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1、數(shù)學物理方程 第一章 緒論 數(shù)學物理方程 課程的內(nèi)容 三個方程： 行波法、分離變量法、格林函數(shù)法、積分變換法 波動方程、熱傳導、拉普拉斯方程 四種方法： -----用數(shù)學方程來描述一定的物理現(xiàn)象。 數(shù)學物理方程 第一章 緒論 第一章 緒倫 二、重要性 第一節(jié) 概述 數(shù)學物理方程反映了自然科學和工程技術的各門分支中 物理量關于時間的導數(shù)和關于空間變量的導數(shù)之間的制約關 系，是數(shù)學聯(lián)系實際的一個重要橋梁 ,已經(jīng)成為自然科學、 工程技術甚至經(jīng)濟管理科學等領域的研究基礎。 一、 數(shù)學物理方程定義 含有未知函數(shù)的偏導數(shù)的方程，是物理現(xiàn)象的數(shù)學描 述。包括微
2、分方程和積分方程，主要是偏微分方程。 數(shù)學物理方程 第一章 緒論 1、一般研究程序： 1）將物理問題依有關定律建立相應的數(shù)學模型 2）對數(shù)學模型應用數(shù)學方法求解 3）將解答通過數(shù)學論證和實踐檢驗鑒定其正確性 三、研究方法及本課程內(nèi)容 2、本課程內(nèi)容：以三種典型方程的定解問題的求解方法 為主要研究內(nèi)容，重點掌握 1）有關基本概念 2）典型物理問題方程的建立 3）常用的幾種解法及典型例題求解 數(shù)學物理方程 第一章 緒論 2、方程的階數(shù) 方程中出現(xiàn)的未知函數(shù)的最高階偏導數(shù)。 可分為一階方程、二階方程、高階方程 2、數(shù)學物理方
3、程的基本概念 一、方程的概念 由未知量組成的關系式（等式 ） 1、按未知量的形式： 代數(shù)方程 未知量是數(shù)量； 函數(shù)方程 未知量是函數(shù)； 常微分方程 方程含有函數(shù)的導數(shù)； 偏微分方程 方程含有多自變量函數(shù)的偏導數(shù)； 積分方程 方程含有未知函數(shù)的積分 ； 數(shù)學物理方程 第一章 緒論 3、方程的線性與非線性： 線性方程 如果一個偏微分方程的未知函數(shù)及其各階偏導數(shù)都是線性 的（一次冪），如 m個自變量的二階線性偏微分方程可寫成如下形式 非線性方程 含有未知函數(shù)及其偏導數(shù)的非線性項，非線性項有三種形式： 擬線性方程 未知函數(shù)的所有最高階偏導數(shù)都是線性的
4、 半線性的擬線性方程 最高階導數(shù)的系數(shù)僅僅是自變量的函數(shù) 1）未知函數(shù)本身為非線性的項，如 2）未知函數(shù)偏導數(shù)的系數(shù)含有未知函數(shù)或其低階導數(shù)項， 如 3）未知函數(shù)最高階導數(shù)為非線性的項，如 2 , sin , uu u e 2, , ( s i n )x x y y x y yu u u u u u 2 2 2s i n ( ) , , ux x y y x x xu u x u e u 2 ,1 ( ) ( ) ( ) ( ) mm ij i i j ii j i uua x b x c x u f x x x x 數(shù)學物理方程 第一章 緒論 1、定解條件
5、 三、定解條件和定解問題 (1) 初始條件：給出未知函數(shù)或其對時間的偏導數(shù)的起始狀態(tài) (2) 邊界條件： 給出未知函數(shù)在所求區(qū)域的邊界上的值或?qū)?shù) 值或兩者的線性組合 。 為完全確定一個物理狀態(tài)所給出的初始狀態(tài)和邊界狀 態(tài)，即外加的特定條件 | ( , )su f P t ( , ) s u g P t n ( ) ( , ) S uu P t n S 給定區(qū)域 v 的邊界 第一類邊界條件 第二類邊界條件 第三類邊界條件 如： 數(shù)學物理方程 第一章 緒論 2、定解問題 (1) 初始問題（柯西問題）：只有初始條件，沒有邊界條件的 定解問題； (2) 邊值
6、問題：沒有初始條件，只有邊界條件的定解問題；依 所給邊界條件的類型分為：第一類邊值問題（ Dirichlet問 題）；第二類邊值問題（ Neumann問題）；第三類邊值問 題（ Robbin問題） (3) 混合問題：既有初始條件，也有邊界條件的定解問題。 1）泛定方程：通常稱偏微分方程為泛定方程 2）把泛定方程和其相應的定解條件結(jié)合在一起，就構(gòu)成了 一個 定解問題 。 3）定解問題的提法 數(shù)學物理方程 第一章 緒論 1、偏微分方程的解 古典解 ：如果將某個函數(shù) u 代入偏微分方程中，能使方程成 為恒等式，則這個函數(shù)就是該偏微分方程的解。 通解 ：解中含有相互獨立的和偏微分方程
7、階數(shù)相同的任意常 數(shù)的解。 特解 ：滿足方程及定解條件的解，也稱為定解問題的解。 形式解 ：未經(jīng)過驗證的解為形式解。 四、定解問題的適定性 解析解 ：可展開成收斂冪級數(shù)形式的解。 光滑解 ：可無窮次可微的解。 數(shù)學物理方程 第一章 緒論 為使定解問題的解能反映原來的物理現(xiàn)象，對數(shù)學上的解提 出的一些標準，稱為適定性。包括存在性、唯一性和穩(wěn)定性。 2、定解問題的適定性 解的存在性：所給定解問題有解； 解的穩(wěn)定性：當定解條件及方程中的系數(shù)或自由項有微小 變化時，相應的解也只有相應的微小變動。 解的唯一性：所給定解問題只有一個解； 數(shù)學物理方程 第一章
8、緒論 2 ,1 ( ) ( ) ( ) ( ) mm ij i i j ii j i uua x b x c x u f x x x x 2 2 2 1 1 1 2 2 2 1 2222 u u u u ua a a b b c u f x x y y x y ( ( , ) , ( , ) , ( , )x x y y x y x y ， ） ， 即 ： 二階線性偏微分方程的一般形式 3、二階線性偏微分方程的分類 特別對有兩個自變量（ x， y）函數(shù)的二階線性偏微 分方程可寫為： 為簡化方程設作代換 則由復合函
9、數(shù)的求導有 數(shù)學物理方程 第一章 緒論 11 12 22 1 22A u A u A u B u B u Cu F 22 1 1 1 1 1 2 2 2 1 2 1 1 1 2 2 2 22 2 2 1 1 1 2 2 2 2 () 2 x x y y x x x y y x y y x x y y A a a a A a a a A a a a 221 1 1 2 2 2 2 0 x x y ya z a z z a z 而 ， 恰 是 方 程 的 解 期中系數(shù) ( , ) z x y c設 是 上
10、 述 方 程 的 解 x y zdy d x z則 由 復 合 函 數(shù) 求 導 得 ： 21 1 1 2 2 2 ( ) 2 0d y d ya a ad x d x 從 而 上 式 變 為 常 微 分 方 程 原方程的特征方程 可見若有 使上兩式為零，則原方程可以簡化。 ， 數(shù)學物理方程 第一章 緒論 由一元二次方程的求解 ,可將特征方程分成兩個方程： 1 2 1 1 2 2 ( , ) ( , ) Az x y z x y A取 和 則 ， 均 為 零 ， 原 方 程 可 簡 化 22 1 2 1 2 1 1 2 2 1 2 1 2 1 1 2 2 1 1 1
11、 1 , a a a a a a a ad y d yd x a d x a 1 1 2 2 z ( , ) z ( , ) x y c x y c進 而 得 特 征 方 程 的 通 解 和 稱 為 特 征 曲 線 21 2 1 1 2 2 ( , ) 3x y a a a 根 據(jù) 判 別 式 的 符 號 可 將 二 階 線 性 偏 微 分 方 程 化 為 類 21 2 1 1 2 2 ( , ) 0 x y a a a 1 ） 原 方 程 為 雙 曲 型 偏 微 分 方 程 21 2 1 1 2 2 ( , ) 0 x y a a a 2 ） = 原 方 程 為
12、 拋 物 型 偏 微 分 方 程 u A u B u Cu F 雙 曲 型 方 程 的 第 一 標 準 型 形 式 u u A u B u Cu F 雙 曲 型 方 程 的 第 二 標 準 型 形 式 u A u B u Cu F 拋 物 型 方 程 的 標 準 型 形 式 數(shù)學物理方程 第一章 緒論 22 2 22 0 uua tx 2 2 20 1 ( ) 0aa 雙曲型方程 02 2 2 2 y ux u 20 1 1 0 橢圓型方程 2 2 2 x ua t u 20 1 0 0 拋物型方程
13、 u u A u B u Cu F 橢 圓 型 方 程 的 標 準 型 形 式 21 2 1 1 2 2 ( , ) 0 x y a a a 3 ） < 原 方 程 為 橢 圓 形 偏 微 分 方 程 例如：波動方程 位勢方程 熱傳導方程 2 2 21 2 1 1 2 2 1 2 1 1 2 2 ) ( )x y y xA A A a a a 由 于 （ 所以，判別式 的符號在作變量代換時不變，即所 作變量代換不改變方程類型 ( , )xy 數(shù)學物理方程 第一章 緒論 4、線性疊加原理 線性方程的解具有疊加特性 1 L
14、 C u C L u C、 （ 為 任 意 常 數(shù) ） 2 ,1 ( ) ( ) ( ) ( )mmij i i j ii j i uuL u a x b x c x u f x x x x 對 n個自變量的二階線性偏微分方程 容易驗證 L是線性微分算子，即滿足性質(zhì) 1 2 1 2 1 2+ L u u L u L u u u2 、 （ 、 為 任 意 函 數(shù) ） 1 2 1 2 1 1 2 2 1 1 2 2+ C u u C C L C u C u C L u L u 綜 合 得 ： 對 任 意 函 數(shù) 、 和 常 數(shù) 、 有 對于一般的線
15、性邊界條件 ( ) ( , ) S uu P t n 也可以寫成算子的形式 snuuuL )(0 可以證明 L0也是線性算子 數(shù)學物理方程 第一章 緒論 1 , 2 ,iiL u f i m iiuCu 疊加原理 1 設 ui滿足線性方程（或者線性定解條件） 則它們的任意線性組合 也滿足方程（或定解條件） 11 mm i i i iL u L C u C f 疊加原理 2 設 ui滿足線性方程（或者線性定解條件） 1 iiu C u 又 設 級 數(shù) 收 斂 及 滿 足 其 它 必 要 條 件 1 , 2 , ,iiL u f i 那么 u滿足線性方程（或者線性定解條件） 11i i i i L u L C u C f
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