《機械工程控制基礎》課后題答案

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1、 目錄 第一章 自動控制系統(tǒng)的基本原理 第一節(jié) 控制系統(tǒng)的工作原理和基本要求 第二節(jié) 控制系統(tǒng)的基本類型 第三節(jié) 典型控制信號 第四節(jié) 控制理論的內(nèi)容和方法 第二章 控制系統(tǒng)的數(shù)學模型 第一節(jié) 機械系統(tǒng)的數(shù)學模型 第二節(jié) 液壓系統(tǒng)的數(shù)學模型 第三節(jié) 電氣系統(tǒng)的數(shù)學模型 第四節(jié) 線性控制系統(tǒng)的卷積關系式 第三章 拉氏變換 第一節(jié) 傅氏變換 第二節(jié) 拉普拉斯變換 第三節(jié) 拉普拉斯變換的基本定理 第四節(jié) 拉普拉斯逆變換 第四章 傳遞函數(shù) 第一節(jié) 傳遞函數(shù)的概念與性質(zhì) 第二節(jié) 線性控制系統(tǒng)的典型環(huán)節(jié) 第三節(jié) 系統(tǒng)框圖及其

2、運算 第四節(jié) 多變量系統(tǒng)的傳遞函數(shù) 第五章 時間響應分析 第一節(jié) 概述 第二節(jié) 單位脈沖輸入的時間響應 第三節(jié) 單位階躍輸入的時間響應 第四節(jié) 高階系統(tǒng)時間響應 第六章 頻率響應分析 第一節(jié) 諧和輸入系統(tǒng)的定態(tài)響應 第二節(jié) 頻率特性極坐標圖 第三節(jié) 頻率特性的對數(shù)坐標圖 第四節(jié) 由頻率特性的實驗曲線求系統(tǒng)傳遞函數(shù) 第七章 控制系統(tǒng)的穩(wěn)定性 第一節(jié) 穩(wěn)定性概念 第二節(jié) 勞斯判據(jù) 第三節(jié) 乃奎斯特判據(jù) 第四節(jié) 對數(shù)坐標圖的穩(wěn)定性判據(jù) 第八章 控制系統(tǒng)的偏差 第一節(jié) 控制系統(tǒng)的偏差概念 第二節(jié) 輸入引起的定態(tài)偏差 第三節(jié) 輸入引起的動態(tài)偏

3、差 第九章 控制系統(tǒng)的設計和校正 第一節(jié) 綜述 第二節(jié) 希望對數(shù)幅頻特性曲線的繪制 第三節(jié) 校正方法與校正環(huán)節(jié) 第四節(jié) 控制系統(tǒng)的增益調(diào)整 第五節(jié) 控制系統(tǒng)的串聯(lián)校正 第六節(jié) 控制系統(tǒng)的局部反饋校正 第七節(jié) 控制系統(tǒng)的順饋校正 第一章 自動控制系統(tǒng)的基本原理 定義：

4、在沒有人的直接參與下，利用控制器使控制對象的某一物理量準確地按照預期的規(guī)律運行。 第一節(jié) 控制系統(tǒng)的工作原理和基本要求 一、 控制系統(tǒng)舉例與結(jié)構(gòu)方框圖 例1． 一個人工控制的恒溫箱，希望的爐水溫度為100C,利用 表示函數(shù)功能的方塊、信號線，畫出結(jié)構(gòu)方塊圖。 圖1 人通過眼睛觀察溫度計來獲得爐內(nèi)實際溫度，通過大腦分析、比較，利用手和鍬上煤炭助燃。 圖2 例2． 圖示為液面高度控制系統(tǒng)原理圖。試畫出控制系統(tǒng)方塊圖 和相應的人工操縱的液面控制系統(tǒng)方塊圖。 解：浮子作為液面高度

5、的反饋物，自動控制器通過比較實際的液面高度與希望的液面高度，調(diào)解氣動閥門的開合度，對誤差進行修正， 可保持液面高度穩(wěn)定。 圖3 圖4 圖5 結(jié)構(gòu)方塊圖說明： 1.信號線：帶有箭頭的直線（可標時間或象函數(shù)）U(t),U(s)； 2.引用線：表示信號引出或測量的位置； 3．比較點：對兩個以上的同性質(zhì)信號的加減運算環(huán)節(jié)； 4．方 框：代表系統(tǒng)中的元件或環(huán)節(jié)。 方塊圖中要注明元件或環(huán)節(jié)的名稱，函數(shù)框圖要寫明函數(shù)表達式。 二．控制系

6、統(tǒng)的組成 1．給定環(huán)節(jié)：給出輸入信號，確定被控制量的目標值。 2．比較環(huán)節(jié)：將控制信號與反饋信號進行比較，得出偏差值。 3．放大環(huán)節(jié)：將偏差信號放大并進行必要的能量轉(zhuǎn)換。 4．執(zhí)行環(huán)節(jié)：各種各類。 5．被控對象：機器、設備、過程。 6．測量環(huán)節(jié)：測量被控信號并產(chǎn)生反饋信號。 7．校正環(huán)節(jié)：改善性能的特定環(huán)節(jié)。 三．控制系統(tǒng)特點與要求 1．目的：使被控對象的某一或某些物理量按預期的規(guī)律變化。 2．過程：即“測量——對比——補償”。 或“檢測偏差——糾正偏差”。 3．基本要求：穩(wěn)定性 系統(tǒng)必須是穩(wěn)定的，不能震蕩； 快速性

7、 接近目標的快慢程度，過渡過程要??； 準確性 第二節(jié) 控制系統(tǒng)的基本類型 1．開環(huán)變量控制系統(tǒng)（僅有前向通道） 圖6 2．閉環(huán)變量控制系統(tǒng) 開環(huán)系統(tǒng)：優(yōu)點：結(jié)構(gòu)簡單、穩(wěn)定性能好； 缺點：不能糾偏，精度低。 閉環(huán)系統(tǒng)：與上相反。 第三節(jié) 典型控制信號 輸入信號是多種多樣的，為了對各種控制系統(tǒng)的性能進行統(tǒng)一的評價，通常選定幾種外作用形式作為典型外作用信號，并提出統(tǒng)一的性能指標，作為評價標準。 1．階躍信號 x(t)=0 t＜0

8、 X(t)=A t≥0 圖7 當A=1時，稱為單位階躍信號，寫為1（t）。 階躍信號是一種對系統(tǒng)工作最不利的外作用形式。例如，電源突然跳動，負載突然增加等。因此，在研究過渡過程性能時通常都選擇階躍函數(shù)為典型外作用，相應的過渡過程稱為階躍響應。 2．脈沖函數(shù) 數(shù)學表達式 x(t)=A/T 0≤t≤T X(t)=0 其它 圖8 脈沖函數(shù)的強度為A，即圖形面積。 單位脈沖函數(shù)（δ函數(shù)）定義為δ(t)=1(t) 性

9、質(zhì)有: δ(t)=0 t≠0 δ(t)=∞ t＝0 且 圖9 強度為A的脈沖函數(shù)x(t)也可寫為x( t)=Aδ(t) 必須指出，脈沖函數(shù)δ(t)在現(xiàn)實中是不存在的，它只有數(shù)學上的意義，但它又是很重要的很有效的數(shù)學工具。 3．斜坡函數(shù)（恒速信號） x(t)=At t≥0 x(t)=0 t＜0 圖10 在研究飛機系統(tǒng)時，常用恒速信號作為外作用來評價過渡過程。 4．恒加速信號 x(t)=At2/2

10、 t≥0 x(t)=0 t＜0 圖11 在研究衛(wèi)星、航天技術的系統(tǒng)時，常用恒加速信號作為外作用來評價過渡過程。 5．正弦函數(shù)（諧波函數(shù)、諧和信號） x(t)=xm.sin(ωt+φ) t≥0 x(t)=0 t＜0 - 圖12 6．延時函數(shù)（信號） f(t)=x(t-τ) t≥τ f(t)=0 t＜0 圖13 7．隨機信號（使用白噪聲信號代替） 第四節(jié) 控制理論的研究

11、內(nèi)容和方法 一．經(jīng)典控制理論 1．主要內(nèi)容： 分析——掌握系統(tǒng)的特性，進行系統(tǒng)性能的改善； 實驗——對系統(tǒng)特性和改善措施進行測試； 綜合——按照給定的靜態(tài)、動態(tài)指標設計系統(tǒng)。 2．方法 時域法——以典型信號輸入，分析輸出量隨時間變化的情況； 頻域法——以諧和信號輸入，分析輸出量隨頻率變化的情況； 根軌跡法——根據(jù)系統(tǒng)的特征方程式的根，隨系統(tǒng)參數(shù)的變化規(guī)律來研究系統(tǒng)（又稱圖解法）。 二．現(xiàn)代控制理論 1．引入狀態(tài)空間概念； 2．動態(tài)最佳控制； 3．靜態(tài)最優(yōu)控制； 4．自適應和自學習系統(tǒng)。

12、 圖14 瓦特調(diào)速器 第二章 控制系統(tǒng)的數(shù)學模型 為了確定控制系統(tǒng)內(nèi)部各物理量之間定量關系，必須建立數(shù)學模型。這一章中心問題是如何從控制系統(tǒng)實體中抽象出數(shù)學模型。 第一節(jié) 機械系統(tǒng)的數(shù)學模型 1.機械平移系統(tǒng)（應用牛頓定律）∑F=0, F=m F(t)-c-kx=m 或 F(t)-Fc(t)-Fk(t)=m Fc(t)=阻尼器產(chǎn)生的阻尼力，為c(t) Fk(t)=彈性恢復力， 為kx(t) 整理：m+c+kx=F(t) 2．機械旋轉(zhuǎn)系統(tǒng) J(t)+c(t)+k(t)=M(t) J

13、—轉(zhuǎn)動慣量 c—阻尼系數(shù) K—剛度系數(shù) 圖14 圖15 3．機械傳動系統(tǒng)參數(shù)的歸算 機械系統(tǒng)的運動形式：旋轉(zhuǎn)運動、直線運動。 機械系統(tǒng)的組成元件：齒輪、軸、軸承、絲杠、螺母、滑塊等。 對一個復雜的大系統(tǒng)，必須把各部件參數(shù)歸算到同一部件上。在這個部件的慣性力、阻尼力、彈性恢復力稱為當量參數(shù)。 如何歸算？采用單因素法。 3—1 慣性參數(shù)的歸算 1．轉(zhuǎn)動慣量的歸算 將圖示系統(tǒng)中的J1、J2和J3歸算到a軸上。

14、 圖16 列各軸力矩平衡方程式： a軸： M=J1+ Mb-a b軸： Ma-b=J2+ Mc-b c軸： Mb-c=J3 Mb-a——負載力矩；Ma-b——是b軸的主動（驅(qū)動）力矩。 列關系式： ==，同理 力相等關系 由線速度相等關系： ω1=ω2 得，同理， 代入各關系式，得 M(t)=M=[J1+J2()2+J3()2]= Ja∑ Ja∑—稱為歸算到a軸上的歸算轉(zhuǎn)動慣量。 推之，對于系統(tǒng)有n個軸，歸算到a軸時， Ja∑ = Ui—是從a

15、軸到第i軸的總速比，即主動齒輪齒數(shù)積/被動齒輪齒數(shù)積。 2．移動質(zhì)量歸算為轉(zhuǎn)動慣量 列運動平衡方程式 絲杠：M=J+M1 滑塊: F=m=F軸 式中：M1是滑塊作用于絲杠的力矩； F軸是絲杠作用于滑塊的軸向力。 為求M與F之間的關系,列關系式,把絲杠按πD展成平面。 tgα=F周/F軸=S/πD 由關系式 F周=M1, 則F軸=F== 根據(jù)運動關系 == 代入到M=J+M1中，整理后得 M=[J+m()2]=J∑ J∑=J+m ()2 圖17 圖18 第二節(jié)

16、 液壓系統(tǒng)的數(shù)學模型 分析思路（見圖19）：劃分為兩個環(huán)節(jié)。 滑閥： 輸入量 xi(t) 輸出量 θ(t)（中間變量） 液壓缸：輸入量 θ(t) 輸出量 xo(t) 建立各元件方程式 圖19 1、滑閥流量方程式 θ(t)=f[xi(t), ], 其中 = 壓強差 流量θ(t)是閥芯位移xi(t)函數(shù)，同時又是負載壓強差的函數(shù)，具有非線性關系。 如果把非線性問題線性化，這是考慮在額定工作點附近可展成泰勒級數(shù)辦法，則 θ(t)=kqxi(t)-kp

17、 (1) 其中kq是流量增益系數(shù)，kp是壓力影響系數(shù)。（1）式是根據(jù)試驗數(shù)據(jù)修正而來。 2、液壓缸工作腔液體流動連續(xù)方程式 θ(t)=Ao(t)+kt+ (2) A—工作面積，kt—漏損系數(shù)，V—液體體積壓縮率，—彈性模量。 在不考慮液體的的可壓縮性，又不考慮泄漏，（2）式可簡化為 θ(t)=Ao(t) （3） 3、液壓缸負載平衡方程式 A=mo(t)+co(t)+kxo(t)+F(t) (4) 若自由狀

18、態(tài)，即F(t)=0,則 A=mo(t)+co(t)+kxo(t) （5） 4、系統(tǒng)的運動方程式 消去中間變量和θ(t)，得 mo(t)+co(t)+（k+A2/ρ(t)=Akqxi(t)/kp (6) 若外部系統(tǒng)阻尼、剛度系數(shù)不受影響，即c=0,k=0,慣性力不考慮。 則 kqxi(t)=Axo(t) (7) 這是來多少油出多少油的關系式。 第三節(jié) 電氣系統(tǒng)的數(shù)學模型 1.阻容感網(wǎng)絡系統(tǒng) 圖20

19、 由基爾霍夫第一定律（封閉系統(tǒng)） Ui(t)-UR(t)-Uc(t)-UL(t)=0 Ui(t)-Ri(t)--L=0 =L+R+ 二階微分方程 2．放大器網(wǎng)絡系統(tǒng) 圖21 1）比例運算放大器 由ij(t)=0 i1(t)=i2(t)+i3(t) 因為放大器內(nèi)阻很大，i3(t)0，于是有 i1(t) i2(t) 即 =i1(t)=i2(t)= （引入：Uo(t)=-βUA=-(104-106)UA 由于 β很大,UA0） UO(t)=(1+)UA(t)- Ui(t) 2）積分運算放大器 圖22 同

20、前分析過程。 i1(t)=;U0(t)== 由i1(t) i2(t)而來 輸出與輸入之間存在積分關系。 3）微分運算放大器 圖23 由Ui(t)=得i1(t)=c i2(t)= ,由 i1(t) i2(t) 關系式，得U0(t)=R2C 輸出與輸入之間存在微分關系。 第四節(jié) 線性控制系統(tǒng)的卷積關系式 為建立輸出與輸入之間的關系，常利用卷積關系式。 一.線性控制系統(tǒng)的權(quán)函數(shù) 圖24 設圖示系統(tǒng)，任意給輸入量xi(t)，輸出量為xo(t)。當xi(t)=δ(t)，即為單位脈沖函數(shù)，此

21、時的輸出（也稱為響應）xo(t)記為h(t)。 h(t)稱為系統(tǒng)的單位脈沖響應或稱為權(quán)函數(shù)。 若輸入脈沖發(fā)生在τ時刻，則δ(t)和h(t)曲線都會向右移動τ，形狀不變。 圖25-1 即 xi(t)= δ(t1)，對應的xo(t)= h(t1)， 其中 t1=t-τ 定義： δ(t-τ)= τ≤t≤τ+δt δ(t-τ)=0 其它 這里δ(t)≠δt，δt=⊿t 二、任意輸入響應的卷積關系式 當xi(t)為任意函數(shù)時，可劃分為n個具有強度Aj的脈沖函數(shù)的疊加，即 圖25-2 圖25-3 Xi（t）= 其中 Aj=xi（jδt

22、）. Δt =面積=強度 在某一個脈沖函數(shù)Ajδ(t-jδt)作用下，響應為Ajh(t-jδt)。 系統(tǒng)有n個脈沖函數(shù)，則響應為： xo(t)== 當n時，，nδt，j. δt=τ，δt=dτ xo(t)= 卷積關系式 上式說明“任意輸入xi(t)所引起的輸出xo(t)等于系統(tǒng)的權(quán)函數(shù) h(t)和輸入xi(t)的卷積”。 三、卷積的概念與性質(zhì) 定義：若已知函數(shù)f（t）和g（t），其積分存在， 則稱此積分為f（t）和g（t）的卷積，記作。 性質(zhì)： 1、交換律 = 證明：令t-τ=t1 dτ=-dt1 （τ=t-t1） ==

23、 = （左=右，變量可代換）證畢。 2、分配律 3、若t∠0時，f（t）=g（t）=0，則 = f（t）—輸入；g（t）—系統(tǒng)；x0（t）—輸出 x0（t）= 四．卷積積分的圖解計算 積分上下限的確定： 下限 取f（τ）和g（t-τ）值中最大一個； 上限 取f（τ）和g（t-τ）值中最小一個。 圖26 第三章 拉普拉斯變換 第一節(jié) 傅氏變換（傅立葉變換） 一、 傅氏級數(shù)的復指

24、數(shù)形式（對周期函數(shù)而言，略講） 二、 非周期函數(shù)的傅氏積分 非周期函數(shù)f（t）可以看作是T周期函數(shù)fT（t），即 f（t）=， 若f（t）在上滿足： 1、在任一有限區(qū)間上滿足狄氏條件（10 連續(xù)或只有有限個第一類間斷點；20 只有有限個極值點）； 2、在上絕對可積（收斂）。 f（t）= 非周期函數(shù)的積分式 三、傅氏變換 1、傅氏變換概念 在傅氏積分式中，令 t是積分變量，積分后是的函數(shù)。 稱 F（ω）=F[f（t）]——傅氏變換 f（t）=F-1[F（ω）]——傅氏逆變換 2、傅氏變換的缺點說明 10 條件較強，要求

25、f（t）絕對收斂。做不到。 例如，1（t）、Asinωt，它們的積分均發(fā)散，即F[f（t）]不存在，無法進行傅氏變換。 20 要求f（t）在有意義，而在實際中， t＜0常不定義。 解決的辦法： 10 將f（t）乘以收斂因子e-σt 使積分收斂（σ>0）； 20 將f（t）乘以1（t），使當t＜0時，函數(shù)值為零?？蓪⒎e分區(qū)間由換成。 于是傅氏變換變形為拉氏變換L[f（t）]： L[f（t）]= 其中 S=—復變量。成立的條件是 Re（s）=σ>0 經(jīng)過處理，能解決大部分工程上的問題。這就是Laplace變換(F.L.Z.H.W.X). 第三節(jié) 拉普拉斯變換(Lap

26、lace) 一. 定義: 1.若t0時,x(t)單值;t<0時,x(t)=0 2. 收斂,Re(s)= σ>0 則稱 X(s)= 為x(t)的拉氏變換式,記作 X(s)=L[x(t)] X(t)=L-1[X(s)] 拉氏逆變換 二. 舉例 1. 脈沖函數(shù)δ(t)的拉氏變換 L[δ(t)]=1 2. 單位階躍函數(shù)x(t)=1(t)=1的拉氏變換 X(s)=L[1(t)]=, Re(s)>0 即σ>0 3．x（t）=，—常數(shù) =L[]= Re(s)>0 即σ> 4、x（t）=sint，—

27、常數(shù) =L[sint]= = Re(s)>0 5．X（t）=tn 冪函數(shù)的拉氏變換 利用伽瑪函數(shù)方法求積分。 =L（tn）= 函數(shù)標準形式 令st=u，t= tn=s-nun dt=du，則 = 若n為自然數(shù)，X（s）=L（tn）= Re(s)>0 比如：x（t）=t， = x（t）=t2 ， = x（t）=t3 ， = 第三節(jié) 拉氏變換的基本定理 與傅氏變換的定理差不多，但有的定理不相

28、同，同時比傅氏變換定理多也許一些。 1、線性定理（比例和疊加定理） 若L[x1（t）]=X1（s）， L[x2（t）]=X2（s） L[k1x1（t）+k2x2（t）]=k1X1（s）+k2X2（s） 例題 x（t）=at2+bt+c =L[at2+bt+c]=aL（t2）+bL（t）+cL（1） = Re(s)>0 2、微分定理 若L[x（t）]=X（s），則L[（t）]=s2X（s）-x（0） x（0）是x（t）的初始值，利用分部積分法可以證明。 推論：L[ 、

29、 、 L[x（n）（t）]=snX（s）-sn-1x（0）-、、、x（0）（n-1） 注意大小寫， 小寫為時間函數(shù)。 若初始條件全為零，則 L[x（n）（t）]=snX（s） 3、積分定理 若L[x（t）]= ，則L[]= 推論：L[]= 4、衰減定理（復數(shù)域內(nèi)位移性質(zhì)） 若L[x（t）]= ，則L[]= 表明原函數(shù)乘以指數(shù)函數(shù)的拉氏變換，等于象函數(shù)做位移。 例題 x（t）= 因 L[]=，則 =L[]= 5、延時定理（時間域內(nèi)位移性質(zhì)） 若 L[x（

30、t）]= ，t＜0時，x（t）=0， 則 L[x（t）]= 、 在時間域內(nèi)延遲（位移），行動于它的象函數(shù)乘以指數(shù)因子。 圖27 6、初值定理 若 L[x（t）]=X（s），且存在， 則 它建立了x（t）在坐標原點的值與象函數(shù)s在無限遠點的值之間的對應關系。表明，函數(shù)x（t）在0點的函數(shù)值可以通過象函數(shù)乘以s，然后取極限值而獲得。 7、終值定理 若L[x（t）]= ，且存在，則 8、卷積定理 若L[x（t）]= ，L[y（t）]= ，則 L[]=. 第四節(jié) 拉氏逆變換 已知象函數(shù)X（s）求原函數(shù)x（t）的運算稱為拉氏逆變

31、換，記作 x（t）=L-1[] 推導過程略。 這是復變函數(shù)的積分公式，按定義計算比較困難。其一是查表法（略）；其二是變形法；第三是配換法；第四是分項分式法。這里簡單介紹第二項，著重講第四項。 一、變形法 （要利用好各個性質(zhì)） 例1 已知=，求x（t） 解：s變量中有位移量a，原函數(shù)中必有衰減因子e-at，原本 是1（t），現(xiàn)在是e-at.1（t）= e-at 例2 X（s）=，求x（t） 解：s變量中有位移a，x（t）中必有衰減因子e-at；X（s）中 有衰減；x（t）中的時間t必有位移。 對于的逆變換是 第一步變形 原函數(shù)乘

32、以衰減因子e-at，得 x（t）1 =e-at 第二步變形 t位移，即（t-），得 X（t）2=x（t）= 二、分項分式法 若X（s）為有理分式，即 = （n＞m） 分母多項式Qn（s）具有個重根s0和個單根s1s2…，顯 然n=+，則分母多項式 Qn（s）= Si是實數(shù)也可能是虛數(shù)，是Qn（s）的零點，又是X（s）的極點?？苫桑? 在分項分式中，k0i、kj均為常數(shù)，稱為的各極點處的留數(shù)。 對于各個單項，則 K如何求得？？？ ★ ★★留數(shù)的求解 1、比較系數(shù)法 例：= s=0，-3，-4為三個單極點。 =

33、通分 聯(lián)立方程： 1=a+b+c 4=7a+4b+3c 2=12a 解得 a= 2、極限法（留數(shù)規(guī)則） 10單極點處的留數(shù) （相對比較系數(shù)法簡單一些） 若S是X（s）的分母多項式Qn（s）的一個單根，稱s= S 為的一個單極點。此時可設： =+ 是余項，其中不再含有S-S 的因子。 可寫成：（S-S）=K+（S-S） 令sS，對等式兩邊取極限，可得 K= 例題： == k1= k2= k3= 畢 20、重極點處的留數(shù) 若s0是的分母多項式Qn（s

34、）的一個重根，則稱s=s0是一個重極點。在重極點處有個留數(shù)k01、k02、、、，此時可設 =，W（s）中不含（s-s0）。 = 令 s，兩邊取極限，得 為求，可對求階導數(shù)，再令s，兩邊取極限，得 例題： 已知 =，求其留數(shù)。 解 （s）是三重極點，（是兩重極點，（是單極點。 = =-1 =-2 =-3 =-2 =2 =1 第四節(jié) 常系數(shù)線性微分方程的拉氏變換解 微分方程 L變換 象函數(shù)的代數(shù)方程 原函數(shù)的微分方程 L-1逆變換 象函數(shù) 例題：求的解，并滿足初始條件；

35、 解：L變換 = 代入初始條件，求解代數(shù)方程。 L-1逆變換 畢 第四章 傳遞函數(shù) 第一節(jié) 傳遞函數(shù)的概念與性質(zhì) 一、傳遞函數(shù)的概念 對于單輸入、單輸出的線性定常系統(tǒng)，傳遞函數(shù)定義為“當輸入量和輸出量的一切初始值均為零時，輸出量的拉氏變換和輸入量的拉氏變換之比”。 原函數(shù)描述的系統(tǒng)： 輸入xi（t） 系統(tǒng)h（t） 輸出x0（t） 以象函數(shù)描述的系統(tǒng)： 輸入Xi（s） 系統(tǒng)G（s） 輸出X0（s） 傳遞函數(shù)為： 傳遞函數(shù)是描述系統(tǒng)動態(tài)

36、性能的數(shù)學模型的一種形式，是系統(tǒng)的復數(shù)域數(shù)學模型 二、傳遞函數(shù)的一般形式 線性定常系統(tǒng)的運動微分方程式的一般形式為： 其中a0、a1。。。an，b0、b1。。。bm均為實常數(shù)。對上式做拉氏變換即可求得該系統(tǒng)的傳遞函數(shù)。 傳遞函數(shù)具有以下三種常用形式： Ⅰ型 Ⅱ型 Ⅲ型 其中，Ⅱ型中，sb1、sb2、sbm是G（s）的零根，sa1、sa2、san是G（s）的極點，也是分母多項式的根。這些根可以是單根、重根、實根或復根。若有復根，則必共軛復根同時出現(xiàn)。 Ⅲ型中，k

37、l稱為環(huán)節(jié)增益；是環(huán)節(jié)的時間常數(shù)；是環(huán)節(jié)的阻尼比。以上均為實常數(shù)，且，。在分子、分母多項式中，每個因式代表一個環(huán)節(jié)。其中每個因式確定一個零根；每個因式（）確定一個非零實根；每個因式確定一對共軛復根。 三、傳遞函數(shù)的性質(zhì) 1、傳遞函數(shù)只決定于系統(tǒng)的內(nèi)在性能，而與輸入量大小以及它隨時間的變化規(guī)律無關。 2、傳遞函數(shù)不說明系統(tǒng)的物理結(jié)構(gòu)，只要動態(tài)性能相似，不同的系統(tǒng)可具有同形式的傳遞函數(shù)。 3、分母的最高階次為n的系統(tǒng)稱為n階系統(tǒng)。實用上n≥m。 4、s的量綱為時間的倒數(shù)，G（S）的量綱是輸出與輸入之比。 5、所有系數(shù)均為實數(shù)，原因是：“它們都是系統(tǒng)元件參數(shù)的函數(shù)，而元件參數(shù)只能是實數(shù)”

38、。 第二節(jié) 線性控制系統(tǒng)的典型環(huán)節(jié) 控制系統(tǒng)都是由若干個環(huán)節(jié)組合而成，無論系統(tǒng)多么復雜，但所 組成的環(huán)節(jié)僅有幾種，舉例說明。 一、比例環(huán)節(jié) 傳遞函數(shù)G（s）=K 例： (機械系統(tǒng)，不考慮彈性變形) 圖a (液壓系統(tǒng)，不考慮彈性變形，可壓縮性和泄漏) 圖b 圖c 圖4-1 比例環(huán)節(jié) G（s）= g（t）=A.V（t） G（s）= u（t）=R.i（t） G（s）= 二、積分環(huán)節(jié) 傳遞函數(shù)的標準形式：G（s） 一階系統(tǒng) G（s）= 二階系統(tǒng) 例：電感電路系統(tǒng) i

39、0（t）= i0（t）—輸出；ui（t）—輸入 L—變換 I0（s）= G（s）= 這里 三、慣性環(huán)節(jié) 一階慣性環(huán)節(jié)的傳遞函數(shù)標準形式： 例：阻容電路 K=1，T=RC 四、振蕩環(huán)節(jié) 傳遞函數(shù)標準形式： 其中 K —比例系數(shù)，—阻尼比， T —周期， —無阻尼自由振動固有角頻率。 例1：質(zhì)量—彈性—阻尼系統(tǒng) 輸入f（t），輸出x（t） 運動方程： L—變換： = 其中， 例2：阻容感電路（R—C—L電路）***引人復阻抗概念

40、 L—變換 L—變換 L—變換 復阻抗，又稱為復數(shù)域的歐姆定律。 見題圖 得 其中， 需要注意的是，只有當?shù)奶卣鞣匠叹哂幸粚曹棌透鶗r，系統(tǒng)才能稱為振蕩環(huán)節(jié)。否則，稱為二階慣性環(huán)節(jié)。即 五、放大器模擬電路舉例（第二章已說過 ） 通式： 1、若 比例環(huán)節(jié) 2、若 積分環(huán)節(jié) 3、若

41、 微分環(huán)節(jié) 4、若 一階慣性環(huán)節(jié) 5、若 二階導前環(huán)節(jié) 第三節(jié) 系統(tǒng)框圖及其運算 系統(tǒng)有很多環(huán)節(jié)組成，相互之間如何運算？框圖又如何運算？ 一、系統(tǒng)框圖的聯(lián)接及其傳遞函數(shù) 1、串聯(lián) 2、并聯(lián) = 對于n個系統(tǒng) 3、反饋聯(lián)接 Xi（s）—輸入信號 X0（s）—輸出信號= E（s）.G1（s） E（s）—偏差信號= Xi（s） B（s） B（s）—反饋信號=H（s）. X0（s）

42、 10、前向傳遞函數(shù) 20、開環(huán)傳遞函數(shù) 30、閉環(huán)傳遞函數(shù) 整理得： 二、框圖的變換 變換的目的：將復雜聯(lián)接的框圖，進行等效變形，使之成為僅包含有串、并、反饋等簡單聯(lián)接方式，以便求算系統(tǒng)的總傳遞函數(shù)。 1、匯交點的分離、合并與易位 2、匯交點與分支點易位 3、匯交點與方框易位 4、分支點與方框易位 第四節(jié) 多變量系統(tǒng)的傳遞函數(shù) 一、有干擾作用時系統(tǒng)的輸出 由于是線性系統(tǒng)，可單獨考慮輸入與干

43、擾的作用。 1、僅有輸入作用，即=0時。 前向通道傳遞函數(shù)= 系統(tǒng)傳遞函數(shù) 2．僅有干擾作用，即=0時。 前向通道傳遞函數(shù)= 系統(tǒng)傳遞 3、輸入和干擾同時存在的總輸出 二、雙自由度彈簧、阻尼、質(zhì)量系統(tǒng) 輸入和輸出和。 按質(zhì)量可分兩個隔離體。 或者寫成 L—變換 或簡寫成 [H]= 兩邊同左乘[H]-1 [G]是傳遞矩陣，是伴隨矩陣。 第五章 時間響應分析（時域分析法） 第一節(jié) 概述 一、時間響應概念 這是設備性能測試的一種方法，即在

44、典型信號作用下，對系統(tǒng)的輸出隨時間變化情況進行分析和研究。 二、時間響應的組成（瞬態(tài)、穩(wěn)態(tài)） 1、瞬態(tài)響應：從是系統(tǒng)進入理想狀態(tài)的時間。此過程稱為過渡過程。 由于系統(tǒng)內(nèi)總會有儲能元件，輸出量不可能立即跟蹤上輸入量,在系統(tǒng)穩(wěn)定之前，總是表現(xiàn)出各種各樣的瞬態(tài)過程。 2、穩(wěn)態(tài)響應：tst階段的響應。 三、時間響應分析的目的 1、了解系統(tǒng)的動態(tài)性能和質(zhì)量指標; 2、作為設計，校正及使用系統(tǒng)的依據(jù)。 四、方法 利用傳遞函數(shù)來求算微分方程的解 第二節(jié) 單位脈沖輸入的時間響應 輸入信號：xi=δ，則=1；輸出信號：x0， 則=H=H=G 一、一階慣性環(huán)節(jié)的單

45、位脈沖響應 一階慣性環(huán)節(jié)傳遞函數(shù)標準形式: G== 輸出：= G= G== （提示：L=，注意符號） 時間響應（時域）=L=e是一個指數(shù)函數(shù) 可根據(jù)單位脈沖響應，獲知被測系統(tǒng)的傳遞函數(shù)（錘擊）。 由圖可知，用兩點坐標值可定出K和T。 第五節(jié) 振蕩環(huán)節(jié)的單位脈沖響應 系統(tǒng)傳遞函數(shù)標準形式= 按阻尼比的大小分析四種情況。 1、無阻尼狀態(tài)，即=0 === 時間響應：或者 2、欠阻尼狀態(tài)，即0＜＜1 （復習：衰減定理：； 另外：） == 時間響應 為衰減的正弦函數(shù)?！獰o阻尼自由振

46、動的角頻率；—為有阻尼自由振動的角頻率。 3、臨界阻尼狀態(tài)，即=1 = 時間響應：= 是兩個相同的一階慣性環(huán)節(jié)的串聯(lián)。 當t＞0，＞0，沒有振動現(xiàn)象，稱為蠕動。 4、過阻尼狀態(tài)，＞1 == = 時間響應： 是兩個不同的一階慣性環(huán)節(jié)的串聯(lián)，圖形同上相似，蠕動。 第三節(jié) 單位階躍輸入的時間響應 輸入信號：=1（t），則= 輸出信號：=， 一、一階慣性環(huán)節(jié)的傳遞函數(shù)： = （由分解因式（而來） 時間響應：= 歸一化處理（因輸入是單位階躍函

47、數(shù)） ，其中 通常認為：0≤t≤4T為瞬態(tài)響應，t＞4T為穩(wěn)態(tài)響應。 二、振蕩環(huán)節(jié)的單位階躍響應 振蕩環(huán)節(jié)的傳遞函數(shù)：= = 有無阻尼、欠阻尼、臨界阻尼和過阻尼四種狀態(tài)，著重分析欠阻尼。 ★★★欠阻尼狀態(tài) ：0＜＜1 由上式的分母多項式，即 時間響應： （） = = = 歸一化處理： = 由于高階系統(tǒng)常用一個二階系統(tǒng)來近似，故有必要對二階系統(tǒng)的動態(tài)性能指標進行推算和定義。 1、峰值時間

48、 來理：令，得 又由： 即 當n=1時是第一個峰，故 2、峰值 3、穩(wěn)態(tài)響應值 4、最大超調(diào)量 %=% 5、調(diào)整時間 人們定義，波動量誤差在0.02—0.05之間，系統(tǒng)進入穩(wěn)態(tài)區(qū)域，在此之前的時段稱為過渡過程，其時間稱為調(diào)整時間或過渡過程時間。 公式為： 若系數(shù)，則上式更能滿足要求。則 若=0.02， 若=0.05， ★★★討論 、與各性能指標間的關系 10 若不變，↑ 不變，↓，↓。此時有利于提高系統(tǒng)的靈敏度。即系統(tǒng)的快速性能好。 20若不變，↑ ↓，（＜0.707時）↓ ↓，（＞0.707時）↑

49、 若0.4＜＜0.8，=0.24—2.5% ＜0.4 時，↑↑相對穩(wěn)定性能差。 ＞0.8時，↑↑、反應遲鈍。 30當=0.707時， 均小，=0.4%。稱=0.707為最佳阻尼比。 例題、圖為機械系統(tǒng)及其時間響應曲線（是由試驗記錄所得），輸入=8.9N，求彈簧剛度系數(shù)k、質(zhì)量m和阻尼系數(shù)c。 解：輸入是力，即=8.9N。L—變換后， 由左圖，寫出運動方程式。 L—變換 式中 由穩(wěn)態(tài)響應K=0、03= 解得 由超調(diào)量%=%=%=

50、 =% 則 由 由 由 第四節(jié) 高階系統(tǒng)的時間響應 若n階系統(tǒng)傳遞函數(shù)的一般形式為： 其中 給系統(tǒng)以單位階躍輸入，則 考慮 無重根的情況，此時可化為分項分式 =K 時間響應： K 分析： 1、或是一 些簡單的函數(shù)組成，即由一些一階和二階環(huán)節(jié)的時間響應組成。其中一階環(huán)節(jié)數(shù)為，為的實根數(shù)；二階環(huán)節(jié)數(shù)為，為的共軛復根的對數(shù)。 2、若系統(tǒng)能正常工作，當，應為零或為有界值，為此必須： 10、m＜n，否則分項分式中存在整數(shù)項或sn項，其原函數(shù)不存在。 舉例說明： ，其中m=3。

51、n=2，m＞n 則 （補充說明數(shù)學定義：） 在數(shù)學上有意義，實際中不存在，的導數(shù)及高階導數(shù)不存在。 物理意義：系統(tǒng)必然有質(zhì)量、慣性，且能量又是有限的，不可能出現(xiàn)m＞n超能量系統(tǒng)。 20 即在中，s要具有負實根。 在中，一對共軛復根。 即 ，要具有負實部的根。 否則，當時，不存在。 舉例： 本例中 具有負實根。，具有負實部。 當 能恢復到零位。 舉例： 當 不存在。 30、在中實部絕對值較大根所在的項，對系統(tǒng)影響很小，可忽略不計。工程上常用此法使系統(tǒng)降低階數(shù)。 舉例： 則

52、當 忽略絕對值較大根所在的項，得 第六章 頻率響應分析（頻率特性分析） 微分方程→是時間域中的數(shù)學模型 傳遞函數(shù)→是復數(shù)域中的數(shù)學模型 頻率特性→是頻率域中的數(shù)學模型 第一節(jié) 諧和輸入時系統(tǒng)的定態(tài)響應 一、諧和定態(tài)響應公式 系統(tǒng)以諧和函數(shù)輸入： 設系統(tǒng)的傳遞函數(shù)為G，以S=代替，即G諧和傳遞函數(shù) 輸出：（幅值和相角在變化） 其中：，是的模. 同理：1若；則 2若；則 3若 則 二、諧和定態(tài)響應的性質(zhì) 輸入：；輸出： ； 比較得：； 由此得出以下結(jié)論： 1.當系統(tǒng)以諧和時間函數(shù)信號輸入時，系統(tǒng)的定態(tài)響應仍為諧合時間函數(shù)； 2.響應

53、函數(shù)與輸入函數(shù)具有相同的角頻率； 3.響應函數(shù)與輸入函數(shù)的幅值之比等于復變量的模 →稱為幅頻特性； 4. 響應函數(shù)與輸入函數(shù)的相位之差等于復變量的相位角 →稱為相頻特性； 5.復變量的函數(shù)形式與傳遞函數(shù)相同，僅以替代s； 6.與是且僅是輸入信號頻率的函數(shù)，而與其它因素無關。 三、頻率特性 諧和輸入傳遞函數(shù)諧和穩(wěn)態(tài)輸出 —頻率特性； ﹤—相頻特性 =； —實頻特性； —虛頻特性。 =； 若=則 為什么要對系統(tǒng)輸入諧和函數(shù)？ 系統(tǒng)是由具體的結(jié)構(gòu)元件組成，而結(jié)構(gòu)元件有其自身的各階固有頻率，在力的作用下（任意

54、力都可以展成富氏級數(shù)，是各諧和函數(shù)作用之和），若某個元件有故障，就有可能引起系統(tǒng)工作的不正常。 故要在頻率域內(nèi)對系統(tǒng)進行研究。 第二節(jié) 頻率特性極坐標圖 頻率特性的極坐標圖，又稱乃斯特圖（Nyquist），是研究在復平面上，當從0變到時，矢量的端點所描述的軌跡圖。由此圖可以直觀地了解系統(tǒng)的動態(tài)特性。 一、典型環(huán)節(jié)的極坐標圖 1、比例環(huán)節(jié) 傳遞函數(shù) （頻率特性）諧和傳遞函數(shù)=K 其中=0，=K 對于輸入，輸出 2、積分環(huán)節(jié) 傳遞函數(shù)（令）

55、 頻率特性： = 幅頻特性： = 相頻特性： （滯后900） 定態(tài)響應： 3、微分環(huán)節(jié) 傳遞函數(shù)（令KT=1） 頻率特性：=；=； =0；=；（超前900） 定態(tài)響應； 4、二階積分環(huán)節(jié) 傳遞函數(shù) =-，=-，=0 =，（滯后1800） 定態(tài)響應； 5、二階微分環(huán)節(jié) 傳遞函數(shù) =-2 ，=-2 =0， =2 ，（超前1800） 定態(tài)響應；

56、 6、導前環(huán)節(jié) 傳遞函數(shù) =1+jT ，=1，=T， =， 7、一階慣性環(huán)節(jié) 傳遞函數(shù) =， =，=-， ， = 是圓的極坐標方程，由于∠0，只是半個圓圖形。 8、慣性積分環(huán)節(jié) = ， ∠0，曲線在第3象限內(nèi)。 尋找漸近線。即當→0，=-T（直線），→ 9、振蕩環(huán)節(jié) =（令K=1） 分析：隨變化，由正→0→負，且＜0，曲線在第四、第三象限內(nèi)。 起點：

57、 過虛軸點： 終點： = 10、延時環(huán)節(jié) = =1，（單位圓） 11．振蕩環(huán)節(jié) 二、極坐標曲線的一般形式 1、頻率特性的一般形式 線性系統(tǒng)頻率特性（諧和傳遞函數(shù)）一般形式為： = 幅率特性： = 相頻特性： 其中 指分子、分母的階數(shù)。 當、、時，稱系統(tǒng)為Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ型系統(tǒng)。 2、極坐標曲線的起始狀況 當0

58、時，有，同時 10、O型系統(tǒng)（=0） 起始于正實軸的（K，j0）點上。 20、非O型系統(tǒng)（≠0） 起始于無窮遠處，且由實軸順時針方向轉(zhuǎn)過個象限。 3、極坐標曲線的終止狀況 當→時，有， 10、當n＞m時，， 沿著某坐標軸趨向于原點，該坐標軸與正實軸的夾角為。 20、當n=m時，，，即終止于實軸上的有限點（A，0）。 4、K對極坐標圖形的影響 設有兩個系統(tǒng)， 則，= 10、增益K的變化僅僅使極坐標曲線按比例放大或縮??； 20、K值不同的兩個系統(tǒng)，極坐標曲線同頻率點的聯(lián)線必過原

59、點，這是因為該點與原點間的夾角相同。 第三節(jié) 頻率特性的對數(shù)坐標圖 問題的提出：有了極坐標圖，何必需要對數(shù)坐標圖（Bode波德圖）？ 乃氏圖存在的缺點： 10、繪制麻煩，需要很多點才能描繪曲線；20、不能明顯地表示系統(tǒng)基本的組成情況；30、由極坐標圖很難寫出系統(tǒng)的傳遞函數(shù)。優(yōu)點是可直觀地了解系統(tǒng)的動態(tài)特性。 一、對數(shù)坐標圖概念 設=，取自然對數(shù)，得 由兩部分組成，各自都是的函數(shù)，可分別考慮。即由乃氏圖的一張圖改為兩張圖。 考慮到人們常用的習慣，改用log。 定義：L（）=Log=Lg—幅頻圖。

60、單位是“貝”，是兩個信號的功率之比（這里考慮到功率與速度、電流、壓強的平方成正比），即2=對數(shù)坐標圖改為 單位還是貝。 考慮的貝的單位過大，計算不方便，用“分貝”（dB）來表示。 1貝=10分貝，故 單位是分貝 （這里的分貝是借用的概念，與專門作為計量單位的電平、聲量的分貝不同） 既然是的函數(shù)，可直接用直角坐標系來描述。 ★★★對數(shù)坐標圖的優(yōu)點。 10、便于在較寬的頻率范圍內(nèi)研究系統(tǒng)的頻率特性。即，低頻帶得以拓寬，高頻帶得以壓縮。純線性坐標辦不到； 20、可將幅值的乘積轉(zhuǎn)化為相加，對于繪制由多個環(huán)節(jié)串

61、聯(lián)而成的系統(tǒng)，在圖紙上可直接疊加； 30、可采用漸近線近似的作圖方法，簡化作圖。 接第六章 二、典型環(huán)節(jié)的對數(shù)坐標圖 1. 比例環(huán)節(jié) （1）K＞0時， （2）K＜0時， 2．一階積分環(huán)節(jié)（） （1）K＞0時，； 當=1時， 當=10時， ，全頻帶滯后900 3．二階積分環(huán)節(jié)（） ，全頻帶滯后1800 4．一階微分環(huán)節(jié)（） ， ， 5．二階微分環(huán)節(jié)（） ， 6．一階貫性環(huán)節(jié)（） ， ， 分析: (1)當 ＜＜0時，， (2)當 ＞＞0時，，

62、 (3)當 =時， 7．一階導前環(huán)節(jié)（） ， 8．振蕩環(huán)節(jié)（） ， ， 分析: (1)當 ＜＜0時，， (2)當 ＞＞0時，， (3)當 =時， （4）誤差分析略 （5）諧振頻率與諧振峰值 令，得（轉(zhuǎn)角頻率） 當時，=； 當時，=，無諧振現(xiàn)象。 三、典型環(huán)節(jié)的對數(shù)坐標圖的一般特點（總結(jié)） 1. 比例環(huán)節(jié)的幅頻特性為的水平線。 2. 純積分、微分環(huán)節(jié)的幅頻特性為斜直線（=） 二階純積分、微分環(huán)節(jié)，直線，積分為-，微分為+ 3.一階慣性，導前環(huán)節(jié)，有兩條漸近線： 0db線+（ 二階慣性，振蕩系統(tǒng)（環(huán)節(jié)）： 0db線+（。

63、轉(zhuǎn)角頻率W為：一階 四．一般系統(tǒng)的對數(shù)坐標圖 一般系統(tǒng)的諧和傳遞函數(shù)可表示為一些包括上述十種基本環(huán)節(jié)的連成積。 即=K, 則L(w)=20lg 可以逐一環(huán)節(jié)疊加。 例：G（s）=,作頻率響應的對數(shù)坐標圖。 解：G(jw)=,按各環(huán)節(jié)化成標準型。 = （1+j,1-） 共有6個環(huán)節(jié)，即比例環(huán)節(jié)k=0.4；積分環(huán)節(jié)；一階慣性環(huán)節(jié)（=1）；一階導前環(huán)節(jié)（=2）；一階慣性（=5）和振蕩環(huán)節(jié)=10，按轉(zhuǎn)角頻率順序，從小到大排列。 排序：比例 比例環(huán)節(jié)：20lgk=20lg0.4=-8db相當于把橫坐標平移8db,不影響其他圖形。

64、第四節(jié) 由頻率特性的實驗曲線求系統(tǒng)的傳遞函數(shù) 用實驗方法確定系統(tǒng)的頻率特性，又叫做系統(tǒng)識別。 方法：由頻率特性坐標圖，估算系統(tǒng)諧和傳遞函數(shù)。 一、做幅頻特性的近似折線（漸近線） 1. 近似折線由若干個首尾銜接的直線段構(gòu)成，銜接點稱為折點。 2. 各線段必須是20db/dec的整數(shù)倍。 3. 折點分貝值與實驗曲線在該頻率處分貝值的偏差，取決于折點處的斜率增量，即前后段斜率之差。 二、確定型級λ以及估算增益K 頻率特性一般形式： 在低頻處：即當ω→0時， 此時， 若視相當于x看，是一條直線方程。低頻段曲線的斜率為： 低頻率段斜率的就是積分環(huán)節(jié)的作用結(jié)果

65、 1. 確定。 2. 估算K。由低頻段公式： 10. 若起始線段或者是延長線在處與0db線相交時，即時，則 20.在起始線段任取點（一點要在實驗曲線上），便能得到相對應的分貝值，則 若已知第一個折點，即可代入。 三、確定最小相位系統(tǒng)傳遞函數(shù) 最小相位系統(tǒng)定義是系統(tǒng)傳遞函數(shù)G(s)在右半復平面上既無極點，又無零點， 最小相位系統(tǒng)的相角的變化范圍最小（名稱由來）。 最小相位系統(tǒng)，在同一個中，有且僅有一個最小相位傳遞函數(shù)。 1. 若處折線的斜率增量為20db/dec（前后段斜率差），則有一個導前環(huán)節(jié)： 　　　　　　　　　　　　　

66、 2. 若處折線的斜率增量為-20db/dec，則有一階慣性環(huán)節(jié)： 3. 若處折線的斜率增量為40db/dec，則有二階導前環(huán)節(jié)： ，其中， ξ是由偏差（折線處）Δ而來。 4. 若處的斜率增量為-40db/dec，則有二階慣性或振蕩環(huán)節(jié)：，其中 5.最小相位系統(tǒng)諧和傳遞函數(shù)及傳遞函數(shù)分別為： 四、舉例 第七章 控制系統(tǒng)的穩(wěn)定性 第一節(jié) 穩(wěn)定性的概述 一、系統(tǒng)穩(wěn)定性概念 定義：當使它偏離初始的平衡狀態(tài)或穩(wěn)定響應的擾動（干擾）去除以后，系統(tǒng)能以足夠的精度恢復到初始的平衡狀態(tài)或穩(wěn)定響應狀態(tài)中。 二、系統(tǒng)穩(wěn)定的充要條件 對于一般系統(tǒng)，其運動微分方程總可以寫成如下形式（以此說明判據(jù)來源） 當擾動去除后，即時，上式變?yōu)辇R次微分方程，即： 設解為，特征方程為 （可求出n個根） 齊次方程的通解形式為 系統(tǒng)穩(wěn)定的充要條件是： ，即 說明都應具有負實部。 在控制工程學科中，要用系統(tǒng)傳遞函數(shù) 稱為系統(tǒng)的特征方程式。 系統(tǒng)穩(wěn)定的必要條件是：“系統(tǒng)特征方程式的全部根在左半S平面內(nèi)”，即無右極點。 三