才會存在通過噴管的流動。即出口壓力必須小于入口壓力，也就是pe
26、 flow,考慮如圖10.11所示的收縮-擴張管道中的質(zhì)量流量。隨著出口壓力的降低，在喉道處的速度增加，因此質(zhì)量流量增加。質(zhì)量流量可將方程（10.1）在喉道處應(yīng)用來得到，即 。當pe降低，ut增加，t降低，因為ut增加幅度比t降低的幅度大得多，所以，質(zhì)量流量 是增加的，如圖10.12所示。當pe=pe,3 時，氣流在喉道處達到了音速，此時 。如果進一步降低出口壓力，使pe
27、隨出口壓力的變化如圖10.12所示。,,FIGURE 10.12 Variation of mass flow with exit pressure; illustration of choked flow 質(zhì)量流量隨出口壓力的變化；壅塞流的說明,,,,在這個意義上，喉道處和喉道之前的流動變?yōu)椤皟鼋Y(jié)”的，即保持不變的。一旦流動在喉道處達到音速，擾動就不能向喉道之前的收縮段逆向傳播。因此，在噴管收縮段的流動不再與出口壓力相聯(lián)系，并且此段流動沒有辦法感受到出口壓力還在繼續(xù)降低。一旦流動在喉道達到音速，不管pe降低到多少，質(zhì)量流量仍然保持不變，我們稱這種流動為“壅塞”流（choked flow)。這
28、是可壓縮流流過管道的一個重要特征，我們將進一步討論這個問題。,FIGURE 10.13,當pe
29、 the exit is defined as the back pressure, denoted by . 出口下游的環(huán)境壓力被定義為反壓，用 表示。 When the flow at the nozzle exit is subsonic, the exit pressure must equal the back pressure, because a pressure discontinuity cannot be maintained in a steady subsonic flow. That is, when the exit flow is subsonic
30、, the surrounding back pressure is impressed on the exit flow. 當出口流動是亞音速時，,So, instead of stating that we reduced the exit pressure , and observed the consequences, we could just as well have stated that we reduced the back pressure . 因此，當我們說降低出口壓力 時，我們也可以說我們降低了反壓 。,總結(jié): 當駐室壓強 和駐室溫度 給定時, 對
31、于給定面積分布得收縮-擴張管道, 其內(nèi)流動由出口反壓 決定。 當 時 ,管內(nèi)流動對應(yīng)無數(shù)多個亞音速等熵解，每個不同的解與一個不同的反壓pB相聯(lián)系。 當 時 , 管內(nèi)流動對應(yīng)無數(shù)多個非等熵解，喉道下游存在一道位置（強度）由出口反壓pB決定的正激波。 當 時 ,管內(nèi)流動除出口處外對應(yīng)超音速等熵解，噴管出口處存在強度由出口反壓pB決定的斜激波。 當 時 ,只有一種可能的超音速等熵流動如圖10.10所示 . 當 時 ，管內(nèi)流動和 時完全相同，但出口處存在膨脹波。,用喉道處參數(shù)表示噴管流量計算公式的推導(dǎo)：,當喉道處Mt=1, 則At=A*, 流量達到最大值。,The maximum mass flow is achieved when the sonic flow is achieved at the throat. The maximum mass flow is,The derivation is as following :,
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