《機(jī)械工程控制基礎(chǔ)》課后答案

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1、 目錄 第一章 自動(dòng)控制系統(tǒng)的基本原理 第一節(jié) 控制系統(tǒng)的工作原理和基本要求 第二節(jié) 控制系統(tǒng)的基本類型 第三節(jié) 典型控制信號(hào) 第四節(jié) 控制理論的內(nèi)容和方法 第二章 控制系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型 第一節(jié) 機(jī)械系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型 第二節(jié) 液壓系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型 第三節(jié) 電氣系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型 第四節(jié) 線性控制系統(tǒng)的卷積關(guān)系式 第三章 拉氏變換 第一節(jié) 傅氏變換 第二節(jié) 拉普拉斯變換 第三節(jié) 拉普拉斯變換的基本定理 第四節(jié) 拉普拉斯逆變換 第四章 傳遞函數(shù) 第一節(jié) 傳遞函數(shù)的概念與性質(zhì) 第二節(jié) 線性控制系統(tǒng)的典型環(huán)節(jié) 第三節(jié) 系統(tǒng)框圖及其

2、運(yùn)算 第四節(jié) 多變量系統(tǒng)的傳遞函數(shù) 第五章 時(shí)間響應(yīng)分析 第一節(jié) 概述 第二節(jié) 單位脈沖輸入的時(shí)間響應(yīng) 第三節(jié) 單位階躍輸入的時(shí)間響應(yīng) 第四節(jié) 高階系統(tǒng)時(shí)間響應(yīng) 第六章 頻率響應(yīng)分析 第一節(jié) 諧和輸入系統(tǒng)的定態(tài)響應(yīng) 第二節(jié) 頻率特性極坐標(biāo)圖 第三節(jié) 頻率特性的對(duì)數(shù)坐標(biāo)圖 第四節(jié) 由頻率特性的實(shí)驗(yàn)曲線求系統(tǒng)傳遞函數(shù) 第七章 控制系統(tǒng)的穩(wěn)定性 第一節(jié) 穩(wěn)定性概念 第二節(jié) 勞斯判據(jù) 第三節(jié) 乃奎斯特判據(jù) 第四節(jié) 對(duì)數(shù)坐標(biāo)圖的穩(wěn)定性判據(jù) 第八章 控制系統(tǒng)的偏差 第一節(jié) 控制系統(tǒng)的偏差概念 第二節(jié) 輸入引起的定態(tài)偏差 第三節(jié) 輸入引起的動(dòng)態(tài)偏

3、差 第九章 控制系統(tǒng)的設(shè)計(jì)和校正 第一節(jié) 綜述 第二節(jié) 希望對(duì)數(shù)幅頻特性曲線的繪制 第三節(jié) 校正方法與校正環(huán)節(jié) 第四節(jié) 控制系統(tǒng)的增益調(diào)整 第五節(jié) 控制系統(tǒng)的串聯(lián)校正 第六節(jié) 控制系統(tǒng)的局部反饋校正 第七節(jié) 控制系統(tǒng)的順饋校正 第一章 自動(dòng)控制系統(tǒng)的基本原理 定義：在沒有人的直接參

4、與下，利用控制器使控制對(duì)象的某一物理量準(zhǔn)確地按照預(yù)期的規(guī)律運(yùn)行。 第一節(jié) 控制系統(tǒng)的工作原理和基本要求 一、 控制系統(tǒng)舉例與結(jié)構(gòu)方框圖 例1． 一個(gè)人工控制的恒溫箱，希望的爐水溫度為100C,利用 表示函數(shù)功能的方塊、信號(hào)線，畫出結(jié)構(gòu)方塊圖。 圖1 人通過眼睛觀察溫度計(jì)來獲得爐內(nèi)實(shí)際溫度，通過大腦分析、比較，利用手和鍬上煤炭助燃。 圖2 例2． 圖示為液面高度控制系統(tǒng)原理圖。試畫出控制系統(tǒng)方塊圖 和相應(yīng)的人工操縱的液面控制系統(tǒng)方塊圖。 解：浮子作為液面高度的反饋物，自動(dòng)控

5、制器通過比較實(shí)際的液面高度與希望的液面高度，調(diào)解氣動(dòng)閥門的開合度，對(duì)誤差進(jìn)行修正， 可保持液面高度穩(wěn)定。 圖3 圖4 圖5 結(jié)構(gòu)方塊圖說明： 1.信號(hào)線：帶有箭頭的直線（可標(biāo)時(shí)間或象函數(shù)）U(t),U(s)； 2.引用線：表示信號(hào)引出或測(cè)量的位置； 3．比較點(diǎn)：對(duì)兩個(gè)以上的同性質(zhì)信號(hào)的加減運(yùn)算環(huán)節(jié)； 4．方 框：代表系統(tǒng)中的元件或環(huán)節(jié)。 方塊圖中要注明元件或環(huán)節(jié)的名稱，函數(shù)框圖要寫明函數(shù)表達(dá)式。 二．控制系統(tǒng)的組成 1．

6、給定環(huán)節(jié)：給出輸入信號(hào)，確定被控制量的目標(biāo)值。 2．比較環(huán)節(jié)：將控制信號(hào)與反饋信號(hào)進(jìn)行比較，得出偏差值。 3．放大環(huán)節(jié)：將偏差信號(hào)放大并進(jìn)行必要的能量轉(zhuǎn)換。 4．執(zhí)行環(huán)節(jié)：各種各類。 5．被控對(duì)象：機(jī)器、設(shè)備、過程。 6．測(cè)量環(huán)節(jié)：測(cè)量被控信號(hào)并產(chǎn)生反饋信號(hào)。 7．校正環(huán)節(jié)：改善性能的特定環(huán)節(jié)。 三．控制系統(tǒng)特點(diǎn)與要求 1．目的：使被控對(duì)象的某一或某些物理量按預(yù)期的規(guī)律變化。 2．過程：即“測(cè)量——對(duì)比——補(bǔ)償”。 或“檢測(cè)偏差——糾正偏差”。 3．基本要求：穩(wěn)定性 系統(tǒng)必須是穩(wěn)定的，不能震蕩； 快速性 接近目標(biāo)的快

7、慢程度，過渡過程要??； 準(zhǔn)確性 第二節(jié) 控制系統(tǒng)的基本類型 1．開環(huán)變量控制系統(tǒng)（僅有前向通道） 圖6 2．閉環(huán)變量控制系統(tǒng) 開環(huán)系統(tǒng)：優(yōu)點(diǎn)：結(jié)構(gòu)簡(jiǎn)單、穩(wěn)定性能好； 缺點(diǎn)：不能糾偏，精度低。 閉環(huán)系統(tǒng)：與上相反。 第三節(jié) 典型控制信號(hào) 輸入信號(hào)是多種多樣的，為了對(duì)各種控制系統(tǒng)的性能進(jìn)行統(tǒng)一的評(píng)價(jià)，通常選定幾種外作用形式作為典型外作用信號(hào)，并提出統(tǒng)一的性能指標(biāo)，作為評(píng)價(jià)標(biāo)準(zhǔn)。 1．階躍信號(hào) x(t)=0 t＜0

8、 X(t)=A t≥0 圖7 當(dāng)A=1時(shí)，稱為單位階躍信號(hào)，寫為1（t）。 階躍信號(hào)是一種對(duì)系統(tǒng)工作最不利的外作用形式。例如，電源突然跳動(dòng)，負(fù)載突然增加等。因此，在研究過渡過程性能時(shí)通常都選擇階躍函數(shù)為典型外作用，相應(yīng)的過渡過程稱為階躍響應(yīng)。 2．脈沖函數(shù) 數(shù)學(xué)表達(dá)式 x(t)=A/T 0≤t≤T X(t)=0 其它 圖8 脈沖函數(shù)的強(qiáng)度為A，即圖形面積。 單位脈沖函數(shù)（δ函數(shù)）定義為δ(t)=1(t) 性質(zhì)有: δ(t

9、)=0 t≠0 δ(t)=∞ t＝0 且 圖9 強(qiáng)度為A的脈沖函數(shù)x(t)也可寫為x( t)=Aδ(t) 必須指出，脈沖函數(shù)δ(t)在現(xiàn)實(shí)中是不存在的，它只有數(shù)學(xué)上的意義，但它又是很重要的很有效的數(shù)學(xué)工具。 3．斜坡函數(shù)（恒速信號(hào)） x(t)=At t≥0 x(t)=0 t＜0 圖10 在研究飛機(jī)系統(tǒng)時(shí)，常用恒速信號(hào)作為外作用來評(píng)價(jià)過渡過程。 4．恒加速信號(hào) x(t)=At2/2 t≥0

10、 x(t)=0 t＜0 圖11 在研究衛(wèi)星、航天技術(shù)的系統(tǒng)時(shí)，常用恒加速信號(hào)作為外作用來評(píng)價(jià)過渡過程。 5．正弦函數(shù)（諧波函數(shù)、諧和信號(hào)） x(t)=xm.sin(ωt+φ) t≥0 x(t)=0 t＜0 - 圖12 6．延時(shí)函數(shù)（信號(hào)） f(t)=x(t-τ) t≥τ f(t)=0 t＜0 圖13 7．隨機(jī)信號(hào)（使用白噪聲信號(hào)代替） 第四節(jié) 控制理論的研究?jī)?nèi)容和方法 一

11、．經(jīng)典控制理論 1．主要內(nèi)容： 分析——掌握系統(tǒng)的特性，進(jìn)行系統(tǒng)性能的改善； 實(shí)驗(yàn)——對(duì)系統(tǒng)特性和改善措施進(jìn)行測(cè)試； 綜合——按照給定的靜態(tài)、動(dòng)態(tài)指標(biāo)設(shè)計(jì)系統(tǒng)。 2．方法 時(shí)域法——以典型信號(hào)輸入，分析輸出量隨時(shí)間變化的情況； 頻域法——以諧和信號(hào)輸入，分析輸出量隨頻率變化的情況； 根軌跡法——根據(jù)系統(tǒng)的特征方程式的根，隨系統(tǒng)參數(shù)的變化規(guī)律來研究系統(tǒng)（又稱圖解法）。 二．現(xiàn)代控制理論 1．引入狀態(tài)空間概念； 2．動(dòng)態(tài)最佳控制； 3．靜態(tài)最優(yōu)控制； 4．自適應(yīng)和自學(xué)習(xí)系統(tǒng)。

12、 圖14 瓦特調(diào)速器 第二章 控制系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型 為了確定控制系統(tǒng)內(nèi)部各物理量之間定量關(guān)系，必須建立數(shù)學(xué)模型。這一章中心問題是如何從控制系統(tǒng)實(shí)體中抽象出數(shù)學(xué)模型。 第一節(jié) 機(jī)械系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型 1.機(jī)械平移系統(tǒng)（應(yīng)用牛頓定律）∑F=0, F=m F(t)-c-kx=m 或 F(t)-Fc(t)-Fk(t)=m Fc(t)=阻尼器產(chǎn)生的阻尼力，為c(t) Fk(t)=彈性恢復(fù)力， 為kx(t) 整理：m+c+kx=F(t) 2．機(jī)械旋轉(zhuǎn)系統(tǒng) J(t)+c(t)+k(t)=M(t) J—轉(zhuǎn)動(dòng)慣量

13、 c—阻尼系數(shù) K—?jiǎng)偠认禂?shù) 圖14 圖15 3．機(jī)械傳動(dòng)系統(tǒng)參數(shù)的歸算 機(jī)械系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)形式：旋轉(zhuǎn)運(yùn)動(dòng)、直線運(yùn)動(dòng)。 機(jī)械系統(tǒng)的組成元件：齒輪、軸、軸承、絲杠、螺母、滑塊等。 對(duì)一個(gè)復(fù)雜的大系統(tǒng)，必須把各部件參數(shù)歸算到同一部件上。在這個(gè)部件的慣性力、阻尼力、彈性恢復(fù)力稱為當(dāng)量參數(shù)。 如何歸算？采用單因素法。 3—1 慣性參數(shù)的歸算 1．轉(zhuǎn)動(dòng)慣量的歸算 將圖示系統(tǒng)中的J1、J2和J3歸算到a軸上。

14、 圖16 列各軸力矩平衡方程式： a軸： M=J1+ Mb-a b軸： Ma-b=J2+ Mc-b c軸： Mb-c=J3 Mb-a——負(fù)載力矩；Ma-b——是b軸的主動(dòng)（驅(qū)動(dòng)）力矩。 列關(guān)系式： ==，同理 力相等關(guān)系 由線速度相等關(guān)系： ω1=ω2 得，同理， 代入各關(guān)系式，得 M(t)=M=[J1+J2()2+J3()2]= Ja∑ Ja∑—稱為歸算到a軸上的歸算轉(zhuǎn)動(dòng)慣量。 推之，對(duì)于系統(tǒng)有n個(gè)軸，歸算到a軸時(shí)， Ja∑ = Ui—是從a軸到第i軸的總速

15、比，即主動(dòng)齒輪齒數(shù)積/被動(dòng)齒輪齒數(shù)積。 2．移動(dòng)質(zhì)量歸算為轉(zhuǎn)動(dòng)慣量 列運(yùn)動(dòng)平衡方程式 絲杠：M=J+M1 滑塊: F=m=F軸 式中：M1是滑塊作用于絲杠的力矩； F軸是絲杠作用于滑塊的軸向力。 為求M與F之間的關(guān)系,列關(guān)系式,把絲杠按πD展成平面。 tgα=F周/F軸=S/πD 由關(guān)系式 F周=M1, 則F軸=F== 根據(jù)運(yùn)動(dòng)關(guān)系 == 代入到M=J+M1中，整理后得 M=[J+m()2]=J∑ J∑=J+m ()2 圖17 圖18 第二節(jié) 液壓系統(tǒng)的數(shù)學(xué)

16、模型 分析思路（見圖19）：劃分為兩個(gè)環(huán)節(jié)。 滑閥： 輸入量 xi(t) 輸出量 θ(t)（中間變量） 液壓缸：輸入量 θ(t) 輸出量 xo(t) 建立各元件方程式 圖19 1、滑閥流量方程式 θ(t)=f[xi(t), ], 其中 = 壓強(qiáng)差 流量θ(t)是閥芯位移xi(t)函數(shù)，同時(shí)又是負(fù)載壓強(qiáng)差的函數(shù)，具有非線性關(guān)系。 如果把非線性問題線性化，這是考慮在額定工作點(diǎn)附近可展成泰勒級(jí)數(shù)辦法，則 θ(t)=kqxi(t)-kp (1

17、) 其中kq是流量增益系數(shù)，kp是壓力影響系數(shù)。（1）式是根據(jù)試驗(yàn)數(shù)據(jù)修正而來。 2、液壓缸工作腔液體流動(dòng)連續(xù)方程式 θ(t)=Ao(t)+kt+ (2) A—工作面積，kt—漏損系數(shù)，V—液體體積壓縮率，—彈性模量。 在不考慮液體的的可壓縮性，又不考慮泄漏，（2）式可簡(jiǎn)化為 θ(t)=Ao(t) （3） 3、液壓缸負(fù)載平衡方程式 A=mo(t)+co(t)+kxo(t)+F(t) (4) 若自由狀態(tài)，即F(t)=

18、0,則 A=mo(t)+co(t)+kxo(t) （5） 4、系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)方程式 消去中間變量和θ(t)，得 mo(t)+co(t)+（k+A2/ρ(t)=Akqxi(t)/kp (6) 若外部系統(tǒng)阻尼、剛度系數(shù)不受影響，即c=0,k=0,慣性力不考慮。 則 kqxi(t)=Axo(t) (7) 這是來多少油出多少油的關(guān)系式。 第三節(jié) 電氣系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型 1.阻容感網(wǎng)絡(luò)系統(tǒng) 圖20 由基爾霍夫第一

19、定律（封閉系統(tǒng)） Ui(t)-UR(t)-Uc(t)-UL(t)=0 Ui(t)-Ri(t)--L=0 =L+R+ 二階微分方程 2．放大器網(wǎng)絡(luò)系統(tǒng) 圖21 1）比例運(yùn)算放大器 由ij(t)=0 i1(t)=i2(t)+i3(t) 因?yàn)榉糯笃鲀?nèi)阻很大，i3(t)0，于是有 i1(t) i2(t) 即 =i1(t)=i2(t)= （引入：Uo(t)=-βUA=-(104-106)UA 由于 β很大,UA0） UO(t)=(1+)UA(t)- Ui(t) 2）積分運(yùn)算放大器 圖22 同前分析過程。

20、i1(t)=;U0(t)== 由i1(t) i2(t)而來 輸出與輸入之間存在積分關(guān)系。 3）微分運(yùn)算放大器 圖23 由Ui(t)=得i1(t)=c i2(t)= ,由 i1(t) i2(t) 關(guān)系式，得U0(t)=R2C 輸出與輸入之間存在微分關(guān)系。 第四節(jié) 線性控制系統(tǒng)的卷積關(guān)系式 為建立輸出與輸入之間的關(guān)系，常利用卷積關(guān)系式。 一.線性控制系統(tǒng)的權(quán)函數(shù) 圖24 設(shè)圖示系統(tǒng)，任意給輸入量xi(t)，輸出量為xo(t)。當(dāng)xi(t)=δ(t)，即為單位脈沖函數(shù)，此時(shí)的輸出（也稱為

21、響應(yīng)）xo(t)記為h(t)。 h(t)稱為系統(tǒng)的單位脈沖響應(yīng)或稱為權(quán)函數(shù)。 若輸入脈沖發(fā)生在τ時(shí)刻，則δ(t)和h(t)曲線都會(huì)向右移動(dòng)τ，形狀不變。 圖25-1 即 xi(t)= δ(t1)，對(duì)應(yīng)的xo(t)= h(t1)， 其中 t1=t-τ 定義： δ(t-τ)= τ≤t≤τ+δt δ(t-τ)=0 其它 這里δ(t)≠δt，δt=⊿t 二、任意輸入響應(yīng)的卷積關(guān)系式 當(dāng)xi(t)為任意函數(shù)時(shí)，可劃分為n個(gè)具有強(qiáng)度Aj的脈沖函數(shù)的疊加，即 圖25-2 圖25-3 Xi（t）= 其中 Aj=xi（jδt）. Δt

22、 =面積=強(qiáng)度 在某一個(gè)脈沖函數(shù)Ajδ(t-jδt)作用下，響應(yīng)為Ajh(t-jδt)。 系統(tǒng)有n個(gè)脈沖函數(shù)，則響應(yīng)為： xo(t)== 當(dāng)n時(shí)，，nδt，j. δt=τ，δt=dτ xo(t)= 卷積關(guān)系式 上式說明“任意輸入xi(t)所引起的輸出xo(t)等于系統(tǒng)的權(quán)函數(shù) h(t)和輸入xi(t)的卷積”。 三、卷積的概念與性質(zhì) 定義：若已知函數(shù)f（t）和g（t），其積分存在， 則稱此積分為f（t）和g（t）的卷積，記作。 性質(zhì)： 1、交換律 = 證明：令t-τ=t1 dτ=-dt1 （τ=t-t1） == =

23、 （左=右，變量可代換）證畢。 2、分配律 3、若t∠0時(shí)，f（t）=g（t）=0，則 = f（t）—輸入；g（t）—系統(tǒng)；x0（t）—輸出 x0（t）= 四．卷積積分的圖解計(jì)算 積分上下限的確定： 下限 取f（τ）和g（t-τ）值中最大一個(gè)； 上限 取f（τ）和g（t-τ）值中最小一個(gè)。 圖26 第三章 拉普拉斯變換 第一節(jié) 傅氏變換（傅立葉變換） 一、 傅氏級(jí)數(shù)的復(fù)指數(shù)形式（對(duì)周期函

24、數(shù)而言，略講） 二、 非周期函數(shù)的傅氏積分 非周期函數(shù)f（t）可以看作是T周期函數(shù)fT（t），即 f（t）=， 若f（t）在上滿足： 1、在任一有限區(qū)間上滿足狄氏條件（10 連續(xù)或只有有限個(gè)第一類間斷點(diǎn)；20 只有有限個(gè)極值點(diǎn)）； 2、在上絕對(duì)可積（收斂）。 f（t）= 非周期函數(shù)的積分式 三、傅氏變換 1、傅氏變換概念 在傅氏積分式中，令 t是積分變量，積分后是的函數(shù)。 稱 F（ω）=F[f（t）]——傅氏變換 f（t）=F-1[F（ω）]——傅氏逆變換 2、傅氏變換的缺點(diǎn)說明 10 條件較強(qiáng)，要求f（t）絕對(duì)收斂

25、。做不到。 例如，1（t）、Asinωt，它們的積分均發(fā)散，即F[f（t）]不存在，無法進(jìn)行傅氏變換。 20 要求f（t）在有意義，而在實(shí)際中， t＜0常不定義。 解決的辦法： 10 將f（t）乘以收斂因子e-σt 使積分收斂（σ>0）； 20 將f（t）乘以1（t），使當(dāng)t＜0時(shí)，函數(shù)值為零?？蓪⒎e分區(qū)間由換成。 于是傅氏變換變形為拉氏變換L[f（t）]： L[f（t）]= 其中 S=—復(fù)變量。成立的條件是 Re（s）=σ>0 經(jīng)過處理，能解決大部分工程上的問題。這就是Laplace變換(F.L.Z.H.W.X). 第三節(jié) 拉普拉斯變換(Laplace) 一

26、. 定義: 1.若t0時(shí),x(t)單值;t<0時(shí),x(t)=0 2. 收斂,Re(s)= σ>0 則稱 X(s)= 為x(t)的拉氏變換式,記作 X(s)=L[x(t)] X(t)=L-1[X(s)] 拉氏逆變換 二. 舉例 1. 脈沖函數(shù)δ(t)的拉氏變換 L[δ(t)]=1 2. 單位階躍函數(shù)x(t)=1(t)=1的拉氏變換 X(s)=L[1(t)]=, Re(s)>0 即σ>0 3．x（t）=，—常數(shù) =L[]= Re(s)>0 即σ> 4、x（t）=sint，—常數(shù) =L

27、[sint]= = Re(s)>0 5．X（t）=tn 冪函數(shù)的拉氏變換 利用伽瑪函數(shù)方法求積分。 =L（tn）= 函數(shù)標(biāo)準(zhǔn)形式 令st=u，t= tn=s-nun dt=du，則 = 若n為自然數(shù)，X（s）=L（tn）= Re(s)>0 比如：x（t）=t， = x（t）=t2 ， = x（t）=t3 ， = 第三節(jié) 拉氏變換的基本定理 與傅氏變換的定理差不多，但有的定理不相同，同時(shí)比傅氏變

28、換定理多也許一些。 1、線性定理（比例和疊加定理） 若L[x1（t）]=X1（s）， L[x2（t）]=X2（s） L[k1x1（t）+k2x2（t）]=k1X1（s）+k2X2（s） 例題 x（t）=at2+bt+c =L[at2+bt+c]=aL（t2）+bL（t）+cL（1） = Re(s)>0 2、微分定理 若L[x（t）]=X（s），則L[（t）]=s2X（s）-x（0） x（0）是x（t）的初始值，利用分部積分法可以證明。 推論：L[ 、

29、 、 L[x（n）（t）]=snX（s）-sn-1x（0）-、、、x（0）（n-1） 注意大小寫， 小寫為時(shí)間函數(shù)。 若初始條件全為零，則 L[x（n）（t）]=snX（s） 3、積分定理 若L[x（t）]= ，則L[]= 推論：L[]= 4、衰減定理（復(fù)數(shù)域內(nèi)位移性質(zhì)） 若L[x（t）]= ，則L[]= 表明原函數(shù)乘以指數(shù)函數(shù)的拉氏變換，等于象函數(shù)做位移。 例題 x（t）= 因 L[]=，則 =L[]= 5、延時(shí)定理（時(shí)間域內(nèi)位移性質(zhì)） 若 L[x（t）]= ，t＜

30、0時(shí)，x（t）=0， 則 L[x（t）]= 、 在時(shí)間域內(nèi)延遲（位移），行動(dòng)于它的象函數(shù)乘以指數(shù)因子。 圖27 6、初值定理 若 L[x（t）]=X（s），且存在， 則 它建立了x（t）在坐標(biāo)原點(diǎn)的值與象函數(shù)s在無限遠(yuǎn)點(diǎn)的值之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系。表明，函數(shù)x（t）在0點(diǎn)的函數(shù)值可以通過象函數(shù)乘以s，然后取極限值而獲得。 7、終值定理 若L[x（t）]= ，且存在，則 8、卷積定理 若L[x（t）]= ，L[y（t）]= ，則 L[]=. 第四節(jié) 拉氏逆變換 已知象函數(shù)X（s）求原函數(shù)x（t）的運(yùn)算稱為拉氏逆變換，記作

31、 x（t）=L-1[] 推導(dǎo)過程略。 這是復(fù)變函數(shù)的積分公式，按定義計(jì)算比較困難。其一是查表法（略）；其二是變形法；第三是配換法；第四是分項(xiàng)分式法。這里簡(jiǎn)單介紹第二項(xiàng)，著重講第四項(xiàng)。 一、變形法 （要利用好各個(gè)性質(zhì)） 例1 已知=，求x（t） 解：s變量中有位移量a，原函數(shù)中必有衰減因子e-at，原本 是1（t），現(xiàn)在是e-at.1（t）= e-at 例2 X（s）=，求x（t） 解：s變量中有位移a，x（t）中必有衰減因子e-at；X（s）中 有衰減；x（t）中的時(shí)間t必有位移。 對(duì)于的逆變換是 第一步變形 原函數(shù)乘以衰減因子e-a

32、t，得 x（t）1 =e-at 第二步變形 t位移，即（t-），得 X（t）2=x（t）= 二、分項(xiàng)分式法 若X（s）為有理分式，即 = （n＞m） 分母多項(xiàng)式Qn（s）具有個(gè)重根s0和個(gè)單根s1s2…，顯 然n=+，則分母多項(xiàng)式 Qn（s）= Si是實(shí)數(shù)也可能是虛數(shù)，是Qn（s）的零點(diǎn)，又是X（s）的極點(diǎn)?？苫桑? 在分項(xiàng)分式中，k0i、kj均為常數(shù)，稱為的各極點(diǎn)處的留數(shù)。 對(duì)于各個(gè)單項(xiàng)，則 K如何求得？？？ ★ ★★留數(shù)的求解 1、比較系數(shù)法 例：= s=0，-3，-4為三個(gè)單極點(diǎn)。 = 通分 聯(lián)立方程

33、： 1=a+b+c 4=7a+4b+3c 2=12a 解得 a= 2、極限法（留數(shù)規(guī)則） 10單極點(diǎn)處的留數(shù) （相對(duì)比較系數(shù)法簡(jiǎn)單一些） 若S是X（s）的分母多項(xiàng)式Qn（s）的一個(gè)單根，稱s= S 為的一個(gè)單極點(diǎn)。此時(shí)可設(shè)： =+ 是余項(xiàng)，其中不再含有S-S 的因子。 可寫成：（S-S）=K+（S-S） 令sS，對(duì)等式兩邊取極限，可得 K= 例題： == k1= k2= k3= 畢 20、重極點(diǎn)處的留數(shù) 若s0是的分母多項(xiàng)式Qn（s）的一個(gè)重根，則

34、稱s=s0是一個(gè)重極點(diǎn)。在重極點(diǎn)處有個(gè)留數(shù)k01、k02、、、，此時(shí)可設(shè) =，W（s）中不含（s-s0）。 = 令 s，兩邊取極限，得 為求，可對(duì)求階導(dǎo)數(shù)，再令s，兩邊取極限，得 例題： 已知 =，求其留數(shù)。 解 （s）是三重極點(diǎn)，（是兩重極點(diǎn)，（是單極點(diǎn)。 = =-1 =-2 =-3 =-2 =2 =1 第四節(jié) 常系數(shù)線性微分方程的拉氏變換解 微分方程 L變換 象函數(shù)的代數(shù)方程 原函數(shù)的微分方程 L-1逆變換 象函數(shù) 例題：求的解，并滿足初始條件；

35、 解：L變換 = 代入初始條件，求解代數(shù)方程。 L-1逆變換 畢 第四章 傳遞函數(shù) 第一節(jié) 傳遞函數(shù)的概念與性質(zhì) 一、傳遞函數(shù)的概念 對(duì)于單輸入、單輸出的線性定常系統(tǒng)，傳遞函數(shù)定義為“當(dāng)輸入量和輸出量的一切初始值均為零時(shí)，輸出量的拉氏變換和輸入量的拉氏變換之比”。 原函數(shù)描述的系統(tǒng)： 輸入xi（t） 系統(tǒng)h（t） 輸出x0（t） 以象函數(shù)描述的系統(tǒng)： 輸入Xi（s） 系統(tǒng)G（s） 輸出X0（s） 傳遞函數(shù)為： 傳遞函數(shù)是描述系統(tǒng)動(dòng)態(tài)性能的數(shù)學(xué)模型的

36、一種形式，是系統(tǒng)的復(fù)數(shù)域數(shù)學(xué)模型 二、傳遞函數(shù)的一般形式 線性定常系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)微分方程式的一般形式為： 其中a0、a1。。。an，b0、b1。。。bm均為實(shí)常數(shù)。對(duì)上式做拉氏變換即可求得該系統(tǒng)的傳遞函數(shù)。 傳遞函數(shù)具有以下三種常用形式： Ⅰ型 Ⅱ型 Ⅲ型 其中，Ⅱ型中，sb1、sb2、sbm是G（s）的零根，sa1、sa2、san是G（s）的極點(diǎn)，也是分母多項(xiàng)式的根。這些根可以是單根、重根、實(shí)根或復(fù)根。若有復(fù)根，則必共軛復(fù)根同時(shí)出現(xiàn)。 Ⅲ型中，kl稱為環(huán)節(jié)增益；

37、是環(huán)節(jié)的時(shí)間常數(shù)；是環(huán)節(jié)的阻尼比。以上均為實(shí)常數(shù)，且，。在分子、分母多項(xiàng)式中，每個(gè)因式代表一個(gè)環(huán)節(jié)。其中每個(gè)因式確定一個(gè)零根；每個(gè)因式（）確定一個(gè)非零實(shí)根；每個(gè)因式確定一對(duì)共軛復(fù)根。 三、傳遞函數(shù)的性質(zhì) 1、傳遞函數(shù)只決定于系統(tǒng)的內(nèi)在性能，而與輸入量大小以及它隨時(shí)間的變化規(guī)律無關(guān)。 2、傳遞函數(shù)不說明系統(tǒng)的物理結(jié)構(gòu)，只要?jiǎng)討B(tài)性能相似，不同的系統(tǒng)可具有同形式的傳遞函數(shù)。 3、分母的最高階次為n的系統(tǒng)稱為n階系統(tǒng)。實(shí)用上n≥m。 4、s的量綱為時(shí)間的倒數(shù)，G（S）的量綱是輸出與輸入之比。 5、所有系數(shù)均為實(shí)數(shù)，原因是：“它們都是系統(tǒng)元件參數(shù)的函數(shù)，而元件參數(shù)只能是實(shí)數(shù)”。 第二節(jié)

38、 線性控制系統(tǒng)的典型環(huán)節(jié) 控制系統(tǒng)都是由若干個(gè)環(huán)節(jié)組合而成，無論系統(tǒng)多么復(fù)雜，但所 組成的環(huán)節(jié)僅有幾種，舉例說明。 一、比例環(huán)節(jié) 傳遞函數(shù)G（s）=K 例： (機(jī)械系統(tǒng)，不考慮彈性變形) 圖a (液壓系統(tǒng)，不考慮彈性變形，可壓縮性和泄漏) 圖b 圖c 圖4-1 比例環(huán)節(jié) G（s）= g（t）=A.V（t） G（s）= u（t）=R.i（t） G（s）= 二、積分環(huán)節(jié) 傳遞函數(shù)的標(biāo)準(zhǔn)形式：G（s） 一階系統(tǒng) G（s）= 二階系統(tǒng) 例：電感電路系統(tǒng) i0（t）= i0

39、（t）—輸出；ui（t）—輸入 L—變換 I0（s）= G（s）= 這里 三、慣性環(huán)節(jié) 一階慣性環(huán)節(jié)的傳遞函數(shù)標(biāo)準(zhǔn)形式： 例：阻容電路 K=1，T=RC 四、振蕩環(huán)節(jié) 傳遞函數(shù)標(biāo)準(zhǔn)形式： 其中 K —比例系數(shù)，—阻尼比， T —周期， —無阻尼自由振動(dòng)固有角頻率。 例1：質(zhì)量—彈性—阻尼系統(tǒng) 輸入f（t），輸出x（t） 運(yùn)動(dòng)方程： L—變換： = 其中， 例2：阻容感電路（R—C—L電路）***引人復(fù)阻抗概念

40、 L—變換 L—變換 L—變換 復(fù)阻抗，又稱為復(fù)數(shù)域的歐姆定律。 見題圖 得 其中， 需要注意的是，只有當(dāng)?shù)奶卣鞣匠叹哂幸粚?duì)共軛復(fù)根時(shí)，系統(tǒng)才能稱為振蕩環(huán)節(jié)。否則，稱為二階慣性環(huán)節(jié)。即 五、放大器模擬電路舉例（第二章已說過 ） 通式： 1、若 比例環(huán)節(jié) 2、若 積分環(huán)節(jié) 3、若 微分

41、環(huán)節(jié) 4、若 一階慣性環(huán)節(jié) 5、若 二階導(dǎo)前環(huán)節(jié) 第三節(jié) 系統(tǒng)框圖及其運(yùn)算 系統(tǒng)有很多環(huán)節(jié)組成，相互之間如何運(yùn)算？框圖又如何運(yùn)算？ 一、系統(tǒng)框圖的聯(lián)接及其傳遞函數(shù) 1、串聯(lián) 2、并聯(lián) = 對(duì)于n個(gè)系統(tǒng) 3、反饋聯(lián)接 Xi（s）—輸入信號(hào) X0（s）—輸出信號(hào)= E（s）.G1（s） E（s）—偏差信號(hào)= Xi（s） B（s） B（s）—反饋信號(hào)=H（s）. X0（s） 1

42、0、前向傳遞函數(shù) 20、開環(huán)傳遞函數(shù) 30、閉環(huán)傳遞函數(shù) 整理得： 二、框圖的變換 變換的目的：將復(fù)雜聯(lián)接的框圖，進(jìn)行等效變形，使之成為僅包含有串、并、反饋等簡(jiǎn)單聯(lián)接方式，以便求算系統(tǒng)的總傳遞函數(shù)。 1、匯交點(diǎn)的分離、合并與易位 2、匯交點(diǎn)與分支點(diǎn)易位 3、匯交點(diǎn)與方框易位 4、分支點(diǎn)與方框易位 第四節(jié) 多變量系統(tǒng)的傳遞函數(shù) 一、有干擾作用時(shí)系統(tǒng)的輸出 由于是線性系統(tǒng)，可單獨(dú)考慮輸入與干擾的作用。 1

43、、僅有輸入作用，即=0時(shí)。 前向通道傳遞函數(shù)= 系統(tǒng)傳遞函數(shù) 2．僅有干擾作用，即=0時(shí)。 前向通道傳遞函數(shù)= 系統(tǒng)傳遞 3、輸入和干擾同時(shí)存在的總輸出 二、雙自由度彈簧、阻尼、質(zhì)量系統(tǒng) 輸入和輸出和。 按質(zhì)量可分兩個(gè)隔離體。 或者寫成 L—變換 或簡(jiǎn)寫成 [H]= 兩邊同左乘[H]-1 [G]是傳遞矩陣，是伴隨矩陣。 第五章 時(shí)間響應(yīng)分析（時(shí)域分析法） 第一節(jié) 概述 一、時(shí)間響應(yīng)概念 這是設(shè)備性能測(cè)試的一種方法，即在典型信號(hào)作用下，

44、對(duì)系統(tǒng)的輸出隨時(shí)間變化情況進(jìn)行分析和研究。 二、時(shí)間響應(yīng)的組成（瞬態(tài)、穩(wěn)態(tài)） 1、瞬態(tài)響應(yīng)：從是系統(tǒng)進(jìn)入理想狀態(tài)的時(shí)間。此過程稱為過渡過程。 由于系統(tǒng)內(nèi)總會(huì)有儲(chǔ)能元件，輸出量不可能立即跟蹤上輸入量,在系統(tǒng)穩(wěn)定之前，總是表現(xiàn)出各種各樣的瞬態(tài)過程。 2、穩(wěn)態(tài)響應(yīng)：tst階段的響應(yīng)。 三、時(shí)間響應(yīng)分析的目的 1、了解系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)性能和質(zhì)量指標(biāo); 2、作為設(shè)計(jì)，校正及使用系統(tǒng)的依據(jù)。 四、方法 利用傳遞函數(shù)來求算微分方程的解 第二節(jié) 單位脈沖輸入的時(shí)間響應(yīng) 輸入信號(hào)：xi=δ，則=1；輸出信號(hào)：x0， 則=H=H=G 一、一階慣性環(huán)節(jié)的單位脈沖響應(yīng) 一

45、階慣性環(huán)節(jié)傳遞函數(shù)標(biāo)準(zhǔn)形式: G== 輸出：= G= G== （提示：L=，注意符號(hào)） 時(shí)間響應(yīng)（時(shí)域）=L=e是一個(gè)指數(shù)函數(shù) 可根據(jù)單位脈沖響應(yīng)，獲知被測(cè)系統(tǒng)的傳遞函數(shù)（錘擊）。 由圖可知，用兩點(diǎn)坐標(biāo)值可定出K和T。 第五節(jié) 振蕩環(huán)節(jié)的單位脈沖響應(yīng) 系統(tǒng)傳遞函數(shù)標(biāo)準(zhǔn)形式= 按阻尼比的大小分析四種情況。 1、無阻尼狀態(tài)，即=0 === 時(shí)間響應(yīng)：或者 2、欠阻尼狀態(tài)，即0＜＜1 （復(fù)習(xí)：衰減定理：； 另外：） == 時(shí)間響應(yīng) 為衰減的正弦函數(shù)?！獰o阻尼自由振動(dòng)的角頻率；—為

46、有阻尼自由振動(dòng)的角頻率。 3、臨界阻尼狀態(tài)，即=1 = 時(shí)間響應(yīng)：= 是兩個(gè)相同的一階慣性環(huán)節(jié)的串聯(lián)。 當(dāng)t＞0，＞0，沒有振動(dòng)現(xiàn)象，稱為蠕動(dòng)。 4、過阻尼狀態(tài)，＞1 == = 時(shí)間響應(yīng)： 是兩個(gè)不同的一階慣性環(huán)節(jié)的串聯(lián)，圖形同上相似，蠕動(dòng)。 第三節(jié) 單位階躍輸入的時(shí)間響應(yīng) 輸入信號(hào)：=1（t），則= 輸出信號(hào)：=， 一、一階慣性環(huán)節(jié)的傳遞函數(shù)： = （由分解因式（而來） 時(shí)間響應(yīng)：= 歸一化處理（因輸入是單位階躍函數(shù)） ，

47、其中 通常認(rèn)為：0≤t≤4T為瞬態(tài)響應(yīng)，t＞4T為穩(wěn)態(tài)響應(yīng)。 二、振蕩環(huán)節(jié)的單位階躍響應(yīng) 振蕩環(huán)節(jié)的傳遞函數(shù)：= = 有無阻尼、欠阻尼、臨界阻尼和過阻尼四種狀態(tài)，著重分析欠阻尼。 ★★★欠阻尼狀態(tài) ：0＜＜1 由上式的分母多項(xiàng)式，即 時(shí)間響應(yīng)： （） = = = 歸一化處理： = 由于高階系統(tǒng)常用一個(gè)二階系統(tǒng)來近似，故有必要對(duì)二階系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)性能指標(biāo)進(jìn)行推算和定義。 1、峰值時(shí)間 來理：令，

48、得 又由： 即 當(dāng)n=1時(shí)是第一個(gè)峰，故 2、峰值 3、穩(wěn)態(tài)響應(yīng)值 4、最大超調(diào)量 %=% 5、調(diào)整時(shí)間 人們定義，波動(dòng)量誤差在0.02—0.05之間，系統(tǒng)進(jìn)入穩(wěn)態(tài)區(qū)域，在此之前的時(shí)段稱為過渡過程，其時(shí)間稱為調(diào)整時(shí)間或過渡過程時(shí)間。 公式為： 若系數(shù)，則上式更能滿足要求。則 若=0.02， 若=0.05， ★★★討論 、與各性能指標(biāo)間的關(guān)系 10 若不變，↑ 不變，↓，↓。此時(shí)有利于提高系統(tǒng)的靈敏度。即系統(tǒng)的快速性能好。 20若不變，↑ ↓，（＜0.707時(shí)）↓ ↓，（＞0.707時(shí)）↑ 若0.4＜＜0

49、.8，=0.24—2.5% ＜0.4 時(shí)，↑↑相對(duì)穩(wěn)定性能差。 ＞0.8時(shí)，↑↑、反應(yīng)遲鈍。 30當(dāng)=0.707時(shí)， 均小，=0.4%。稱=0.707為最佳阻尼比。 例題、圖為機(jī)械系統(tǒng)及其時(shí)間響應(yīng)曲線（是由試驗(yàn)記錄所得），輸入=8.9N，求彈簧剛度系數(shù)k、質(zhì)量m和阻尼系數(shù)c。 解：輸入是力，即=8.9N。L—變換后， 由左圖，寫出運(yùn)動(dòng)方程式。 L—變換 式中 由穩(wěn)態(tài)響應(yīng)K=0、03= 解得 由超調(diào)量%=%=%=

50、 =% 則 由 由 由 第四節(jié) 高階系統(tǒng)的時(shí)間響應(yīng) 若n階系統(tǒng)傳遞函數(shù)的一般形式為： 其中 給系統(tǒng)以單位階躍輸入，則 考慮 無重根的情況，此時(shí)可化為分項(xiàng)分式 =K 時(shí)間響應(yīng)： K 分析： 1、或是一 些簡(jiǎn)單的函數(shù)組成，即由一些一階和二階環(huán)節(jié)的時(shí)間響應(yīng)組成。其中一階環(huán)節(jié)數(shù)為，為的實(shí)根數(shù)；二階環(huán)節(jié)數(shù)為，為的共軛復(fù)根的對(duì)數(shù)。 2、若系統(tǒng)能正常工作，當(dāng)，應(yīng)為零或?yàn)橛薪缰?，為此必須? 10、m＜n，否則分項(xiàng)分式中存在整數(shù)項(xiàng)或sn項(xiàng)，其原函數(shù)不存在。 舉例說明： ，其中m=3。n=2，m＞n

51、 則 （補(bǔ)充說明數(shù)學(xué)定義：） 在數(shù)學(xué)上有意義，實(shí)際中不存在，的導(dǎo)數(shù)及高階導(dǎo)數(shù)不存在。 物理意義：系統(tǒng)必然有質(zhì)量、慣性，且能量又是有限的，不可能出現(xiàn)m＞n超能量系統(tǒng)。 20 即在中，s要具有負(fù)實(shí)根。 在中，一對(duì)共軛復(fù)根。 即 ，要具有負(fù)實(shí)部的根。 否則，當(dāng)時(shí)，不存在。 舉例： 本例中 具有負(fù)實(shí)根。，具有負(fù)實(shí)部。 當(dāng) 能恢復(fù)到零位。 舉例： 當(dāng) 不存在。 30、在中實(shí)部絕對(duì)值較大根所在的項(xiàng)，對(duì)系統(tǒng)影響很小，可忽略不計(jì)。工程上常用此法使系統(tǒng)降低階數(shù)。 舉例： 則 當(dāng) 忽略絕

52、對(duì)值較大根所在的項(xiàng)，得 第六章 頻率響應(yīng)分析（頻率特性分析） 微分方程→是時(shí)間域中的數(shù)學(xué)模型 傳遞函數(shù)→是復(fù)數(shù)域中的數(shù)學(xué)模型 頻率特性→是頻率域中的數(shù)學(xué)模型 第一節(jié) 諧和輸入時(shí)系統(tǒng)的定態(tài)響應(yīng) 一、諧和定態(tài)響應(yīng)公式 系統(tǒng)以諧和函數(shù)輸入： 設(shè)系統(tǒng)的傳遞函數(shù)為G，以S=代替，即G諧和傳遞函數(shù) 輸出：（幅值和相角在變化） 其中：，是的模. 同理：1若；則 2若；則 3若 則 二、諧和定態(tài)響應(yīng)的性質(zhì) 輸入：；輸出： ； 比較得：； 由此得出以下結(jié)論： 1.當(dāng)系統(tǒng)以諧和時(shí)間函數(shù)信號(hào)輸入時(shí)，系統(tǒng)的定態(tài)響應(yīng)仍為諧合時(shí)間函數(shù)； 2.響應(yīng)函數(shù)與輸入函數(shù)具

53、有相同的角頻率； 3.響應(yīng)函數(shù)與輸入函數(shù)的幅值之比等于復(fù)變量的模 →稱為幅頻特性； 4. 響應(yīng)函數(shù)與輸入函數(shù)的相位之差等于復(fù)變量的相位角 →稱為相頻特性； 5.復(fù)變量的函數(shù)形式與傳遞函數(shù)相同，僅以替代s； 6.與是且僅是輸入信號(hào)頻率的函數(shù)，而與其它因素?zé)o關(guān)。 三、頻率特性 諧和輸入傳遞函數(shù)諧和穩(wěn)態(tài)輸出 —頻率特性； ﹤—相頻特性 =； —實(shí)頻特性； —虛頻特性。 =； 若=則 為什么要對(duì)系統(tǒng)輸入諧和函數(shù)？ 系統(tǒng)是由具體的結(jié)構(gòu)元件組成，而結(jié)構(gòu)元件有其自身的各階固有頻率，在力的作用下（任意力都可以展成富氏

54、級(jí)數(shù)，是各諧和函數(shù)作用之和），若某個(gè)元件有故障，就有可能引起系統(tǒng)工作的不正常。 故要在頻率域內(nèi)對(duì)系統(tǒng)進(jìn)行研究。 第二節(jié) 頻率特性極坐標(biāo)圖 頻率特性的極坐標(biāo)圖，又稱乃斯特圖（Nyquist），是研究在復(fù)平面上，當(dāng)從0變到時(shí)，矢量的端點(diǎn)所描述的軌跡圖。由此圖可以直觀地了解系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)特性。 一、典型環(huán)節(jié)的極坐標(biāo)圖 1、比例環(huán)節(jié) 傳遞函數(shù) （頻率特性）諧和傳遞函數(shù)=K 其中=0，=K 對(duì)于輸入，輸出 2、積分環(huán)節(jié) 傳遞函數(shù)（令） 頻率特性：

55、 = 幅頻特性： = 相頻特性： （滯后900） 定態(tài)響應(yīng)： 3、微分環(huán)節(jié) 傳遞函數(shù)（令KT=1） 頻率特性：=；=； =0；=；（超前900） 定態(tài)響應(yīng)； 4、二階積分環(huán)節(jié) 傳遞函數(shù) =-，=-，=0 =，（滯后1800） 定態(tài)響應(yīng)； 5、二階微分環(huán)節(jié) 傳遞函數(shù) =-2 ，=-2 =0， =2 ，（超前1800） 定態(tài)響應(yīng)； 6、導(dǎo)

56、前環(huán)節(jié) 傳遞函數(shù) =1+jT ，=1，=T， =， 7、一階慣性環(huán)節(jié) 傳遞函數(shù) =， =，=-， ， = 是圓的極坐標(biāo)方程，由于∠0，只是半個(gè)圓圖形。 8、慣性積分環(huán)節(jié) = ， ∠0，曲線在第3象限內(nèi)。 尋找漸近線。即當(dāng)→0，=-T（直線），→ 9、振蕩環(huán)節(jié) =（令K=1） 分析：隨變化，由正→0→負(fù)，且＜0，曲線在第四、第三象限內(nèi)。 起點(diǎn)：

57、 過虛軸點(diǎn)： 終點(diǎn)： = 10、延時(shí)環(huán)節(jié) = =1，（單位圓） 11．振蕩環(huán)節(jié) 二、極坐標(biāo)曲線的一般形式 1、頻率特性的一般形式 線性系統(tǒng)頻率特性（諧和傳遞函數(shù)）一般形式為： = 幅率特性： = 相頻特性： 其中 指分子、分母的階數(shù)。 當(dāng)、、時(shí)，稱系統(tǒng)為Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ型系統(tǒng)。 2、極坐標(biāo)曲線的起始狀況 當(dāng)0時(shí)，有，同時(shí)

58、 10、O型系統(tǒng)（=0） 起始于正實(shí)軸的（K，j0）點(diǎn)上。 20、非O型系統(tǒng)（≠0） 起始于無窮遠(yuǎn)處，且由實(shí)軸順時(shí)針方向轉(zhuǎn)過個(gè)象限。 3、極坐標(biāo)曲線的終止?fàn)顩r 當(dāng)→時(shí)，有， 10、當(dāng)n＞m時(shí)，， 沿著某坐標(biāo)軸趨向于原點(diǎn)，該坐標(biāo)軸與正實(shí)軸的夾角為。 20、當(dāng)n=m時(shí)，，，即終止于實(shí)軸上的有限點(diǎn)（A，0）。 4、K對(duì)極坐標(biāo)圖形的影響 設(shè)有兩個(gè)系統(tǒng)， 則，= 10、增益K的變化僅僅使極坐標(biāo)曲線按比例放大或縮??； 20、K值不同的兩個(gè)系統(tǒng)，極坐標(biāo)曲線同頻率點(diǎn)的聯(lián)線必過原點(diǎn)，這是因?yàn)樵擖c(diǎn)

59、與原點(diǎn)間的夾角相同。 第三節(jié) 頻率特性的對(duì)數(shù)坐標(biāo)圖 問題的提出：有了極坐標(biāo)圖，何必需要對(duì)數(shù)坐標(biāo)圖（Bode波德圖）？ 乃氏圖存在的缺點(diǎn)： 10、繪制麻煩，需要很多點(diǎn)才能描繪曲線；20、不能明顯地表示系統(tǒng)基本的組成情況；30、由極坐標(biāo)圖很難寫出系統(tǒng)的傳遞函數(shù)。優(yōu)點(diǎn)是可直觀地了解系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)特性。 一、對(duì)數(shù)坐標(biāo)圖概念 設(shè)=，取自然對(duì)數(shù)，得 由兩部分組成，各自都是的函數(shù)，可分別考慮。即由乃氏圖的一張圖改為兩張圖。 考慮到人們常用的習(xí)慣，改用log。 定義：L（）=Log=Lg—幅頻圖。 單位是“貝”，是

60、兩個(gè)信號(hào)的功率之比（這里考慮到功率與速度、電流、壓強(qiáng)的平方成正比），即2=對(duì)數(shù)坐標(biāo)圖改為 單位還是貝。 考慮的貝的單位過大，計(jì)算不方便，用“分貝”（dB）來表示。 1貝=10分貝，故 單位是分貝 （這里的分貝是借用的概念，與專門作為計(jì)量單位的電平、聲量的分貝不同） 既然是的函數(shù)，可直接用直角坐標(biāo)系來描述。 ★★★對(duì)數(shù)坐標(biāo)圖的優(yōu)點(diǎn)。 10、便于在較寬的頻率范圍內(nèi)研究系統(tǒng)的頻率特性。即，低頻帶得以拓寬，高頻帶得以壓縮。純線性坐標(biāo)辦不到； 20、可將幅值的乘積轉(zhuǎn)化為相加，對(duì)于繪制由多個(gè)環(huán)節(jié)串聯(lián)而成的系統(tǒng)，在

61、圖紙上可直接疊加； 30、可采用漸近線近似的作圖方法，簡(jiǎn)化作圖。 接第六章 二、典型環(huán)節(jié)的對(duì)數(shù)坐標(biāo)圖 1. 比例環(huán)節(jié) （1）K＞0時(shí)， （2）K＜0時(shí)， 2．一階積分環(huán)節(jié)（） （1）K＞0時(shí)，； 當(dāng)=1時(shí)， 當(dāng)=10時(shí)， ，全頻帶滯后900 3．二階積分環(huán)節(jié)（） ，全頻帶滯后1800 4．一階微分環(huán)節(jié)（） ， ， 5．二階微分環(huán)節(jié)（） ， 6．一階貫性環(huán)節(jié)（） ， ， 分析: (1)當(dāng) ＜＜0時(shí)，， (2)當(dāng) ＞＞0時(shí)，， (3)當(dāng) =時(shí)

62、， 7．一階導(dǎo)前環(huán)節(jié)（） ， 8．振蕩環(huán)節(jié)（） ， ， 分析: (1)當(dāng) ＜＜0時(shí)，， (2)當(dāng) ＞＞0時(shí)，， (3)當(dāng) =時(shí)， （4）誤差分析略 （5）諧振頻率與諧振峰值 令，得（轉(zhuǎn)角頻率） 當(dāng)時(shí)，=； 當(dāng)時(shí)，=，無諧振現(xiàn)象。 三、典型環(huán)節(jié)的對(duì)數(shù)坐標(biāo)圖的一般特點(diǎn)（總結(jié)） 1. 比例環(huán)節(jié)的幅頻特性為的水平線。 2. 純積分、微分環(huán)節(jié)的幅頻特性為斜直線（=） 二階純積分、微分環(huán)節(jié)，直線，積分為-，微分為+ 3.一階慣性，導(dǎo)前環(huán)節(jié)，有兩條漸近線： 0db線+（ 二階慣性，振蕩系統(tǒng)（環(huán)節(jié)）： 0db線+（。 轉(zhuǎn)角頻率W為：一

63、階 四．一般系統(tǒng)的對(duì)數(shù)坐標(biāo)圖 一般系統(tǒng)的諧和傳遞函數(shù)可表示為一些包括上述十種基本環(huán)節(jié)的連成積。 即=K, 則L(w)=20lg 可以逐一環(huán)節(jié)疊加。 例：G（s）=,作頻率響應(yīng)的對(duì)數(shù)坐標(biāo)圖。 解：G(jw)=,按各環(huán)節(jié)化成標(biāo)準(zhǔn)型。 = （1+j,1-） 共有6個(gè)環(huán)節(jié)，即比例環(huán)節(jié)k=0.4；積分環(huán)節(jié)；一階慣性環(huán)節(jié)（=1）；一階導(dǎo)前環(huán)節(jié)（=2）；一階慣性（=5）和振蕩環(huán)節(jié)=10，按轉(zhuǎn)角頻率順序，從小到大排列。 排序：比例 比例環(huán)節(jié)：20lgk=20lg0.4=-8db相當(dāng)于把橫坐標(biāo)平移8db,不影響其他圖形。 第四節(jié) 由頻率

64、特性的實(shí)驗(yàn)曲線求系統(tǒng)的傳遞函數(shù) 用實(shí)驗(yàn)方法確定系統(tǒng)的頻率特性，又叫做系統(tǒng)識(shí)別。 方法：由頻率特性坐標(biāo)圖，估算系統(tǒng)諧和傳遞函數(shù)。 一、做幅頻特性的近似折線（漸近線） 1. 近似折線由若干個(gè)首尾銜接的直線段構(gòu)成，銜接點(diǎn)稱為折點(diǎn)。 2. 各線段必須是20db/dec的整數(shù)倍。 3. 折點(diǎn)分貝值與實(shí)驗(yàn)曲線在該頻率處分貝值的偏差，取決于折點(diǎn)處的斜率增量，即前后段斜率之差。 二、確定型級(jí)λ以及估算增益K 頻率特性一般形式： 在低頻處：即當(dāng)ω→0時(shí)， 此時(shí)， 若視相當(dāng)于x看，是一條直線方程。低頻段曲線的斜率為： 低頻率段斜率的就是積分環(huán)節(jié)的作用結(jié)果 1. 確定。

65、 2. 估算K。由低頻段公式： 10. 若起始線段或者是延長(zhǎng)線在處與0db線相交時(shí)，即時(shí)，則 20.在起始線段任取點(diǎn)（一點(diǎn)要在實(shí)驗(yàn)曲線上），便能得到相對(duì)應(yīng)的分貝值，則 若已知第一個(gè)折點(diǎn)，即可代入。 三、確定最小相位系統(tǒng)傳遞函數(shù) 最小相位系統(tǒng)定義是系統(tǒng)傳遞函數(shù)G(s)在右半復(fù)平面上既無極點(diǎn)，又無零點(diǎn)， 最小相位系統(tǒng)的相角的變化范圍最?。Q由來）。 最小相位系統(tǒng)，在同一個(gè)中，有且僅有一個(gè)最小相位傳遞函數(shù)。 1. 若處折線的斜率增量為20db/dec（前后段斜率差），則有一個(gè)導(dǎo)前環(huán)節(jié)： 　　　　　　　　　　　　　 2. 若處折線

66、的斜率增量為-20db/dec，則有一階慣性環(huán)節(jié)： 3. 若處折線的斜率增量為40db/dec，則有二階導(dǎo)前環(huán)節(jié)： ，其中， ξ是由偏差（折線處）Δ而來。 4. 若處的斜率增量為-40db/dec，則有二階慣性或振蕩環(huán)節(jié)：，其中 5.最小相位系統(tǒng)諧和傳遞函數(shù)及傳遞函數(shù)分別為： 四、舉例 第七章 控制系統(tǒng)的穩(wěn)定性 第一節(jié) 穩(wěn)定性的概述 一、系統(tǒng)穩(wěn)定性概念 定義：當(dāng)使它偏離初始的平衡狀態(tài)或穩(wěn)定響應(yīng)的擾動(dòng)（干擾）去除以后，系統(tǒng)能以足夠的精度恢復(fù)到初始的平衡狀態(tài)或穩(wěn)定響應(yīng)狀態(tài)中。 二、系統(tǒng)穩(wěn)定的充要條件 對(duì)于一般系統(tǒng)，其運(yùn)動(dòng)微分方程總可以寫成如下形式（以此說明判據(jù)來源） 當(dāng)擾動(dòng)去除后，即時(shí)，上式變?yōu)辇R次微分方程，即： 設(shè)解為，特征方程為 （可求出n個(gè)根） 齊次方程的通解形式為 系統(tǒng)穩(wěn)定的充要條件是： ，即 說明都應(yīng)具有負(fù)實(shí)部。 在控制工程學(xué)科中，要用系統(tǒng)傳遞函數(shù) 稱為系統(tǒng)的特征方程式。 系統(tǒng)穩(wěn)定的必要條件是：“系統(tǒng)特征方程式的全部根在左半S平面內(nèi)”，即無右極點(diǎn)。 三、系統(tǒng)穩(wěn)定性的判