《經(jīng)濟數(shù)學(xué)》實訓(xùn)》PPT課件.ppt

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1、 經(jīng) 濟 數(shù) 學(xué) 實 訓(xùn) 課-用 MATLAB解 決 數(shù) 學(xué) 問 題任 課 老 師 金 慧 萍 主 要 內(nèi) 容一 、 Matlab基 本 介 紹二 、 Matlab基 本 用 法 和 常 用 的 函 數(shù) 介 紹三 、 用 Matlab解 決 經(jīng) 濟 數(shù) 學(xué) 中 的 數(shù) 學(xué) 問 題 使 用 Matlab軟 件 時 ,需 特 別 注 意 幾 點 必 須 在 英 文 狀 態(tài) 下 輸 入 clc 并 回 車 =清 屏 clear 并 回 車 =取 消 變 量 乘 法 運 算 符 號 * ， 不 能 省 略 分 號 ； 表 示 先 不 運 算 inf= pi= Syms x y =定 義 變 量 x y

2、 一 、 MATLAB 的 基 本 介 紹 MATLAB 是 Matrix Laboratory 的 縮 寫 ， 是 Mathworks 公 司 于 1984 年 推 出 的 一 套 科 學(xué) 計 算 軟 件 ， 分 為總 包 和 若 干 工 具 箱 . 具 有 強 大 的 矩 陣 計 算 和 數(shù) 據(jù) 可 視 化 能 力 . 一 方 面 ， 可 以 實 現(xiàn) 數(shù) 值 分 析 、 優(yōu) 化 、 統(tǒng) 計 、 偏 微 分 方 程 數(shù)值 解 、 自 動 控 制 、 信 號 處 理 、 系 統(tǒng) 仿 真 等 若 干 個 領(lǐng) 域 的 數(shù) 學(xué) 計算 ， 另 一 方 面 ， 可 以 實 現(xiàn) 二 維 、 三 維 圖 形

3、 繪 制 、 三 維 場 景 創(chuàng) 建和 渲 染 、 科 學(xué) 計 算 可 視 化 、 圖 像 處 理 、 虛 擬 現(xiàn) 實 和 地 圖 制 作 等圖 形 圖 象 方 面 的 處 理 . 同 時 ， MATLAB 是 一 種 解 釋 式 語 言 .簡 單 易 學(xué) 、 代 碼 短 小高 效 、 計 算 功 能 強 大 、 圖 形 繪 制 和 處 理 容 易 、 可 擴 展 性 強 . 其 優(yōu) 勢 在 于 ： v 矩 陣 的 數(shù) 值 運 算 、 數(shù) 值 分 析 、 模 擬 ；v 數(shù) 據(jù) 可 視 化 、 2D/3D 的 繪 圖 ；v 可 以 與 FORTRAN、 C/C+做 數(shù) 據(jù) 鏈 接 ；v 幾 百

4、個 核 心 內(nèi) 部 函 數(shù) ；v 大 量 可 選 用 的 工 具 箱 . 二 、 Matlab基 本 用 法 和 常 用 的 函 數(shù) 介 紹1. Matlab的 啟 動 與 退 出 常 用 的 進 入 Matlab 方 法 是 鼠 標 雙 擊Windows 桌 面 上 的 Matlab 圖 標 。 在 Matlab 的 環(huán) 境 中 ， 鍵 入 quit(或 exit) 并 回 車 ， 將 退 出 Matlab， 返 回 到Windows 桌 面 . 2. Matlab命 令 窗 口 的 使 用 下 圖 展 示 了 進 入 Matlab后 的 工 作 桌 面 (窗 口 ). 在 matlab命

5、令 窗 口 直 接 輸 入 命 令 ， 再 按 回 車 鍵 ， 則 運 行顯 示 相 應(yīng) 的 結(jié) 果 . 3. 三 角 函 數(shù) 值 的 計 算 在 MATLAB 環(huán) 境 下 ， 計 算 三 角 函 數(shù) 的 一 個 值 或 一 組值 非 常 方 便 ， 只 要 給 定 自 變 量 的 數(shù) 據(jù) 并 知 道 函 數(shù) 名 就 可以 計 算 出 對 應(yīng) 函 數(shù) 值 常 用 的 三 角 函 數(shù) 和 反 三 角 函 數(shù) 為 ：正 弦 函 數(shù) : sin(x) ， 反 正 弦 函 數(shù) : asin(x)， 余 弦 函 數(shù) : cos(x) ， 反 余 弦 函 數(shù) : acos(x)， 正 切 函 數(shù) : ta

6、n(x)， 反 正 切 函 數(shù) : atan(x)。 v 注 1： Matlab中 的 “ 角 度 ” ， 采 用 弧 度 制 ， 且 用 ” pi” 表 示 例 1： 計 算 sin30o的 值 。 只 須 在 Matlab 環(huán) 境 下 鍵 入 : sin(pi/6) 并 回 車 ， 計 算 機 屏 幕 將 顯 示 出 計 算 結(jié) 果 : ans = 0.5000. 例 2： 計 算 sin30o ， sin45o ， sin60o的 值 。 鍵 入 : x=pi/6， pi/4， pi/3； sin(x) 并 回 車 ， 計 算 機 屏 幕 將 顯 示 計 算 結(jié) 果 :ans = 0.5

7、000 0.7071 0.8660. 或 鍵 入 ： sin(pi/6， pi/4， pi/3)， 結(jié) 果 是 一 樣 的 。 v 注 2： Matlab中 輸 入 的 命 令 ， 一 定 要 在 “ 英 文 半 角 的 狀 態(tài) 下 ” 輸 入 。 4. 其 他 函 數(shù) 值 的 計 算 除 了 三 角 函 數(shù) 和 反 三 角 函 數(shù) 以 外 ， Matlab 的 內(nèi) 部 函 數(shù) 還 包 括 基 本初 等 函 數(shù) 在 內(nèi) 的 一 些 函 數(shù) .這 些 函 數(shù) 的 使 用 如 同 正 弦 函 數(shù) 一 樣 ， 需 要給 定 自 變 量 數(shù) 據(jù) ， 然 后 鍵 入 函 數(shù) 名 、 括 號 、 自 變

8、量 名 并 回 車 ， 便 可得 對 應(yīng) 的 函 數(shù) 值 數(shù) 據(jù) .常 用 基 本 函 數(shù) 有 ：開 平 方 ： sqrt(x) 或 x(1/2), x的 n次 冪 ： xn；以 e為 底 的 指 數(shù) ： exp(x) ， 以 a為 底 的 指 數(shù) 函 數(shù) ： ax；自 然 對 數(shù) ： log(x)， 以 10為 底 的 對 數(shù) ： log10(x) ;最 大 值 ： max(x) ， 最 小 值 ： min(x)；絕 對 值 ： abs(x) ； 取 整 ： fix(x) ；元 素 的 總 和 ： sum(x)， 符 號 函 數(shù) ： sign(x) 例 3： 計 算 log(1),log10

9、(100),sqrt(16)=16(1/2),310,sign(-5)等 。 5.基 本 的 數(shù) 學(xué) 運 算例 4： 計 算 （ 5 2 1.3 0.8） 102 25鍵 入 ： (5*2+1.3-0.8)*102/25 并 回 車 ， 得 ： ans =42 在 Matlab下 進 行 基 本 數(shù) 學(xué) 運 算 ， 只 需 將 運 算 式 直 接 打 入 提 示 號（ ） 之 后 ， 并 按 回 車 鍵 即 可 .Matlab會 將 運 算 結(jié) 果 直 接 存 入 一 變 數(shù) ans， 代 表 Matlab運 算 后 的答 案 （ Answer） 并 顯 示 其 數(shù) 值 于 屏 幕 上 例 4

10、也 可 以 用 變 量 的 方 法 做 ， 如 ： 我 們 也 可 將 上 述 運 算 式 的 結(jié) 果 設(shè) 定 給 另 一 個 變 數(shù) x（ 定 義 變 量 ） 例 4： 計 算 （ 5 2 1.3 0.8） 102 25鍵 入 ： Syms x； x = (5*2+1.3-0.8)*102/25 回 車 得 ： x = 42 注 3： Matlab認 識 所 有 一 般 常 用 到 的 加 （ +） 、 減 （ -） 、 乘 （ *） 、 除 （ /） 的 數(shù) 學(xué) 運 算 符 號 ， 以 及 冪 次 運 算 （ ） 注 4： Matlab還 會 自 動 進 行 記 憶 體 的 使 用 和 回

11、 收 ; 若 不 想 讓 Matlab每 次 都 顯 示 運 算 結(jié) 果 ， 只 需 在 運 算 式 最 后 加 上 分 號 (;).例 5： 計 算 y=sinx e -0.3 16 ， 當(dāng) x=10時 的 值 。鍵 入 ： Syms x y； x=10； y = sin(x)*exp(-0.3*16)； y 回 車 得 ： y =-0.0045 定 義 多 個 變 量 的 情 況 ：例 6： 計 算 ， 當(dāng) 時 的 值 。2 ln 3x yz x e y x 2, 4x y Syms x y z;x=2;y=4;z=x2+exp(x+y)-y*log(x)-3回 車 ， 可 以 運 算 出

12、 結(jié) 果 是 401.6562。注 5： 變 量 要 區(qū) 分 字 母 的 大 小 寫 ， 標 點 符 號 必 須 是 在 英 文 狀 態(tài) 下 輸 入 。 注 6： 要 清 除 前 面 定 義 的 變 量 ， 只 需 要 輸 入 clear即 可 。 但 是 輸 入 了 clear 后 又必 須 要 重 新 定 義 變 量 ， 否 則 變 量 無 意 義 。 如 果 沒 有 清 除 變 量 ， 則 表 示 該 變 量 可以 繼 續(xù) 使 用 。 6. 解 方 程命 令 格 式 ： Solve (方 程 ， 變 量 )。例 7： 求 方 程 x2=4的 根 。 solve (x2-4=0,x) an

13、s = -2 2例 8： 求 方 程 x-sinx=1/2的 根 。 solve (x-sin(x)=1/2,x)ans =1.4973003890958923146815215409476 注 7： 方 程 與 變 量 一 定 要 用 單 引 號 ； 方 程 中 的 “ =0與 變 量 x”可 以 省 ； 另 外 這 個 命 令 只 適 合 求 一 元 方 程 的 根 。 7. 求 極 限 命 令 格 式 ： Syms x; Limit (函 數(shù) 名 ， 變 量 ， 趨 近 值 )例 9：求 0 sinlimx xx 。 syms x; limit(sin(x)/x) ans = 1 注 8

14、：當(dāng) 0 x 時 ， 變 量 和 趨 近 值 都 可 以 不 用 寫 ; 其 他 情 況 ， 必 須 寫 出 變 量 和 趨 近 值 。 例 10 求 ： 221 1lim 3 4x xx x syms x; limit(x2-1)/(x2+3*x-4),x,1) ans = 2/5例 11 求 ： lim x x e syms x; limit(exp(x),x,-inf) ans = 0 8.求 導(dǎo) 數(shù)命 令 格 式 ： syms x; diff(函 數(shù) 名 ) 表 示 求 函 數(shù) 的 一 階 導(dǎo) 數(shù) ； diff(函 數(shù) 名 ， 變 量 名 ， n) 表 示 函 數(shù) 對 該 變 量 求

15、n階 導(dǎo) 數(shù) 。例 12： 求 10 x 的 一 階 導(dǎo) 數(shù) ， 10階 導(dǎo) 數(shù) ， 11階 導(dǎo) 數(shù) 等 。 syms x; diff(x10) ans =10*x9diff(x10,x,10) ans =3628800diff(x10,x,11) ans =0 例 13： 求 函 數(shù) xx 的 導(dǎo) 數(shù) 。 diff(xx) 或 diff(xx,x,1) ans = xx*(log(x)+1)例 14： 求 函 數(shù) 2 1sin x 的 導(dǎo) 數(shù) 。diff(sin(1/x)2) ans = -2*sin (1/x)* cos (1/x)/x2注 9： 當(dāng) 變 量 為 x,并 求 1階 導(dǎo) 數(shù)

16、時 ， 可 省 略 ” 變 量 名 ” 與 ” n”。 9. 繪 平 面 圖 形（ 1） linspace函 數(shù) 的 使 用 命 令 格 式 ： Linspace(x1,x2,n) 表 示 ： x1為 首 分 量 ， x2為 末 分 量 的 n維 向 量 （ 即 n-1等 分 ） 。例 15： linspace(0,100,5)ans = 0 25 50 75 100 linspace(0,-100,5)ans = 0 -25 -50 -75 -100 linspace(0,100,101)ans=1 2 3 - 100 101注 10： 如 果 沒 有 指 明 n， 則 默 認 100維 向

17、 量 （ 即 99等 分 ） 。 linspace(1,100)ans=1 2 3 -99 100 (2) 一 元 函 數(shù) 的 繪 圖命 令 格 式 ： fplot(fun,a,b) 例 16： 畫 出 y=sinx的 圖 像 ， x屬 于 0,2pi. fplot(sin(x),0,2*pi) 例 17 畫 出 在 -5,5內(nèi) 的 圖 像 。1siny x x fplot(x*sin(1/x),-5,5) 問 ： fplot(x*sin(1/x),-0.1,0.1) 圖 會 如 何 ？ （ 3） 多 個 函 數(shù) 的 繪 圖 plot是 Matlab的 最 基 本 的 繪 制 二 維 圖 形

18、指 令 。其 主 要 功 能 是 根 據(jù) 函 數(shù) 自 變 量 的 一 組 值 ， 繪 制 出 函 數(shù) 的 圖 形 ; 基 本格 式 有 下 面 幾 種 ：(1)plot(X,Y) (2) plot(Y) (3) plot(X1,Y1,X2,Y2) (4) plot(x,y,s) s是 控 制 圖 形 的 顏 色 及 圖 形 的 連 線 方 式 (見 下 表 ) 表 1-3 圖 形 控 制 選 項 列 表線 方 式 點 方 式 顏 色實 線 點 . 紅 r虛 線 加 號 + 綠 g冒 號 ： 星 號 * 藍 b橫 點 -. 圓 o 白 w（ 空 白 ） 不 畫 線 方 形 s 黑 k叉 青 c六

19、 角 星 形 h 黃 y菱 形 d下 三 角 v 上 三 角 左 三 角 正 五 邊 形 p 例 18: 繪 制 y=sinx 在 0,2pi 內(nèi) 的 圖 像x=linspace(0,2*pi,100); y=sin(x); plot(x,y)問 : x=linspace(0,2*pi,5); y=sin(x); plot(x,y) x=linspace(0,2*pi,100); y=sin(x); plot(x,y,s) x=linspace(0,2*pi,100); y=sin(x); plot(x) x=linspace(0,2*pi,100); y=sin(x); plot(x,y,r

20、) 它 們 的 圖 形 會 如 何 ？ 例 19: 在 同 一 個 坐 標 系 內(nèi) 畫 出 函 數(shù) y=sinx和 y=cosx在 -2pi,2pi內(nèi) 的 圖 像 。x=linspace(-2*pi,2*pi,200); y1=sin(x); y2=cos(x); plot(x,y1,x,y2) 例 20: 在 同 一 個 坐 標 系 內(nèi) 畫 出 函 數(shù) y=sinx和 y=cosx在 0,2pi內(nèi) 的 圖 像 ； 并 且正 弦 函 數(shù) 圖 像 用 紅 色 的 五 角 星 表 示 ， 其 余 部 分 用 實 線 連 接 ； 余 弦 函 數(shù) 的 圖 像 用 黑色 的 加 號 表 示 ， 其 余

21、部 分 用 虛 線 連 接 。 x=linspace(0,2*pi,50);y1=sin(x);y2=cos(x);plot(x,y1,-rp,x,y2,-k+) 函 數(shù) 名 功 能 函 數(shù) 名 功 能Bar 條 形 圖 Barth 水 平 條 形 圖Area 填 充 繪 圖 Comet 彗 星 圖Feather 矢 量 圖 Pie 柄 狀 圖Matlab提 供 了 許 多 很 實 用 的 繪 制 特 殊 二 維 圖 形 的 函 數(shù) ， 常 用 的 有 如 下 表 所 列 的 函 數(shù) 。注 11： 如 需 要 具 體 了 解 某 個 函 數(shù) 的 用 法 和 效 果 ， 可 以 輸 入 “ he

22、lp 函 數(shù) 名 ” 即 可 。如 需 要 畫 柄 狀 圖 ， 則 輸 入 “ help pie”就 可 以 查 看 。 例 21： 繪 制 y=sinx在 0,2pi內(nèi) 的 條 形 圖 。 x=linspace(0,2*pi,20);y=sin(x);bar(x,y,r) x=linspace(0,2*pi,40);y=sin(x);bar(x,y,r) *(4)三 維 空 間 的 繪 圖 Plot3 命 令 將 繪 制 二 維 圖 形 的 函 數(shù) plot的 特 性 擴 展 到 三 維 空 間 。除 了 數(shù) 據(jù) 多 了 一 維 之 外 ， 它 的 格 式 與 plot相 同 。 具 體 的

23、 命 令 格 式 為 ：Plot3 (X1,Y1,z1,X2,Y2,z2) 后 面 可 以 相 應(yīng) 的 加 上 控 制 組 合 。*例 22 繪 制 函 數(shù) x=tsint,y=tcost,z=t的 三 維 圖 形 。 t=linspace(0,20*pi,1000); plot3 (t.*sin(t),t.*cos(t),t) t=linspace(0,20*pi,1000);plot3 (t.*sin(t),t.*cos(t),t); grid on Matlab中 繪 制 帶 網(wǎng) 格 的 曲 面 圖 使 用 mesh函 數(shù) 。*例 23： 繪 制 2 22 2sin x yz x y 的

24、 圖 像 。syms x y z r x=linspace(-10,10,50);y=linspace(-10,10,50);xx,yy=meshgrid(x,y); r=sqrt(xx.2+yy.2);z=sin(r)./r;mesh(z) 三 、 用 Matlab解 決 經(jīng) 濟 數(shù) 學(xué) 中 的 數(shù) 學(xué) 問 題 例 24 某 廠 生 產(chǎn) 一 批 產(chǎn) 品 ， 其 固 定 成 本 為 2000元 ， 每 生 產(chǎn) 一 噸 產(chǎn) 品 的 成 本 為 60元 ， 對這 種 產(chǎn) 品 的 市 場 需 求 規(guī) 律 為 （ 為 需 求 量 ， 為 價 格 ） 試 求 ： （ 1） 成 本 函 數(shù) ， 收 入 函

25、 數(shù) ； （ 2） 產(chǎn) 量 為 多 少 噸 時 利 潤 最 大 ？1000 10q p q p 解 ： （ 1） 成 本 函 數(shù) 因 為 ， 即 ， 所 以 收 入 函 數(shù) （ 2） 因 為 利 潤 函 數(shù) ( ) 60 2000C q q 1000 10q p 1100 10p q 21( ) 100 10R q p q q q 2 2 1( ) ( ) ( ) 100 60 2000101 40 200010L q R q C q q q qq q 令 21( ) 40 2000 40 0.2 010L q q q q 得 200q 故 有 最 大 利 潤 為 200 2000L 用 ma

26、tlab計 算 如 下 ：1.求 利 潤 函 數(shù) L(q)的 導(dǎo) 數(shù) 。 syms p q; diff(-1/10*q2+40*q-2000) ans = 40 - q/5 2.令 L(q)=0， 解 方 程 。 solve(40 - q/5) ans = 200 3.作 出 利 潤 函 數(shù) 的 圖 像 ， 根 據(jù) 圖 像 觀 察 最 值 點 。 fplot(-1/10*q2+40*q-2000,0,1000,0,3000) A2D5H8KcNfQiUlXo#s%v)y0B3F6I9LdOgSjVmYq!t&w-z1D4G7JbMePhTkWoZr$u(x+A2E5H9KcNfRiUlXp#s

27、&v)y0C3F6IaLdOgSjVnYq!t*w-z1D4G8JbMeQhTkWoZr%u(x+B2E5H9KcOfRiUmXp#s&v)z0C3F7IaLdPgSkVnYq$t*w-A1D5G8JbNeQhTlWo#r%u(y+B2E6H9KcOfRjUmXp!s&v)z0C4F7IaMdPgSkVnZq$t*x-A1D5G8KbNeQiTlWo#r%v(y+B3E6H9LcOgRjUmYp!s&w)z1C4F7JaMdPhSkVnZq$u*x-A2D5G8KbNfQiTlXo#r%v(y0B3E6I9LcOgRjVmYp!t&w)z1C4G7JaMePhSkWnZr$u*x+A2D5H8

28、KcNfQiUlXo#s%v)y0B3F6I9LdOgRjVmYq!t&w-z1C4G7JbMePhTkWnZr$u(x+A2E5H8KcNfRiUlXp#s%v)y0C3F6IaLdOgSjVnYq!t*w-z1D4G8JbMeQhTkWoZr$u(x+B2E5H9KcNfRiUmXp#s&v)y0C3F7IaLdPgSjVnYq$t*w-A1D4G8JbNeQhTlWoZr%u(y+B2E6H9KcOfRjUmXp!s&v)z0C3F7IaMdPgSkVnYq$t*x-A1D5G8JbNeQiTlWo#r%u(y+B3E6H9LcOfRjUmYp!s&w)z0C4F7JaMdPhSkVnZ

29、q$u*x-A2D5G8KbNfQiTlXo#r%v(y+B3E6I9LcOgRjUmYp!t&w)z1C4F7JaMePhSkWnZq$u*x+A2D5H8KbNfQiUlXo#s%v(y0B3F6I9LdOgRjVmYq!t&w-z1C4G7JaMePhTkWnZr$u*x+A2E5cOgRjUmYp!t&w)z1C4F7JaMePhSkWnZq$u*x+A2D5H8KbNfQiUlXo#s%v(y0B3F6I9LdOgRjVmYp!t&w-z1C4G7JaMePhTkWnZr$u*x+A2E5H8KcNfQiUlXp#s%v)y0B3F6IaLdOgSjVmYq!t*w-z1D4G7Jb

30、MeQhTkWoZr$u(x+A2E5H9KcNfRiUlXp#s&v)y0C3F6IaLdPgSjVnYq!t*w-A1D4G8JbMeQhTlWoZr%u(x+B2E6H9KcOfRiUmXp!s&v)z0C3F7IaLdPgSkVnYq$t*w-A1D5G8JbNeQhTlWo#r%u(y+B2E6H9LcOfRjUmXp!s&w)z0C4F7IaMdPhSkVnZq$t*x-A2D5G8KbNeQiTlXo#r%v(y+B3E6H9LcOgRjUmYp!s&w)z1C4F7JaMdPhSkWnZq$u*x-A2D5H8KbNfQiTlXo#s%v(y0B3E6I9LdOgRjVmYp!

31、t&w-z1C4G7JaMePhSkWnZr$u*x+A2D5H8KcNfQiUlXo#s%v)y0B3F6I9LdOgSjVmYq!t&w-z1D4G7JbMePhTkWoZr$u(x+A2E5H9KcNfRiUlXp#s&v)y0C3F6IaLdOgSjVnYq!t*w-z1D4G8JbMeQhTkWoZr%u(x+B2E5H9KcOfRiUmXp#s&v)z0C3F7IaLdPgSkVnYq$t*w-A1D5G8JbNeQhTlWoZr%u(y+B2E6H9KcOfRjUmXp!s&v)z0C4F7IaMdPgSkZr%u(x+B2E5H9KcOfRiUmXp#s&v)z0C3F7IaL

32、dPgSjVnYq$t*w-A1D4G8JbNeQhTlWoZr%u(y+B2E6H9KcOfRjUmXp!s&v)z0C4F7IaMdPgSkVnZq$t*x-A1D5G8KbNeQiTlWo#r%v(y+B3E6H9LcOfRjUmYp!s&w)z0C4F7JaMdPhSkVnZq$u*x-A2D5G8KbNfQiTlXo#r%v(y0B3E6I9LcOgRjVmYp!t&w)z1C4G7JaMePhSkWnZq$u*x+A2D5H8KbNfQiUlXo#s%v(y0B3F6I9LdOgRjVmYq!t&w-z1C4G7JbMePhTkWnZr$u(x+A2E5H8KcNfRiUlXp#s

33、%v)y0C3F6IaLdOgSjVmYq!t*w-z1D4G7JbMeQhTkWoZr$u(x+B2E5H9KcNfRiUmXp#s&v)y0C3F7IaLdPgSjVnYq$t*w-A1D4G8JbNeQhTlWoZr%u(x+B2E6H9KcOfRiUmXp!s&v)z0C3F7IaMdPgSkVnYq$t*x-A1D5G8JbNeQiTlWo#r%u(y+B3E6H9LcOfRjUmYp!s&w)z0C4F7IaMdPhSkVnZq$t*x-A2D5G8KbNeQiTlXo#r%v(y+B3E6I9LcOgRjUmYp!t&w)z1C4F7JaMePhSkWnZ(y+B3E6H9LcO

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