高考數學一輪復習 第二章 函數概念與基本初等函數I 2.3 函數的奇偶性與周期性課件 理.ppt

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第二章 函數概念與基本初等函數 I,§2.3 函數的奇偶性與周期性,,,內容索引,,,,基礎知識 自主學習,題型分類 深度剖析,易錯警示系列,思想方法 感悟提高,練出高分,,,基礎知識 自主學習,1.函數的奇偶性,y軸,f(－x)＝f(x),f(－x)＝－f(x),原點,,知識梳理,1,,答案,2.周期性 (1)周期函數：對于函數y＝f(x)，如果存在一個非零常數T，使得當x取定義域內的任何值時，都有____________，那么就稱函數y＝f(x)為周期函數，稱T為這個函數的周期. (2)最小正周期：如果在周期函數f(x)的所有周期中____________的正數，那么這個最小正數就叫做f(x)的最小正周期.,f(x＋T)＝f(x),存在一個最小,,答案,判斷下面結論是否正確(請在括號中打“√”或“×”) (1)偶函數圖象不一定過原點，奇函數的圖象一定過原點.( ) (2)若函數y＝f(x＋a)是偶函數，則函數y＝f(x)關于直線x＝a對稱.( ) (3)函數f(x)在定義域上滿足f(x＋a)＝－f(x)，則f(x)是周期為2a(a0)的周期函數.( ) (4)若函數y＝f(x＋b)是奇函數，則函數y＝f(x)關于點(b,0)中心對稱.( ) (5)如果函數f(x)，g(x)為定義域相同的偶函數，則F(x)＝f(x)＋g(x)是偶函數.( ) (6)若T是函數的一個周期，則nT(n∈Z，n≠0)也是函數的周期.( ),×,√,√,√,√,√,,答案,思考辨析,解析 對于④，f(x)＝ex－e－x的定義域為R，f(－x)＝e－x－ex＝－f(x)， 故y＝ex－e－x為奇函數.,y＝|sin x|和y＝cos x為偶函數.,④,,,考點自測,2,解析答案,1,2,3,4,5,2.已知f(x)是定義在R上的奇函數，f(x＋1)是偶函數，則f(1)＋f(2)＋f(3)＋f(4)＝___. 解析 由f(x＋1)是偶函數得f(－x＋1)＝f(x＋1)， 又f(x)是定義在R上的奇函數， 所以f(－x＋1)＝－f(x－1)，即－f(x－1)＝f(x＋1)， 所以f(x＋2)＝－f(x)，即f(x)＋f(x＋2)＝0， 所以f(1)＋f(3)＝0，f(2)＋f(4)＝0， 因此f(1)＋f(2)＋f(3)＋f(4)＝0.,0,,解析答案,1,2,3,4,5,3.(2015·天津)已知定義在R上的函數f(x)＝2|x－m|－1(m為實數)為偶函數，記a＝f(log0.53)，b＝f(log25)，c＝f(2m)，則a，b，c的大小關系為________. 解析 由函數f(x)＝2|x－m|－1為偶函數，得m＝0， 所以f(x)＝2|x|－1， 當x＞0時，f(x)為增函數， log0.53＝－log23， 所以log25＞|－log23|＞0， 所以b＝f(log25)＞a＝f(log0.53)＞c＝f(2m)＝f(0).,c＜a＜b,,解析答案,1,2,3,4,5,解析 函數的周期是2，,1,,解析答案,1,2,3,4,5,5.(教材改編)已知函數f(x)是定義在R上的奇函數，當x≥0時，f(x)＝x(1＋x)，則x0， ∴f(－x)＝(－x)(1－x). 又f(x)為奇函數， ∴f(－x)＝－f(x)＝(－x)(1－x)， ∴f(x)＝x(1－x).,x(1－x),,解析答案,1,2,3,4,5,返回,,題型分類 深度剖析,,,題型一 判斷函數的奇偶性,例1 判斷下列函數的奇偶性： (1)f(x)＝x3－x； 解 定義域為R，關于原點對稱， 又f(－x)＝(－x)3－(－x)＝－x3＋x＝－(x3－x)＝－f(x)， ∴函數為奇函數.,,解析答案,∵函數定義域不關于原點對稱， ∴函數為非奇非偶函數.,,解析答案,解 當x0時，－x0，f(x)＝x2＋x， ∴f(－x)＝－(－x)2－x＝－x2－x ＝－(x2＋x)＝－f(x). ∴對于x∈(－∞，0)∪(0，＋∞)， 均有f(－x)＝－f(x). ∴函數為奇函數.,,解析答案,思維升華,,思維升華,(1)利用定義判斷函數奇偶性的步驟：,,(2)分段函數奇偶性的判斷，要注意定義域內x取值的任意性，應分段討論，討論時可依據x的范圍取相應的解析式化簡，判斷f(x)與f(－x)的關系，得出結論，也可以利用圖象作判斷.,(1)設函數f(x)，g(x)的定義域都為R，且f(x)是奇函數，g(x)是偶函數，則下列結論中正確的是____.(填序號) ①f(x)g(x)是偶函數； ②|f(x)|g(x)是奇函數； ③f(x)|g(x)|是奇函數； ④|f(x)g(x)|是奇函數. 解析 易知f(x)|g(x)|定義域為R， ∵f(x)是奇函數，g(x)是偶函數， ∴f(－x)|g(－x)|＝－f(x)|g(x)|， ∴f(x)|g(x)|為奇函數.,③,跟蹤訓練1,,解析答案,(2)函數f(x)＝loga(2＋x)，g(x)＝loga(2－x)(a0且a≠1)，則函數F(x)＝f(x)＋g(x)，G(x)＝f(x)－g(x)分別是_______________(填奇偶性). 解析 F(x)，G(x)定義域均為(－2,2)， 由已知F(－x)＝f(－x)＋g(－x)＝loga(2－x)＋loga(2＋x)＝F(x)， G(－x)＝f(－x)－g(－x)＝loga(2－x)－loga(2＋x)＝－G(x)， ∴F(x)是偶函數，G(x)是奇函數.,偶函數，奇函數,,解析答案,,,題型二 函數的周期性,例2 (1)定義在R上的函數f(x)滿足f(x＋6)＝f(x)，當－3≤x－1時，f(x)＝－(x＋2)2；當－1≤x3時，f(x)＝x.則f(1)＋f(2)＋f(3)＋…＋f(2 017)等于________.,,解析答案,解析 ∵f(x＋6)＝f(x)，∴T＝6. ∵當－3≤x－1時，f(x)＝－(x＋2)2； 當－1≤x3時，f(x)＝x， ∴f(1)＝1，f(2)＝2，f(3)＝f(－3)＝－1， f(4)＝f(－2)＝0，f(5)＝f(－1)＝－1，f(6)＝f(0)＝0， ∴f(1)＋f(2)＋…＋f(6)＝1，,又f(2 017)＝f(1)＝1. ∴f(1)＋f(2)＋f(3)＋…＋f(2 017)＝337. 答案 337,故函數的周期為4. ∴f(105.5)＝f(4×27－2.5)＝f(－2.5)＝f(2.5). ∵2≤2.5≤3，由題意，得f(2.5)＝2.5. ∴f(105.5)＝2.5.,2.5,,解析答案,思維升華,,思維升華,解析 ∵f(x＋2π)＝f(x＋π)＋sin(x＋π)＝f(x)＋sin x－sin x＝f(x)， ∴f(x)的周期T＝2π， 又∵當0≤xπ時，f(x)＝0，,跟蹤訓練2,,解析答案,,,題型三 函數性質的綜合應用,命題點1 函數奇偶性的應用,例3 (1)已知f(x)是奇函數，g(x)是偶函數，且f(－1)＋g(1)＝2，f(1)＋g(－1)＝4，則g(1)＝__.,,解析答案,解析 ∵f(x)是奇函數， ∴f(－1)＝－f(1). 又g(x)是偶函數， ∴g(－1)＝g(1). ∵f(－1)＋g(1)＝2， ∴g(1)－f(1)＝2. ① 又f(1)＋g(－1)＝4， ∴f(1)＋g(1)＝4. ② 由①②，得g(1)＝3. 答案 3,即ln(a＋x2－x2)＝0， ∴a＝1.,1,解析 f(x)為偶函數，,,解析答案,命題點2 單調性與奇偶性、周期性結合,解析 ∵f(x)是定義在R上的周期為3的偶函數， ∴f(5)＝f(5－6)＝f(－1)＝f(1)，,解得－1a4.,(－1,4),,解析答案,(2)已知定義在R上的奇函數f(x)滿足f(x－4)＝－f(x)，且在區(qū)間[0,2]上是增函數，則f(－25)，f(11)，f(80)的大小關系是__________________.,,解析答案,思維升華,解析 ∵f(x)滿足f(x－4)＝－f(x)， ∴f(x－8)＝f(x)， ∴函數f(x)是以8為周期的周期函數， 則f(－25)＝f(－1)，f(80)＝f(0)，f(11)＝f(3). 由f(x)是定義在R上的奇函數，且滿足f(x－4)＝－f(x)， 得f(11)＝f(3)＝－f(－1)＝f(1). ∵f(x)在區(qū)間[0,2]上是增函數，f(x)在R上是奇函數， ∴f(x)在區(qū)間[－2,2]上是增函數，∴f(－1)f(0)f(1)， 即f(－25)f(80)f(11). 答案 f(－25)f(80)f(11),,思維升華,,思維升華,(1)關于奇偶性、單調性、周期性的綜合性問題，關鍵是利用奇偶性和周期性將未知區(qū)間上的問題轉化為已知區(qū)間上的問題. (2)掌握以下兩個結論，會給解題帶來方便：①f(x)為偶函數?f(x)＝f(|x|).②若奇函數在x＝0處有意義，則f(0)＝0.,(1)若f(x)＝ln(e3x＋1)＋ax是偶函數，則a＝_____. 解析 函數f(x)＝ln(e3x＋1)＋ax是偶函數， 故f(－x)＝f(x)， 即ln(e－3x＋1)－ax＝ln(e3x＋1)＋ax，,整理得e3x＋1＝e2ax＋3x(e3x＋1)，,跟蹤訓練3,,解析答案,(2)已知f(x)是定義在R上的奇函數，當x0時，f(x)＝x2－4x，則不等式f(x)x的解集用區(qū)間表示為________.,,解析答案,返回,解析 ∵f(x)是定義在R上的奇函數， ∴f(0)＝0. 又當x0， ∴f(－x)＝x2＋4x. 又f(x)為奇函數，∴f(－x)＝－f(x)， ∴f(x)＝－x2－4x (x0)，,,解析答案,①當x0時，由f(x)x得x2－4xx，解得x5； ②當x＝0時，f(x)x無解； ③當xx得－x2－4xx，解得－5x的解集用區(qū)間表示為(－5,0)∪(5，＋∞). 答案 (－5,0)∪(5，＋∞),,返回,,易錯警示系列,,,易錯警示系列,2.忽視定義域致誤,易錯分析 解題中忽視函數f(x)的定義域，直接通過計算f(0)＝0得k＝1.,,易錯分析,解析答案,由f(－x)＋f(x)＝0可得k2＝1， ∴k＝±1. 答案 ±1,易錯分析 本題易出現(xiàn)以下錯誤： 由f(1－x2)f(2x)得1－x22x，忽視了1－x20導致解答失誤.,,易錯分析,解析答案,返回,溫馨提醒,由圖象可知，若f(1－x2)f(2x)，,,溫馨提醒,,溫馨提醒,,返回,(1)已知函數的奇偶性，利用特殊值確定參數，要注意函數的定義域. (2)解決分段函數的單調性問題時，應高度關注：①對變量所在區(qū)間的討論.②保證各段上同增(減)時，要注意左、右段端點值間的大小關系.③弄清最終結果取并集還是交集.,,思想方法 感悟提高,1.判斷函數的奇偶性，首先應該判斷函數定義域是否關于原點對稱.定義域關于原點對稱是函數具有奇偶性的一個必要條件. 2.利用函數奇偶性可以解決以下問題 ①求函數值；②求解析式；③求函數解析式中參數的值；④畫函數圖象，確定函數單調性. 3.在解決具體問題時，要注意結論“若T是函數的周期，則kT(k∈Z且k≠0)也是函數的周期”的應用.,方法與技巧,1.f(0)＝0既不是f(x)是奇函數的充分條件，也不是必要條件.應用時要注意函數的定義域并進行檢驗. 2.判斷分段函數的奇偶性時，要以整體的觀點進行判斷，不可以利用函數在定義域某一區(qū)間上不是奇、偶函數而否定函數在整個定義域的奇偶性.,失誤與防范,,返回,,練出高分,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,解析 對于①，函數y＝log2|x|是偶函數且在區(qū)間(1,2)上是增函數； 對于②，函數y＝cos 2x在區(qū)間(1,2)上不是增函數；,①,,解析答案,∴g(x)是奇函數，,2,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,,解析答案,－2,3.已知f(x)在R上是奇函數，且滿足f(x＋4)＝f(x)，當x∈(0,2)時，f(x)＝2x2，則f(2 019)＝____. 解析 ∵f(x＋4)＝f(x)， ∴f(x)是以4為周期的周期函數， ∴f(2 019)＝f(504×4＋3)＝f(3)＝f(－1). 又f(x)為奇函數， ∴f(－1)＝－f(1)＝－2×12＝－2， 即f(2 019)＝－2.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,,解析答案,解析 由題意知f(x)為偶函數， 所以f(－2)＝f(2)， 又x∈[0，＋∞)時，f(x)為減函數，且321， ∴f(3)f(2)f(1)， 即f(3)f(－2)f(1).,f(3)f(－2)f(1),1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,,解析答案,5.已知f(x)是定義在R上的奇函數，當x≥0時，f(x)＝x2＋2x，若f(2－a2)f(a)，則實數a的取值范圍是_______. 解析 ∵f(x)是奇函數， ∴當xf(a)，得2－a2a， 解得－2a1.,(－2,1),1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,,解析答案,6.設f(x)是定義在R上的奇函數，且當x≥0時，f(x)＝x2，若對任意的x∈[t，t＋2]，不等式f(x＋t)≥2f(x)恒成立，則實數t的取值范圍是__________. 解析 ∵當x≥0時，f(x)＝x2，且f(x)是定義在R上的奇函數， ∴f(x)在R上是增函數，,∵x∈[t，t＋2]，,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,,解析答案,7.已知定義在R上的偶函數f(x)在[0，＋∞)上單調遞增，且f(1)＝0，則不等式f(x－2)≥0的解集是____________________. 解析 由已知可得x－2≥1或x－2≤－1， 解得x≥3或x≤1， ∴所求解集是(－∞，1]∪[3，＋∞).,(－∞，1]∪[3，＋∞),1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,,解析答案,解析 依題意知：函數f(x)為奇函數且周期為2，,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,,解析答案,(1)求實數m的值； 解 設x0， 所以f(－x)＝－(－x)2＋2(－x)＝－x2－2x. 又f(x)為奇函數，所以f(－x)＝－f(x). 于是x0時，f(x)＝x2＋2x＝x2＋mx， 所以m＝2.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,,解析答案,(2)若函數f(x)在區(qū)間[－1，a－2]上單調遞增，求實數a的取值范圍. 解 要使f(x)在[－1，a－2]上單調遞增，,所以1a≤3， 故實數a的取值范圍是(1,3].,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,,解析答案,10.設f(x)是定義在R上的奇函數，且對任意實數x，恒有f(x＋2)＝－f(x)，當x∈[0,2]時，f(x)＝2x－x2. (1)求證：f(x)是周期函數； 證明 ∵f(x＋2)＝－f(x)， ∴f(x＋4)＝－f(x＋2)＝f(x). ∴f(x)是周期為4的周期函數.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,,解析答案,(2)當x∈[2,4]時，求f(x)的解析式； 解 ∵x∈[2,4]，∴－x∈[－4，－2]， ∴4－x∈[0,2]， ∴f(4－x)＝2(4－x)－(4－x)2＝－x2＋6x－8， 又f(4－x)＝f(－x)＝－f(x)， ∴－f(x)＝－x2＋6x－8， 即f(x)＝x2－6x＋8，x∈[2,4].,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,,解析答案,(3)計算f(0)＋f(1)＋f(2)＋…＋f(2 016). 解 ∵f(0)＝0，f(1)＝1，f(2)＝0，f(3)＝－1. 又f(x)是周期為4的周期函數， ∴f(0)＋f(1)＋f(2)＋f(3)＝f(4)＋f(5)＋f(6)＋f(7)＝ …＝f(2 012)＋f(2 013)＋f(2 014)＋f(2 015)＝0. ∴f(0)＋f(1)＋f(2)＋…＋f(2 016)＝f(2 016)＝f(0)＝0.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,,解析答案,11.已知f(x)是定義域為(－1,1)的奇函數，而且f(x)是減函數，如果f(m－2)＋f(2m－3)0，那么實數m的取值范圍是_________ .,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,,解析答案,解析 ∵f(x)是定義域為(－1,1)的奇函數， ∴－10可轉化為f(m－2)－f(2m－3)， ∴f(m－2)f(－2m＋3)， ∵f(x)是減函數， ∴m－2－2m＋3，,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,,解析答案,由①②得a＝2，b＝－4，從而a＋3b＝－10.,答案 －10,解析 因為f(x)是定義在R上且周期為2的函數，,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,13.已知f(x)是R上最小正周期為2的周期函數，且當0≤x2時，f(x)＝x3－x，則函數y＝f(x)的圖象在區(qū)間[0,6]上與x軸的交點個數為___. 解析 因為當0≤x2時，f(x)＝x3－x， 又f(x)是R上最小正周期為2的周期函數，且f(0)＝0， 所以f(6)＝f(4)＝f(2)＝f(0)＝0.又f(1)＝0， 所以f(3)＝f(5)＝0.故函數y＝f(x)的圖象在區(qū)間[0,6]上與x軸的交點個數為7.,7,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,,解析答案,14.定義在R上的偶函數f(x)滿足f(x＋1)＝－f(x)，且在[－1,0]上是增函數，給出下列關于f(x)的結論：①f(x)是周期函數；②f(x)的圖象關于直線x＝1對稱；③f(x)在[0,1]上是增函數；④f(x)在[1,2]上是減函數；⑤f(2)＝f(0).其中正確結論的序號是________.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,,解析答案,解析 對于①，f(x＋2)＝－f(x＋1)＝－[－f(x)]＝f(x)，故2是函數f(x)的一個周期，故①正確； 對于②，由于函數f(x)是偶函數，且函數f(x)是以2為周期的函數，則f(2－x)＝f(x－2)＝f(x)，即f(2－x)＝f(x)，故函數f(x)的圖象關于直線x＝1對稱，故②正確； 對于③，由于函數f(x)是偶函數且在[－1,0]上是增函數，根據偶函數圖象的性質可知，函數f(x)在[0,1]上是減函數，故③錯誤； 對于④，由于函數f(x)是以2為周期的函數且在[－1,0]上為增函數，由周期函數的性質知，函數f(x)在[1,2]上是增函數，故④錯誤； 對于⑤，由于函數f(x)是以2為周期的函數，所以f(2)＝f(0)，故⑤正確.綜上所述，正確結論的序號是①②⑤. 答案 ①②⑤,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,15.函數f(x)的定義域為D＝{x|x≠0}，且滿足對于任意x1，x2∈D，有f(x1·x2)＝f(x1)＋f(x2). (1)求f(1)的值； 解 ∵對于任意x1，x2∈D， 有f(x1·x2)＝f(x1)＋f(x2)， ∴令x1＝x2＝1，得f(1)＝2f(1)，∴f(1)＝0.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,,解析答案,(2)判斷f(x)的奇偶性并證明你的結論； 解 f(x)為偶函數. 證明：令x1＝x2＝－1，有f(1)＝f(－1)＋f(－1)，,令x1＝－1，x2＝x有f(－x)＝f(－1)＋f(x)， ∴f(－x)＝f(x)， ∴f(x)為偶函數.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,,解析答案,(3)如果f(4)＝1，f(x－1)2，且f(x)在(0，＋∞)上是增函數，求x的取值范圍. 解 依題設有f(4×4)＝f(4)＋f(4)＝2， 由(2)知，f(x)是偶函數， ∴f(x－1)2?f(|x－1|)f(16). 又f(x)在(0，＋∞)上是增函數. ∴0|x－1|16，解之得－15x17且x≠1. ∴x的取值范圍是{x|－15x17且x≠1}.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,,解析答案,返回,