第4章抽樣與抽樣分布

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1、 第4章 抽樣與抽樣分布 練習(xí)： 4.1 一個(gè)具有個(gè)觀察值的隨機(jī)樣本抽自于均值等于20、標(biāo)準(zhǔn)差等于16的總體。 ⑴ 給出的抽樣分布（重復(fù)抽樣）的均值和標(biāo)準(zhǔn)差 ⑵ 描述的抽樣分布的形狀。你的回答依賴于樣本容量嗎？ ⑶ 計(jì)算標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)統(tǒng)計(jì)量對(duì)應(yīng)于的值。 ⑷ 計(jì)算標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)統(tǒng)計(jì)量對(duì)應(yīng)于的值。 4.2 參考練習(xí)4.1求概率。 ⑴<16； ⑵>23； ⑶>25； ⑷.落在16和22之間； ⑸<14。 4.3 一個(gè)具有個(gè)觀察值的隨機(jī)樣本選自于、的總體。試求下列概率的近似值： 4.4 一個(gè)具有個(gè)觀察值的隨機(jī)樣本選自于和的總體。 ⑴ 你預(yù)計(jì)的最大值和最小值是什么？ ⑵ 你認(rèn)為至

2、多偏離多么遠(yuǎn)？ ⑶ 為了回答b你必須要知道嗎？請(qǐng)解釋。 4.5 考慮一個(gè)包含的值等于0，1，2，…，97，98，99的總體。假設(shè)的取值的可能性是相同的。則運(yùn)用計(jì)算機(jī)對(duì)下面的每一個(gè)值產(chǎn)生500個(gè)隨機(jī)樣本，并對(duì)于每一個(gè)樣本計(jì)算。對(duì)于每一個(gè)樣本容量，構(gòu)造的500個(gè)值的相對(duì)頻率直方圖。當(dāng)值增加時(shí)在直方圖上會(huì)發(fā)生什么變化？存在什么相似性？這里和。 4.6 美國(guó)汽車聯(lián)合會(huì)（AAA）是一個(gè)擁有90個(gè)俱樂部的非營(yíng)利聯(lián)盟，它對(duì)其成員提供旅行、金融、保險(xiǎn)以及與汽車相關(guān)的各項(xiàng)服務(wù)。1999年5月，AAA通過對(duì)會(huì)員調(diào)查得知一個(gè)4口之家出游中平均每日餐飲和住宿費(fèi)用大約是213美元（《旅行新聞》Travel New

3、s，1999年5月11日）。假設(shè)這個(gè)花費(fèi)的標(biāo)準(zhǔn)差是15美元，并且AAA所報(bào)道的平均每日消費(fèi)是總體均值。又假設(shè)選取49個(gè)4口之家，并對(duì)其在1999年6月期間的旅行費(fèi)用進(jìn)行記錄。 ⑴ 描述（樣本家庭平均每日餐飲和住宿的消費(fèi)）的抽樣分布。特別說明服從怎樣的分布以及的均值和方差是什么？證明你的回答； ⑵ 對(duì)于樣本家庭來說平均每日消費(fèi)大于213美元的概率是什么？大于217美元的概率呢？在209美元和217美元之間的概率呢？ 4.7 技術(shù)人員對(duì)奶粉裝袋過程進(jìn)行了質(zhì)量檢驗(yàn)。每袋的平均重量標(biāo)準(zhǔn)為克、標(biāo)準(zhǔn)差為克。監(jiān)控這一過程的技術(shù)人者每天隨機(jī)地抽取36袋，并對(duì)每袋重量進(jìn)行測(cè)量。現(xiàn)考慮這36袋奶粉所組成樣

4、本的平均重量。 （1）描述的抽樣分布，并給出和的值，以及概率分布的形狀； （3） 假設(shè)某一天技術(shù)人員觀察到，這是否意味著裝袋過程出現(xiàn)問題了呢，為什么？ 4.8 在本章的統(tǒng)計(jì)實(shí)踐中，某投資者考慮將1000美元投資于種不同的股票。每一種股票月收益率的均值為，標(biāo)準(zhǔn)差。對(duì)于這五種股票的投資組合，投資者每月的收益率是。投資者的每月收益率的方差是，它是投資者所面臨風(fēng)險(xiǎn)的一個(gè)度量。 ⑴ 假如投資者將1000美元僅投資于這5種股票的其中3種，則這個(gè)投資者所面對(duì)的風(fēng)險(xiǎn)將會(huì)增加還是減少？請(qǐng)解釋； ⑵ 假設(shè)將1000美元投資在另外10種收益率與上述的完全一樣的股票，試度量其風(fēng)險(xiǎn)，并與只投資5種股票的

5、情形進(jìn)行比較。 4.9 某制造商為擊劍運(yùn)動(dòng)員生產(chǎn)安全夾克，這些夾克是以劍鋒刺入其中時(shí)所需的最小力量（以牛頓為單位）來定級(jí)的。如果生產(chǎn)工藝操作正確，則他生產(chǎn)的夾克級(jí)別應(yīng)平均840牛頓，標(biāo)準(zhǔn)差15牛頓。國(guó)際擊劍管理組織（FIE）希望這些夾克的最低級(jí)別不小于800牛頓。為了檢查其生產(chǎn)過程是否正常，某檢驗(yàn)人員從生產(chǎn)過程中抽取了50個(gè)夾克作為一個(gè)隨機(jī)樣本進(jìn)行定級(jí)，并計(jì)算，即該樣本中夾克級(jí)別的均值。她假設(shè)這個(gè)過程的標(biāo)準(zhǔn)差是固定的，但是擔(dān)心級(jí)別均值可能已經(jīng)發(fā)生變化。 ⑴ 如果該生產(chǎn)過程仍舊正常，則的樣本分布為何？ ⑵ 假設(shè)這個(gè)檢驗(yàn)人員所抽取樣本的級(jí)別均值為830牛頓，則如果生產(chǎn)過程正常的話，樣本均值

6、≤830牛頓的概率是多少？ ⑶ 在檢驗(yàn)人員假定生產(chǎn)過程的標(biāo)準(zhǔn)差固定不變時(shí)，你對(duì)b部分有關(guān)當(dāng)前生產(chǎn)過程的現(xiàn)狀有何看法（即夾克級(jí)別均值是否仍為840牛頓）？ ⑷ 現(xiàn)在假設(shè)該生產(chǎn)過程的均值沒有變化，但是過程的標(biāo)準(zhǔn)差從15牛頓增加到了45牛頓。在這種情況下的抽樣分布是什么？當(dāng)具有這種分布時(shí)，則≤830牛頓的概率是多少？ 4.10 在任何生產(chǎn)過程中，產(chǎn)品質(zhì)量的波動(dòng)都是不可避免的。產(chǎn)品質(zhì)量的變化可被分成兩類：由于特殊原因所引起的變化（例如，某一特定的機(jī)器），以及由于共同的原因所引起的變化（例如，產(chǎn)品的設(shè)計(jì)很差）。 一個(gè)去除了質(zhì)量變化的所有特殊原因的生產(chǎn)過程被稱為是穩(wěn)定的或者是在統(tǒng)計(jì)控制中的。剩余的

7、變化只是簡(jiǎn)單的隨機(jī)變化。假如隨機(jī)變化太大，則管理部門不能接受，但只要消除變化的共同原因，便可減少變化（Deming,1982,1986;De Vor, Chang,和Sutherland,1992）。 通常的做法是將產(chǎn)品質(zhì)量的特征繪制到控制圖上，然后觀察這些數(shù)值隨時(shí)間如何變動(dòng)。例如，為了控制肥皂中堿的數(shù)量，可以每小時(shí)從生產(chǎn)線中隨機(jī)地抽選塊試驗(yàn)肥皂作為樣本，并測(cè)量其堿的數(shù)量，不同時(shí)間的樣本含堿量的均值描繪在下圖中。假設(shè)這個(gè)過程是在統(tǒng)計(jì)控制中的，則的分布將具有過程的均值，標(biāo)準(zhǔn)差具有過程的標(biāo)準(zhǔn)差除以樣本容量的平方根，。下面的控制圖中水平線表示過程均值，兩條線稱為控制極限度，位于的上下3的位置。假如

8、落在界限的外面，則有充分的理由說明目前存在變化的特殊原因，這個(gè)過程一定是失控的。 當(dāng)生產(chǎn)過程是在統(tǒng)計(jì)控制中時(shí)，肥皂試驗(yàn)樣本中堿的百分比將服從和的近似的正態(tài)分布。 ⑴ 假設(shè)則上下控制極限應(yīng)距離多么遠(yuǎn)？ ⑵ 假如這個(gè)過程是在控制中，則落在控制極限之外的概率是多少？ ⑶ 假設(shè)抽取樣本之前，過程均值移動(dòng)到，則由樣本得出這個(gè)過程失控的（正確的）結(jié)論的概率是多少？ 4.11 參考練習(xí)4.10。肥皂公司決定設(shè)置比練習(xí)4.10中所述的這一限度更為嚴(yán)格的控制極限。特別地，當(dāng)加工過程在控制中時(shí)，公司愿意接受落在控制極限外面的概率是0.10。 ⑴ 若公司仍想將控制極限度設(shè)在與均值的上

9、下距離相等之處，并且仍計(jì)劃在每小時(shí)的樣本中使用個(gè)觀察值，則控制極限應(yīng)該設(shè)定在哪里？ ⑵ 假設(shè)a部分中的控制極限已付諸實(shí)施，但是公司不知道，現(xiàn)在是3%（而不是2%）。若，則落在控制極限外面的概率是多少？若呢？ 4.12 參考練習(xí)4.11。為了改進(jìn)控制圖的敏感性，有時(shí)將警戒線與控制極限一起畫在圖上。警戒限一般被設(shè)定為。假如有兩個(gè)連續(xù)的數(shù)據(jù)點(diǎn)落在警戒限之外，則這個(gè)過程一定是失控的（蒙哥馬利，1991年）。 ⑴ 假設(shè)肥皂加工過程是在控制中（即，它遵循和的正態(tài)分布），則的下一個(gè)值落在警戒限之外的概率是什么？ ⑵ 假設(shè)肥皂加工過程是在控制中，則你預(yù)料到畫在控制圖上的的這40個(gè)值中有多少個(gè)點(diǎn)落在上控

10、制極限以上？ ⑶ 假設(shè)肥皂加工過程是在控制中，則的兩個(gè)未來數(shù)值落在下警戒線以下的概率是多少？ 答案 4.1 ⑴ 20, 2； ⑵ 近似正態(tài)； ⑶ -2.25； ⑷ 1.50。 4.2 ⑴ 0.0228； ⑵ 0.0668； ⑶ 0.0062； ⑷ 0.8185； ⑸ 0.0013。 4.3 ⑴ 0.8944； ⑵ 0.0228； ⑶ 0.1292； ⑷ 0.9699。 4.4 ⑴ 101, 99 ⑵ 1 ； ⑶ 不必。 4.5 趨向正態(tài)。 4.6 ⑴ 正態(tài)分布, 213, 4.5918； ⑵ 0.5, 0.031, 0.938。 4.7 ⑴ 406, 1.68, 正態(tài)分布； ⑵ 0.001； ⑶是，因?yàn)樾「怕食霈F(xiàn)了。 4.8 ⑴ 增加； ⑵ 減少。 4.9 ⑴ 正態(tài)； ⑵ 約等于0； ⑶ 不正常； ⑷ 正態(tài), 0.06。 4.10 ⑴ 0.015； ⑵ 0.0026； ⑶ 0.1587。 4.11 ⑴ (0.012, 0.028)； ⑵ 0.6553, 0.7278。 4.12 ⑴ 0.05； ⑵ 1 ； ⑶ 0.000625。